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概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第四节：矩协方差矩阵

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概率论与数理统计第四章

概率论与数理统计第四章

上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}

第四节矩与协方差矩阵

第四节矩与协方差矩阵
概率统计
例
相互独立, 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N (0, 1 ).
试求: 试求:Z = 2X – Y + 3 的概率密度 解: 因为:X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N ( 0, 1 ),且 X 与 Y 独立 因为: , 的联合分布为正态分布, 故: X 和 Y 的联合分布为正态分布,X 和 Y 的任 意线性组合是正态分布. 意线性组合是正态分布 即: Z ~ N ( E(Z),D(Z) ) , 而: E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9
概率统计
所以: 所以: Z ~ N ( 5, 32 ) 的概率密度为: 故: Z 的概率密度为:
fZ (z) =
1 3 2π
e
( z5)2 18
∞< z < ∞
概率统计
�
2
c22 = E{[ X2 E( X2 )] }
2
c11 c12 将它们排成矩阵的形式: 将它们排成矩阵的形式 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c21 c22
称此矩阵为( 协方差矩阵. 称此矩阵为(X1, X2)的协方差矩阵
概率统计
这是 一个 对称 矩阵
▲ 类似可 注: 类似可定义 n 维随机变量 X1, X2, …, Xn ) 的 维随机变量( 协方差矩阵. 协方差矩阵 若 ci j = Cov( Xi , X j ) i, j = 1, 2,…, n 都存在, 都存在,则称矩阵 : c11 c12 L c21 c22 L C= M M L cn1 cn2 L

大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征

大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征
几何分布： ~ () ，() =

.

7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
‫׬‬−∞
.
注意：


+∞
要求积分‫׬‬−∞ ||
+∞
若‫׬‬−∞ ||
收敛.

不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() = ෍
=
+∞
() = න

−∞
∞
() = ෍
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = ෍ ෍ , (, ) = න
= =
∞ ∞
= ෍ ෍
其他.
=
+∞
=න
−∞



= න ∙ = .





13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
‫׬‬−∞ ‫׬‬−∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为

概率论与数理统计第四章

概率论与数理统计第四章

)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布

《概率论》第4章_矩、协方差矩阵

《概率论》第4章_矩、协方差矩阵
∆1 = c11 = D( X1) ≥ 0 ∆2 = | C | = c11c22 − c21c12 一阶顺序 二阶顺序 = D( X1)D( X2 ) −[Cov( X1, X2 )]2 主子式 2 主子式 = D( X1)D( X2 )( − ρX X ) ≥ 0 1
c11 = E[( X1 − E( X1 ))2 ] = D( X1) c12 = E[( X1 − E( X1))( X2 − E( X2 ))] = Cov( X1, X2 ) c21 = E[( X2 − E( X2 ))( X1 − E( X1))] = Cov( X2 , X1) c22 = E[( X2 − E( X2 ))2 ] = D( X2 )
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
6/8
设 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C), 则 µ1 E( X1) µ = µ2 = E( X2 ) ,称为 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn )的均值向量 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E( X ) µn n
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
7/8
( X1, X2 ,⋯, Xn ) ~ N(µ, C) X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 的任一线性 组合 l1X1 + l2 X2 +⋅⋅⋅+ln Xn 服从一维正态分布
正态r.v的线性变换不变性： 正态r.v的线性变换不变性：设 r.v的线性变换不变性 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C) 令
§4 矩、协方差矩阵 对于 r.v X ,Y, 称
E( X k ) ( k = 1 ⋅⋅⋅) ,2,
1/8
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称 为 k阶中心矩 .称

概率论与数理统计教案 第4章 随机变量的数字特征

第4章 随机变量的数字特征教学要求1．理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，掌握用数字特征的定义、常用计算公式及基本性质计算具体分布的数字特征.2．掌握利用随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数字期望[])(X g E ，掌握利用随机变量X 和Y 的联合分布求其函数),(Y X g 的数学期望[]),(Y X g E .3．理解X 与Y 不相关的概念，掌握X 与Y 独立和不相关的关系与判定方法.4．掌握六个常用分布的数学期望和方差，理解二维正态分布中5个参数的意义.5．了解原点矩、中心矩、协方差矩阵的概念.6．了解n 维正态随机变量的四个性质.教学重点数学期望、方差的概念与性质及其应用，用数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的定义、常用计算公式及性质计算具体分布的数字特征.教学难点协方差、相关系数概念的理解.课时安排本章安排6课时.教学内容和要点一、 数学期望1.离散型随机变量数学期望2.连续型随机变量数学期望3.随机变量的函数数学期望4.常用分布的数学期望5.数学期望的性质二、 方差1.方差的概念2.方差的计算3.常用分布的方差4.方差的性质5.随机变量的标准化三、协方差和相关系数1.协方差的定义与性质2.相关系数的定义与性质四、矩与协方差矩阵1.矩与协方差矩阵的概念2. n 维正态分布主要概念1.数学期望（离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望）2.方差 、标准差3.标准化随机变量4.协方差5.相关系数X Y不相关6.,7.矩8.协方差矩阵。

第44节 矩与协方差矩阵——概率论与数理统计(李长青版)


b11
b1n
B



bn1
bnn
为随机向量（X1, X 2
X
）的协方差矩阵.
n
注：协方差矩阵是对称的且是半正定的.
例1 设随机变量X的分布律为 X 1 2 45 pk 1/3 1/6 1/6 1/3
求 2 , m3 .
解 由定义可得
1

EX
1 1 2 1 36
4 1 6
5 1 3

3.
2

EX 2
12
1 22 3
1 6
42
1 6
52
1 3
12.
m3 E(X EX )3 E(X 3)3.
2 )2

2 2

则(X1, X2)联合概率密度函数为
f
(x1,
x2 )

2
1 B
1 2
exp
1 2
(X

)T
B1( X

)

若（X1, X 2
X
）n
n
维随机向量，
记
bi, j cov( X i , X j )
称矩阵
E[( Xi EXi )( X j EX j )],i, j 1, 2, n.
b21 cov( X 2 , X1) E[( X 2 EX 2 )( X1 EX1)]
b22 cov( X 2 , X 2 ) DX 2
B=

b11 b21
b12 b22

称为随机变量(X1,
X2)的协方差矩阵.
若 (X1, X2) 服从二维正态分布

概率论与数理统计 第4章


dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2



( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2



( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则 性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量， 则有 性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有 为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以 于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值 解 引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻， 则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

概率论与数理统计(经管类)复习要点 第4章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。

离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ） （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ） 推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数 一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。

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若E [X E( X )]k[Y E(Y )]l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.
((k+l)-th mixed central moment) 可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
概率论
二、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:

这是一个对称矩阵
称此矩阵为 (X1, X2) 的协方差矩阵(covariance matrix).
类似定义 n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
若 ci j cov( Xi , X j ) E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11 c12 c1n
C

c21
c22

c2n
cn1 cn2 cnn
为 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
概率论
概率论
作业
习题4-4 1
c11 E{[ X1 E( X1)]2}
c12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2)]}
c21 E{[ X2 E( X2)][ X1 E( X1)]} c22 E{[ X2 E( X2 )]2}
排成矩阵的形式:

c11 c21
c12 c22
称它为 X的 k阶中心矩. (k-th central moment)
可见, 二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若E X kY l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
概率论
第四节 矩 协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵
一、原点矩 中心矩
1. 定义: 设 X和 Y是随机变量,
若 E X k ,k 1,2, 存在，
称它为 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩; (k-th raw moment)
若 E [X E( X )]k ,k 2,3, 存在,