01有理数的意义-巩固练习

教师: 学生: 学科: 日期: 年月日星期: 时段:课题第1讲有理数学习目标与考点分析1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法。

3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算4、会用科学记数法表示数(包括负指数幂的科学记数法)5、了解近似数，在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值。

学习重点难点1、有理数的实际意义。

2、求一个数的相反数、绝对值、倒数；在数轴上找出相应的数；数的比较大小。

3、用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。

4、有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。

5、有理数的运算。

教学方法讲练结合教学过程【知识网络】1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生。

“+”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。

它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加 “-”也是德国数学家魏德美创造的。

它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“⨯”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。

它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的。

它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。

列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

浙教版数学七年级上册-第一章-有理数-巩固练习一、单选题1.8的相反数是（）A.8B.C.﹣8D. -2.下列四种运算中，结果最大的是（）A.1+（﹣2）B.1﹣（﹣2）C.1×（﹣2）D.1÷（﹣2）3.﹣2的相反数是（）A.﹣2B. -C.2D.4.已知a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是()A.1－b＞－b＞1＋a＞aB.1＋a＞a＞1－b＞－bC.1＋a＞1－b＞a＞－bD.1－b＞1＋a＞－b＞a5.已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的有()①a＜b＜0；②|a|＞|b|；③a•b＞0；④b﹣a＞0；⑤a+b＜0．A.5个B.4个C.3个D.2个6.－2＋5的相反数是( )A.3B.－3C.－7D.77.点M为数轴上表示﹣2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位到点N，则点N表示的数是（）A.3B.5C. -7D.3或﹣78.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（）A.运进货物5t与运出货物2tB.向前走9m与向后走4mC.产量增加600kg与减少300kgD.胜1局与亏本70元9.若一个数的相反数是6，则这个数是()A. B. C.6 D. -6二、填空题10.数轴上表示数－3和2之间的所有整数（包括－3和2两个数）的和等于．11.如果a，b互为相反数，那么a+b=________，2a+2b=________．12.在数轴上表示+3的点在原点的________侧,离原点的距离是________个单位长度;表示-5的点在原点的________侧,它离原点的距离是________个单位长度;表示+3的点位于表示-5的点的________侧,两个点之间的距离是________个单位长度.13.在﹣5，，﹣1，﹣0.15，﹣这五个数中，与其他四个数不同的数是________14.在数轴上，到原点距离不大于2的所有整数有________；三、解答题15.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不这批样品的平均质量比标准质量多还是少，多（或少）几克? 若每袋标准质量为450g，则抽样的总质量是多少?16.把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”连接起来﹣2.5，0，+3.5，﹣．四、综合题17.七名七年级学生的体重，以48.0kg为标准，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的（2）最高体重与最低体重相差多少？（3）按体重的轻重排列时，恰好居中的是哪个学生？（4）求七名学生的平均体重．18.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.【提出问题】三个有理数满足，求的值.【解决问题】解:由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.① 都是正数，即时，则;②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则.综上所述，值为3或-1.【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:（1）三个有理数满足，求的值;（2）若为三个不为0的有理数，且，求的值19.某粮库3天内粮食进、出库的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：+26，﹣32，﹣15，+34，﹣38，﹣20（1）经过这3天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？（2）经过这3天，仓库管理员结算时发现库里还存280吨粮，那么3天前仓库里存粮多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？答案一、单选题1.【答案】C【解析】【分析】根据相反数的概念，互为相反数的两个数和为0，即可得出答案．【解答】根据概念可知8+（8的相反数)=0，0-8=-8所以8的相反数是-8．故选C．【点评】主要考查相反数概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是02.【答案】B【解析】【解答】解：A、1+（﹣2）=﹣1，B、1﹣（﹣2）=1+2=3，C、1×（﹣2）=﹣2，D、1÷（﹣2）=﹣，3＞﹣＞﹣1＞﹣2，故选：B．【分析】根据有理数的加法、减法、乘法、除法法则分别计算出四个选项中式子的得数，再比较大小及可选出答案．3.【答案】C【解析】【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：C．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．4.【答案】D【解析】【解答】解：根据a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1可简单设a为，b为（-），所以1-b=，1+a=，-b=，故答案为：D。

