平面力系的平衡方程及应用共53页

01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。

普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m

' FDx FE cos 45 2 F
MB o
' FDx a F 2a 0
得
' FDx 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
例311 如图所示，静定多跨梁由梁AB和梁BC用中间铰B连 接而成。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝450，求支座A、C处 的约束反力和中间铰B处两梁之间的相互作用力。
O1 B O2 A
三矩式平衡方程为：
相比较二矩式最简单
M M M
O1 O2 C
0 :N B 2a W cos a W sin b 0 0 : N A 2a W cos a W sin b 0 0 : T b N Aa N B a 0
二矩式平衡方程为：
X 0 : T W sin 0 M 0 :N 2a W cos a W sin b 0 M 0 : N 2a W cos a W sin b 0
O1 B O2 A
解得：
T W sin 5kN W cos a W sin b NA 3.33kN 2a W cos a W sin b NB 5.33kN 2a
解得
FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20 kN
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
1 其中 F1 q 3l 30kN 2
m
,

FCDl
s in

G1
l 2

G2a

0
(a)
Fx 0 FAx FCD cos 0
(b)
Fy 0 FAy G1 G2 FCD sin 0
(c)
第2章 平面力系的平衡
C
A

D
C
l
2a
G 1
l
G2 (a)
y FAy A
FAx
图2.5
FCD
B x
G1
G2
(b)
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
第2章 平面力系的平衡
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
Fy 0
Байду номын сангаас

MO (F ) 0
式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。它说明平面任意力系平衡的解析条件是: 力系中各 力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及 各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是 各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。
解（1） 选圆球为研究对象，取分离体画受力图。 主动力: 重力G。 约束反力: 绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。 受力图如图2.6（b）所示。
第2章 平面力系的平衡
（2） 建立直角坐标系Oxy
∑Fx=0
FT-Gsin30°=0
FT=50N( ∑Fy=0
FN-G cos30°=0
FN=86.6N
解 （1）以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。
作用在横梁上的主动力: 在横梁中点的自重G1、起吊重量 G2。作用在横梁上的约束反力: 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的 约束反力FAx、FAy，如图2.5（b）所示。

PART 5
平面力系平衡方程的实例分析
实际工程中的应用案例
桥梁工程：分析桥梁受力情况，确保桥梁安全稳定 建筑工程：分析建筑物受力情况，确保建筑物安全稳定 机械工程：分析机械设备受力情况，确保机械设备安全稳定 航空航天工程：分析飞机、火箭等受力情况，确保飞行器安全稳定
经典物理中的平衡问题
牛顿第二定律：物体受到的 力与其质量和加速度成正比
多重平衡问题分析
多重平衡问题：多个力系同时作用于同一物体，需要同时满足多个平衡条件 应用领域：工程设计、建筑结构、机械制造等 解决方法：利用平面力系平衡方程，分别求解各个力系的平衡条件 实例分析：桥梁设计、汽车悬挂系统设计等
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PART 3
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
牛顿第二定律： F=ma
力矩平衡条件： ΣM=0
平面力系的平衡 条件：ΣFx=0， ΣFy=0
平面力系的平衡 方程：ΣFx=0， ΣFy=0，ΣM=0
平衡方程的形式
平面力系的平衡方程：Fx=0，Fy=0，M=0 Fx：x轴方向的合力 Fy：y轴方向的合力 M：力矩
求解未知力的方法
利用平衡方程求解未知力
利用力偶平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力矩平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力系简化方法求解未知力
平衡方程的解题步骤
确定已知条件：包括力的大小、方向、作用点等 建立平衡方程：根据已知条件，列出平衡方程 求解未知量：利用平衡方程求解未知量 验证结果：检查求解结果是否满足平衡条件，如有不满足，重新求解
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平面力系的平衡方 程及应用ssibilities

FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900

【例 1—4—1】 试求图中所 示F1、F2、F3 各力在 X 轴及Y轴上 的投影。
力系
解题过程
2．平面一般力系的简化 设刚体上作用有平面一般力系（F1、F2…Fn） ，在平 面内任取一点 O作为简化中心。
这种画有隔离体及其所受的全部作用力的简图，称为物 体的受力图。
刚体受力的简化
得到一个平面汇交力系和一个附加力偶系：
§1 —4
平面力系的平衡方程及应用
1．会分析平面力系。 2．会建立平衡方程并计算未知力。
一、平面力系的分析方法
1. 力的分解与投影 力的分解——将一个力化作等效的两个或两个以上分 力的过程。 工程中最常用的是正交分解法， 即分解成两个互相垂直的分力。
注意：力的分解是矢量 分解的概念，分解后的力F1 和 F2 是矢量，既有大小， 又有方向 。 力的分解
【例 1—4—3】 铣床夹具上的压板AB如图所示，在 拧紧螺母后，螺母对压板的压力F=4kN，已知l1=50 mm， l2=75 mm，试求压板对工平面一般力系的平衡方程解题的步骤为：
选取研究对象→进行受力分析并画出受力图→选取
坐标系，计算各力的投影；选取矩心→计算各力的矩→ 列平衡方程，求解未知量。 恰当选取矩心的位置和坐标轴的方向，可使计算简 化。例如，矩心可选在两未知力的交点，坐标轴尽量与 未知力垂直或与多数力平行。
【例 1—4—2】 曲柄冲压机如图所示，冲压工件时冲 头B受到工件的阻力F=30 kN，试求当α=30°时连杆AB所受的 力及导轨的约束力。
平面一般力系平衡必须同时满足以下三个平衡方程式， 这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
基本形式 ∑FX＝0 ∑FY＝0 ∑FX＝0 ∑M0(F)＝0 前两个方程称为 投影方程，后一个 方程称为力矩方程 二力矩式 ∑FX＝0 ∑MA(F)＝0 ∑MB(F)＝0 使用条件：X轴与AB 连线不垂直 前一个方程称为投影 方程，后两个方程称为 力矩方程 三力矩式 ∑MA(F)＝0 ∑MB(F)＝0 ∑MC(F)＝0 使用条件：A、B、 C三点不共线 三个方程均为力 矩方程

FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
平面一般力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
【例 2-7】
平面力系的平衡方程及应用
4.平面力偶系的平衡方程 作用在物体同一平面内力的许多力偶，称为平面 力偶系。
平面力偶系平
衡的必要充分 条件是：力偶 系中各力偶矩 的代数和为零。
M=M1+M2+…+Mn=0
【例2-8】
平面力系的平衡方程及应用
通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤: （1）分析题意,选取适当的研究对象
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系的平衡方程
若使刚体处于平衡，则必须满足作用于 刚体上的合力矢FR=0，合力偶矩M=0，即
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )

Fx Fy
0 0

M o 0
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
平衡 方程
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
y
B
M
FAy
A
FAx
C F
x
FNC
F
a b
h
G
FA
H
FB FNB
FNA
平面力系的平衡方程及应用

D
A
FAx
3m
P
1m
2m
由： 解得：
3 3FAy 3P 4 P 0 1
l
P1
FT 17.33kN FAx 15.01kN FAy 5.33kN
• 结果均为正，表明实际受力方向与假设方向相同。 • 为使平衡方程尽可能包含较少的未知量，避免联立求 解，通常将矩心取在两个未知力的交点。
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0 M C (Fi ) 0
限制条件：A、B、C矩心不能在同一直线上（共线）。
y
C B A O
FR
因为平衡方程
满足，但不能排除图 示不平衡的情形。
x
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
• 以上三种形式的平衡方程均为平衡的 必要与充分条件。
F X 0
x
F Y 0
y
•两个独立平衡方程，可以求解两个未知数。
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程 2. 空间平行力系的平衡方程
z
F1 F2
O x
y
F
iz
0
M x ( Fi ) 0
M y ( Fi ) 0
可以求解三个未知数。
F3
Fn F4
平面平行力系的平衡方程
3.1 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
六个方程相互独立。联立，可求解六个未知量。 由平衡条件导出的方程称为平衡方程的基本形式。 • • 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立 式、五矩式和六矩式。
平衡方程，解6个未知数，任何多于6个的方程都
是这些方程的线性组合。
y
(Fi ) 0

力。
平面一般力系
(1) 要使起重机不翻到，应使作用在起重机上的所有力满
足平衡条件。
当满载时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平
衡方程∑MB (F ) = 0 。在临界情况下，FAy= 0 。此时求出的
W3值是所允许的最小值。
由∑MB (F ) = 0得
W3min×（6+2）+ W1×2- W2×（12-2）=0
平面一般力系
平面平行力系平衡方程的应用
例4-5 某房屋的外伸梁构造及尺寸如图所示，该梁的力
学简图如图所示，已知q1= 20kN/m，q2=15kN/m。试求A、B支
座的反力。
解 取外伸梁AC为研究对象。
梁的受力图如图示。
平面一般力系
∑MA (F ) = 0
FBy
∑MB (F ) = 0
FBy×5–q1×5×2.5–q2×2×6=0
例4-6 塔式起重机如图所示。
机架重W1=400kN，作用线通过塔
架的中心。最大起重量W2=100kN
，最大悬臂长为12m，轨道AB的
间距为4m。平衡锤重W3，到机身
中心线距离为6m。试问：（1）
保证起重机在满载和空载时做到
不翻倒，平衡锤重W3的范围；（
2）当平衡锤重W3=80kN时，求满
载时轨道A、B对起重机轮子的反
20 5 2.5 15 2 6
kN 86kN ()
5
–FAy×5+q1×5×2.5–q2×2×1 =0
20 5 2.5 15 2 1
FAy
kN 44kN ()
5
校核： ∑F = 86 + 44 - 15 ×2 - 20 ×5 = 0

FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 700 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox

平面力系的平衡方程及应用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

G3(6 − 2 )− G1 × 2 − G2 (12 + 2 )+ FB × 4 = 0
∑ Fy = 0
− G3 − G1 − G2 + FA + FB = 0 FB = 870 kN FA = 210 kN
3.2 平面力系平衡方程及应用
平面任意力系 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ MO = 0
∑ M A = 0 G3 (6 − 2 ) − G1 × 2 = 0
G 3 = 350 kN 则有 75 kN＜G3＜350 kN
3.2 平面力系平衡方程及应用
G3
6m
G1 12 m
A
B
FA2 m 2 mFB
2. 取G3=180 kN，求满载时轨道 A ， B给起重机轮子的约束力。
G2
∑MA =0
∑ ∑ 平面平行力系
Fy = 0
MO = 0
∑ ∑ 平面力系 平面汇交力系
Fx = 0
Fy = 0
平面力偶系
∑M =0
证明：
F1
F
A1
F2
A A2
A
=
A3
A3
F3
F3
3.2 平面力系平衡方程及应用
三力平衡汇交定理用来确定未知力方向使用，但这样做通 常不方便。
3.2 平面力系平衡方程及应用
思考
三铰拱受力是否正确？ 错误
3.2 平面力系平衡方程及应用
平面汇交力系平衡几何法
物体受汇交力系作用，力系若平衡，则力多边形封 闭。
FC
FA
练习：
FB
2、研究对象： 整体
− FAl + m = 0
FA
=
FB

a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx