以《常量与变量》为例谈初中数学概念课的教学

数学概念的发现教学模式与案例分析数学概念是数学科学知识体系的重要基础之一，也是数学思维的一种形式，它是反映数学对象本质属性和特征的思维形式。

数学概念的学习与数学知识的掌握、知识结构的形成、数学能力的提高密切相关，因此，上好概念课对提高教学质量极其重要。

在教学活动中怎样实施概念课的教学呢？以下结合教学实例介绍数学概念的一种教学方法—发现式教学。

（一）概念的发现教学模式概念的发现教学是鼓励学生借助归纳推理从实例中发现数学概念的教学，其学习理论基础是概念形成，即通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。

概念的发现教学模式一般可以概括出以下四阶段：辨别和分类；假设和解释；概括；验证和调整。

第一阶段：辨别和分类在这一阶段，教师呈现给学生的应该是一些要求学生对事物进行知觉辨别或分类的任务。

这个时候，教师应更多地作为引导者，不要过多干涉学生感知事物的活动，更不要包办代替，而要为学生提供动手操作的机会，让学生充分地利用多种感觉器官参与活动，这样有利于学生全方位地感知概念，分析概念的共同特征。

第二阶段：假设和解释在这一阶段，学生需要对他们分类的事物作出假设或解释。

比如，为什么把这些事物归为一类，假定这类事物具有的共同特征是什么？这时教师应该扮演促进者的角色，通过提出一些启发性问题，激发学生的思考，引导他们把假设和解释表达得更为清晰。

第三阶段：概括在这一阶段，学生应该试着根据概念的属性对概念加以描述（也就是找到那些正例才有而反例没有的属性），甚至进一步对概念下一个定义。

不过，对这个概念的命名就不可能通过学生的独立探索能够发现，这时教师应该作为讲授者把传统上我们给这个概念赋予的名称告诉学生。

第四阶段：验证和调整在这一阶段，学生将用其他一些例子（不是自己用来归纳出概念的那些例子）来检验自己关于概念的定义或描述是否正确：把已经知道的那些属于该概念的正例拿来检验是否符合自己给出的概念的定义或描述，同时也把那些已经知道不属于该概念的反例拿来检验是否确实不符合自己给出的概念的定义或描述。

浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》教学设计一. 教材分析浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究数学概念的重要内容。

本节内容通过引入常量和变量的概念，让学生理解在数学问题中，有些数是固定不变的，而有些数是可以改变的，从而培养学生对数学问题的理解和解决能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、代数式等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力。

但学生对常量和变量的概念理解较抽象，需要通过具体实例来引导学生理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生理解常量和变量的概念，能正确区分常量和变量。

2.培养学生运用常量和变量解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.重点：理解常量和变量的概念，能正确运用常量和变量解决实际问题。

2.难点：对常量和变量概念的深入理解，能在复杂问题中正确运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握常量和变量的概念。

2.采用小组合作学习法，让学生在小组内讨论和分享解题过程，培养团队合作能力。

3.采用案例分析法，通过具体案例让学生深入理解常量和变量的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于引导学生理解和运用常量和变量。

2.准备PPT，用于展示问题和案例，方便学生跟随讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如“小明的身高是1.6米，请问小明的身高是常量还是变量？”引导学生思考常量和变量的概念。

2.呈现（10分钟）讲解常量和变量的定义，通过PPT展示相关案例，让学生理解常量和变量的概念。

常量是指在数学问题中固定不变的数，变量是指在数学问题中可以改变的数。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，运用常量和变量来解决问题。

