广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)

创新杯数学竞赛试题一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。

明阳教育1．与30以内的奇质数的平均数最接近的数是A．12 B．13 C．14 D．152．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比A．不增不减 B．减少1个C．减少2个 n．减少3个3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排播出的方法共有________种。

A．21 B．22 C．23 D．244．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元．A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.85．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007A．201 B．203 C．204 D．2056．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏．A．1004 B．1002 C．1000 D．9987．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为A．1032 B，1132 C．1232 D．13328．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是A．29 B．31 C．33 D．359．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是A．62 B．92 C．512 D．102410．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是二、填空题(5’×12二60’)11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____·12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停车格的路边，最好的情况下可停___15____部车，最差的情况下可停____8_____部车．13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为______12.56_____cm2(圆周率π取3.14)．14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然数．15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果_____301_____个．16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C 说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中____B______是骑士，____AC____是无赖．17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是___4______·明阳18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是_____9：137______·19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．则所有不同取球情况所得到的积的和是____53____20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是____360_____米．明阳教育21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有___4___个．22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…那么2007位于第___45____组，是这一组的第___27___个数．三、解答题(共40分)23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．(1)观察此图，解下列问题：①甲在B地休息了多长时间?算一算，休息前、后步行的速度各是多少?15分，75、75②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行速度各是多少?50、50(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分?8：12，8：4524．(20分)如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法?共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：12、个位数字为2的质数：23、个位数字为5的质数：54、个位数字为1、3、7、9的质数。

数学竞赛创新杯试题及答案试题一：代数问题题目：若x, y, z是正整数，且满足以下条件：1. \( x + y + z = 30 \)2. \( xy + xz + yz = 50 \)3. \( xyz = 24 \)求x, y, z的值。

答案：首先，我们可以将第三个条件写为 \( x = \frac{24}{yz} \)。

将这个表达式代入第二个条件中，我们得到：\[ yz + z\left(\frac{24}{yz}\right) +y\left(\frac{24}{yz}\right) = 50 \]化简后，我们得到：\[ yz + 24/z + 24/y = 50 \]\[ yz - 50 + 24(1/y + 1/z) = 0 \]由于 \( x, y, z \) 是正整数，我们可以通过尝试不同的组合来找到满足条件的 \( y \) 和 \( z \)。

经过尝试，我们发现当 \( y = 3 \) 和 \( z = 4 \) 时，满足条件：\[ 3 \times 4 - 50 + 24\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 12 - 50 + 28 = 0 \]因此，\( x = \frac{24}{3 \times 4} = 2 \)。

所以，\( x = 2, y= 3, z = 4 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是斜边，AC = 5，BC = 12。

求斜边AB的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 5^2 + 12^2 \]\[ AB^2 = 25 + 144 \]\[ AB^2 = 169 \]\[ AB = 13 \]所以，斜边AB的长度是13。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球。

