2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

创新杯数学竞赛试题一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。

明阳教育1．与30以内的奇质数的平均数最接近的数是A．12 B．13 C．14 D．152．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比A．不增不减 B．减少1个C．减少2个 n．减少3个3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排播出的方法共有________种。

A．21 B．22 C．23 D．244．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是________元．A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.85．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007A．201 B．203 C．204 D．2056．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有_________盏．A．1004 B．1002 C．1000 D．9987．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为A．1032 B，1132 C．1232 D．13328．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是A．29 B．31 C．33 D．359．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是A．62 B．92 C．512 D．102410．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是二、填空题(5’×12二60’)11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105_____·12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停车格的路边，最好的情况下可停___15____部车，最差的情况下可停____8_____部车．13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为______12.56_____cm2(圆周率π取3.14)．14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7_________________，其中，n是非零的自然数．15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果_____301_____个．16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C 说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中____B______是骑士，____AC____是无赖．17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是___4______·明阳18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是_____9：137______·19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．则所有不同取球情况所得到的积的和是____53____20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是____360_____米．明阳教育21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有___4___个．22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…那么2007位于第___45____组，是这一组的第___27___个数．三、解答题(共40分)23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．(1)观察此图，解下列问题：①甲在B地休息了多长时间?算一算，休息前、后步行的速度各是多少?15分，75、75②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行速度各是多少?50、50(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分?8：12，8：4524．(20分)如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法?共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：12、个位数字为2的质数：23、个位数字为5的质数：54、个位数字为1、3、7、9的质数。

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．若x ≥2，则函数f (x )＝x ＋1x ＋1的最小值是 ．答案：73．2．已知函数f (x )＝e x ．若f (a ＋b )＝2，则f (3a )·f (3b )的值是 . 答案：8．3．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项a n ＝ ． 答案：2n －1．4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－3x ， x ≥0，－2x 2＋ax ，x ＜0是奇函数，则实数a 的值是_________． 答案：－3． 5．已知函数f (x )＝|lg|x －103||．若关于x 的方程f 2(x )－5f (x )－6＝0的实根之和为m ，则f (m )的值是 ． 答案：1．6．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ． 答案：2525．说明：若学生得出255或2525，255，本题得4分．7．四面体ABCD 中，AB ＝3，CD ＝5，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ． 答案：53．8．若满足∠ABC ＝π3，AC ＝3，BC ＝m 的△ABC 恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．答案：(0，3]∪{23}．9．设集合S ={1，2，…，8}，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中最大的数小于B 中的最小数，则这样的集合对(A ，B )的个数是 ． 答案：769．10．如果正整数m 可以表示为x 2－4y 2 (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ． 答案：881．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．已知a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．证明：设a x ＝b y ＝c z ＝p ＞0，则a ＝1xp ，b ＝1yp ，c ＝1zp ．…………………… 10分所以abc ＝1xp·1yp·1zp ＝111x y zp++． …………………… 15分因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以abc ＝0p ＝1． …………………… 20分12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，点B 的坐标为(0，b )，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若MF 2＝12F 1F 2，求双曲线C 的离心率．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距长为c ，则点F 1，F 2的坐标分别(－c ，0)，(c ，0)．从而直线F 1B 的方程为x －c ＋y b＝1，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0．联立⎩⎨⎧x －c ＋yb ＝1，x 2a 2－y2b 2＝0，消去y 得，b 2x 2－2a 2cx －a 2c 2＝0．由韦达定理得：线段PQ 中点的坐标(a 2c b 2，c 2b )． ………………………… 10分因此PQ 中垂线的方程是：y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb2)．在上式中，令y ＝0，得M (c ＋a 2cb 2，0)． ………………………… 15分另一方面，由MF 2＝12F 1F 2，则M (2c ，0)，或M (0，0)(舍去)，由此可得，c ＋a 2cb2＝2c ，即a ＝b ，故e ＝2． ………………………… 20分13．如图，已知△ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG ＝AE ．证明：连结BE ，CG ． 因为AB 为直径，所以∠AEB ＝90°，BG ⊥AC ． 又EH ⊥AB ，在△AEB 中，由射影定理得 AE 2＝AH ·AB ． 因为AC 为直径，所以∠AGC ＝90°．在△AGC 中，由射影定理得AG 2＝AD ·AC ． …………10分因为∠BDC ＝∠BHC ＝90°， 所以B ，C ，D ，H 四点共圆，从而由割线定理知AH ·AB ＝AD ·AC ． …………………… 15分 所以AE 2＝AG 2，即AE ＝AG ． …………………… 20分14．（1）正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2） 凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．ABCDEFABCDGE HABCDGEH解：（1）3条对角线分得4个三角形，相邻的两个涂色相异，则既有红 色三角形，又有蓝色三角形．不妨设红色三角形多于蓝色三角形．则蓝色三角形至少有1个，红色三角形最多3个，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差不超过3－1＝2．如图连接AC ，CE ，EA ，△ACE 涂蓝色，其余3个三角形涂红色，差为2． 故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2． …………………… 5分 （2）2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形．每个三角形区域涂红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．设红色三角形多于蓝色三角形．每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线，即三条边中对角线的条数只能为1、2或3．每条对角线只属于一个蓝色三角形．设边中恰含k (k =1,2,3)条对角线的蓝色三角形的个数为m k ，则对角线条数m 1+2m 2+3m 3=2013， 蓝色三角形个数m 1+m 2+m 3=3m 1+3m 2+3m 33≥m 1+2m 2+3m 33= 20133 =671，红色三角形个数≤2013－671=1343，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差≤1343－671=672． ……………………10分 注意到凸6边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2，此时6边形的边均为红色； 假定凸3k 边形中，红色三角形个数与蓝色三角形个 数之差的最大值为k 且凸3k 边形的边均为红色．则凸3(k +1)边形A 1A 2A 3…A 3k A 3k +1A 3k +2A 3k +3中的凸3k 边形A 1A 2A 3…A 3k 按假定涂色，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为k 且边A 1A 3k 为红色．如图，则△A 1A 3k A 3k +2区域涂蓝色，△A 3k A 3k +1A 3k +2区域涂红色，△A 1A 3k +2A 3k +3区域涂红色，凸3(k +1)边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为k +2－1= k +1．即按上述方法涂色，凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差为20163 = 672．所以凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为672．……………………20分ABCDEFA 1A 3k +1A 3kA 3k +2A 3k +3。