例如，讨论“一件衣服的原价是100元，现在打8折，请问现价是多少？”引导学生正确运用常量和变量。

4.巩固（5分钟）对每组的结果进行展示和评价，引导学生巩固常量和变量的概念及运用。

数学概念教学设计数学概念教学设计课例教学目标：(1)了解常量、变量、自变量和函数的意义，能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数(2)会举出简单的函数实例，能写出一些简单函数的解析式(3)通过学习变量和函数的概念，初步培养运动变化、相互联系的辩证唯物主义观点教学重点：函数定义教学难点：理解函数概念教学过程：[评析]这是一节概念教学课函数概念比较抽象，学生不容易理解，是教学的难点教师在设计时，注意遵循人们认识事物的规律，从感性到理性，从具体到抽象首先创设情境，从实例引入概念然后通过对几个实例的比较，抽象概括得出函数的概念再进一步深入分析函数的定义，让学生理解函数的概念最后通过多种形式的训练，巩固函数的概念这样进行概念教学不仅能提高学生学习的兴趣，理解和掌握概念，而且能培养学生的逻辑思维能力在教学中运用电脑和投影，既直观形象，又具有动态，大大地提高了教学的效率和效果数学概念的教学设计在进行数学概念的教学设计时，我们应该从学生学习概念的方式入手，一般情况下，学生学习概念的方式有概念的形成和同化两种形式所谓概念的形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来；概念的同化指的是新信息与原有认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有的认知结构发生某些变化鉴于此，我们从学生学习概念的方式入手，首先分析一下数学概念形成的学习过程②分析共同属性③抽象出本质属性可根据实际及自己教学水平进行④确认本质属性⑤概括定义⑥辨别实例在此是进行简单的识别⑦具体运用其中①和⑥要做到收尾呼应其次是概念同化的学习过程1)2)揭示本质属性讨论特例揭示新旧概念的联系辨别实例5)具体运用首先引入即是1），主要是以复习的形式，从而激起学生的原有记忆再次是讲解、理解概念，具体步骤如下：最后是应用，这里应该设计一些练习题，使学生能够对概念进行简单的识别和应用，还要设计一些难度稍高一下的题，是学生能灵活的运用概念，从而达到理解、应用概念的目的专题讲座初中数学概念课堂教学设计俞京宁学生在数学学习中有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效一、什么是数学概念？概念是反映客观事物本质属性的思维形式数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题二、目前概念教学的现状数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式案例1：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长x平方根的定义：即，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数时，我们把叫做的平方根，其中正值又叫做的算术平方根接下来就是根据定义求一些非负数的平方根与算术平方根的题组训练表面上看，教师似乎让学生经历了从特殊到一般的抽象概括的过程，但实质上，教师的设计只是形式化的，并没有使学生真正的参与到平方根的发生与形成过程中，没有使学生真正弄清楚为什么叫做的平方根，所以可以想到学生只是机械的接受概念，在此基础上照猫画虎式进行解题练习，这种做法一定会造成学生后期将平方根与算术平方根混淆案例2：关于“同类项”的教学：教师往往采用如下引入：下面各式有何共同特点，请用简洁的语言叙述：这样的教学只是揭示了“同类项是什么”，而没有揭示“为什么提出同类项的概念，为什么教学中这样定义同类项概念”这里涉及到科学分类的问题，分类是自然科学中的基本逻辑方法，通常是根据所研究的具体问题，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把他们不重不漏地划为若干类别，再分别加以研究，从某种程度上说，概念是对客观事物按照某种需要进行分类的产物，仅仅以事实为基础形成的概念难以迁移案例3：“矩形”概念的教学：首先采用合作学习：用6根火柴棒首尾顺次相接摆成一个平行四边形议一议：能摆成多少个不同的平行四边形？他们有什么特点？在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由生1：我们这组认为，可以摆成无数个平行四边形，他们的对边相等、对角相等、对角线互相平分师：这些特点都是平行四边形的性质，邻边有什么特点吗？生1：(犹豫)邻边不相等，其比值始终是2：1.生2：有一个面积最大的平行四边形，即长方形，因为平行四边形的面积等于底边乘以高，如果摆成长方形，高与平行四边形的一边相等，这样面积才是最大的师：你能说一下这个平行四边形一个内角的特点吗？生2：每个角都是直角师：实际上，平行四边形有一个内角是直角，我们把这样的平行四边形就叫做矩形生(哗然）：这不是小学的长方形吗？教师在学生的疑惑声中，画出图形，板书课题及矩形定义在这个案例中，教师创设情境，采用小组合作学习的形式，通过“平行四边形什么时候面积最大”的问题引导学生动手操作，从而引入矩形的定义，却没有取得很好的教学效果：1.很多学生对“当平行四边形是矩形时，面积最大”的知识没有真正理解，实质上这个问题是平行四边形面积与垂线段性质两方面知识的综合，它与矩形的定义没有多大关系；2.矩形的边没有特殊性，但教师却要求学生说出邻边之比2：1，这无意中强调矩形邻边的不等性，使得在生成矩形概念时，学生错误的认为，矩形就是长方形；3.