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第五章 不定积分测验题-高兵龙

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不定积分例题及答案

不定积分例题及答案

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)⎰思路: 被积函数 52x -=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223xd x x C--==-+⎰⎰★(2)d x-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24d x xxd x xd x xd x xx C---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx d x+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23xxxx d x d x x d x x C+=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x d x-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x d x xd x x d x x x C-=-=-+⎰⎰⎰★★(5)4223311x x d xx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x d x x d x d x x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰★★(6)221xd xx+⎰思路:注意到222221111111xx xxx+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11xd x d x d x x x C xx=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x d xxxx⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

解：3411342x d x xd x d x xd x xd xxxxx--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2223134ln ||.423x x x xC --=--++★(8)23(1d xx-+⎰思路:分项积分。

走近高数,走进高数-高兵龙

走近高数,走进高数-高兵龙

走近高数走进高数走近高数 走进高数——如何学好高等数学数学建模协会高兵龙个人简介高兵龙，陕西咸阳人，中共党员，曾担任笃学书院高兵龙，陕西咸阳人，中共党员，曾担任笃学书院0909级团总支副书记、应用经济系团工委组织部部长等职，现任管理系学生会主席兼数学建模协会现任管理系学生会主席兼数学建模协会会长会长会长。

个人学习工作获得荣誉情况：个人学习工作获得荣誉情况：个人学习工作获得荣誉情况：201020102010年学生军事训练中荣获年学生军事训练中荣获“优秀学员”; 2009-20102009-20102009-2010学年被学院评为学年被学院评为“优秀学生干部”; 2009-20102009-20102009-2010学年五四表彰中被评为学年五四表彰中被评为“优秀团干”; 2009-20102009-20102009-2010学年成绩优异荣获学年成绩优异荣获“国家励志奖学金”; 201020102010年年9月发表论文月发表论文《《浅谈如何带动全班同学学好高等数学浅谈如何带动全班同学学好高等数学》》 荣获中国教育教学研究会教科论文“一等奖”.主要内容一、数学的发展的主要阶段二、为什么要学习高等数学三、高等数学学习哪些内容四、如何才能学好高等数学/一数学的发展的主要阶段常量数学时期常量数学时期,,即“初等数学”时期，在这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的科学。

算术、初等几何、初等代数、三角学等都已成为独立的分支。

这个时期的基本成果就构成现在中学课程的主要内容。

变量数学时期变量数学时期,,即“高等数学”时期。

这个时期以期以171717世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点,在这一时期用运动和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。

变量与函数的概念进入了数学，随后产生了微积分。

这个时期基本成果是解析几何、微积分、线性代数、微分方程等。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第五章

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第五章

于是
∫ f (x)dx = ∫ (− cos x + C )dx = − sin x +C1x +C2 .
其中 C1,C2 为任意常数,取 C1 = C2 = 0 ,得 f (x) 的一个原函数为 − sin x .
注意 此题答案不唯一.如若取 C1 = 1,C2 = 0 得 f (x) 的一个原函数为 −sin x − x .
=
1 22
∫
1 d( 2x −1
2x
−
1)
−
2
1 2
∫
1 d( 2x +1) 2x +1
1 = ln
22
1
2x +1 − 2
ln 2
2x
+1
+
C
=
1 22
ln
2x −1 +C 2x +1
(18)∫
(x
+
dx 1)(x
(4)由 Q′(P) = −1000(1)P ln 3 得 3
∫ ∫ Q(P) =
[−1000(1)P ln 3]dx = −1000 ⋅ ln 3
(
1 )
P dx
=
1000
⋅
(
1)P
+
C.
3
3
3
将 P=0 时,Q=1000 代入上式得 C=0
所以需求量与价格的函数关系是 Q(P) = 1000(1)P . 3
2 1− x2
1− x2
1− x2
(11)∵
d
(arctan
3
x)
=
1
3 +9
x
2
dx

《一元分析学》第五章(积分学)习题解答

《一元分析学》第五章(积分学)习题解答

(10) ex
ex dx = 1 + e2x
1 d(ex ) = arctan ex + C. 1 + (ex )2
4 (11) x = a tan t, √ a2 + x2 = a sec t, = (12) x 1 √ dx = 4 2 1−x √ sin x √ dx = 2 x 1 1− (x2 )2 dx2 = 1 arcsin x2 + C. 2 a sec2 t dt = a sec t
=− (22)
Ã Æ α < β, ­Ô ¶ ± × α < x < β, ³ ¯Æ x − α = (β − α) sin t, ¢ 0 < t < , µ (x − α)(β − x) = (β − α) sin t cos t, dx = 2(β − α) sin t cos t, » À
2 π 2
(x − α)(β − x)dx = = = = = 2 (1) xn ln xdx = 1 n+1
2(β − α)2
sin2 t cos2 tdt
(β − α)2 sin2 2tdt 2 (β − α)2 (1 − cos 4t)dt 4 (β − α)2 1 (t − sin t) + C 4 4 x − α 2x − (α + β ) (β − α)2 arcsin + 4 β−α 4
1 7 − )dx = 4 sin x + 2x − x3 + ln |x| − 7 arctan x + C. x 1 + x2
×
3x ex dx = 3x ex − 3x ex ln 3dx
, 3x ex dx = (4) cos 2x dx = cos x − sin x (5) 1 1 dx = (x + 3)(x + 7) 4 (6) x4 dx = 1 + x2 (7) x √ x xdx = x 8 dx =