2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分） （2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ． （15分） 综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==， 求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分） 所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=； 所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。

2012年广西高二创新杯数学竞赛初赛题一、选择题（每小题6分，共36分）1．设集合},56|{},,1|||{2R x x x x B R x a x x A ∈+>=∈<-=，若φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是（ ）(A)}60|{≤≤a a (B)2|{≤a a 或}4≥a(C) 0|{≤a a 或}6≥a (D) }42|{≤≤a a2．若三点)9,(),4,2(),1,1(--x C B A 共线，则=x （ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）－3 （D ）3 3．不等式2|1|1|1|2x x -<-+的解集为（ ）（A ）)3,1(- （B ）)2,2(- （C ）)1,3(- （D ）)4,2(4．已知函数x x f lg )(=和x x g cos )(=，则满足)()(x g x f =的实数x 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且53655S S -=，则4a =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）31 （D ）21 6．设12,x x 是方程240x x +-=的两实数根，则3212510x x -+=（ ）（A ）29- （B ）19- （C ）15- （D ）9-二、填空题（每小题9分，共54分）1、设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于________.2．在数列}{n a 中，设20131=a ，20122=a ，n n n a a a -=++12，*n N ∈，则=2013a ．3．设函数2()2()g x x x R =-∈，⎩⎨⎧≥<-++=)(,)(,)(4)()(x g x x g x x x g x x g x f ，则()f x 的值域为 。

2014年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试信息技术（全卷满分100分，考试时间90分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上。

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效。

一、单项选择题（本大题共60小题，每小题1分，共60分。

温馨提示：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。

）1．下列选项中，不属于信息的是A ．语文课本B ．天气预报C ．上课铃声D ．电视新闻2．张明收到同学聚会的通知时，聚会已经结束，他因此错过了聚会的时间而没能见到同学。

这件事情主要体现了信息具有A ．共享性B ．依附性C ．时效性D ．价值性3．在人类社会发展历史上经历了五次信息技术革命，第五次信息技术革命将人类社会推进到了数字化的信息时代，其中最主要的表现是A ．语言的产生和使用B ．文字的发明和使用C ．电报电话的发明和应用D ．计算机技术与现代通信技术的普及应用4．在中文标点符号状态下，要输入“、”（顿号），在键盘上应按的键是A．B．C．D．5．下列选项中，可以用作网络中某主机IP 地址的是A ．192.268.6.50B ．192.168.6_250C ．192.168.6.1D ．192.168.56．某同学通过互联网下载2014年世界杯的赛程表，这在信息获取过程中属于A ．评价信息B ．选择信息来源C ．定位信息需求D ．确定信息获取方法并获取信息7．下列选项中，属于下载工具软件的是A ．迅雷B ．WPS C ．记事本D ．WinRAR 8．小李收到了一条手机短信“……您获得了10万元大奖，请速汇1500元手续费至账号XXXXX ……”。