这样的问题设计很难在学生头脑中形成“矩形是平行四边形一个内角的特殊化”的概念教材把“矩形”安排在平行四边形之后，就是因为它是特殊的平行四边形，因此完全可以用概念同化的方法进行矩形概念的教学，这与以前学过的平行四边形和将要学习的菱形、正方形在研究思路、方法上一脉相承，这样的设计充分尊重学生的实际情况，可以使学生在获得知识的同时，培养其类比思维的能力尽管新课程倡导动手操作、自主探究、合作交流的学习方式，但更应该根据具体的教学内容和学生的已有知识经验为基础制订教学策略，应该以有利于学生知识的获得、数学活动经验的积累和数学思想的领悟为标准在我们的日常教学中，类似于以上的概念教学并不是少数，我们将目前部分教师的概念教学模式进行简单的归纳，可以分为以下几类：开门见山，教师直接给出定义，归纳注意事项、举例让学生反复练习；认为概念教学=解题教学，所以通过大容量训练，使学生逐步认识概念；创设情境，但情境的选择并不能揭示概念的本质，只是为了设计情境而刻意安排的，让人感到前后不够协调；注意到让学生参与概念的形成过程，但在概念的分析过程中，缺乏与学生已有知识的联系，总感觉每个概念都是孤零零的，没有形成系统这些模式的教学，其效果往往事倍功半，耗费学生大量的时间与精力，但知识掌握的一知半解，吃夹生饭，对问题的解决，依靠简单的机械模仿，所有的训练都游离在知识的表层甚至知识之外长此以往，必将使学生成为并不优秀的“做题机器”，数学双基也无法落实鉴于此，反思我们的概念教学就显得尤为重要，到底什么样的概念教学模式可以称之为好的，有效的教学模式是什么呢？我认为应该没有统一的模式，教学有法、教无定法，只要教师能重视基本概念蕴含的智力开发价值，注意充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，能够使学生掌握知识、发展能力的概念教学都是有效的、好的教学三、初中数学课堂概念教学的一些想法从教育与发展心理学的角度出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，归纳得出数学概念等思维活动而获得概念数学概念要讲背景、讲思想、讲应用，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程，由于数学能力是以数学概括为基础的能力，因此重视数学概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性概念的课堂教学大致经历以下几个环节：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相关概念的联系与区别、概念应用举例、概念的巩固练习下面结合实例就其中关键环节谈谈在设计时的注意事项概念的引入概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础传统教学中在教学方式上是以教师传授为主，学生被动接受学习，这显然不利于新课程背景下创造型人才的培养课程标(来自:海达范文网:数学概念教学设计)准中提出“抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式”通过概念引入过程的教学，应该使学生明确：“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯，从而实现新课程标准中提出的通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者我认为在概念课的引入上，要树立起让学生自己去发现的观念，如果能让学生产生认知冲突，对学习新概念的必要性产生需求，并主动发现新概念是最佳途径这样学生们在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，同时还能培养他们的探究精神，激发学生的潜能所以对于情境的设计，要结合概念的特点恰当地选取，特点不同，引入形式也就会存在差异：我们提倡借助生动、丰富的实际问题引入概念，能够与学生的生活密切结合，这样往往比较具体、形象，学生容易理解，也比较容易从中提炼出概念的本质属性，比如数与代数中的同类项、分式等，空间与图形中的角、平行线、三角形等；但并非所有的数学概念都适宜用这种方法，比如前面提到的平方根，我认为从数学内部的运算关系角度入手，更容易理解下面介绍概念引入的三种想法：1.联系概念的现实原理引入新概念在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的例如：在平面几何平行线的教学中，可以让学生观察单线练习本中的一组平行线，分析这组线的位置特点，再利用相交线作对比，然后概括出平行线的定义；在圆的概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是什么？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义2.从具体到抽象引入新概念数学概念有具体性和抽象性双重特性在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念例如：在讲线线垂直的概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再模拟出线线垂直的模型，抽象出其本质特征，概括出线线垂直的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念，再比如对于一元一次方程的概念，可以借助一些简单的实例，让学生列方程，然后观察这些具体方程的共同点，从具体到抽象归纳概括出一元一次方程的定义案例4：对于“用字母表示数”的教学，教师展示熟悉的生活实例，确立了一个学生熟悉的认知对象，由学生熟悉的铺地用的各种形状、各种颜色的地砖铺地时的图案入手学生答案是：图案中的黒砖块数与图案的序号相等提出问题2：如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第五个、第六个图案中黑砖块数是多少？与图案序号之间的关系是什么？理由是什么？。