《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】类型一、有理数相关概念1．已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y ＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】解：因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y ＝0，mn ＝1，a ＝1，所以a 2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a 2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a 2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】【变式1】选择题 （1）已知四种说法：①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是a 与-a 中较大的数. ③|a|就是数轴上a 到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （2）有四个说法：①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3>0，则（ ）A ．ab<0B ．ab>0C ．a>0且b<0D ．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A ．120 B ．-15 C ．0 D ．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】（2015•呼伦贝尔）中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106．2.（2016•江西校级模拟）如果m ，n 互为相反数，那么|m+n ﹣2016|=________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n ﹣2016|. 【答案】2016.【解析】解：∵m ，n 互为相反数， ∴m+n=0，∴|m+n ﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为2016．【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】3．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷- ()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=-（3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=-（4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-=（5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac ；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等. 举一反三： 【变式】（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯【答案】解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯--251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯20(3)3=--2033=-+123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯5951()()942817224=-⨯++=-4. 先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算．举一反三：【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯ 类型三、数学思想在本章中的应用5．（2014•香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A ，B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案与解析】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4．②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3．③当代数式|x+1|十|x﹣2|取最小值时，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( )．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A ．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）．A ．1132 B ．1360 C ．1495 D ．1660【答案】B 提示：观察发现：分子总是1，第n 行的第一个数的分母就是n ，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的(1)2n-倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是111094360=⨯⨯．附录资料：方程的意义（基础）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦251x=+；⑧28553x x-=．【答案与解析】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．举一反三：【变式】下列四个式子中，是方程的是（）A. 3+2=5B. x=1C. 2x﹣3＜0D. a2+2ab+b2 【答案】B．2．（2015春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（）A. 4x﹣1=3x+2B. 4x+8=3（x+1）+1C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1D. x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．举一反三：【变式】下列方程中，解是x=3的是( )A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．217 3x+=类型二、一元一次方程的相关概念3．（2016春•南江县期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.【答案】B.【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．举一反三：【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x-=-． 【答案】①②. 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果41153x -=，那么453x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________； (3)如果4334t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下列说法正确的是( )．A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211a b c c =++. C ．在等式b c a a=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.【答案】B.类型四、设未知数列方程5．根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做对21道题．【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：【变式】根据下列条件列出方程．(l)x的5倍比x的相反数大10；(2)某数的34比它的倒数小4；(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则1344xx-=；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得11(5)3020x x+=．。

有理数的意义-巩固练习有理数是指可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和循环小数。

有理数的定义是数学中的基本概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

首先，有理数的意义在于能够精确地表示各种数量关系。

对于一些实际问题，我们往往需要准确地描述数量的多少。

例如，我们需要知道一些物品的重量、长度或时间等，这些都是可以用有理数来表示的。

有理数可以准确地表示测量结果，帮助我们更好地理解和解决实际问题。

其次，有理数的意义在于它们可以用于计算和比较。

有理数可以进行四则运算和比较大小，这在我们进行科学计算和数据分析时是必不可少的。

有理数的运算是系统而精确的，它能够满足我们对于运算的准确性要求。

另外，有理数的意义在于它们可以用于解决实际问题。

在日常生活和工作中，我们会遇到各种各样的问题，有理数可以帮助我们分析和解决这些问题。

例如，我们可以用有理数来计算家庭的开支、制定合理的时间安排，或者评估商业中的风险和收益等。

有理数可以为我们提供一个数学模型，帮助我们更好地理解和处理复杂的情况。

此外，有理数的意义还体现在它们可以用于表示和比较分数。

分数是有理数的一个重要子集，它们能够帮助我们更好地理解和处理部分的概念。

例如，在分数中，我们可以表示几分之几的份额，这在日常生活中十分常见。

有理数的分数形式可以简化我们对于比例关系和百分比的理解，帮助我们更好地解决各种实际问题。

最后，有理数的意义还在于它们构成了数学中的一个数域。

数域是指一组满足一定条件的数的集合，有理数是数学中最基本的数域之一、有理数的定义与运算规则奠定了数学中的基础，它们构成了数学体系的基础，包括代数学、数论、几何学等。

