有理数的意义-知识讲解(学)

对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。

也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。

维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。

然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。

若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。

或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。

因此在自然数域中算术运算是全可能的。

那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。

对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。

因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。

（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

六年级上册数学期末复习知识梳理第二章有理数及其运算2.1 有理数重点：有理数的意义，用正负数表示相反数意义的量难点：按不同的标准对有理数进行分类解题技巧在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时,“正”和“负”是相对而言的,用“正”来表示其中的一个量,就用“负”来表示另一个与之意义相反的量,但我们一般把“增加”“上涨”“盈利”“高于”等记为“正”,把与它们有相反意义的量记为“负”此外,在用正负数表示一对具有相反意义的量时,不要少了后面的单位。

知识点拨。

③相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都是数量。

④意义相反的量中的两个量必须是同类量,如节约汽油3t与浪费1t水就不是具有相反意义的量。

2.2 数轴重点：用数轴表示有理数难点：利用数轴表示有理数的大小解题方法1.在数轴上表示有理数的方法:在数轴上,对于不为零的有理数,可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边,再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度,然后标上相应的点。

2.找出数轴上的点对应的有理数的步骤:(1)确定点与原点的位置关系(负左正右);(2)确定点与原点的距离。

知识方法要点：1.数轴上表示的两个数，右边的总是比左边大。

2.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

2.3 绝对值重点：相反数和绝对值的概念及应用。

难点：利用绝对值的概念比较两个负数的大小。

a （a>0）|a| 0 （a=0）互为相反数的两个数绝对值等于0a （a<0）解题方法1.利用数轴确定一个数的绝对值时,首先确定这个数在数轴上表示的点,然后确定这个点到原点的距离即可。

2.对于绝对值的计算,首先要判断这个数是正数、零,还是负数.如果绝对值里面的数是非负数,那么这个数的绝对值就是它本身;如果绝对值里面的数是负数,那么这个数的绝对值就是它的相反数。

知识点拨比较两个负数的大小,可以运用绝对值法,根据“两个负数,绝对值大的反而小”来比较大小;也可以运用数轴法,把要比较大小的两个负数在数轴上表示出来,右边的数总大于左边的数”来判断。

有理数基础知识正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

如：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

第一部分有理数知识点梳理一、有理数的意义1、正数和负数知识点1 负数的引入正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点2 正数和负数的概念（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

（3）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。

知识点3 有理数的有关概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。

但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

（2）整数包括正整数、零、负整数。

例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。

（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。

（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。

π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

内容 基本要求略高要求较高要求有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系 会借助数轴比较有理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一、正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ︒和零下4C ︒等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0. 负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.例题精讲中考要求有理数基本概念及运算用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km-.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【例1】⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为.⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示.⑶某地区5月平均温度为20C︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-，4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是.⑷向南走200-米，表示.【巩固】珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为【例2】下列说法正确的是（）A．a-一定是负数B．一个数不是正数就是负数C．0-是负数D．在正数前面加“-”号，就成了负数【巩固】下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有个；负整数有个；自然数有个【例3】检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：最接近标准质量的是_______号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【巩固】 若a -是负数，则a【例4】 ⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是 （填序号）．【巩固】 ⑴下列说法正确的是（ ）A ．a -表示负有理数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．两个数的和一定大于每个加数D ．绝对值相等的两个有理数相等 ⑵两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ） A ．这两个加数的符号都是正的 B ．这两个加数的符号都是负的 C ．这两个加数的符号不能相同 D ．这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例5】 ⑴（2010朝阳二模）6的倒数是（ ）A ．6-B ．16± C ．61- D ．61⑵（2010东城二模）5-的倒数是（ ）A ．-5B ．5C ．15-D ． 15⑶（2010房山二模）4-的倒数是（ ）A. 4B. -4C. 14-D. 14⑷ (2010宣武二模)7-的倒数为（ ）A.7B.17C.17- D.7- ⑸ （2010顺义二模）5的倒数是（ ）A ．5-B ．15C D ．5 ⑹（2010西城二模）2010-的倒数是（ ）A. 2010B. 20101-C. 20101D. －2010 【巩固】 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20022003a b += 【巩固】 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值【例6】 在一列数123...a a a ，，中，已知112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”⑴ 求234a a a ，，的值⑵ 根据以上计算结果，求202007a a ，的值板块三 数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例7】 数轴上有一点A 它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．【巩固】 如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )MA .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n <【例8】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为（ ）A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【巩固】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点对应点为（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【巩固】在数轴上，下面说法中不正确的是( )．A．两个正数，小的离原点B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远【例9】⑴数轴上点A对应的数为3-，那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.⑵数轴上的点A、B分别表示数3-和2，点C是A、B的中点，则点C所表示的数是_________.⑶一个点从数轴的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则终点表示的数是_________.【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.【巩固】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【巩固】已知数轴上有A B，之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B所对应的，两点，A B数为【例10】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？【例11】初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下：A队：-50分；B队：150分；C队：-300分；D队：0分；E队：100分．⑴将5个队按由低分到高分的顺序排序；⑵把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；⑶从数轴上看A队与B队相差多少分？C队与E队呢？【巩固】在数轴上，点A和点B都在与154-对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？【例12】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。