2016 年广西“新杯”数学高一决卷考：2016 年 10 月 23 日(星期日) 8:30--11:00答案及分准一、（每小 6 分，共 36 分, 将答案的序号填写在第二答区相号后面的括号内）1、函数F ( X ) = X +3 + X −2 + X −1 ， F ( X)的最小是（）.A. 5B. 4C. 3D. 2解析： A.由的几何意知当 X =1F ( X)取到最小.故 A （敦元老供）2、方程X2 − 2X− 2 = 0 的一个小根X，下面X的估正确的是().1 1A．−2<X1< −1 B．−1 < X1 < 0 C．0 < X1 < 1 D．1 < X1 < 2解析: B.提示：直接求根并估；或者 F ( X)= X2 − 2 X− 2 ，并判断各区端点的函数符号. （命供）3、化( X + B)(X + C) + ( X + C)( X + A) + ( X + A)( X + B) 得( ) ．(A−B)(A−C) (B−C)(B−A) (C−A)(C−B)A.0B. 1C.2D. 3解析: B.所式子 F ( X)，有 F (−A)= F (−B)= F (−C)=1，而A,B,C互不相等，于是方程 F ( X)−1=0有三个不等根.但F(X)是关于X的二次多式，所以F ( X)−1≡0，即F(X)≡1．或常化也可得．（唐光明老供）4、如，AB⊙O的直径，E、F AB 的三等分点，M、N上两点，且AB ∠MEB= ∠ NFB = 60,EM+FN= 33 ，直径 AB 的（）.A．6 B. 2 11 C. 11 D. 8解析： A.⊙O 半径 R . 延 ME 交⊙O 于点 N ′ ， 由 的 称性，1 AB = 1 R . 作 MN ′ = 33 . 易知点 OEF 的中点，所以 OE =6 3OH ⊥ ME 于 H ， OH = OE SIN 60 = 3 R ，由 R 2 = ( 3R ) 2 + ( 33 )2 ， 6 6 2解得 R = 3，所以 AB=6.（命 供 ）5、如果一个正整数可以表示 两个 奇数的立方差， 称 个正整数 “和数”. 如：2 = 13 − ( −1) 3 , 26 = 33 −13, 2 和26 均 “和 数”.那么，不超2016 的正整数中，“和 数”共有（ ）个.A ．8B ．9C ．10D ．11解析: C.K3K3K KK 2KK K2(2 + 1)− (2 − 1)= [ (2 + 1) − (2− 1)] (2+ 1) + (2 + 1)(2 − 1) + (2−1)= 2(12 K 2+1) （其中K 非 整数），由 2(12 K 2+ 1) ≤ 2016 得，K ≤ 9 .∴K = 0,1, 2, ,8, 9 ，共有 10 个.（ 英明老 供 ）6、 足 1 + 1 =1 的正整数解( X , Y ) 的 数 （ ）．x y 2016A ．98B ．115C ．142D ．165 解析： D.由 条 件 得( x − 2016)( y − 2016) = 2016 2= 2103472， 而 2103 472有(10 + 1)(4 + 1)(2 + 1) = 165 个正因子， 于每个正因子D ，由 X − 2016 = D 可以得到一个 X 的 ，而当 X 确定后， Y 的 也随之确定，故共有 165 解.（命 供 ）二、填空 （每小 9 分，共 54 分， 将答案填写在第二 答 区填空 相号后面的横 上）7、方程 X 2+ (M − 2)X − (M + 3) = 0 的两根的平方之和最小 ， 数m 的 ______.答案：1.解析：易知方程有两个不等 根. 利用 达定理和配方法，知 m=1 ，两根之平方和最小 9.（唐光明老 供 ）8、 于函数 Y = X ，Y 的取 范 是______.2 +1X答案：( −∞, 1 ] .4解析：函数式可化得：YX 2− X + Y = 0 . 当 Y = 0 ，X = 0 ；当 Y ≠ 0 ，由 ≥ 0得： = 1 − 4 Y ≥ 0, ∴ Y ≤1. 合两种情形，可知 y 的取 范 是( −∞,1 ] . 4 4（李燕娥老 供 ）9、1的整数部分 A ，小数部分 B ， A 2 + (1 +) AB= ________.73 - 7答案：10.解析：由 1 = 3 + 7 > 2 ， 3 + 7 - 3 < 0 ，得 A = 2, B = 3 + 7 - 2 =7 -1 . 2 3 - 7 22 2 所以A 2+ (1 + )AB = 10（ 英明老 供 ）710、函数 f ( x ) = x 2− 2 x − 3 + x 2+ x − 6 的最小 _______.答案： 6 .X 2 − 2 X − 3 ≥ 0 X ≤ − 1 或 X ≥ 3，即 X ≤ −3 或 X ≥ 3 .解析：由X 2 + X − 6 ≥ 0 ，知X ≤ − 3 或 X ≥ 2∴f ( x) 的定 域 ( −∞ ，− 3] ∪ [ 3，+ ∞) .∵Y 1 = X 2 − 2 X − 3 和 Y 2 = X 2+ X − 6 在(−∞ ，− 3] 上都是减函数，在[3，+ ∞) 上都是增函数.∴ f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 + x 2+ x − 6 在(−∞ ，− 3] 上是减函数，在[3，+ ∞) 上是增函数.∴f ( x) 的最小 是 f ( −3) 与 F (3) 中 小者.∵ F ( − 3) = 2 3 ， F (3) = 6 ， ∴f ( x) 的最小 是 6 .（命 供 ）11、如 ，E 是 1 的正方形 ABCD 的 角 BD 上一点，且 BE=BC ，P CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点 Q ，PR ⊥BE 于点 R ，PQ+PR 的 _________.答案：2.2解析： 接 BP ， C作 CM ⊥BD ，∴S BCE = S BPE + S BPC ，即 1 BE •CM= 1 BC •PQ+ 1 BE •PR. 2 2 2又∵BC=BE ，∴ 1 BE •CM= 1BE(PQ+PR)，∴CM=PQ+PR.2 2∵BE=BC=1 且正方形 角 BD= 2 BC= 2 ，又 BC=CD ，CM ⊥BD ，∴M BD 中点.又△BDC 直角三角形，∴CM= 1 BD=2，即 PQ+PR是2．（命 供 ）22212、 正整数N ， f ( n) 数3N 2+ N +1 的十 制表示的数 之和（如，N = 10 ，由3N 2+ N + 1 = 311，得 F (10) = 3 + 1 + 1 = 5 ）， f ( n) 的最小． 答案：3 .解析：（1）易知，3N 2+ N +1 大于 3 的奇数，故， F ( N ) ≠ 1 .（2）若 f ( n) = 2 ， 3N 2+ N +1 只能是首位和末位 1，其余数 0 的数，即 3N 2+ N +1 = 10 k +1（其中K 正整数）.由 3N 2+ N + 1 = 11 无正整数解，知K 是大于 1 的整数.由 3N 2 + N +1 = 10 k +1知，3N 2+ N = 10k ，n (3n + 1) = 2 k ×5k .由于N 与3N +1互 ，3N + 1 > N 。