㊀㊀㊀㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２１ ３５初中函数概念教学的存在问题及教学建议初中函数概念教学的存在问题及教学建议Һ许家健㊀（阳江市江城区教师发展中心，广东㊀阳江㊀５２９９００）㊀㊀ʌ摘要ɔ笔者在听课调研中发现函数教学中存在重结论，轻过程，机械记忆；重解题技巧，轻函数概念的生成；情境过度，缺少剥离；学生对函数概念的学习难以达到 综合图式 阶段等问题．针对以上问题，笔者提出了函数概念教学的两点建议：１．让学生经历函数概念学习的完整过程；２．循序渐进地渗透函数思想．ʌ关键词ɔ概念教学；函数函数是初中数学的一项重要知识，也是学生学习中的一个难点．近两年，我在江城区各中学进行听课调研的过程中，发现有关函数概念的教学存在不少问题，这些问题也在平时的质量监测中表现出来．对此本文结合调研中的一些课堂实录进行分析，以期为一线教师进行函数概念教学提供参考和借鉴．一㊁函数概念教学中存在的问题（一）重结论，轻过程，机械记忆在调研的过程中我们发现，许多教师的教学形式过于陈旧，平时缺少理论学习，没有及时地更新教学理念，做到与时俱进［１］．特别是在长期应试教育影响下，学校对教师所教学的班级有升学率要求的情况之下，很多教师也没有坚持自己最初的教学原则，在面对即将到来的考试的时候，教师就会教学生适用的考试套路，让学生能够在考试的时候通过走捷径来获得高分，并且在平时的教学过程中也改变了自己的教学方案，所有教学设计和活动都围绕考试进行，考试考什么就教什么甚至为了赶进度，部分教师只要学生记住结论以便于考试时套用，导致学生对基本概念机械记忆，甚至造成对概念的模糊理解．教学实录１： 函数概念 的教学片段师：同学们，前面我们已经学习了什么是常量和变量，这节课我们开始学习什么是函数．请打开课本第７３页找到 函数 的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量ｘ与ｙ，并且对于ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数．如果当ｘ＝ａ时ｙ＝ｂ，那么ｂ叫做当自变量的值为ａ时的函数值．生：齐读上述 函数 的定义．练习：判断下列式子中哪些表示ｙ是ｘ的函数？ｙ＝ｘ㊀（２）ｙ＝２ｘ２㊀（３）ｙ＝１ｘ㊀（４）ｙ２＝ｘ初中教材中给出了函数的描述性定义，教师采用上述教学方式，不管学生是否真正理解函数概念的本质，只是简单地让学生背诵函数定义的文字表达，然后直接让学生做练习题，在教学的过程中太过于重视教学的结论而轻视过程，以至于学生对于函数概念的认识与函数概念的真实定义是有出入的．直到初中毕业，学生对函数概念的理解仍是一知半解，往往只记得一次函数㊁反比例函数等一些函数的表达式，根本不知函数为何物，出现 忘根 的现象．在调研中，我们发现：重结论，轻过程的现象并不是个案，而是普遍存在的．这样的教学方法根本不能适应新课标对数学概念教学的要求，更不利于学生对概念的本质理解．（二）重函数的解题技巧，轻函数概念的生成在一次质量监测中，我们让学生解答下面一道题：图１中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度ｙ（ｍ）与旋转时间ｘ（ｍｉｎ）之间的关系如图２所示［２］．图１㊀㊀㊀图２（１）根据图２填表：Ｘ（ｍｉｎ）Ｙ（ｍ）（２）变量ｙ是ｘ的函数吗？为什么？（３）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．本题考查了学生对函数概念的理解，体现了过程性评价理念，但学生的答题情况并不理想．不少学生认为ｙ不是ｘ的函数，理由是该题目的图像不是抛物线．这种现象与教师平时的教学有很大的关系．由于教师平时只重视各类特殊函数题目的解题技巧训练，轻视函数概念的生成，导致学生只是单纯地重点关注各类函数解析式的表示，对函数概念的理解只停留于表面，并不理解函数的本质．（三）过分强调活动操作，导致情境过度，缺少剥离，出现去数学化的倾向许多教师在学生学习函数概念的第一节课时，都会举路程随时间的变化问题㊁圆的面积随半径的变化问题等很多实例让学生体会什么是函数．我在一次听课中有一位教师举了一个销售问题，说明单价确定时，销售收入是售出商品数量的函数，课中教师让学生进行角色扮演，学生兴趣很高，课堂很热闹．闹完之后，教师让学生直接阅读教材函数概念的描述，直到下课学生仍然沉浸在角色扮演的情境中，对函数的概念理解仅停留在教材上．在学习各类特殊函数时，教师也是以一次函数㊁二次函数㊁反比例函数等的具体实例. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１５３㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３５及解析式进行教学，很少提及函数的一般定义，因此学生以解析式或某种图像的印象代替了对函数概念的理解．（四）大多数学生对函数概念的学习难以达到 综合图式 阶段由于教师在进行函数概念的教学时，常与初中数学的其他知识割裂开来，导致多数学生对函数的学习难以达到 对象 阶段，更难达到 综合图式 阶段．