针对这条信息，以下做法较为妥当的是：A ．不要轻信来历不明的信息B ．直接拨打对方电话进行咨询C ．马上恢复短信辱骂骗子D ．按短信要求将钱汇入指定账号根据图1，完成9~12题图19．如图1，要删除选中的文字，在键盘上应按的键是A ．Insert B ．Delete C ．Home D ．End 10．如图1，要实现图中标题的文字居中，在工具栏中应使用的按钮是A．B．C．D．11．如图1，从“段落”对话框中可以看出，选中文字的缩进方式是A ．悬挂缩进B ．左缩进C ．右缩进D ．首行缩进12．如图1，要把标题“高速铁路”改为艺术字样式，在艺术字工具栏上应使用的按钮是A．B．C．D．13．在Word 中选定表格后，单击常用工具栏上的按钮，则A ．粘贴表格B ．合并表格C ．删除表格D ．拆分表格14．在Word 的“页面设置”对话框中，不能设置A ．纸张大小B ．纸张方向C ．页边距D ．段落对齐15．如下图所示，这种文本信息的表达方式是A ．图形化B ．结构图C ．项目列表D ．流程图16．在Excel 的工作表中，第5行第6列的单元格名称是A ．E6B ．6E C ．F5D ．5F 17．如下图所示，向右拖动“拖动柄”到D1单元格，则D1单元格的内容是A ．1B ．4C ．7D ．10根据图2，完成18~21小题图218．如图2，要计算苹果的“平均价格”，应在B9单元格中输入公式A ．= (B3+B8) /6B ．= AVERAGE(B3:B8)C ．= (B3+E8) /6D ．= AVERAGE(B3:E8)19．如图2，要使各种水果价格保留1位小数，可使用的按钮是A．B．C．D．20．如图2，要将“葡萄”价格从高到低排列，可使用的按钮是A．B．C．D．21．如图2，反映“苹果”价格的图表类型是A ．柱形图B ．面积图C ．折线图D ．饼图22．在Excel 中，如右图所示，设定筛选条件后，其筛选结果是A ．英语成绩小于等于100分或大于110分的记录B ．英语成绩小于等于100分且大于110分的记录C ．英语成绩小于等于100分的记录D ．英语成绩大于110分的记录23．如右图所示，用图像处理软件编辑图A 得到图B ，采用的操作是A ．缩放B ．旋转C ．合成D ．裁剪24．下列文件中，可以用图像处理软件编辑的是A ．表格.xlsB ．标志.jpgC ．说明.docD ．流程.mpg25．下列关于位图和矢量图的说法中，错误的是A ．放大操作后矢量图不会失真B ．放大操作后位图不会失真C ．BMP 图片是一种位图文件D ．矢量图占用存储空间相对较少26．下列选项中，可以用来剪辑音频文件的软件是A ．ExcelB ．WordC ．CoolEditD ．ACDSee27．下列选项中，不属于音频文件扩展名的是A ．MP3B ．MIDC ．GIFD ．WAV28．下列选项中，属于视频文件的是A ．舌尖2.psdB ．舌尖2.aviC ．舌尖2.xlsD ．舌尖2.htm29．下列软件中，可以将视频、图像和声音等素材整合在一起，生成新的视频文件的是A ．文字编辑软件B ．音频编辑软件C ．视频编辑软件D ．图像编辑软件30．利用计算机系统把英文翻译成中文，这属于人工智能技术中的A ．指纹识别B ．机器翻译C ．自动控制D ．虚拟现实31．在信息集成的一般过程中，根据选题确定主题设计作品的内容和结构，并收集、整理和选择作品中所需素材，这个阶段属于A ．选题立意B ．评估测试C ．设计规划D ．开发制作32．下列选项中，不属于网上发布信息方式的是A ．利用个人服务器（PWS ）发布网页B ．在学校的网站上发布放假通知C ．使用FTP 工具发布网站D ．在报纸上发表文章33．QQ 是网络常用的交流方式，但使用QQ 时，不可取的行为是A ．共享信息，发布学习经验与心得B ．散布谣言，谩骂老师或同学C ．排忧解难，解决别人的疑难问题D．上传作品，促进交流与分享34．某用户的电子邮箱为liuming@ ，该电子邮箱的用户名是A ．@B ．C ．liumingD ．liuming@35．在Windows 资源管理器中，要选定如右图所示的文件，正确的操作是A ．按住Alt 键不放，依次单击要选定的文件B ．按住Ctrl 键不放，依次单击要选定的文件C ．按住Tab 键不放，依次单击要选定的文件D ．按住Shift 键不放，依次单击要选定的文件36．信息资源管理的方式主要有三种：人工管理、文件管理和数据库管理。

