第六章 多采样率信号处理

第6章 多采样率信号处理6-1 假设对一模拟信号用不同的采样率f )(t x a s 和f ’s =L f s 进行采样，相应的信号样本为和。

由于T=L T )()(nT x n x a =)()(''mT x m x a =’，也可看作是抽取的结果，即 )(n x )('m x )()()()(''nL x nLT x nT x n x a a ===根据第一章内容，和的频谱分别为 )(n x )('m x ∑∞−∞=−=k s a kf f X T f X )(1)( ∑∞−∞=−=')(1)(''''k s a f k f X T f X 利用关系式k=k ’L+m,m=0,1,…,L-1，证明 ∑−=−=10')(1)(L m s mf f X L f X 证：将关系式k=k ’L+m代入∑∞−∞=−=k s a kf f X T f X )(1)(，得 ∑∑∑∑∑∑−=−=∞−∞=∞−∞=−=∞−∞=−=−−=−−=−=10'10'''10'')(1])(1[1)(1)(1)(''L m s L m k s s a k L m s s a k s a mf f X L f k mf f X T L Lf k mf f X LT kf f X T f X6-2 离散时间信号频谱如图6.1所示，试求由下列抽取倍数直接抽取（不滤波）后的信号的频谱。

(1)M=2；(2)M=3；(3)M=4。

)(nx-π/3 π/3解：(1)当M=2时，采样频率降为原来的1/2，数字频谱展宽到原来的2倍，没有发生混叠，所以直接抽取后的频谱如下图，并作周期延拓。

-2π/3 2π/3(2)当M=3时，采样频率降为原来的1/3，数字频谱展宽到原来的3倍，仍没有发生混叠，所以直接抽取后的频谱如下图，并作周期延拓。

多采样率信号处理的发展作者：万伟程李艳华周三文来源：《现代电子技术》2014年第13期摘要：数字通信系统中，为适应传输、降低资源消耗、适于处理操作，常需要变换信号的采样率。

多采样率信号处理理论从语音信号处理中发展起来，在应用中不断丰富。

随着软件无线电的应用，多采样率变换在数字信号领域占据越来越重要的地位。

多采样率信号处理技术与小波分析、分数阶傅里叶变换等其他信号处理技术相结合是未来发展的方向。

关键词：多采样率；信号处理；数字滤波器；傅里叶变换中图分类号： TN911.72⁃34 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2014）13⁃0057⁃03Development of signal processing at multi⁃sampling ratesWAN Wei⁃cheng， LI Yan⁃hua， ZHOU San⁃wen（Beijing Research Institute of Telemetry， Beijing 100076， China）Abstract： The sampling rate of signal often needs to be changed for fitting transmission，reducing resource consumption and suiting process handling in digital communication system. Multirate signal processing theory arose from speech signal processing and was enriched in application. Multirate signal processing plays an important role in digital signal processing with the application of software radio. It′s a tendency of combining the multirate signal processing with wavelet analysis and fractional Fourier transform.Keywords： multirate sample； signal processing； digital filter； Fourier transform0 引言20世纪60年代以来，数字信号由于处理灵活、精度高、稳定性好等优点得到广泛应用[1]。