从而在平时的质量监测以及中考中，学生不能把函数知识与其他知识联系起来灵活运用，在用方程解应用题时，学生觉得方程就是方程，函数就是函数，不会利用函数的性质解决求最大值等一些实际问题［３］．事实上，函数与方程㊁不等式等是紧密联系的，函数图像与坐标轴交点正是从 形 的角度阐明了方程 解 的概念，把数与形结合起来．正因为教师在平时教学中没有从整体上处理教材，特别是在复习阶段不会沟通各部分知识之间的联系，所以学生对函数的学习就难以达到 综合图式 阶段．二㊁对初中函数概念教学的建议（一）让学生经历函数概念学习的完整过程在数学概念教学的相关理论中，有一个很重要的理论是杜宾斯基提出的ＡＰＯＳ理论．这个理论指出了学生学习数学概念应经历活动㊁操作㊁对象和图式四个阶段，经历这些过程才能促成学生对数学概念的本质理解，而不是简单地为了应付考试，同时这也给数学教师提供了一项进行函数概念教学的理论工具．为了真正理解函数概念的本质，学生对函数概念的学习也应经历这四个阶段，而且这四个阶段是不可颠倒顺序的．在这种概念教学理论的指导下，教师对函数概念教学进行了思考，函数概念教学除了具有一般的数学概念教学特征外，还属于 聚类研究 的概念类型．我们应通过对大量的材料进行分析，找出其中共同的本质特征，对这些本质特征抽象概括就形成概念．其大致过程可表达为如下几个环节：感知材料ң聚类分析ң归纳概括㊁抽象命名ң练习巩固㊁纳入系统．本文以江城区２０２１年中学数学教师技赛程三凤老师的一节‘函数概念“中的实录片段为例进行分析．环节１：感知材料情境１：播放校运会２００决赛的情境和学生成绩表后填下表：姓名学生１学生２学生３ｓｔｖ填表后让学生观察和思考：在上面的例子中，学生的成绩（速度ｖ）与时间（ｔ）之间有怎样的关系？情境２：出示阳江市昨天的气温变化图，观察气温（Ｔ）随时间（ｔ）的变化情况．情境３：长方形的周长为２４ｃｍ，其中一边为ｘｃｍ（其中ｘ＞０），面积为ｙｃｍ２，面积ｙ与ｘ有怎样的关系？情境４：一个小球在一个斜坡由静止开始从上向下滚动，其速度每秒增加２ｍ／ｓ，到达坡底时小球的速度达到４０ｍ／ｓ，求小球的速度与时间之间的关系．分析：在教学中，如果教师只举一两个例子，不足以让学生感知函数的本质特征，这一环节通过大量的材料，让学生充分感知，引导学生自主分析研究，感受 函数 的三个要素： 一个变化过程 两个变量 确定的依赖关系 ，为后面提炼 函数 的概念作铺垫．这里所说的 大量 不仅是指数量，还指所举的例子涉及生活的各个方面，但又能抽象出函数概念的本质特征，必要时还要举一些不能反映函数概念特征的例子作为反衬材料，加深学生对函数概念本质特征的感知．这一环节，与ＡＰＯＳ理论中的 活动阶段 相对应，是该理论在初中函数概念教学中的一个应用．环节２：聚类分析，探究本质问题１：通过对前面大量情境的分析，你发现这些不同的例子中存在什么共同的特点？由于这个问题太宽泛，学生回答起来非常困难，于是老师做了如下引导：引导１：在上面的每个变化过程中，出现了一些量，你能对这些量进行分类吗？（引出常量和变量）引导２：在上面的每个变化过程中，两个变化的量之间存在怎样的关系？引导３：是不是一个量随另一个量的变化而随意变化？分析：教师通过上面的问题引导学生对生活中的不同例子进行聚类分析，找到不同问题中的共同点，提炼本质，也为下一环节做好准备．这一环节，相当于是ＡＰＯＳ理论中的 操作阶段 ．环节３：归纳概括㊁抽象命名提炼引导１：你可否用一句话把你的发现表达出来？（小组讨论）提炼引导２：前面的各例中，你会用一个数学式子表达这种确定的关系吗？教师在总结小组讨论结果时，得出教材中关于函数的描述性定义，同时说明这样的表达式称为函数解析式．环节４：练习巩固１．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（１）改变正方形的边长ｘ，正方形的面积ｓ随之改变．（２）生活用电每度０．６８元，小亮家每个月份的电费ｙ（元）与每个月的用电量ｘ（度）之间的关系．（３）三角形的一边长是８厘米，它的面积ｓ（平方厘米）与这边上的高ｈ（厘米）之间的关系．２．下列关于变量ｘ，ｙ的关系中，ｙ是ｘ的函数的有．（１）３ｘ－２ｙ＝０㊀（２）５ｘ－ｙ２＝１㊀（３）ｙ＝ｘ㊀（４）ｙ＝ʃｘ分析：这一环节，教师通过练习巩固学生对变量与函数的理解，帮助学生学会用函数关系来分析问题，深刻体会其中的函数思想．但是想通过一节课，让学生对函数概念的理解达到ＡＰＯＳ理论所说的 对象 和 综合图式 阶段是不现实的，需要后续的学习逐渐完善．（二）注意引导学生从整体上把握函数的解析式㊁图像与性质之间的内在联系，养成 心中有图 的习惯例如，我们在学习二次函数图像的平移知识时，可设置. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１５４数学学习与研究㊀２０２１ ３５如下问题：（１）请在同一坐标系中画出ｙ＝２ｘ２，ｙ＝２（ｘ－１）２，ｙ＝２（ｘ－１）２＋３的图像？（２）观察图像，你发现每两个图像之间可以通过怎样的平移得到另一个图像？