高二下学期期末质量检测数学（理）试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}3M x x =<，{}2680N x x x =-+<｝，则M N = （ ）A ．∅B ．{}03x x <<C ．{}13x x <<D ．{}23x x << 2．复数121iz i+=-的虚部是（ ）A ．i 23B ．23C ．i 21-D ．21-3. 已知等比数列{}n a 满足226k a a a ⋅= ，则整数k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．定积分=⎰πcos xdx （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．π5．设随机变量X 服从二项分布B (6，12)，则P (X ＝3)等于（ ）A.516B.316C.58D.386．用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中个位和万位都是偶数的五位数的个数是（ ） A ．36 B ．48 C ．72 D ．127. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和 (n ∈N*)B ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N*)C ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(n ∈N *) D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N *) 8．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；命题2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为（ ）A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧9．已知曲线3y x ax b =++与斜率为2的直线相切于点A （1，3），则b 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-10．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为2，则||AB 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．1011．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）A .12 B .35 C.23 D .3412．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ ） A . B . C . D .第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

广西高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.在等差数列中，已知，则数列的前项和（）A．9B．15C．18D．244.已知的展开式中的常数项是75，则常数的值为（）A．25B．4C．5D．165.周三下午第一节40分钟的自习课，小聪和小明分别去教师办公室单独请罗老师讲解数学疑难问题，两人在自习课内的任何时刻去是等可能的，若罗老师给每个人讲解的时间都是10分钟，则罗老师给他们两人讲解没有时间冲突的概率为（）A．B．C．D．6.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，，则，，之间的大小关系是（）A．B．C．D．7.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．9.已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（）A．B．C．D．10.将函数的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个周期，得到函数的图象，则函数的递增区间是（）A．B．C．D．11.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直（是自然对数的底数），函数满足，若关于的方程(，，且)在区间上恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量，满足，且，，则与夹角等于__________．2.已知抛物线：的准线被圆：截得的弦长为4，则抛物线的方程为__________．3.已知与平面，且，于，若边平面，边、与平面所成的角分别为和，则与平面所成角的大小为__________．4.已知为平面区域：（，，）内的整点（，均为整数的点）的个数，记，数列的前项和为，若对于，恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题1.在中，角、、所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．2.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计（1）根据表中数据判断能否有的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（3）现从（2）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．参考数据：参考公式：，其中．3.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．4.已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．（1）求点的轨迹方程；（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．5.已知函数 ()在定义域内仅有唯一零点．（1）若对，不等式恒成立，求实数的最大值；（2）设函数，对于，，且，求证：．6.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线上有3个点到曲线的距离等于1，求的值．7.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．广西高三高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合,所以，故选B.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以，即,于是,所以对应的点位于复平面内的第四象限，故选D.3.在等差数列中，已知，则数列的前项和（）A．9B．15C．18D．24【答案】A【解析】由，得，即，于是，故选A.4.已知的展开式中的常数项是75，则常数的值为（）A．25B．4C．5D．16【答案】C【解析】展开式的通项，令，则，所以，解得，故选C.5.周三下午第一节40分钟的自习课，小聪和小明分别去教师办公室单独请罗老师讲解数学疑难问题，两人在自习课内的任何时刻去是等可能的，若罗老师给每个人讲解的时间都是10分钟，则罗老师给他们两人讲解没有时间冲突的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设上课开始的时刻为0分钟，小聪和小明到达教师办公室的时刻分别为分钟和分钟，则，若罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突，则满足，即令事件为罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突，则总的基本事件空间为如图所示的正方形，其中事件为构成的基本事件空间为正方形中的阴影部分.