有理数的意义不仅体现在日常生活中的应用，还体现在数学研究和教育中的重要性。

综上所述，有理数的意义在于它们能够精确地表示数量关系，在计算和比较中起到重要作用，在解决实际问题中发挥重要的作用，以及构成了数学中的一个基本数域。

有理数的概念和运算规则是数学中的基础，它们不仅在日常生活中有着广泛的应用，还在数学学科的研究和教育中发挥着重要的作用。

人教版七年级数学（上）第1章有理数有理数的意义一．选择题（共10小题）1．下列各数中，是负数的为A．B．0C．0.2D．2．如果收入10元记作元，那么支出10元记作A．元B．元C．元D．元3．的绝对值是A．B．C．D．20204．下列各对数中，互为相反数的是A．2和B．和C．和D．和5．下列四个数中，比小的数是A．B．C．0D．16．地球静止轨道卫星的静止轨道与地面的高度为35830千米．将35830用科学记数法表示应为A．B．C．D．7．下列说法中正确的是A．B．如果，那么C．D．有最小的正有理数8．一实验室检测、、、四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是A．B．C．D．9．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为A．B．C．D．10．在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为A．B．C．1或D．7或二．填空题（共8小题）11．的绝对值是．12．用“”或“”符号填空：．13．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么运出面粉8吨应记为吨．14．在，，0，，，，19中正数有个．15．若与互为相反数，则的值为．16．下列4个数：，0，，由小到大排列为．17．在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为．（任意写出一个即可）18．动点，分别从数轴上表示10和的两点同时出发，以7个单位长度秒和4个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，秒后，点，间的距离为3个单位长度．三．解答题（共7小题）19．比较和的大小关系．20．已知是2的相反数，计算的值．21．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，0，，2.5，，．22．如图是一张不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置点；点；点点23．把下列各数填入相应的大括号内，2，0，3.14，，，，负数集合整数集合分数集合24．在新型冠状病毒疫情期间，某粮店购进标有50千克的大米5袋，可实际上每袋都有误差，若超出部分记为正数，不足部分记为负数，那么这5袋大米的误差如下（单位：千克），，，，（1）这5袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？（2）这5袋大米总重量多少千克？25．如图，一只蚂蚁在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发，爬向，，处．规定：向上或向右走为正，向下或向左走为负，如从到记为：，从到记为：．其中括号内第一个数表示左右方向运动情况，第二个数表示上下方向运动情况，根据以上材料，解答下面的问题：（1）从到记为，从到记为；（2）若这只蚂蚁的行走路线为，请计算该蚂蚁走过的路程．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各数中，是负数的为A．B．0C．0.2D．解：是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；是正数．故选：．2．如果收入10元记作元，那么支出10元记作A．元B．元C．元D．元解：如果收入10元记作元，那么支出10元记作元．故选：．3．的绝对值是A．B．C．D．2020解：根据负数的绝对值等于它的相反数，可得．故选：．4．下列各对数中，互为相反数的是A．2和B．和C．和D．和解：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数两个数相加得0，．故选：．5．下列四个数中，比小的数是A．B．C．0D．1解：根据有理数比较大小的方法，可得，，，，四个数中，比小的数是．故选：．6．地球静止轨道卫星的静止轨道与地面的高度为35830千米．将35830用科学记数法表示应为A．B．C．D．解：35830用科学记数法表示为：，故选：．7．下列说法中正确的是A．B．如果，那么C．D．有最小的正有理数解：．，故本选项符合题意；．如果，那么，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．没有最小的有理数，故本选项不合题意．故选：．8．一实验室检测、、、四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是A．B．C．D．解：，，，，又，从轻重的角度看，最接近标准的是选项中的元件．故选：．9．如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为A．B．C．D．解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于，因此备选项中，只有选项符合题意，故选：．10．在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为A．B．C．1或D．7或解：表示数2，，由题意得：，，或，点、在原点的两侧，，故选：．二．填空题（共8小题）11．的绝对值是．解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，，故答案为：．12．用“”或“”符号填空：．解：，，，，故答案为：．13．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么运出面粉8吨应记为吨．解：因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉8吨应记为吨．故答案为：．14．在，，0，，，，19中正数有4个．解：在，，0，，，，19中正数有：，，，19，共有4个，故答案为：4．15．若与互为相反数，则的值为2．解：的相反数是2，．故答案为：2．16．下列4个数：，0，，由小到大排列为．解：根据有理数比较大小的方法，可得．故答案为：．17．在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为3．（任意写出一个即可）解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：，3，，2，，1，0从中任选一个即可故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，，，任意一个均可）；18．动点，分别从数轴上表示10和的两点同时出发，以7个单位长度秒和4个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，3或5秒后，点，间的距离为3个单位长度．解：设运动的时间为秒，则运动后所表示的数为，所表示的数为，由题意得，，解得，或．故答案为：3或5．三．解答题（共7小题）19．比较和的大小关系．解：，当时，，当时，．20．已知是2的相反数，计算的值．解：是2的相反数，，．21．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，0，，2.5，，．解：如图所示：．22．如图是一张不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置点；点；点点解：如图所示：23．把下列各数填入相应的大括号内，2，0，3.14，，，，负数集合，，，整数集合分数集合解：题中所给的数：其中负数有，，，，整数有2，0，，，分数有，3.14，，，故答案为，，；，2，0，；，3.14，，．24．在新型冠状病毒疫情期间，某粮店购进标有50千克的大米5袋，可实际上每袋都有误差，若超出部分记为正数，不足部分记为负数，那么这5袋大米的误差如下（单位：千克），，，，（1）这5袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？（2）这5袋大米总重量多少千克？解：（1）与标准重量比较，这5袋大米总计超过（千克）．故这5袋大米总计超过0.5千克；（2）（千克）．故这5袋大米总重量250.5千克．25．如图，一只蚂蚁在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动，它从处出发，爬向，，处．规定：向上或向右走为正，向下或向左走为负，如从到记为：，从到记为：．其中括号内第一个数表示左右方向运动情况，第二个数表示上下方向运动情况，根据以上材料，解答下面的问题：（1）从到记为，从到记为；（2）若这只蚂蚁的行走路线为，请计算该蚂蚁走过的路程．解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负，记为；记为；（2）根据已知可得记为：，记为，记为，故该蚂蚁走过的路程为．故答案为：，．。