第一章 有理数一、全章知识结构二、回顾正数、负数的意义及表示方法1、大于0的数叫做正数；正数的表示方法：a>0，2、在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；负数的表示方法：a<03、0即不是正数也不是负数。

正数，负数表示具有相反意义的量。

三、有理数的分类1、定义：整数和分数统称为有理数有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：3、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：（1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小；（3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义；（4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x|四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

（1）几何意义：在数轴上表示一对相反数的两个点与原点的距离相等。

（2）代数意义：只有符号不同的两个数。

（3）互为相反数的特性：a+b=0，0的相反数是0。

（4）会求一个数的相反数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数a 的相反数为 a-b 的相反数为 2、倒数:（1）乘积是1的两个数互为倒数 （2）互为倒数的特性: ab=1, （3）0没有倒数（4）互为负倒数: 乘积是－1的两个数互为负倒数; ab=－1 3、非负数：（1）就是大于或等于0的数：a 0（2）数轴上，在原点的右边包括原点的点表示的数 （3）任何数的平方数都是非负数（4）非正数：就是小于或等于0的数：a 0（5）数轴上，在原点的左边包括原点的点表示的数 4、绝对值：（1）几何意义：一个数的绝对值就是它到原点的距离。

（2）代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

第一章 有理数1、正数和负数的有关概念（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。

（2）正数和负数表示相反意义的量。

2、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。

通常有两种分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正数正分数有理数负整数负数负分数 3、有关数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴是一条直线。

（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。

4、绝对值与相反数（1）绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值，记作：a 。

一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则a+b=0；相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

（3）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。

任何数的绝对值是非负数。

本身之迷①倒数是它本身的数是±1②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0数之最①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数5、利用绝对值比较大小两个正数比较：绝对值大的那个数大；两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。

第一讲有理数令狐采学【1.1正数与正数】知识点对应训练知识点1：正数、正数的概念像3、2、0.5、1.8％这样比0年夜的数叫，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。

正数前面的“+”，一般省略不写：而像3、2、3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫。

如6，，…。

“6”读作。

【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是正数？10，1，0.5，0，36，52-，15％，60，531-，22.8解：1、下列各数 11 ，0.2，81-，74+，1，1， a， 30％中，（）一定是正数，（）一定是正数。

知识点2：对“0”的理解。

0既不是数，也不是数，它是正数与正数的分水岭。

它的意义很特殊，它既可以暗示“没有”，也可以暗示特定的意义。

【例2】对“0”的说法正确的有（）①0是正数与正数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是正数的数。

解：2下列说法正确的有（）。

①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非正数；④一个数不是正数就是正数；⑤正数也叫非正数。

⑥一个数，如果不是正数，肯定就是正数．知识点3;用正数和正数暗示具有相反意义的量。

相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是它们都具有数量，并且一定是量。

【例3】下面问题中：（1）将水位上升3m时水位变更记作+3m；则水位下降3m时水位变更记作3m。

（2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降3kg，记作3kg（3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作500元。

（4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作120m.（5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作5m.表述有毛病的是（）。

3、用正数和正数暗示同一问题中具有相反意义的量。

①某校七年级举行足球角逐，一班胜两局，记作+2；则三班输一局，记作。

②如果浪费8度电，记作8度；那么节约15度电记作。

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

重点：有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方法的掌握。

二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

知识点二：正数和负数的概念要点诠释：（1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。

（2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。

负数比0小。

（3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。

注意：（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号，例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。