于是，即罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为，故选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．6.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，，则，，之间的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由的图象关于直线对称，得到的图像关于轴对称，即函数是偶函数.于是,当时，单调递增，所以，即，故选A.7.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，即以为直径的圆，于是，如图，，则，于是|，|，由|，得，所以,故选D.8.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该几何体为如图所示的几何体，是从棱长为的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积，故选C.9.已知函数（为自然对数的底数），当时，的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以为奇函数，即函数关于原点对称，排除A,C，又因为，显然存在，使得，即.当时，，当时，，所以在递增，在递减，只有B满足，故选B.10.将函数的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个周期，得到函数的图象，则函数的递增区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，将的图像上的点的横坐标伸长到原来的4倍得到，再向左平移个周期，即个单位，得到，即.当，时，单调递增，解得，即的递增区间是，故选B.点睛：三角函数的图像变换属于常考类型，当函数向左平移一个单位时，自变量加一个单位即可，如果有系数，需要把系数提出来，当函数向右平移一个单位时，自变量减一个单位即可；纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，则自变量乘以即可.11.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直（是自然对数的底数），函数满足，若关于的方程(，，且)在区间上恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.由在点处的切线与直线垂直，得，解得，于是，则,由得，因为，令，由,解得,当时，，则在递减；当时，，则在上递增.所以，且.所以当时，；当时，.作出的大致图像如图，令，则关于，即为，因为方程的判别式，所以恒有两个实数解.欲使关于的方程由3个不同的实数解，只需的两解满足，或.当时，;当时，,综上，故选D.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.二、填空题1.已知向量，满足，且，，则与夹角等于__________．【答案】【解析】由，得，即，则，于是，所以.2.已知抛物线：的准线被圆：截得的弦长为4，则抛物线的方程为__________．【答案】【解析】将圆的方程化为标准方程为，则圆心，半径.因为抛物线的准线方程为,所以圆心到准线的距离.由圆的半径，弦长为4，得，解得.于是抛物线的方程.3.已知与平面，且，于，若边平面，边、与平面所成的角分别为和，则与平面所成角的大小为__________．【答案】【解析】如图，过点作与，则连，则即为与平面所成角.连，则分别为、与平面所成的角，即，.设，则，于是.因为，所以，所以点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.4.已知为平面区域：（，，）内的整点（，均为整数的点）的个数，记，数列的前项和为，若对于，恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】作出平面区域如图所示：由，，得,而.当时，,内有个整点；当时，，内有个整点综上得内的整点个数,于是.从而.则两式作差得.则,于是.令，则只需.由，即，得2，由，得或3.所以，则.点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.三、解答题1.在中，角、、所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理化简求得，进而得.（2）由余弦定理求得边长，再用面积公式即可.试题解析：（1）由，得，即，即，即．因为，所以，而，所以．（2）由，，得．又因为，所以，即，则．于是.2.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（1）根据表中数据判断能否有的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（3）现从（2）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．参考数据：参考公式：，其中．【答案】（1）见解析；（2）5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人；（3）见解析.【解析】（1）通过列联表求得，对应查表下结论；（2）利用分层抽样的原理，根据比例求人数即可；（3）利用超几何分布的原理求分布列即可.试题解析：（1）由列联表得，所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．（3）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量的分布列为于是．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.3.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)先结合勾股定理证明,然后利用面面垂直的性质定理得到再结合条件利用勾股定理证得,利用线面垂直的判定定理得到平面,进而证得平面平面；(2), 分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,由坐标,利用向量法进行求解.试题解析：（1）证明：因为，，，所以，则．又因为平面底面，平面平面，所以平面．而平面，所以.于是即为与底面所成的角，即．因为，所以，，由，，得，解得，从而，于是，因为，所以平面．而平面，所以平面平面.（2）由（1）知、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则解得取，则．设平面的一个法向量为，则解得取，则．令二面角为，显然为钝角，则．所以二面角的余弦值为．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4.已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足，．（1）求点的轨迹方程；（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．【答案】（1）点的轨迹是椭圆除去四个点，，，，其方程为（，）；（2），点的坐标为或.【解析】（1）由已知双曲线的顶点可得椭圆焦点，再由椭圆过定点可解得参数的值，得到椭圆方程；由已知条件设出点的坐标，再由已知向量积为零可得两坐标值的关系，再由点在椭圆上，分析可得点的轨迹方程；（3）由点到直线距离可得三角形面积表达式，由均值不等式可得面积最大值及此时点坐标。