创新数学大赛试题一、选择题（共5题，每题2分）1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列哪个图形的对称中心是其对角线的交点？A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形3. 若a、b、c是等比数列，且a^2 + b^2 + c^2 = 5，ab + bc + ca = 4，那么a + b + c的值是多少？A. 3B. 5C. 7D. 不能确定4. 一个圆的半径是5cm，另一个圆的直径是10cm，两个圆的面积比是多少？A. 1:2B. 1:4C. 2:1D. 4:15. 一个立方体的体积是64立方厘米，那么其对角线的长度是多少厘米？（保留根号）A. 4√3B. 8C. 8√3D. 16二、填空题（共5题，每题2分）6. 一个等比数列的前四项分别是1、2、4、_______，公比为2。

7. 如果一个圆的周长是15π，那么它的面积是_______。

8. 一个三棱锥的底面边长为6cm，高为5cm，侧面三角形的面积是_______。

9. 一个矩阵的行列式为0，那么这个矩阵是_______的。

10. 若一个二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是(1, 2)，那么a、b、c中至少有一个是_______。

三、解答题（共3题，每题10分）11. 证明：若一个整数n能被其自身的数字之和整除，则n的各位数字之和能被9整除。

12. 解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - 5y = 7\end{cases}\]13. 一个圆的半径为7cm，求由圆心到圆上一点，再由该点到圆上另一点所形成的两条线段的最小长度之和。

四、综合题（共2题，每题15分）14. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，已知 a + b + c = 20，且abc = 60。

求长方体的体积V。

15. 一个等差数列的前三项分别是3、5、7，若将其前n项的和表示为S_n，求S_n的最小值。

2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为5。

4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。

创新杯数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是偶数？A. 2B. 4C. 6D. 7答案：D2. 一个数的平方等于36，这个数可能是？A. 6B. -6C. 6或-6D. 以上都不是答案：C3. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项的值是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A4. 以下哪个图形的面积是π？A. 半径为1的圆B. 半径为2的圆C. 半径为1的半圆D. 半径为2的半圆答案：A5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个数的立方等于-64，那么这个数是________。

答案：-47. 一个等比数列的首项是1，公比是2，那么第4项的值是________。

答案：88. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是________厘米。

答案：31.49. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的体积是________立方单位。

答案：2410. 一个三角形的内角和是________度。

答案：180三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a=1，b=-3，c=2，求解这个方程的根。