典型例题类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．答案与解析举一反三【答案】（1）0；(2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.【变式】(1)的倒数是；的相反数是；的绝对值是.-（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____答案与解析【答案】；；；-8；22)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是_；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是.答案与解析【答案】降价5.8元，70.2 元(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m／min.答案与解析【答案】4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____.答案与解析【答案】 3(5) 近似数0.4062精确到位，有个有效数字;近似数5.47×105精确到位，有个有效数字;近似数3.5万精确到位，有个有效数字.答案与解析【答案】万分，4；千，3；千，2(6) 3.4030×105保留两个有效数字是，精确到千位是.答案与解析【答案】 3.4×105，3.40×1053.在下列两数之间填上适当的不等号：________．答案与解析举一反三【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒数比较法：因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.【变式】比较大小：(1)________0.001；(2)________-0.68答案与解析【答案】（1）＜（2）＞典型例题类型二、有理数的运算4．(1)(2)(4)(5)答案与解析举一反三【答案与解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.【变式】计算：（1）；（2）答案与解析【答案】（1）（2）原式典型例题类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系.A．-a＜a＜1B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）转化思想：计算：答案与解析举一反三【答案与解析】（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a.所以正确选项为：D（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?答案与解析【答案】当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．典型例题类型四、规律探索6. (山东聊城)将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．答案与解析【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．巩固练习答案一、选择题1.【答案】A2.【答案】C【解析】只有A、C两项的结果为正，只要比较23、(-3)2的大小即可．由23＝8，(-3)2＝9，可知：(-3)2最大3.【答案】C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，4.【答案】C【解析】由-1<a<0可知为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜，所以a＞，所以<a< a2.5.【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-16.【答案】D【解析】由图可知，a、b异号，且b的绝对值较大.7.【答案】D【解析】按正负对，分类讨论.二、填空题1.【答案】低于标准质量3克2.【答案】5【解析】原式=3.【答案】4，十万分【解析】近似数0.06250的有效数字有6，2，5，0，共有4个，精确到的末位数字0在十万分位上．4.【答案】5.【答案】1-a【解析】由图可知：a-1＜0，所以│a-1│=-（a-1）=1- a6.【答案】水位无变化7.【答案】【解析】观察可得规律为：三、解答题1.【解析】(1)原式；(2)原式．(3)原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8；(4)原式＝．2.【解析】将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得：2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=213.【解析】则此高空比地面高11km,，又地面高度应为0，所以此高空处的高度为11 km.4.【解析】原式．。

有理数的意义一、 概念1、 思考:为什么引入负数？2、 的数叫正数？3、 正数前面加上负号的数叫 .4、 既不是正数也不是负数。

5、 正整数、0、负整数统称为6、 可以写成两个整数的比的数成为7、 都可以写成mn（m,n 是整数，0n ≠ 8、有理数按大小可分为：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数 负有理数 9、 有理数按形式可分为：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数有理数正分数分数 10、 把..0.23写成分数的形式 11、把13写成小数形式二、概念的应用例1、 下面的大括号表示一些数的集合，把下面各数填入相应的大括号里： 1，-0.1,325,0，-20，-3.14,10.1，-0.3，-5%，5122,,837-负有理数集：{ } 非负整数集：{ }例2、 下面说法中正确的是（） A 、非负数一定是正数。