（３）观察列表，图像上每个点与顶点的移动规律是否相同？（４）推广到一般情况，你可以归纳出ｙ＝ａｘ２（ａʂ０），ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２（ａʂ０），ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａʂ０）的图像之间有怎样的关系吗？通过前面的抽象，我们认识到了函数概念本质，对于各类具体函数，我们可以结合其解析式和图像，逐步精致化，使函数成为一个思维中的具体的对象．如上述的二次函数图像的上㊁下㊁左㊁右平移问题，解决现实问题中的各类函数模型等的训练，都有助于学生对函数的学习进入对象阶段．（三）沟通函数与其他知识的联系，把函数数概念纳入数学概念的大系统中例如在复习阶段，我们可以通过下表沟通代数式㊁方程㊁不等式㊁函数之间的关系：代数式方程与不等式函数名称与解析式图像性质整式ｋｘ＋ｂ（ｋʂ０）ｋｘ＋ｂ＝０（ｋʂ０）ｋｘ＋ｂ＞０（ｋʂ０）ｋｘ＋ｂ＜０（ｋʂ０）一次函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）一条直线当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小；当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大；直线与ｘ轴的交点是一元一次方程的根分式ｋｘ（ｋʂ０）反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）双曲线同一象限内，当ｋ＜０时，ｙ随ｘ的增大而增大；同一象限内，当ｋ＞０时，ｙ随ｘ的增大而减小整式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａʂ０）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（ａʂ０）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（ａʂ０）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）抛物线当ａ＜０时，图像开口向下；当ａ＞０时，图像开口向上．Δ＞０，图像与ｘ轴有两个交点；Δ＝０，图像与ｘ轴有一个交点；Δ＜０，图像与ｘ轴没有交点通过这样的沟通，学生脑海中对于函数的理解便不仅仅是一个定义，还包括形成函数概念的过程，各类具体函数的样例，函数与方程㊁不等式等概念的联系等．教材的编写同样很好地体现了这样一种理念，例如在一次函数的学习中，学完相关概念和性质后，设计一节专门学习一次函数与方程㊁不等式之间联系的课程，这样的安排正是为了让学生对函数的学习进入到 综合图式 阶段．当然，学生对函数的理解要进入 综合图式 阶段不是一件容易的事，不是一节课能完成的，也不是每一节课的学习都能经历四个阶段，这是一个长期的过程．通过沟通，我们把函数的局部概念纳入整体中来认识，可以使学生经历知识的形成过程，有利于学生形成真实的探究过程，把握概念之间整体的内在联系，防止学生对函数概念的理解仅仅停留在机械记忆层面．（四）循序渐进渗透函数思想对于函数概念的学习不是一节课可以完成的，是一个长期的过程，实际上函数概念贯穿于整个初中数学的学习，我们要循序渐进地渗透函数思想．例如，我们在正式学习函数概念之前，七年级学的用字母表示数，正是函数中变量的初步思想．教师在开展七年级代数式的教学时，代数式的值与字母取值的对应关系正也正是函数的思想；在学习分式时，探索分式有意义的条件，不正是探求函数自变量的取值范围吗？还有方程㊁不等式等都与函数紧密相连．所以，教师在整个初中数学教学过程中，有意识地渗透函数思想，积累相应的活动经验，沟通知识之间联系，对于学生学习函数是一件十分重要的事情．综上所述，教师对于初中函数概念的教学要克服只重结论，轻过程的问题，不能由教师单纯讲述㊁学生机械记忆的方式进行教学；不能只为追求课堂的热闹，过分情境化，缺少剥离，出现去数学化的倾向，从而造成课堂热热闹闹，学生却什么也学不到的情况．教师应精心设计数学活动，引导学生经历函数概念完整的形成过程，使学生经过活动㊁操作等过程理解函数概念的本质，并通过练习巩固对概念的理解；要促进函数概念与其他知识的联系，在整体大系统中把握函数的局部概念；要重视数形结合的数学思想在函数教学中的运用，形成心中有图的学习习惯；教师要充分认识学生学习函数概念的困难性和渐进性在教学中逐步渗透函数概念．ʌ参考文献ɔ［１］林乐．编织函数课程燃起学生学习函数的热情［Ｊ］．数学之友，２０１８（０６）：５７－６０．［２］陈德前．‘函数“测试题［Ｊ］．中学生数理化：八年级数学（人教版），２０１７（０５）：４．. 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初中数学《变量与函数》教案一、教学目标1. 让学生理解变量的概念，能够识别常量和变量。