答案：x1 = 2, x2 = 112. 一个工厂生产的产品数量在第一季度是100个，第二季度是150个，第三季度是200个，求这个工厂在这三个季度的平均生产数量。

答案：15013. 一个班级有30个学生，其中20个学生喜欢数学，15个学生喜欢英语，10个学生两门都喜欢。

问这个班级有多少学生既不喜欢数学也不喜欢英语？答案：5结束语：以上是本次创新杯数学试题及答案，希望同学们通过这次练习能够更好地掌握数学知识，提高解题能力。

首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一年级试题考生注意：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.用钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

一、选择题（每小题6分，共36分）1.足协向100名球迷调查对甲A转成中超以及减少参赛队伍的态度，其中75人赞成甲A转成中超，80人赞成减少参赛队伍，那么对于既赞成甲A转成中超，又赞成减少参赛队伍的统计中，下列说法正确的是【】.A.最多人数是55B.最少人数是55人C.最多人数是75D.最少人数是75人2.一个会议室的面积为am2，其窗子的面积为bm2，且a>b，如果把称为这个会议室的亮度，现在会议室和窗子同时增加cm2，则其亮度将【】.A增加 B.减少 C.不变 D.不确定3.高一年级举行排球赛，有可能夺冠的为A、B、C三个班，关于A、B、C到底谁是冠军，甲、乙、丙三同学进行了猜测，甲说：“一定是A班得冠”，乙说：“B班不可能得冠军”，丙说：“A班不可能得冠军”，结果出来后证实，甲、乙、丙三同学中有且仅有一个人判断是正确的，那么，谁是冠军呢？【】.A.A班B.B班C.C班D.不能确定4.神五飞天，举国欢庆，据科学有计算，运载神舟五号飞船的长征四号系列为箭，在点火后1分钟通过的路程为2千米，以后每分钟通过的路程增加2千米，在达到离地面240千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程，大概需要（）分钟【】.A.10B. 13C. 15D. 205.给定Rt△ABC，其中∠B=90°，若Rt△ABC所在平面有一点M，使△ABM和△BCM 都是直角三角形，则称M为“正角点”，这样的“正角点”有【】.A.1个B.2个C.3个D.无数多个6.函数f（x）=x2+bx+c（b，c为整数），集合S={f（k）|k∈Z}，对于某个m∈Z，如果存在m1，m2∈Z使得f（m1）·f（m2）=f（m），则称f（m）为集合S中的“希望数”，则集合S中的“希望数”的数目是【】.A.有限个，比1多B.无穷多个C.不存在D. 1二、填空题（每小题9分，共54）。

全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4.3、选A.解：对于正整数x ，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+， 所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 ,1)2e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312i a C -≥-= 知 3k ≤.当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅-- =21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。

解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。

故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。

解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 答：A 。

解析：只有A 是可以的。

故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（ ） （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。

解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。

故选A.5．化简22312523+++得（ ）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。

解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。

故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。

解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。

故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。

全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4.3、选A.解：对于正整数x ，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+， 所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 ,1)2e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312i a C -≥-= 知 3k ≤.当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅-- =21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。

2017年广西高一创新杯参考答案2017年广西高一“创新杯”预赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.若$(x+3)(x+n)=x^2+mx-15$，则$m$等于A。

$-2$ B。

$2$ C。

$-5$ D。

$5$解析：根据多项式展开，对应系数比较得$n=-5,m=-2$，故选A。

2.设集合$M=\left\{x|x=\dfrac{k_1}{k_1+2},k\inZ\right\},N=\left\{x|x=\dfrac{k}{4},k\in Z\right\}$，则A。

$M\subseteq N$ B。

$N\subseteq M$ C。

$M=N$ D。

$M\cap N=\varnothing$解析：对$M$：$x=\dfrac{k_1}{k_1+2}$，对$N$：$x=\dfrac{k}{4}$，故选A。

3.函数$y=x^2+x,-1\leq x\leq 3$的值域是A。

$[0,12]$ B。

$[-1,12]$ C。

$[-\infty,12]$ D。

$(-\infty,12]$解析：$y=x^2+x$的对称轴为$x=-\dfrac{1}{2}$，从图像上分析，当$x=-1$时，函数有最小值$f(-1)=-\dfrac{1}{4}$，当$x=3$时，函数有最大值$f(3)=12$，故函数的值域为$[-1,12]$，选B。