B、有最小的正整数，有最小的正有理数。

C、-a一定是负数D、正整数和正分数统称正有理数。

例3、填空题（1）如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足为零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作2月份生产200个零件，记作个。

（2）一种零件的长度在图纸上是（10±0.05）毫米，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米。

（3）既不是正数也不是负数的有理数是（4）是正数而不是整数的有理数是（5）是整数而不是正数的有理数是例4、观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗？（1）1，-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8，，，……..2011，…….（2），1111111,,,,,.234567----, ，，…….. ，…….拓展：因为任何一个有理数写成分数pq（p,q为整数,0p≠的形式），所以将正有理数进行如下排序（可能有重叠）：第一列第二列第三列第四列……第一行：（分子分母和为2的1 1第二行：（分子分母和为3的2112第三行：（分子分母和为4的312213第四行：（分子分母和为5的41322314。

《有理数》全章复习与巩固（提高）典型例题类型一、有理数相关概念1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0; |a|=-a时，a<0. ②|a|就是a与-a中较大的数.③|a|就是数轴上a到原点的距离. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|.其中说法正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0C．a>0且b<0D．a<0且b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A．120B．-15C．0D．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（）A．-a6与(-a)6B．-a3与|-a|3C．[(-a)2]3与(-a3)2D．(ab)3与ab3答案与解析【答案】（1）C;（2）C;（3）A；（4）D；(5)C【变式2】某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）________元.答案与解析【答案】. 提示：（亿元）（元）2. 在下列两数之间填上适当的不等号：________．答案与解析举一反三【思路点拨】在a、b均为正数的条件下，根据“，，分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＞【解析】法一：作差法：（）=，∴.法二：作商法：由于，所以．再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：．【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．_________．【答案】＞（提示：倒数法较简便）典型例题类型二、有理数的运算3．(1) (2)(4)(5)答案与解析举一反三【答案与解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等.【变式】（1）【答案】【变式】（2）答案与解析【答案】4.先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：…的值．【答案与解析】原式．【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算．【变式】用简单方法计算：【答案】原式 =类型三、数学思想在本章中的应用5.（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A．2b+a B．2b-a C．a D．b（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．（3）转化思想：．答案与解析【答案与解析】（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时，|a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.类型四、规律探索6. (安徽)下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是()．A．495B．497C．501D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．一、选择题1.【答案】A．【解析】.2.【答案】D【解析】当为0时，；当为正数时，；当为负数时，3.【答案】B【解析】只有④正确，其他均错.4.【答案】C【解析】，，所以或5.【答案】C【解析】6.【答案】C【解析】由图可知：，又，所以7.【答案】C【解析】由图可知：，且表示数轴上数对应点与数对应点之间的距离，此距离恰好等于数对应点到原点的距离与数对应点到远点的距离之和，所以选项C正确.8.【答案】C【解析】∵，，…，的“理想数”为2004，∴，∴．8，，，…，中，；；；…，∴8，，，…，的理想数为：二、填空题1.【答案】-2【解析】因为-2＜-1.7＜0＜1＜π，故最小的数是-2．2.【答案】4，十万分【解析】近似数0.06250的有效数字有6，2，5，0，共有4个，精确到的末位数字0在十万分位上．3.【答案】7.05mm, 6.98mm【解析】7+0.05=7.05mm, 7-0.02=6.98mm4.【答案】1， 3【解析】，时，取到最小值，同时取到最大值.5.【答案】>,>,>,<【解析】由图可得：,特殊值法或直接推理可得：.6.【答案】1【解析】又可得：三数必一负两正，不防设:，代入原式计算即可.7.【答案】【解析】观察可得规律为：三、解答题1.【解析】(1)原式．(2)原式．(3)原式．(4)原式。