高中数学奥赛题含答案解析篇一:2014—2015学年度高二数学竞赛试题(含答案)2014—2015学年度高二数学竞赛试题【本试题满分150分，考试时间120分钟】一、选择题:本大题共6小题，每小题6分，共36分(在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案(1(从集合,1，3，6，8,中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 ()A(; B(56211; C(; D(( 3232(若?是第四象限角，且sin?2?cos?2??2sin?2cos?2，则?是() 2A(第一象限角;B(第二象限角;C(第三象限角;D(第1四象限角(3. 已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP?2OA+BA，则A(点P不在直线AB上; B(点P在线段AB上;C(点P在线段AB的延长线上; D(点P在线段AB的反向延长线上(4(设m,n?R?，若直线(m?1)x?(n?1)y?4?0与圆(x?2)2?(y?2)2?4相切，则m?n的取值范围是A.(0,1?3] ;B.[1?3,??);C. [2?22,??);D.(0,2?22](5. 已知正方体C1的棱长为C1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C2，以C2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C3，则凸多面体C3的棱长为A(18; B(92;C(9 ; D(62(6. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?3)??f(x),且在区间[0,]上是增函数,若方程f(x)?m(m?0)在区间??6,6?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则32x1?x2?x3?x4?A(?6;B(6; C(?8;D(8(二、填空题:本大题共6小题，每小题9分，共54分(将2正确的答案写在题中横线上(7.若对于任意实数x，都有x3?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?a3(x?2)3，则a1?a2?a3的值为__________.高二数学竞赛试题?第 1 页(共 9 页)篇二:2013年全国高中数学联赛试题及详细解析2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合A??2,0,1,3?，集合B??x|?x?A,2?x2?A?.则集合B中所有元素的和为. 答案3-5,?3时，2?x2??2,?7，解易知B???2,0,?1,?3?，当x??2有2?x2?A;而当x?0,?1时，2?x2?2,1，有2?x2?A.因此，根据B的定义可知B???2,?3?.所以，集合B中所有元素的和为-5.????????2. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2?4x上，满足OA?OB??4，F 是抛物线的焦点.则S?OFA?s?OFB?. 答案2.2y2y12解点F坐标为?1,0?.设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1?，x2?，故44????????12?4?OA?OB?x1x2?y1y2??y1y2??y1y2，1612即?y1y2?8??0，故y1y2??8. 162?1??1?1S?OFA?S?OFB??OF?y1???OF?y2???OF?y1y2?2.4?2??2?43. 在?ABC中，已知sinA?10sinBsinC，cosA?10cosBcosC,则tanA的值为.答案11.1A?解由于sincoAs??10BsinC?sinBcCs??co?s?oB??1C0?cos，A所以10cossinA?11cosA，故tanA?11.4. 已知正三棱锥P?ABC底面边长为1.答案解如图，设球心O在面ABC与面ABP内的射影分别为H和K，AB中点为M，内切球半径为r，则P、K、M共线，P、O、H共线，?PHM??PKO?OH?OK?r,PO?PH?OHr，?2P，且MH?5AB?PM?,KOAHMBC于是有OKMH1??sin?KPO??，PM5PO解得r?.5. 设a,b为实数，函数f?x??ax?b满足:对任意x??0,1?，有f?x??1.则ab的最大值为. 答案1. 4解易知a?f?1??f?0?，b?f?0?，则22111??1ab?f?0???f?1??f?0?????f?0??f?1????f?1????f?1???.244??462当2f?0??f?1???1，即a?b??111时，ab?.故ab的最大值为.4246. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.答案232323解设a1?a2?a3?a4?a5取自1,2，…，20，若a1,a2,a3,a4,a5互不相邻，则1?a1?a2?1?a3?2?a4?3?a5?4?16，由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的5选法相同，即C16种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数2555C20?C16C16232的概率为. ?1??55C20C2032377. 