第六章数据采集６．１概述在计算机广泛应用的今天，数据采集的重要性是十分显著的。

它是计算机与外部物理世界连接的桥梁。

各种类型信号采集的难易程度差别很大。

实际采集时，噪声也可能带来一些麻烦。

数据采集时，有一些基本原理要注意，还有更多的实际的问题要解决。

６．１．１采样频率、抗混叠滤波器和样本数。

假设现在对一个模拟信号x(t) 每隔Δt时间采样一次。

时间间隔Δt被称为采样间隔或者采样周期。

它的倒数1/Δt 被称为采样频率，单位是采样数/每秒。

t=0, Δt ,2Δt ,3Δt ……等等，x(t)的数值就被称为采样值。

所有x(0),x(Δt),x(2Δt )都是采样值。

这样信号x(t)可以用一组分散的采样值来表示：下图显示了一个模拟信号和它采样后的采样值。

采样间隔是Δt，注意，采样点在时域上是分散的。

图6-1 模拟信号和采样显示如果对信号x(t)采集N个采样点，那么x(t)就可以用下面这个数列表示：这个数列被称为信号x(t)的数字化显示或者采样显示。

注意这个数列中仅仅用下标变量编制索引，而不含有任何关于采样率（或Δt）的信息。

所以如果只知道该信号的采样值，并不能知道它的采样率，缺少了时间尺度，也不可能知道信号x(t)的频率。

根据采样定理，最低采样频率必须是信号频率的两倍。

反过来说，如果给定了采样频率，那么能够正确显示信号而不发生畸变的最大频率叫做恩奎斯特频率，它是采样频率的一半。

如果信号中包含频率高于奈奎斯特频率的成分，信号将在直流和恩奎斯特频率之间畸变。

图６－２显示了一个信号分别用合适的采样率和过低的采样率进行采样的结果。

采样率过低的结果是还原的信号的频率看上去与原始信号不同。

这种信号畸变叫做混叠（alias）。

出现的混频偏差（alias frequency）是输入信号的频率和最靠近的采样率整数倍的差的绝对值。

图6-2 不同采样率的采样结果图６－３给出了一个例子。

假设采样频率 fs 是100HZ,，信号中含有25 、70、160、和510Hz 的成分。

[离散时间信号处理学习笔记]14.多采样率信号处理多采样率信号处理⼀般是指利⽤增采样、减采样、压缩器和扩展器等⽅式来提⾼信号处理系统效率的技术（These multirate techniques refer in general to utilizing upsampling, downsampling, compressors, and expanders in a variety of ways to increase the efficiency of signal-processing systems. ）本⽂章主要讨论多采样率技术中的两个研究成果：滤波与压缩器/扩展器的互换；多相分解。

尽管上⼀篇⽂章中已经讨论过这部分内容，不过由于这部分是理解本⽂所必须的关键知识点，这⾥将在时域与频域展开更详细的分析。

压缩器假设压缩器的压缩率为M，那么压缩器在时域上的表⽰为x_d[n] = x[nM]x[n]的采样频率为T，那么x_d[n]的采样频率为T_d = MT，按照，有\begin{align*} X(e^{j\omega}) &= \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{T}-\frac{2\pi k}{T}\right)\right ]\\ X_d(e^{j\omega}) &= \frac{1}{MT}\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi r}{MT}\right)\right ] \end{align*}压缩前的序列频谱X(e^{j\omega})与压缩后的序列频谱X_d(e^{j\omega})之间有如下关系\begin{align*} X_d(e^{j\omega}) &= \frac{1}{MT}\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi r}{MT}\right)\right ] \\ & = \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{-2\pi}{MT} \right ) \right ] +X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{0} {MT}\right)\right ] + X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot \right \}\\ & = \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{0}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot +X_c\left[ j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2(M-1)\pi} {MT}\right)\right ]\right.\\ &\quad\qquad\qquad\left.+ X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2M\pi}{MT} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot+X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2M\pi}{MT} -\frac{2(M-1)\pi}{MT}\right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot \right \}\\ \end{align*} \begin{align*} \qquad\quad\ &= \frac{1}{MT}\left\{\cdot\cdot\cdot+\sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2i\pi}{MT} \right ) \right ]+\sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2i\pi}{MT}-\frac{2\pi}{T} \right ) \right ]+\cdot\cdot\cdot\right\}\\ &= \frac{1} {MT}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{i=0}^{M-1}X_c\left[j\left(\frac{\omega}{MT}-\frac{2\pi i}{MT}-\frac{2\pi k}{T} \right ) \right ] \\ &=\frac{1} {M}\sum_{i=0}^{M-1}\left\{\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_c\left[j\left(\frac{\omega-2\pi i}{MT}-\frac{2\pi k}{T} \right ) \right ]\right\}\\&=\frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\omega-2\pi i)/M}) \end{align*}如下图所⽰扩展器假设扩展器的扩展率为L，那么扩展器在时域上的表⽰为x_e[n] = \left\{\begin{matrix} x[n/L], &n=0,\pm L,\pm 2L,\cdot\cdot\cdot \\ 0, &else \end{matrix}\right.扩展前的序列频谱X(e^{j\omega})与扩展后的序列频谱X_e(e^{j\omega})之间有如下关系\begin{align*} X_e(e^{j\omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_e[n]e^{-j\omega n}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n/L]e^{-j\omega n}\quad n=0,\pm L,\pm 2L,\cdot\cdot\cdot\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]e^{-j\omega kL}\quad letting\ n=kL\\ &=X(e^{j\omega L}) \end{align*}如下图所⽰滤波器与压缩器互换如上⼀篇⽂章所描述的减采样就是⼀个滤波器与压缩器的级联系统。

