最新人教版高中数学必修4第二章《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》课堂探究

课堂导学三点剖析一、向量a =的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0). 【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2), 则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-, b 2=|b |sin120°=3×23323=, c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2).各个击破 类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量的坐标，就是要求在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=||sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,|DP |=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),=(22λ-a,22-λ).∵||2=λ2-2aλ+a 2,||2=λ2-2aλ+a 2, ∴|PA |2=|EF |2,故PA =EF .二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用AC =31AB 和DA =-31BA 相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6),=(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6),∵=31AB ,DA =-31BA , ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标. 解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3), a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7), 3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11). (2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8). 变式提升 2用坐标法证明++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式. 证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2),∴++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴++=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量. 三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以AB ，AC 为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++=m +n .最后列出关于m ，n 的方程组求解.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n). ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得++=32-22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力. 类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:AB =OB -OA =（3，2）-（1，2）=（2，0）. ∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x故x=-1,y=35-.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）. 变式提升 3 如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知=c ,=d ,试用c 、d 表示和.思路分析:直接用c 、d 表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,=21a . +=,即b +21a =c .①AB +=,即a +21b =d .②由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ),即=32(2d-c ),=32(2c -d).。

a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
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7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
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于是，平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定，而有 序数对(x，y)正好是向量 a 的终点的坐标，这样的“巧合”使 平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现 向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现 “有效能算”的思想． → ＝(x －x ，y －y )＝a， 另外，教学中可结合图形介绍AB 2 1 2 1 让学生理解 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点 的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．
1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只 有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐 标． 2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结 合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
若本例中，当三角形边长与位置不变，E 为 AB 的中点， →， →， →， → 的坐标？ G 为三角形的重心时， 如何求向量CE AG BG GD
【解】 由于 B(2,0)，E(1,0)， 1 3 3 → C(1， 3)，D( ， )，G(1， )，所以CE＝(1－1,0－ 3) 2 2 3 ＝(0，－ 3)， 3 → AG＝(1， )， 3 3 3 → BG＝(1－2， －0)＝(－1， )， 3 3 1 3 3 1 3 → GD＝( －1， － )＝(－ ， ). 2 2 3 2 6
实数与 若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝ (λa1，λa2)，即数 向量的 乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的 积 积．
→ → 已知向量AB 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB 向量的 ＝ (x2－x1，y2－y1) ，即一个向量的坐标等于向量 坐标 终点的坐标减去始点的坐标.
●重点、难点 重点：平面向量的坐标运算． 难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性．

（三）情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
学习重点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的直角坐标运算
学习难点
向量的直角坐标运算
☆自主探索
1、向量的直角坐标
如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量。
如果基底的两个基向量 互相垂直，则称这个基底为。
在正交基底下分解向量，叫做。
☆合作探究
探究一：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.向量 、 是两个互相垂直的单位向量，向量 与 的夹角是30°，且| |=4，以向量 、 为基底，向量 如何表示？
=， =
探究四：在直角坐标系中，已知点A的坐标为 ，求 的坐标。
☆典例精析
例题：在直角坐标系中，向量 的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。
☆基础训练
1、如图所示， 为正交基底，分别写出图中向量 的分解式，并分别求出它们的直角坐标。
☆我的收获与困惑
师生反思：
探究二：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于平面内的一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 ，使得我们把有序数对 叫做向量a的坐标，记作.其中 叫做 在x轴上的坐标， 叫做 在y轴上的坐标，
探究三：
设向量 ， 的方向相对于 轴正向的转角为 ，有三角函数的定义可知：
课题
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算;( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
（二）过程与方法：
(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义;