4.计算$\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}$的值等于A。

$1$ B。

$-1$ C。

$2016$ D。

$2017$解析：设$2016=x$，则原式$=\dfrac{(x+1)^2-x^2}{2x+1}=\dfrac{2x+1}{2x+1}=1$，选A。

5.若$a$是最大的负整数，$b$是绝对值最小的有理数，$c$是倒数等于它本身的自然数，则$a\times2015+2016b+c^{2017}$的值为A。

$2015$ B。

$2016$ C。

$2017$ D。

广西数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 \)。

求证：\( a + b + c \)的值域为\( [-3, 3] \)。

解答：首先，根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：\[ (a^2 + b^2 + c^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c)^2 \] 代入已知条件\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 \)，得到：\[ 9 \cdot 3 \geq (a + b + c)^2 \]\[ 27 \geq (a + b + c)^2 \]开方得到：\[ -3 \leq a + b + c \leq 3 \]证明完成。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A为直角，AB=3，AC=4。

求三角形ABC 的面积。

解答：根据直角三角形的面积公式，面积S可以表示为：\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \]代入已知的AB和AC的值：\[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \]\[ S = 6 \]所以，三角形ABC的面积为6平方单位。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，求不同的放法总数。

解答：首先，从5个球中选出2个球放入第一个盒子，有C(5,2)种选法。

剩下的3个球中，任选一个放入第二个盒子，有3种选法。

剩下的2个球自然放入第三个盒子。

根据乘法原理，总的放法数为：\[ C(5,2) \times 3 = 10 \times 3 = 30 \]所以，不同的放法总数为30种。

试题四：数列问题题目：数列\( a_n \)满足\( a_1 = 2 \)，\( a_{n+1} = a_n^2 - 1 \)。

求\( a_5 \)的值。

全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=n II .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4. 3、选A.解：对于正整数x ，2x 被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22xx -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件. 4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == . 5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）. 3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、 . 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+，所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即,1)2e ∈. 5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312ia C -≥-= 知 3k ≤. 当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分 从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅--=21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。

2013年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知实数c b a ,,两两不等，若a c zc b y b a x −=−=−，则实数=++z y x （ ）. （A）－1 （B）0 （C）21（D）3答：B . 解析：设k ac z c b y b a x =−=−=−，则有)(),(),(a c k z c b k y b a k x −=−=−=，于是有0=++z y x .2．化简232532233232−−−−−=（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答：A . 解析：分母有理化得：)232(10563)3223()23(2232532233232=+−×+−+=−−−−−3．已知集合},36|{Z x N xx A ∈∈−=，则集合A 中的元素个数为（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答：D. 解析：}2,1,0,3{},36|{−=∈∈−=Z x N xx A . 4．从1，2，…7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法有（ ）种.(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 答：B. 解析：注意到，2+4+6=12，故所取出的数之和不大于24. 又12=2+4+6=5+7，10=4+6=3+7，8=2+6=1+7=3+5，6=6=2+4=1+5，4=4=1+3， 故有7种取法.5．若0,2<+∈a a R a ，那么22,,,a a a a −−的大小关系为（ ）.（A）a a a a −>−>>22 （B）a a a a >−>>−22 （C）22a a a a −>>>− （D）22a a a a −>>−> 答：B . 解析：由010)1(2<<−⇒<+=+a a a a a ，即2a a >−，又a a >−2，得B.6．观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20137的末两位数字为（ ）. （A）01 （B）43 （C）07 （D）49答案：C.解析：x x f 7)(=，",16807)5(,2401)4(,343)3(,49)2(,7)1(=====f f f f f ，07)2013("=f 。

广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程224+=x x 的实数解为（ ）（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±答：D 。

解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。

2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2答：C 。

解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。

3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（ ）（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2y x l +> （D ）以上答案均有可能 答：A 。

解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（ ）（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x 答：D 。

解析：原方程变形为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（ ）（A ）7<m （B ）9≤m （C ）7>m （D ）25≥m答：A 。

解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=m x x ，得7<m ，故有7<m 为所求。