2. 让学生掌握函数的定义，能够判断两个变量之间的函数关系。

3. 培养学生运用函数解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 常量与变量的概念。

2. 函数的定义及其相关性质。

3. 函数关系的判断。

三、教学重点与难点1. 教学重点：常量与变量的概念，函数的定义及其性质。

2. 教学难点：函数关系的判断。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究常量与变量、函数的关系。

2. 利用实例分析，让学生直观理解函数的概念。

3. 运用小组合作学习，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中常见的变化现象，引导学生认识常量和变量。

2. 自主学习：让学生通过教材自主学习常量与变量的概念，并尝试判断生活中的常量和变量。

3. 课堂讲解：讲解常量与变量的概念，并通过实例让学生理解函数的定义。

4. 课堂练习：设计相关练习题，让学生判断生活中的函数关系。

5. 拓展应用：让学生运用函数解决实际问题，如计算购物时的折扣等。

6. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，收集学生反馈，为后续教学做好准备。

六、教学评价1. 课后作业：布置有关常量、变量和函数的练习题，要求学生在课后进行自主复习和巩固。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答以及合作学习的表现，了解学生的学习情况。

3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如购物折扣、行程规划等。

七、教学拓展1. 介绍函数在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数、物理学中的速度与时间函数等。

2. 引导学生探究函数的图像，如直线、曲线等，并了解它们的特点和应用。

八、教学资源1. 教材：提供《变量与函数》的相关章节内容，供学生自主学习和参考。

2. 实例素材：收集生活中的实例，用于讲解和展示函数的应用。

3. 练习题库：准备不同难度的练习题，用于课堂练习和课后巩固。

初中变量和常量的概念教案1. 让学生理解变量和常量的概念，掌握它们之间的区别和联系。

2. 培养学生从实际问题中抽象出变量和常量的能力，感受数学与生活的紧密联系。

3. 培养学生运用变量和常量解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

二、教学内容1. 变量和常量的定义及其区别和联系。

2. 实际问题中变量和常量的应用。

三、教学重难点1. 掌握变量和常量的概念，能够从实际问题中识别变量和常量。

2. 理解变量和常量在实际问题中的作用，能够运用它们解决实际问题。

四、教学方法1. 采用情境教学法，让学生在实际问题中感受变量和常量的存在。

2. 采用合作学习法，让学生通过讨论、交流，共同探讨变量和常量的特点和应用。

3. 采用引导发现法，引导学生从实际问题中发现变量和常量，培养学生的问题意识。

五、教学过程1. 导入：通过展示一幅图，让学生观察图中的变化，引出变量和常量的概念。

2. 新课：介绍变量和常量的定义，讲解它们之间的区别和联系。

3. 实例分析：给出几个实际问题，让学生识别其中的变量和常量，并探讨它们的运用。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结变量和常量的特点，以及如何运用它们解决实际问题。

5. 总结：对变量和常量的概念进行归纳总结，强调它们在数学和生活中的重要性。

6. 练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容，提高运用变量和常量解决实际问题的能力。

七、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解变量和常量的概念，掌握它们之间的区别和联系。

在实际问题中，学生应能够识别变量和常量，并运用它们解决实际问题。

同时，学生应感受到数学与生活的紧密联系，提高数学应用意识。

在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生从实际问题中发现变量和常量。

此外，教师还应注重培养学生的合作学习能力，鼓励学生积极参与讨论，提高问题意识。

总之，本节课的教学目标是让学生掌握变量和常量的概念，培养学生运用它们解决实际问题的能力。

初中数学教案变量与常量初中数学教案：变量与常量引言：数学是一门严谨而有趣的学科，而初中数学作为数学学习的基础课程，需培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

其中，理解和掌握变量与常量的概念至关重要。

本教案旨在通过寓教于乐的方式帮助学生深入理解变量与常量的含义、作用以及它们在数学问题中的应用。

一、背景知识的概述1. 变量与常量的定义在数学中，变量是指可改变的量，常用字母表示；而常量是指固定不变的量，常用数字或字母表示。

2. 变量与常量的作用变量与常量在数学问题中起着不同的作用。

学生需要理解这两个概念的区别，以及它们在算术、代数以及其他实际问题中的应用。

二、教学目标在本课中，学生将能够：1. 定义变量与常量的概念；2. 区分变量与常量，并举例说明；3. 运用变量与常量解决实际问题。

三、教学内容和方法1. 引入利用一个有趣的情境或问题，引起学生的兴趣，并提出相关问题，如：在一次志愿者活动中，有多少人愿意为植树活动做贡献？请你们想一想，这个数字应该是一个变量还是一个常量？2. 讲解变量与常量的概念通过示意图、实例等方式，清晰地解释变量与常量的定义，并与学生进行互动讨论。

3. 变量与常量的区分通过多个实例，与学生一起分析问题，并要求他们判断出变量与常量在不同情景中的应用与区别。

4. 变量与常量的应用数学中变量与常量的应用非常广泛，可以引导学生在解决实际问题中灵活运用这两个概念。

可以设计实际问题，要求学生在解决问题时运用变量与常量，并进行解答。

5. 知识总结综合归纳变量与常量的定义及其应用，并通过提问和讨论的形式巩固学生的理解。

四、教学辅助工具和评估方式1. 辅助工具课件、黑板、粉笔、实物物品等。

2. 评估方式可以设计小组活动、个人作业或小测验等方式对学生对变量与常量的理解进行评估。

五、课堂延伸1. 拓展思维鼓励学生思考变量与常量的应用在其他学科和实际生活中的重要性，如化学中化学方程式中的变量、经济学中的变量等。

初中数学教学中，概念获得的方式有两种，一种以概念形成方式获得，另一种是以概念同化方式获得。

由于初中生的年龄、认知水平的特点，数学认知结构比较简单而具体，数学知识比较贫乏，在学习新的数学知识时，能作为同化新知识的已有基本知识比较少或没有，因此在教学中，大部分概念是以概念形成方式进行教学的。

所谓概念形成是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳方式概括出这类事物的本质属性从而获得概念的方式。