目录1.背景 12．具体过程 22.1 整数因子抽取 22.2 整数因子内插 22.3 I/D的采样率转换 22.4多采样率数字信号处理的应用 23．实验过程 23.1整数倍抽取实验 23.2整数倍插值实验 23.3用有理因子I/D的采样率转换进行的实验 2 4．实验结果 24.1信号的整数倍抽取 24.2信号的整数倍插值 24.3用有理因子I/D的采样速率转换 25．结论 25.1整数因子抽取 25.2整数因子插值 25.3有理因子I/D的采样速率转换 26.心得体会与总结 21.背景现在实际系统中，经常要求一个数字系统能工作在多采样率状态，例如：在数字电视系统中，图像采集系统一般按4:4:4标准或4:2:2标准采集数字电视信号，再根据不同的电视质量要求将其转换成其它标准的数字电视信号（如4:2:2,4:1:1,2:1:1）进行处理。

在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号又有传真信号，甚至有视频信号。

这些信号的频域成分相差甚远。

因此该系统应具有多种采样率，并能根据所传输的信号自动完成采样率转换。

对一个非平稳随机信号（如语音信号）做频谱分析或编码时，对不同的信号段可根据其频域成分的不同而采用不同的采样率，已到达既满足采样定理，又最大限度的减少数据量的目的。

如果以高采样率采集的数据存在冗余，这时就希望在该数字信号的基础上降低采样率。

多采样率数字信号处理是建立在单抽样率信号处理基础上的一类信号处理。

在传输信号时，由于语音﹑图像、视频信号的中心频率相差很大，所以需要以多种抽样频率来对信号采样来满足各种传输类型的需要。

2．具体过程2.1 整数因子抽取信号的抽取是实现频率降低的方法。

在第二章曾经讨论过，当采样频率大于信号最高频率的2倍时，不会产生混叠失真。

显然，当采样频率远高于信号最高频率时，采样后的信号就会有冗余数据。

此时，通过信号的抽取来降低采样频率，同样不会产生混叠失真。

Xd(n)整数因子抽取原理图：设x(n)=x(t)|t=nTs，欲使fs减少D倍，最简单的方法就是从x(n)中每D个点中抽取一个，依次组成一个新的序列xd(n),即xd(n)=x(Dn)因为是舍去部分点，故可引入冲激函数来进行抽样，得到xd(n)与x(n)之间的表达式：xd(n)=x(n) D(n)其中为周期单位脉冲序列，当且仅当n为D的整数倍时， D(n)的值为1,n为其他值时为零。