若实数x,y满足x?x的取值范围是.答案?0???4,20?.解a?b?a,b?0?，此时x?y??x?y??a2?b2，且条件中等式化为 a2?b2?4a?2b，从而a,b满足方程?a?2?2??b?1??5?a,b?0?.2如图所示，在aOb平面内，点?a,b?的轨迹是以?1,2?为圆心，a,b?0的部分，即点O与弧?ACB的并集.因此，从而x?a2?b2??0???4,20?. ?0???2,?8. 已知数列?an?共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i??1,2,?,8?，均有则这样的数列的个数为. 答案491ai?1?1?i?8?，则对每个符合条件的数列?an?有 ai88ai?1?1???2,1,??，ai2??解令bi?8?bi??i?1i?1ai?1a91????1，且bi??2,1,???1?i?8?.2?aia1?1 ?1的8项数列?b?可唯一确定一个符合题设条件的9项数列?a?. 反之，由符合条件?nn1的数列?b?的个数为N.显然b?1?i?8?中有偶数个?记符合条件?ni11，即2k个?;22继而有2k个2，易见k的可能值只有0,1,2，8?4k个1.当给定k时，?bn?的取法有C82kC82?k2k种，所以24N?1?C82C6?C84C4?1?28?15?70?1?491.因此，根据对应原理，符合条件的数列?an?的个数为491二、9解答题:本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步3骤.9. (本题满分16分)给定正数数列?xn?满足Sn?2Sn?1，n?2,3,?，这里Sn?x1???xn.证明:存在常数C?0,使得xn?C?2n，n?1,2,?.解当n?2时，Sn?2Sn?1等价于xn?x1???xn?1.1 ?…………4分对常数C?1x1，用数学归纳法证明: 4xn?C?2n，n?1,2,?.2 ?…………8分n?1时结论显然成立.又x2?x1?C?22.1式知对n?3，假设xk?C?2k，k?1,2,?,n?1，则由?xn?x1??x2???xn?1? ?x1??C?22???C?2n?1?10?C?22?22?23???2n?1??C?2n，2式成立. 所以，由数学归纳法知，?…………16分x2y210. (本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，abA1、A2分别为椭圆的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q、R满足QA1?PA1，QA2?PA2,RF1?PF1,RF2?PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.解令c?A1??a,0?，A2?a,0?，F1??c,0?，F2?c,0?.22x0y0设P?x0,y0?，Q?x1,y1?，R?x2,y2?，其中2?2?1，y0?0.ab由QA1?PA1，QA2?PA2可知4?????????AQ?A1P??x1?a??x0?a??y1y0?0， 1??????????11A2Q?A2P??x1?a??x0?a??y1y0?01 ?2 ?…………5分221、?2相减，得2a?x?x??0，即x??x，将其代入?1，得?x?a?yy?0，将?100101022?x0?a2x0?a2?故y1?，于是Q??x0,?.y0y0??…………10分2?x0?c2根据RF1?PF1,RF2?PF2，同理可得R??x0,y0???. ?…………15分因此22x0?a2x0?c2b2， QR???y0y0y012由于y0??0,b?，故QR?b(其中等号成立的充分必要条件是y0?b，即点P为?0,?b?).…………20分11. (本题满分20分)求所有的正实数对?a,b?，使得函数f?x??ax2?b满足:对任意实数x,y，有f?xy??f?x?y??f?x?f?y?.解已知条件可转化为:对任意实数x,y，有?ax2y2?b??a?x?y??b??ax2?b??ay2?b?.2??1 ?先寻找a,b所满足的必要条件.221式中令y?0，得b??ax?b???ax?b??b，即对任意实数x，有在??1?b?ax2?b?2?b??0.由于a?0，故ax2可取到任意大的正值，因此必有1?b?0，即0?b?1. …………5分42131式中再令y??x，得?ax?b??b??ax?b?，即对任意实数x，有在?2?a?a?x24?2abx2??2b?b2??0.2 ?22的左边记为g?x?，显然a?a?0(否则，由a?0可知a?1，此时将?5篇三:高一数学竞赛试题及答案高一数学竞赛试题一、猜一猜:(每小题2分共16分) 1.司药(打一数学名词)——配方 2.招收演员(打一数学名词)——补角3.搬来数一数(打一数学名词)——运算4.你盼着我，我盼着你(打一数学名词)——相等5.北(打一数学名词)——反比6.从后面算起(打一数学名词)——倒数7.小小的房子(打一数学名词)——区间 8.完全合算(打一数学名词)——绝对值二、试一试:(每小题4分共8分)141.把12、18、7、6、11分别填入下面?中，使算式成立。