（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。

因为字母a可以表示任意的数，若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a 是正数）。

1.2.1有理数知识点一：有理数的概念 题型一：有理数的概念【例题1】（2020·浙江杭州市·七年级期末）在下列各数中，负分数有（ ）1-， 3.141559-，2，13-，13，0，12，5%-，34A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据负分数的意义，可得答案．【详解】解：负分数有： 3.141559-，13-，5%-，共3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．变式训练 知识点管理 归类探究 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

【变式1-1】（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ） A ．正数和负数统称为有理数B ．正整数包括自然数和零C ．零是最小的整数D ．非负数包括零和正数 【答案】D【分析】按照有理数的分类进行选择．【详解】解：A 、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；B 、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；C 、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；D 、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D ．【变式1-2】（2019·海南鑫源高级中学七年级期中）某人的身份证是 469003************ ，则这个人出生的年、月、日是_____【答案】2007年12月01日【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由某人的身份证是 469003************ ，则这个人出生的年、月、日是2007年12月01日；故答案为2007年12月01日．【点睛】本题主要考查有理数的意义，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．【变式1-3】（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，2 ，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，227，3.14，其中有理数有_____个． 【答案】4．【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、227、3.14， 故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．知识点二：有理数的分类题型二：有理数分类【例题2】20．（2021·全国七年级专题练习）把下列各数填入它所属的括号内：15，−19，－5，512，0，－5.32，37%（1）分数集合{ …}；（2）整数集合{ …}．【答案】（1）分数集合{−19，512，－5.32，37%…}；（2）整数集合{15，－5，0，…}． 【分析】（1）按照有理数的分类找出分数即可；（2）按照有理数的分类找出整数即可．【详解】解：（1）分数集合{−19，512，－5.32，37%…}； （2）整数集合{15，－5，0，…}．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是明确分数和整数的定义，准确进行分类．变式训练【变式2-1】（2020·浙江七年级单元测试）把下面的数填入它所属于的集合的大括号内（填序号） ① 5.3-，①5+，①20%，①0，①27-，①7-，①3--∣∣，①( 1.8)-- 正数集合｛ ｝整数集合｛ ｝分数集合｛｝有理数集合｛｝【答案】见解析【分析】根据有理数的分类填空．【详解】解：-|-3|=-3，-（-1.8）=1.8．正数集合{①①①}整数集合{①①①①}分数集合{①①①①}有理数集合{①①①①①①①①}．【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【变式2-2】（2020·贵阳市清镇养正学校七年级月考）下列语句中正确的有（）① 所有整数都是正数；① 所有正数都是整数；① 自然数都是正数；① 分数是有理数；① 在有理数中除了正数就是负数．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据有理数的分类及相关概念可直接进行排除选项．【详解】解：①所有整数都是正数，错误，比如-1；①所有正数都是整数，错误，比如0.5；①自然数都是正数，错误，比如0；①分数是有理数，正确；①在有理数中除了正数就是负数，错误，还有零；①正确的有一个；故选A．【变式2-3】（2021·全国七年级专题练习）把下列各数分别填在相应的大括号里．13，3.1415，﹣31，﹣21%，13，0，﹣0.216，﹣2020整数：{…}；正整数：{…}；负分数：{…}；负整数：{…}．【答案】13，﹣31，0，﹣2020；13；﹣21%，﹣0.216；﹣31，﹣2020【分析】依题意，根据整数、正整数、负分数、负整数的定义把有关的数填入相应的集合即可．【详解】由题知：整数：{13，﹣31，0，﹣2020…}；正整数：{13…}；负分数：{﹣21%，﹣0.216…}；负整数：{﹣31，﹣2020…}．故填：13，﹣31，0，﹣2020；13；﹣21%，﹣0.216；﹣31，﹣2020．【点睛】本题考查对数的分类，难点在熟练的理解数分类之间依据【例题3】（2020·广东珠海市·梅华中学七年级期中）在5-，2.3，0，π，123-五个数中，非负的有理数共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】找出五个数中的非负有理数即可．【详解】在5-，2.3，0，π，123-五个数中，非负的有理数有：2.3，0共两个． 故选：B ．【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握非负有理数的定义是解本题的关键．变式训练【变式3-1】（2020·宁津县育新中学七年级期中）已知下列各数-8， 2.1，19， 3， 0，﹣2.5， 10， -1中，其中非负数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】D【分析】非负数包括正数和0，选出即可．【详解】解：非负数有2.1，19，3，0，10，共5个， 故选：D ．【点睛】本题考查了有理数，正数、负数，能理解非负数的意义是解此题的关键，注意：非负数包括正数和0．【变式3-2】（2019·海南鑫源高级中学七年级期中）在数－23，5，23，0，4，35，5.2中，是整数的_____；非正数集合____【答案】-23，5，0，4， -23，0【分析】整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数；比0大的数是正数，非正数即0与负数，据此解题．【详解】解：在数－23，5，23，0，4，35，5.2中，整数的有：-23，5，0，4；非正数的有：-23，0，故答案为：-23，5，0，4；-23，0．【点睛】本题考查有理数的分类、带“非”字的有理数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式3-3】知识点三：0表示的意义【例题4】（2021·四川成都市·七年级期中）零一定是（）A．整数B．负数C．正数D．奇数【答案】A【分析】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数．【详解】0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数，0可以被2整除，所以0是一个特殊的偶数，只有A选项符合．故选：A．【点睛】本题考查了零的相关知识，熟记并理解是解决本题的关键．变式训练【变式4-1】（2020·浙江七年级其他模拟）下面结论错误的是（）A．零是整数B．零不是整数C．零是自然数D．零是有理数【答案】B【分析】由于零是有理数，也是整数，还是自然数，由此可分别进行判断．【详解】解：A、零是整数，所以A选项的说法是正确的；B、零不是整数，所以B选项的说法是错误的；C、零是自然数，所以C选项的说法是正确的；D、零是有理数，所以D选项的说法是正确的．0表示的意义：①既不是正数，也还是负数；①是整数；①是最小的自然数；①是正数和负数分界．故选：B．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确有理数的相关概念．【变式4-2】（2020·苏州市吴江区铜罗中学七年级月考）下列说法错误的是（）A．0是最小的自然数B．0既不是正数，也不是负数C．0C 是零上温度和零下温度的分界线D．海拔高度是0米表示没有高度【答案】D【分析】根据有理数0的特殊性质解答．【详解】解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；C、0①是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；①是整数；①是最小的自然数；①是正数和负数分界．【变式4-3】（2020·武汉市梅苑学校七年级期中）下列结论正确的是（）A．0既是正数，又是负数B．0是最小的正数C．0是最小的整数D．0既不是正数也不是负数【答案】D【分析】根据0的概念逐项判断即可得．【详解】A、0既不是正数，也不是负数，则此项错误；B、0不是正数，则此项错误；C、整数包括负整数、0和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；D、0既不是正数也不是负数，则此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键．【真题1】（2019·湖北咸宁市·中考真题）下列关于0的说法正确的是（）A．0是正数B．0是负数C．0是有理数D．0是无理数【答案】C【分析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案．【详解】0既不是正数也不是负数，0是有理数．故选C【点睛】此题主要考查了实数，正确把握实数有关定义是解题关键．【真题2】（2019·四川乐山市·中考真题）a一定是（）A．正数B．负数C．0D．