多采样率信号处理1．绪论随着数字信号处理的发展，信号的处理、编码、传输和存储等工作量越来越大。

为了节省计算工作量及存储空间，在一个信号处理系统中常常需要不同的采样率及其相互转换，在这种需求下，多速率数字信号处理产生并发展起来。

它的应用带来许多好处，例如：可降低计算复杂度、降低传输速率、减少存储量等。

在信号处理领域，多速率信号处理最早于20世纪70年代提出，由其引出的多速率滤波在数学领域里基于多格算法解决了大量的微分等式。

在多速率数字信号处理发展中，一个突破点是70年代两通道正交镜像滤波器组应用于语音信号的压缩。

在该方法中，信号通过分析滤波器组被分成低通和高通两个子带，每个子带经过2倍抽取和量化后再进行压缩，之后可以通过综合滤波器组近似地重建出原始信号，重建的近似误差一部分源于子带信号的压缩编码，一部分是由分析和综合滤波器组产生的误差，其中最主要的误差是混叠误差，它是由分析滤波器组不是理想带限而引起的。

在很多应用系统中，混叠误差存在一定程度的影响，因此就需要对其进行改进。

多速率系统应用于通信、语音信号处理、谱分析、雷达系统和天线系统，以及在数字音频系统、子带编码技术( 用于声音和图像的压缩) 和模拟语音个人系统(如标准电话通信) 等方面的应用。

另外还应用于多相理论和多速率系统在一些非传统领域，包括：高效率信号压缩的多速率理论；高效窄带滤波器的脉冲响应序列的编码新技术的推导；可调整的多级响应FIR滤波器的设计等。

基于上述研究的发展，从20世纪80年代初开始，多速率数字信号处理技术在工程实践中得到广泛的应用，主要用于通信系统、语音、图像压缩、数字音频系统、统计和自适应信号处理、差分方程的数值解等。

多速率信号处理在基础理论和应用领域的蓬勃发展，也促进了整个数字信号处理界的发展。

2．采样率转换基础理论实现采样率转换的方法有三个：一是若原模拟信号x (t)可以再生，或是己记录下来了的话，那么可重新抽样；二是将x(n)通过D/A变成模拟信号x(t)后，对x (t)经A/D再抽样；三是发展一套算法，对抽样后的数字信号x(n)在“数字域”作采样率转换，以得到新的抽样。

实验设计：多采样率数字信号处理分析实验名称：多采样率数字信号处理一．实验目的：1. 掌握信号抽取和插值的基本原理和实现；2．掌握信号的有理数倍率转换。

二．实验原理：多采样率数字信号处理共分为3方面的问题：信号的整数倍抽取、信号的整数倍插值和信号的有理数倍速率转换。

Matlab 信号处理工具箱提供了抽取函数decimate 用于信号整数倍抽取，其调用格式为：y=decimate(x,M)y=decimate(x,M,n)y=decimate(x,M,’fir’)y=decimate(x,M,n,’fir’)其中y=decimate(x,M)将信号x 的采样率降低为原来的M1，抽取前缺省地采用8阶Chebyshev Ⅰ型低通滤波器压缩频带。

y=decimate(x,M,n)指定所采用Chebyshev Ⅰ型低通滤波器的阶数，通常13 n 。

y=decimate(x,M,’fir’)指定用FIR 滤波器来压缩频带。

y=decimate(x,M,n,’fir’) 指定所用FIR 滤波器的阶数。

Matlab 信号处理工具箱提供了插值函数interp 用于信号整数倍插值，其调用格式为：y=interp(x,L)y=interp(x,L,n,alpha)[y,b]=interp(x,L,n,alpha)其中y=interp(x,L)将信号的采样率提高到原来的L 倍。

y=interp(x,L,n,alpha)指定反混叠滤波器的长度n 和截止频率alpha ，缺省值为4和0.5。

[y,b]=interp(x,L,n,alpha)在插值的同时，返回反混叠滤波器的系数向量。

信号的有理数倍速率转换是使信号的采样率经由一个有理因子M L 来改变，可以通过插值和抽取的级联来实现。

Matlab 信号处理工具箱提供了重采样函数resample 用于有理倍数速率转换，其调用格式为：y=resample(x,L,M);y=resample(x,L,M,n);y=resample(x,L,M,n,beta);y=resample(x,L,M,b);[y,b]= y=resample(x,L,M);其中，y=resample(x,L,M);将信号x 的采样率转换为原来的M L 倍，所用的低通滤波器为kaiser 窗的FIR 滤波器。