2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷时间120分钟，满分120分（2014年5月18日 上午：8：00——10：00） 一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.(．请把答填于第．．．．．．2．页答题区）．．．．．1.已知α为锐角，且有()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ， 则αsin 的值是__________. 2. 函数x x y 2813-+-=的最大值是_________.3. 函数||2x y =的图象与函数2x y =的图象围成的面积大小为_______(平方单位).4. 从前2014个正整数构成的集{}1,2,,2014M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为_______.5. 三棱锥ABC P -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0=++OC OB OA ， A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ∆的垂心，6=PA ，则此三棱锥体积的最大值为________.6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色，若每种颜 色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种(用数字作答).7. 如右图，1F 和2F 分别是双曲)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为________. 8. 已知对每一个实数x 和y 函数()f x 满足()()()f x f y f x y xy +=++.若(1)f m =，则满足2014)(=n f 的正整数对),(n m 共有_________个.一、填空题答题区（每小题8分，满分64分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）已知方程20x ax b -+=的两个不等实根1x 、2x 满足3322331212121211122672()0333x x x x x x x x a b +--+++=+≠ . 求223a b ab a +--的值.如图，已知K L 、分别是ABC ∆的边AC AB 、的中点，ABC ∆的内切圆I 分别与边CA BC 、切于点E D 、.求证：DE KL 、的交点在ABC ∠的角平分线上.在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥． （1）求数列{}n a 的通项； （2）若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围； （3）设数列n b ={}n b 的前n 项和为n T，求证：21)3n T >．2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.10103 . 解：由()052cos 3tan 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ，得3tan =α.又α为锐角，故10103sin =α. 2. 33.解：函数的定义域为]4,1[，且0y ≥.根据柯西不等式有：33)4()1()2(342132222=-+-⋅+≤-⋅+-⋅=x x x x y ，上式当且仅当x x -⋅=-⋅4312时，等号成立， 即1138=x 时函数取最大值33.3. )2ln 9348(2-. 解：由于函数||2x y =与函数2x y =都是偶函数，故有)2ln 9348(2])2()2([242222-=-+-=⎰⎰dx x dx x S x x . 4. 672.解：首先，我们可以取672元集，{}2014,7,4,1 =A ,A 中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为672段：1,2,3,4,5,6,7,8,9,,2008,2009,2010,2011,2012,20132014. 现从M 中任673个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为672. 5. 36 .解：由题可证明△ABC 为正三角形，设其边长为x ，则33660sin 2131202x x V -⋅=33612364x x -=. 利用导数当26=x 时体积取最大值36. 6. 30.解：从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6，满足条件的只有)46,25,13(、)36,25,14(、)35,26,14(、)36,24,15(、)35,24,16(等组合，因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆涂色，应有30533=A .7. 31+ .解：连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.AF r AF r ==由直角三角形性质知：211221221222r r ar c r a c r c r r -=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩.∵()222222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=⇒+-=⇒--=，得31±=e .8. 8 .解：令y=1,得()(1)(1),(1)(),f x f f x x f x f x m x +=++∴+-=-()(1)(1),f x f x m x ∴--=--()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+=1(1)2mx x x --，而2014)(=n f ，设)1(212014--=n n mn53194)12(⨯⨯=-+⇒n m n ，又(21)21n m n m ++-=+为奇数，所以(21)n m n +-与为一奇一偶.当n 为偶数时，(21)m n +-取得奇数的个数为4)11)(11(=++个（5319⨯的约数），即有4个解；同理，n 为奇数时，也有4个解，故共有8个. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）解：由韦达定理得 12x x a +=，12x x b =. 于是，有3322331212121211122333x x x x x x x x +--+++=3231212121212121211[()2()]()22()()33x x x x x x x x x x x x x x +-+-+++++…………6分=32311(3)2233a ab a a b b ---++=3321()2()3a b ab a a b +--++=221()()()(2)3a b a b ab a b a ++--+-=221()[()2]3a b a b ab a ++--+. ………………………………………………11分由已知，得221()[()2]672()3a b a b ab a a b ++--+=+.而0a b +≠，所以 221()26723a b ab a +--+=.因此，22336702010a b ab a +--=⨯=. ……………………………………………16分 10. （本小题满分20分）证明：假设AB BC ≠，否则结论显然成立（此时E 、K 重合）.设KL 与ABC ∠的角平分线交于点S ，BC //KL ，LBS CBS LSB ∠=∠=∠∴，设DE 与ABC ∠的角平分线交于点T ，则ABC ∆的内心I 在点T B 、之间.又因为BC AB ≠，则有E T ≠，且29029000CAIB ,C DEC ∠+=∠∠-=∠.…………10分 如果T 在线段DE 的内部，有0180=∠+∠AET AIT ，所以E T I A 、、、四点共圆. 如果E I 、在AT 的同侧，有AET CAIT ∠=∠-=∠2900，也有E T I A 、、、四点共圆. ………………………………………………………………………………15分 因为090=∠AEI ，所以，090=∠ATI .由于ATB ASB ∠=∠，则T S 、重合，即DE ,KL 和ABC ∠的角平分线交于一点. ………………………………………………………20分11. （本小题满分20分）解：（1）将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1113(2)n n n a a --=≥， 所以113(1)32nn n a =+-=-，即132n a n =-，当1n =时，上式也成立，所以，132n a n =-. ………………………………………………5分 （2）若11n n a a λλ++≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立， 整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤-.令(31)(32)3(1)n n n c n +-=-,则1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=--. 因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，2283c =， 所以λ的取值范围为28(,]3-∞.…………………………10分（3）由n b =23n b ===>=，……15分 所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+23>⋅⋅⋅+21)3= . …………………………20分。