以上选项都不正确【答案】D【分析】根据题意，a可能为正数，故-a为负数；a可能为0，则-a为0；a可能为负数，-a为正数，由于题中未说明a是哪一种，故无法判断-a.【详解】①a可正、可负、也可能是0①选D.【点睛】本题考查了有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.【真题3】（2018·重庆中考真题）下列四个数中，是正整数的是（）A．﹣1B．0C．12D．1【答案】D【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．【详解】A、-1是负整数，故选项错误；B、0既不是正整数，也不是负整数；故选项错误；C、12是分数，不是整数，错误；D、1是正整数，故选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．【真题4】（2020·长沙中考）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的链接中考的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；①圆周率是一个无理数；①圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；①圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 【答案】A【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；①π是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；①圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；①圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A ．【点睛】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．【真题3】（2021·福建中考真题）写出一个无理数x ，使得14x <<，则x 可以是_________（只要写出一个满足条件的x 即可）,1.010010001π⋅⋅⋅等）【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，①无限不循环小数，①含有π的数，【详解】根据无理数的定义写一个无理数，满足14x <<即可；所以可以写：①①无限不循环小数，1.010010001……，①含有π的数,2π等．只要写出一个满足条件的x 即可．,1.010010001π……等）【点睛】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，①无限不循环小数，①含有π的数．【拓展1】（2017·湖北全国·七年级课时练习）观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，_________，_________；（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，_________，_________；（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，_________，_________.【答案】1, -1; 18, -20; -1, 0.【详解】(1) 在该数列中，1与-1交替出现，故后面的两个数分别为1，-1.(2) 该数列可以看作是先将正整数中的偶数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：18，-20.(3) 该数列可以看作是以1，0，-1，0为一个基本单元并不断重复而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：-1，0.故本题应依次填写：1，-1；18，-20；-1，0.点睛：本题是一道数字规律探索题. 在解决规律探索题的时候，要注意观察题目中已给出的数字的特征以及这些数字和它们所处位置的序数的关系，同时也要注意已知的数字排列的整体特征. 另外，在获得有关规律的初步结论后，要利用已知的数字多次检验相关结论的正确性.【拓展2】（2018·天水期末）阅读下列材料：设x=0.3•=0.333…①，则10x=3.333…①，则由①﹣①得：9x=3，即x=13．所以0.3•=0.333…=13．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．0.7•=_____，1.3•=_____．【答案】7943【详解】试题分析：设0.7=x=0.777…①，则10x=7.777…① 则由①﹣①得：9x=7，即x=79；根据已知条件0.3=0.333…=13．可以得到1.3=1+ 0.3=1+13=43．故答案为79；43．点睛：此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，正确题意，读懂阅读材料是解决本题的关键，这类题目可以训练学生的自学能力，是近几年出现的一类新型的中考题．此题比较难，要多次慢慢读懂题目．满分冲刺【拓展3】（2017·湖北全国·七年级课时练习）（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别是______，_____，______；（2）有一列数：12，25，310，417，…．那么接下来的第7个数是______________． 【答案】-9, 10, -11;750 【详解】(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11.(2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论.①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的.①观察这列数的分母可以看出，2111=⨯+，5221=⨯+，10331=⨯+，17441=⨯+，…因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的.根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为77150⨯+=，即第7个数应为750. 故本题应依次填写：-9，10，-11；750. 点睛：本题的难点在于第(2)小题，而第(2)小题的难点在于确定分数分母的变化规律. 在寻找这一规律时要特别注意这些分数的分母与相应的分数在整列数中的位置序数(在本题中相当于相应的分子的数值)的关系. 另外，在探索规律时，一般需要对各个数字进行一定的运算，要特别注意根据已知数的位置序数构造算式的形式，这常常是解决问题的突破口.【拓展4】（2017·湖北全国·七年级课时练习）把下列各数分别填在相应的横线上：1，-0.20，135，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有：______________________________________________________；分数有：______________________________________________________；负数有：______________________________________________________；正整数有：____________________________________________________；非正数有：_____________________________________________________；负整数有：_____________________________________________________；非负数有：_____________________________________________________；负分数有：_____________________________________________________；非负整数有：___________________________________________________．【答案】1，13 5，325，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，135，-23.13，0.618；-0.20，-789，-23.13，-2014；1，325；-0.20，-789，0，-23.13，-2014；-789，-2014；1，135，325，0，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，-23.13；1，325，0.【详解】按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得(1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数.(2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数.(3)135是正数；135是分数；135是非负数.(4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数.(5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数.(6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数.(7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数.(8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数.(9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数.(10) π是正数；π是非负数.(11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数.故本题应进行如下填写：(正数) 1，135，325，0.618，π，0.1010010001…；(分数) -0.20，135，-23.13，0.618；(负数) -0.20，-789，-23.13，-2014；(正整数) 1，325；(非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014；(负整数) -789，-2014；(非负数) 1，135，325，0，0.618，π，0.1010010001…；(负分数) -0.20，-23.13；(非负整数) 1，325，0.。

有理数的意义【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12−、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、正数与负数1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .（2）若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a−一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723−，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【解析】【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.举一反三：【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【变式2】观察下列有规律的数：,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是：【巩固练习】一、选择题1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个 （1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A ．前进-18米的意义是后退18米 B ．收入-4万元的意义是减少4万元 C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A ．甲站的东边70千米处 B ．甲站的西边20千米处 C ．甲站的东边30千米处 D ．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是 （ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ． 2二、填空题 1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ． 2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．是正数而不是整数的有理数是 .6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+−）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．甲地海拔高度是40m ，乙地海拔高度为30m ，丙地海拔高度是-20m ，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1,21,-31,41,51−,61,71−, , ,... ,...【答案与解析】【典型例题】类型一、正数与负数1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．举一反三：【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（3）这8名男生有百分之几达到标准？（4）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5100%62.5% 8⨯=；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么. 类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a−一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a−为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，⨯，⨯，⨯【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【答案】Ｄ4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723−，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，7 23−；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，723−； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0, 723− 【解析】【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三：【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．【答案】2.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】12+n【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关. 举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】901巩固练习：一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误； （2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误； （4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个． 2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数. 3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年. 4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处. 5. 【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对. 6. 【答案】B 二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，112；122−，0，-45 【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数. 3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量. 4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零. 5.【答案】正分数【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数. 6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0. 7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数. 8.【答案】10，10.03，9.98【解析】03.002.010+−表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03.三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m表示下降2m；(5)向南走-7m表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3．【解析】甲地海拔高度是40m，表示甲地在海平面以上40m处；乙地海拔高度为30m，表示乙地在海平面以上30m处；丙地海拔高度是-20m，表示丙地在海平面以下20m处；所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m）. 4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111 ,,...,, (892011)−−11/ 11。