目录一、课程设计的性质与目的 (1)二、课程设计题目 (1)1. 设计目的 (1)2. 设计要求 (1)3. 设计步骤 (2)三、课程设计要求 (2)四、设计进度安排 (2)五、设计原理 (3)1. 巴特沃斯滤波器 (3)2. 采样定理............................................. 错误！未定义书签。

3. 椭圆滤波器........................................... 错误！未定义书签。

4. 抽取与内插 (5)六、实验步骤及效果图 (6)1. 信源的时域和频域分析 (6)2. 对原始信号进行滤波 (7)3. 对滤波后的信号采样 (8)4. 椭圆滤波器滤波 (9)5. 对语音信号进行抽取和内插处理 (10)6. 语音信号的恢复 (11)7. 信号波形图对比 (12)七、问题及解决办法 (14)1. 信源的时域和频域分析原代码 (14)2. 对原始信号进行滤波原代码 (15)3. 椭圆滤波器滤波原代码 (16)八、心得体会 (17)一、课程设计的性质与目的《数字信号处理》课程是通信专业的一门重要专业基础课，是信息的数字化处理、存储和应用的基础。

通过该课程的课程设计实践，使学生对信号与信息的采集、处理、传输、显示、存储、分析和应用等有一个系统的掌握和理解；巩固和运用在《数字信号处理》课程中所学的理论知识和实验技能，掌握数字信号处理的基础理论和处理方法，提高分析和解决信号与信息处理相关问题的能力，为以后的工作和学习打下基础。

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

根据其单位冲激响应函数的时域特性可分为两类：无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应（FIR）滤波器。

二、课程设计题目多采样率数字信号处理在数字语音系统中的应用1、设计目的学习多采样率数字信号处理原理，采用整数因子抽取与整数因子内插来解决数字语音系统中的信号采样过程中存在的问题，并用MATLAB编程实现，加深对多采样率数字信号处理的理解。

抽样率信号处理是把时间域上的函数映射到频率域上，有效地变换信
号以获得有用的信息和特征。

出于多种用途而技术发展，其中最重要
的是数字信号处理（DSP）。

它能够用于视觉，语音，数据和其他多种方面，声音处理被认为是一项非常强大的技术，它有许多种用法，其
中多抽样率信号处理（MSP）在这一领域已经发挥了重要作用。

MSP是一种新型的技术，它是根据高抽样率信号（HSR）来开发的，
它的优势在于可以获得更高的信号清晰度，从而提高处理和数据记录
的准确性及可靠性。

它通过利用多层级的信号采样来实现更高的精度，从而比传统的HR信号处理技术更加先进。

这也就意味着在MSP中可
以获得更高水平的效率和可用性，因此它在语音，视觉，通信，数据
处理和信号处理等方面发挥着重要作用。

MSP技术同样可以应用于计算机技术和科学研究中，因为它允许获取
更多可用的信号数据，从而增强了计算机处理效率，并最终提高了计
算结果的精度。

此外，由于它具备更高的精度，MSP也能够更好地提
供传输大量信号数据的有效和安全通信。

在当今日常生活中，抽样率信号处理科技已多次应用于电子消费品，
从电视机到智能手机，几乎都包含有DSP的应用。

与此同时，MSP技
术也在帮助视听娱乐，自动控制装置，射频信号处理设备，电信信号
调节器等不同领域发挥着不可或缺的作用。

总而言之，多抽样率信号处理在很多方面都有效地改善了传输数据的
清晰度和可靠性，使得我们能够获得更准确，有用的信息。

此外，多
抽样率信号处理技术今天也被广泛地应用于各种电子消费产品，因此
仍有望发挥关键作用，推动科学技术产业的发展。