有理数的概念知识梳理有理数的概念一、目标认知学习目标：了解正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量;掌握一个数的相反数的求法和性质,学习使用数轴,借助数轴理解相反数的几何意义,会借助数轴比较有理数的大小;掌握一个数的绝对值的求法和性质,进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;重点：有理数的概念及其分类,相反数的概念及求法,绝对值的概念及求法,数轴的概念及应用；有理数比较大小难点：绝对值的概念及求法,尤其是用字母表示的时候的意义;运用数轴理解绝对值的几何意义;有理数比较大小的方法的掌握;二、知识要点梳理知识点一：负数的引入要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数;用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负;知识点二：正数和负数的概念要点诠释：1 像3、1.5、、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大;2 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”读作负号的数,叫做负数;负数比0小;3 零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界;注意：1为了强调,正数前面有时也可以加上“＋”读作正号,例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋ ;2对于正数和负数的概念,不能简单理解为：带“＋”号的数是正数,带“－”号的数是负数;例如：－a一定是负数吗答案是不一定;因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则－a是负数；若a表示的是0,则－a仍是0；当a表示负数时,－a就不是负数了此时－a是正数;知识点三：有理数的有关概念要点诠释：1、有理数：整数和分数统称为有理数;注：1有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数;但是本节中的分数不包括分母是1的分数;2因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数;3“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数;2、整数包括正整数、零、负整数;例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等;3、分数包括正分数和负分数,例如：、、0.6、－、－、－0.6等等;知识点四：有理数的分类要点诠释：1、按整数、分数的关系分类：2、按正数、负数与0的关系分类：注：通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数也叫做自然数,负整数和0统称为非正整数;如果用字母表示数,则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数;知识点五：数轴的概念要点诠释：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：1数轴是一条直线,可以向两端无限延伸；2数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可；3原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的通常取向右为正方向;知识点六：数轴的画法要点诠释：1、画一条直线一般画成水平的直线;2、在直线上选取一点为原点,并用这点表示零在原点下面标上“0”;3、确定正方向一般规定向右为正,用箭头表示出来;4、选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……；从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为－1,－2,－3……注：1原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；2确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个或更多的单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……；从原点向左,依次表示为－2,－4,－6,……；知识点七：数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数;要点诠释：正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示;知识点八：利用数轴比较有理数的大小要点诠释：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数;知识点九：相反数的概念1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数;2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数除了符号不同以外完全相同,我们说其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0;要点诠释：1“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同；2相反数是数,不是量；3相反数是成对出现的;知识点十：相反数的表示方法要点诠释：一般地,数a的相反数是－a;这里a表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者0;知识点十一：多重符号的化简把多重符号化成单一符号,如果是正号,则可以省略不写,实际上,多重符号的化简是由“-”的个数来定,若“-”个数为偶数个时,化简结果为正,如-{---4}=4 ；若“-”个数为奇数个时,化简结果为负,如-{+--4}=-4 ;要点诠释：1、在一个数的前面添上一个“＋”号,仍然与原数相同,如＋5＝5,＋－5＝－5;2、在一个数的前面添上一个“－”号,就成为原数的相反数;如－－3就是－3的相反数,因此,－－3＝3;知识点十二：绝对值的概念要点诠释：1、绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“ ”2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0;即知识点十三：两个负数大小的比较要点诠释：因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边,所以,两个负数,绝对值大的反而小;比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝对值的大小；三、根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断;知识点十四：有理数大小的比较法则要点诠释：正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小;三、规律方法指导有理数与小学所学的数,主要区别在于负数;有理数可以用数轴上的点来表示,任何一个有理数都能在数轴上找到表示它的位置,而是唯一确定的点;数轴上的点可以表示三类数;在数轴上表示零的点称做原点,以这个点为界,正有理数正整数、正分数用原点右边的点来表示；负有理数负整数、负分数用原点左边的点来表示,这就说明,数轴是有方向的;由于数轴规定了方向,因而在数轴上排列着的数就是有顺序的;从左到右一个数比一个数大;即数轴上表示的数,右边的总比左边的大;在数轴上,原点左、右两边距离原点等远的点所表示的有理数,它们只有符号不同,这样的一对数称为互为相反数;如果数轴上的点只考虑它到原点的距离,而不考虑它的正、负方向的数,则表示这个有理数的绝对值;经典例题透析类型一：有理数分类的问题例1：请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里;1, 0.0708, -700, -3.88, 0,3.14159265, , .正整数集合:{ …} 负整数集合:{ …}整数集合:{ …}正分数集合:{ …}负分数集合:{ …}分数集合:{ …}思路点拨:这种关于有理数的分类问题,关键是要掌握各种数的概念;小学时所学的自然数就是正整数和零,进入中学,出现了负整数,而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数;有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式,因此,它们都是分数;解析：正整数：1；负整数：-700；整数：1,0,-700；正分数：0.0708,3.14159265, ；负分数：-3.88, ；分数：0.0708,3.14159265, ,-3.88,总结升华：有理数包括整数和分数,分数包含有限小数和无限循环小数,但须注意的是,不是所有的小数都是分数,比如π等;所以,我们也不能说小学学过的所有数都是有理数,还有一部分数不是有理数,那么这部分数我们将在今后学习研究;举一反三：变式1在数-100, 70.8, -7, π, -3.8, 0, , , 中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是______________;变式２下列四种说法,正确的是 .A所有的正数都是整数B不是正数的数一定是负数C正有理数包括整数和分数 D0不是最小的有理数类型二：正负数的概念例2：若把向北走7km记为－7km,则＋10km表示的含义是A.向北走10kmB.向西走10kmC.向东走10kmD.向南走10km思路点拨：“正”和“负”相对,－7km表示向北走7km,则＋10km表示向南走10 km.答案：D总结升华：在一对具有相反意义的量中,若先规定一个为正,则另一个就用负表示；若先规定一个为负,则另一个就用正表示;举一反三：变式1如果收入300元记作+300元,那么支出500元用___________ 表示,0元表示__________ . 2若购进50本书,用-50本表示,则盈利30元如何表示类型三：与数轴相关的问题例3: 数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数是 _________.思路点拨:到原点的距离等于5.5 的点既可以在原点左边,也可以在原点右边,因此这样的点有两个;解析：5.5或-5.5总结升华：与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小;例4：如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为 _________.思路点拨:数轴上的点表示的数右边的比左边的大;因此,被污染的部分的数大于-1.3,小于2.6,再考虑这一范围内的整数即可;解析：-1,0,1,2总结升华：利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用,要能由“形”看出“量”的一些关系;举一反三：变式1实数在数轴上表示如图所示,则下列结论错误的是A. B. C. D.变式2一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是______.变式3数轴上点A对应的数为-3,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.类型四：与相反数相关的问题例5：1 的相反数是_________,－3与_________互为相反数2 的相反数是________, 的相反数是________,的相反数是________.30的相反数是_________.4已知那么的相反数是________.已知 ,则a的相反数是________.思路点拨:1代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数,特别地,O的相反数是0．相反数必须成对出现,不能单独存在．例如+5和－5互为相反数,或者说+5是－5的相反数,－5是+5的相反数,而单独的一个数不能说是相反数．另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开．例如+3与－3互为相反数,而+3与－2虽然符号不同,但它们不是相反数．2几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．3求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可．一般地,数a的相反数是－a；这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式．注意－a 不一定是负数．注意：当a＞O时,－a＜0正数的相反数是负数；当a=O时,－a=O0的相反数是0；当a＜0时, a＞O 负数的相反数是正数．4互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则a+b=0,反之,若a+b=O,则a与b 互为相反数．5多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号,都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号,也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号,则化简后只保留一个“－”号,既“奇负偶正”其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号.解析：1 ,3； 2m,--m+1,-m+1; 3 0 4 -9, 9总结升华：求相反数时,要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件,即“符号不同而数字相同”的两个数;举一反三：变式11 一个数的相反数的倒数是-4,这个数是__________.2 如果与-3互为相反数,那么等于A. 