知识点三：有理数的有关概念要点诠释：有理数的概念知识梳理1、有理数：整数和分数统称为有理数。

学习目标：有理数的概念一、目标认知注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示的数，这时的分数包括整数。

相反意义的量。

掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使但是本节中的分数不包括分母是1的分数。

用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上有理数的大小。

掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步述小数都可以用分数来表示，学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。

所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分重点：数。

有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。

的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小2、整数包括正整数、零、负整数。

例如：1、2、3、0、－1、难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意－2、－3等等。

义。

运用数轴理解绝对值的几何意义。

有理数比较大小的方3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、法的掌握。

－0.6等等。

二、知识要点梳理知识点四：有理数的分类知识点一：负数的引入要点诠释：要点诠释：1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发与0的关系分类：分数和小数已不能满足实际的需要，小学学过的自然数、展，注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正元、零上比如一些有相反意义的量：收入元和支出100200数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和而且表示一定的数它们不但意义相反，6℃和零下6℃等等，0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a＞0表明a是正量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数非正数。

有理数的意义-知识讲解有理数是数学中一类重要的数，它可以用整数作为分子和分母的比值表示。

有理数的意义体现在其在实际生活中的广泛应用，以下从有理数的定义、特点以及实际应用等方面进行讲解。

首先，有理数的定义是指可以写成两个整数的比值形式的数，其中分母不为零。

有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。

例如，2，-3，1/4等都是有理数。

有理数的特点主要体现在以下几个方面：1.有理数包括整数和分数两个主要部分，整数由负整数、零和正整数组成，而分数可以写成两个整数的比值形式。

2.有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果也仍然是有理数。

这一点在实际应用中十分重要，可以简化运算过程。

3.有理数可以用分数表示小数，并且保持有效位数，在实际应用中更加便于计算和表示。

4.有理数具有有限循环小数和无限循环小数两种形式。

循环小数是指在小数部分中有从一些位置开始重复的数字序列。

有理数在实际生活中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1.金融领域：有理数广泛应用于金融领域，如贷款利率、股票涨跌等计算中。

利率、股票涨跌等都可以用有理数来表示，便于计算和比较。

2.商业领域：商业中的销售额、成本、利润等也可以用有理数来表示。

商业决策涉及到大量的数值计算，有理数的应用可以方便快捷地进行计算和分析。

3.工程领域：在工程测量和设计中，有理数也有着重要的应用。

例如，建筑物的尺寸、管道的长度等都需要进行精确的测量和计算，有理数可以提供准确的数值。

4.科学领域：有理数常常出现在科学实验和数值模拟中。

例如，在物理实验中，测量得到的各种物理量可以用有理数表示，更方便进行分析和比较。

总结起来，有理数作为一类重要的数，具有重要的意义。

它不仅在数学学科中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛应用。

通过有理数，我们可以方便地进行各种数值计算，解决实际问题，进一步提高数学能力和解决实际问题的能力。

因此，对有理数的学习和掌握对于每个学生来说都是十分重要的。