函数概念是初中数学教学的重点和难点，是常量数学到变量数学的转折点，是学生学习变量数学的起点，是初中数学的核心概念之一。

因和学生已有的常量数学知识不能直接相联系，因此函数概念的引入利用概念形成的方式进行，本文谈谈在这个过程中，如何提高函数概念教学的有效性。

一、正例的充分性正例的充分性是指在函数概念的形成过程中，所举正例的个数、正例的类型满足什么条件，才能使学生形成正确的函数概念的表征。

在函数概念的形成过程中，有很多因素需要考虑，其中主要应考虑以下几个方面的因素。

第一，从数学教学心理学对概念形成的要求，所举的正例要有利于学生通过观察、分析、比较、归纳、概括出这些例子的本质属性，从这个角度分析，所举正例的个数至少应在二个，才能进行比较、分析、归纳、概括例子共同的本质属性。

第二，从函数的表示方法上来分析。

两个变量之间的对应关系可用解析式、列表法、图像法等三种方法表示，因此所举正例的个数至少应包括二种类型。

不妨假设只举两个变量之间的关系用解析法表示的例子，这样会使学生认为函数解析式是函数概念的本质属性，从而扩大函数概念的内涵。

例如，举如下问题1、问题2两个例子形成函数概念。

问题1．地球上的赤道是一个大圆，半径长r≈6.378×106（米）。

设想有一个飞行器环绕赤道飞行一周，其轨道是与赤道在同一平面且同圆心的圆E。

如果圆E的周长比赤道的周长多a米，那么圆E的半径r是多少米？问题2．一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升。

一元一次方程的变量与常量教学介绍一元一次方程是初中数学中的基础知识之一，也是解决实际问题的有力工具。

本文将介绍一元一次方程中的变量与常量的概念，并探讨如何在教学中有效地介绍这一内容。

一、变量与常量的概念在学习一元一次方程前，学生需要首先了解变量与常量的概念。

变量是指在方程中表示未知数的字母或符号，常常用x来表示。

常量是指在方程中已知数，其数值是固定不变的。

变量和常量的概念有助于学生理解方程中的数学关系。

二、变量与常量的表示方式变量和常量在方程中的表示方式可以有多种形式。

例如，我们可以用一个未知数加上一个已知数来表示一个一元一次方程。

具体表达形式如下：ax + b = c其中，a表示未知数的系数，b表示已知数的系数，c表示方程的常量。

通过这样的表示方式，学生能够清晰地看到方程中的变量和常量的不同。

三、变量与常量的应用举例在实际问题中，一元一次方程的变量与常量有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用举例：1. 速度问题：假设一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已知行驶时间为t小时，求行驶的距离。

在这个问题中，速度是常量，时间是变量，距离则是方程的解。

2. 价格问题：某商品原价为p元，现在打折后降价c元，求现在的价格。

在这个问题中，原价是常量，降价和现价是变量，我们需要通过方程求解现价。

3. 比例问题：某材料中A和B两种分子的比例为a:b，假设总共有c个分子，求A和B各有多少个分子。

在这个问题中，比例是常量，分子数是变量，我们可以通过方程求解A和B的个数。

通过这些实际应用举例，学生能够更好地理解方程中变量和常量的概念，并将其应用到解决实际问题中。

四、教学设计与方法为了有效地教授一元一次方程的变量与常量，教师可以采用以下教学设计与方法：1. 引入问题：通过具体实例或问题，引导学生思考在实际情境中如何使用方程来描述相关的数学关系。

2. 示范演示：教师可以通过具体计算步骤的示范演示，让学生清楚地了解变量和常量在方程中的表示和应用。

教案：初中数学——变量与常量教学目标：1. 了解常量和变量的概念，能够区分两者。

2. 能够运用常量和变量解决实际问题。

3. 理解变量在数学中的作用，培养学生的抽象思维能力。

教学内容：1. 常量与变量的定义。

2. 常量与变量的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：在我们日常生活中，有哪些事物是经常变化的？有哪些事物是不变的？2. 学生回答，教师总结：像身高、体重、年龄等都是经常变化的事物，我们称之为变量；而像圆周率、地球的质量等都是不变的事物，我们称之为常量。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解常量的概念：常量是在某个过程中不变的量。

2. 讲解变量的概念：变量是在某个过程中可以取不同值的量。

3. 举例说明：如圆的周长公式C=2πr，其中r是变量，π是常量。

三、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成教材P38的练习题1-3。

2. 学生互相交流答案，教师讲解正确与否。

四、应用拓展（10分钟）1. 请学生举例说明生活中常见的常量和变量。

2. 学生分组讨论，每组选出一个实际问题，用常量和变量来解决。

3. 各组汇报讨论结果，教师点评。

五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生复述常量和变量的概念。

2. 强调常量和变量在实际问题中的应用。

教学评价：1. 课后作业：请学生完成教材P39的练习题1-5。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、应用拓展和总结等环节，让学生掌握了常量和变量的概念及应用。

在课堂练习和应用拓展环节，学生能够主动思考、合作交流，提高了解决问题的能力。

但在教学过程中，要注意引导学生正确理解常量和变量的区别，避免混淆。