3B. -3C.D.类型五：与绝对值相关的问题例6：的绝对值是________.思路点拨:1取绝对值也是一种运算,这个运算符号是“ ”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.2绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.3任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值,如：－5,符号是负号,绝对值是5.解析：总结升华：绝对值符号具有括号的功能,根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可举一反三：变式1已知∣x∣=4,∣y∣=6,求代数式∣x+y∣的值.有理数的概念课后练习一、选择题：1．若一个数的绝对值大于零,这个数一定是A正数 B任意有理数 C非零数 D负数2．在有理数中,下面说法正确的是A有最小的数 B有最大的数C没有最小的数,也没有最大的数 D以上答案都不对3．下面四句话中错误的是A负分数一定是负有理数 B分数中除正分数就是负分数Ca的相反数是-a D有理数中除了正数就是负数4．下列说法正确的是A带有“-”的数是负数 B任何数的绝对值都是正C任何负数都小于它的相反数D一个数的相反数一定是负数5．一个数的绝对值一定是Ａ正数Ｂ负数Ｃ非正数Ｄ非负数6．有理数a,b,c在数轴上的位置如图,下列结论错误的是Ac＜b＜a Ba-b＞0Cb＜0,c＜0 Dc＞b7、下列说法中,正确的是A、一个数不是正数就是负数；B、正有理数和负有理数组成全体有理数；C、零是最小的有理数；D、零既不是正数,也不是负数,但零是整数8、下列说法中,正确的是A、非负有理数就是正有理数；B、零表示没有,不是有理数；C、正整数和负整数统称为整数；D、整数和分数统称为有理数9、下面两个数互为相反数的是A、12和0.2 B、13和－0.333 C、－2.75和324 D、9和－－910、一个数的绝对值大于它本身,那么这个数是A、正有理数B、负有理数C、零D、不可能11、a是一个有理数,那么-aA、负数；B、正数；C、零；D、以上都可能;12、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A,B,那么A,B两点间的距离等于A99 B100 C102 D10313、数轴上原点及左边的点表示的数是A、负数；B、正数；C、非负数；D、非正数；14、“互为相反数”是指A、一个正数,一个负数；B、一个数前面添加上“-”号所得的数；C、数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数；D、只有符号不同的两个数,且0的相反数是0；15、如果a+b=0,那么一定有A、a=0且b=0 ；B、a=0或b=0 ；C、a、b异号；D、a、b互为相反数；16、以下四个推理中,正确的是A、如果|a|=|b|,那么a=b；B、如果|a|=b, 那么a=b；C、如果a=-b,那么|a|=|b|；D、如果|a|=b,那么a=-b；二.填空题：1．-2.5的相反数是______________,绝对值是______________;2．最小的正整数是____________,最大的负整数是____________,绝对值最小的数是____________;3．在有理数-3,0, , ,3.1416,--7, , 中,属于负数集的是________,属于正分数集的是______________,属于整数集的是______________4．|-7|=______________, | |=π;5．化简---2002= ____________,--3.14=____________, __________;6．a的相反数是-11,那么______________;若3是x的相反数,那么x=______________, 3×-x=__________;7．相反数大于-4的正整数是__________,绝对值不大于2的整数是__________8．一个数的绝对值与它的相反数相等,这个数为__________,一个数的相反数大于它的本身, 这个数为__________;9．若两个数的绝对值相等,这两个数可能是__________;10．若一个数的相反数不小于零,那么这个数为__________;10．若|-m|=--0.3,那么m=__________;11．在数轴上点B表示数-3,那么与B点相距4个单位长度的点表示的数是__________;12、仪表的指针顺时针方向旋转90°记作-90°,那么逆时针旋转180°应记作 .13、说明下面一段话的意义：汽车先前进+50米,再前进-30米,即 ;14、数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离是6,则这两个数为__________15、简化下列各数的符号：1--5= 3---4=16、L市在冬季的某一天最高温度为4℃,最低温度为-1℃,这天温差是℃.17、如果|x|=3.5,那么x= ；如果|-x|=|-2 1|,那么x= 18、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________19、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______；绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是___________数；20、绝对值不大于3的非负整数有21、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,－11；21；－31；41；；；……；第2006个数是 ;三.解答题：1．把下列各数填在相应的大括号内：10,-0.082,-30 1/2,3.14,-2,0,-98,-3 1/2 –21/8,1,3/5整数集合： { }分数集合： { }正分数集合：{ }负分数集合：{ }非负数集合：{ }非正数集合：{ }2．把下列各数表示在数轴上,并比较他们5的大小;-3 , 1/2,0.,3,. -2.53、1写出绝对值大于3而小于8的所有有理数;4、计算：1|-15|-|-6| 2|0.24|+|-5.06|5已知|a|=3,|b|=2,求|a+b|的值;6、比较大小：114-15-；22(3--113-；3+－4.21 (4)3 --7.求下列各数的相反数和绝对值1102 20 314-43248.一个病人每天下午要测量一次血压,下表是该病人星期一至星期五血压变化情况,该病人上个星期日的血压为160单位,血压的变化与前一天比较：请算出星期五该病人的血压9、出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的,如果规定向东为正,向西为负,这天下午他的行车里程单位：千米如下：＋15,－2,＋5,－1,＋10,－3,－2,＋12,＋4,－5,＋61将最后一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的出发点多远2若汽车耗油量为3升/千米,这天下午小李共耗油多少升。