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分

《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分
（11） csc x cot xdx csc x C
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质

《新编高等数学》教学教案05不定积分

《新编高等数学》教学教案05不定积分
积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量．
由上面的讨论可知，若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，那么
f (x)dx = F(x) C （ C 为任意常数）．因此，求函数 f (x) 的
时间 分配
教学设计
教学环节、教学内容与教学过程设计
不定积分，只需求出被积函数 f (x) 的一个原函数再加上积分常 数 C ，求不定积分的方法称为积分法．
从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运 算：
由于 f (x)dx 是 f (x) 的原函数，所以 [ f (x)dx]' f (x) 或
教学 方法
d f (x)dx f (x)dx ．
又 由 于 F (x) 是 F ' (x) 的 原 函 数 ， 所 以
F ' (x)dx F (x) C或 dF (x) F (x) C ．
例 5.
1
(1
x2)
3 2
C
3
tan
xdx
sinx cos x
dx
1 cos
x
d
cos
x
1 u
du
ln|
u
|
C
ln|cos
x|C
即 tanxdxln|cosx|C
教学 方法
类似地可得 cot xdxln|sinx|C
熟练之后 变量代换就不必再写出了
例 6.
a2
1
x2
dx
1 a2
1
1 (x
)2
注意到被积函数中 x3 是幂函数，3x 和 e x 是指数函数，而 e3 是常
数，它们的积分公式是不同的．
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高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)思路:解：★(3)思路:解：★(4)思路:解：★★思路:解：42232233113arctan11x xdx x dx dx x x C x x++=+=++ ++⎰⎰⎰★★(6)221xdxx+⎰思路:注意到222221111111x xx x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-2 思路:分项积分。

解：3411x dx --134（-+-） ★(8)思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(11)1x e -⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。

显然33x x x e e =（）。

解：333.ln(3)x x x xe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cotcsc 1x x =-”。

解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★(14)2352x xx dx ⋅-⋅⎰思路:解：★★思路:解：★★思路:解：★(17)思路:解：★(18)22cos 2cos sin x dx x x ⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。

高等数学李伟版课后习题答案第五章.

习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。

（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。

赵树嫄微积分第四版第五章 不定积分


csc
2
x dx cot x C
(sec 2 x csc 2 x ) dx tan x cot x C
2 2 tan x d x (sec x 1) dx tan x x C 例
21
cos 2 x cos2 x sin2 x dx dx 例 cos x sin x cos x sinx
2
问题：(1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数。 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
13
第三节
(1)
基本积分公式
(k是常数)
k dx k x C
(2)
x

dx
x
1
1
C ( 1)

dx ( 3) ln | x | C x x a x C ( 4 ) a dx ln a

1 dx 2 x C x 1 1 dx C 2 x x
(cos x sin x ) dx sin x cos x C
1 x 1 cos x dx ( x si n x ) C 例 cos dx 2 2 2
2
dx 1 sinx 1 si n x 例 dx dx 2 1 sinx cos x (1 sinx )(1 sinx )
(sec 2 x sec x tan x ) dx

高等数学-不定积分习题讲解


2
x a sin t

cos t dt sin t cos t
1 cos t sin t cos t sin t dt 2 sin t cos t
1 cos t sin t 1 1 [ dt dt ] [ dt d sin t cos t ] 2 sin t cos t 2 sin t cos t 1 [t ln sin t cos t ] C 2
2
或
u 1 x2 2 1 1 99 100 du 98 ( x 1)100 dx x 1 u u100 d u 1 u u u
（12）
x
dx a x
2
dx a2 x2
a 0
dx x a x
2 2
x
第四章
1．求下列不定积分 （ 1） I
5 x2 d x 3 8 3 x d x x3 C 3x 8
不定积分
§1 不定积分概念
（ 2） I

5 x x 3e x x 2 1 x d x x 2 d x e d x x d x x3
2 3 x 2 e x ln x C 3
1 2 x x C1 2 故 f x dx x2 1 C 1 2
x 1 x 1
2．一曲线通过点 e 2 ,3 ，且在曲线上任一点 处的切线斜率等于该点的横坐标倒数，求曲 线方程。 解：设曲线是由函数 y f x 决定，由题意得 f x
dx
1 da sec t a tan t
sec tdt
1 cos t 1 dt dt d sin t cos t cos 2 t 1 sin 2 t
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