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图论第01讲

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1网络图论

1网络图论

§1-2 树和树余·树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G
的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。
连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。
基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。 基本回路是唯一的。
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部 分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
B [E Il ]
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
12 3
b1 b2
C1 1 0 QBT C2 0 1
C3 0 0
b3 0 0 1
b4 b5 10 1 1 01
b6 1
1 1
1
1
0 1
0
0 1 1 0 1
1 b1 1 b2
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。
连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :

图论(王树禾编著)PPT模板

图论(王树禾编著)PPT模板

2
0
2
0
感谢聆听
长算法
03
3.3极大平 面图
06
习题
04
第四章匹配理论及其应用
第四章匹配理论及 其应用
4.1匹配与许配 4.2匹配定理 4.3匹配的应用 4.4图的因子分解 习题
05
第五章着色理论
第五章着色理 论
5.1图的边 着色
5.6Rams
01
5.2图的顶
e y 数 06
着色
02
05
5.5独立
集
04
5.4颜色多 项式
10.1图的线性空间 10.2图矩阵 习题
11
第十一章图论中的NPC问题
第十一章图论中的 NPC问题
11.1问题、实例和算法的时间复杂 度 11.2Turing机和NPC 11.3满足问题和Cook定理 11.4图论中的一些NPC问题 习题
12习题解答与ຫໍສະໝຸດ 示习题解答与提示13
参考文献
参考文献
04
2.4求最优 树的算法
02
2.2生成树 的个数
05
2.5有序二 元树
03
2.3求生成 树的算法
06
2.6n顶有序 编码二元树
的数目
第二章树
*2.7最佳追捕问题 习题
03
第三章平面图
第三章平面图
01
3.1平面图 及其平面嵌
入
04
3.4平面图 的充要条件
02
3.2平面图 Euler公式
05
*3.5平面嵌 入的灌木生
08
第八章最大流的算法
第八章最大流的算 法
8.12F算法 *8.2Dinic分层算法 8.3有上下界网络最大流的算法 8.4有供需要求的网络流算法 习题

图论第01讲

图论第01讲

•
两个问题：
（1）经过每个顶点一次且仅一次； （2）代价最小的Hamilton回路。
(目前无有效的方法求解)
•
货郎问题（Traveling Salesman Problem）
一个货郎到各村去卖货，要求每个村子 至少去一次，最后返回出发点，为其设计一 种销售路线，使总耗时最短。
求解方法：把路线全排列，求其中最小的。
1930年，波兰数学家库拉托父斯基 (Kuratowski)证明了平面图可以画在平面上；
•
里程碑：1936年，匈牙利数学家寇尼希 (D.Konig)发表名著《有限图和无限图理论》 ，使得图论成为一门独立的数学学科；
蓬勃发展：1946年，随着世界上第一台计算机 的问世，使图论的发展突飞猛进。 其后，图论在现代数学、计算机科学、工程技 术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。
图论第01讲
•
课程简介
▪ 《图论》是计算机科学与技术专业、信息 安全专业的选修课程。 通过本课程的学习，使学生对图论的 历史背景、研究内容、相关技术及其发展 有一个较为全面地了解，从而将所学知识 和技术运用于实际应用领域奠定基础。
•
▪ 本课程所介绍的内容包括：
图论的发展历程和经典问题； 图的基本概念； 有关树和图的算法； 网络流问题； 匹配问题、色数问题；
•如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
•
不少数学家都尝试去解析这个事例。而 这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并 不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的问题抽象 简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为 一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从 某点出发后最后再回到这点，则这一点的线 数必须是偶数。

组合数学与图论

组合数学与图论

● 02
第2章 图论基础
什么是图论
图论是研究图结构的 数学分支，用于描述 对象之间的关系。图 由节点和边组成，节 点表示对象，边表示 对象之间的关系。
基本概念
无向图
边没有方向的图
权重图
边带有权重的图
度
节点相连的边数 称为节点的度
91%
有向图
边有方向的图
图的表示方法
01 邻接矩阵
02 邻接表
判断图中的节点是否都是连通的
02 组合数学方法
连通性定理和算法可以用于判断和求解
03
总结
组合数学和图论相互结合，能够解决图的同构、 着色、匹配和连通性等各种问题，通过组合数学 方法的运用，可以更好地探索图论中的难题。
● 04
第四章 组合数学与图论在计 算机科学中的应用
图数据库与图搜索
图数据库是一种专门用于存储和查询图结构数据 的数据库系统。在计算机科学中，图搜索算法如 Dijkstra算法、A*算法等被广泛应用于图数据库 的查询和分析，帮助用户快速准确地获取所需信 息。
03
● 05
第五章 组合数学与图论在统 计学中的应用
基于图的统计分 析
利用组合数学和图论 的方法进行统计学分 析，如图的频繁模式 挖掘、图数据的聚类 分析等。这些方法能 够帮助研究人员从大 量数据中提取出有用 的信息并进行深入分 析。
网络数据采样与推断
节点采样
通过在网络中随 机选择节点来获
取样本数据
使得相邻节点颜 色不同
图的匹配问题
图的匹配问题是指在 图中找到一些相互不 相邻的边，使得边的 数量最大化。组合数 学的匹配定理和匹配 算法可以用于解决图 的匹配问题。
图的连通性问题

图论及其应用

图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且

图论及其应用

图论及其应用

图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。

左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。

真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。

不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。

也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a 与e 相邻。

称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。

环（loop ，selfloop ）：如边 l 。

棱（link ）：如边ae 。

重边：如边p 及边q 。

简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。

一条边的端点：它的两个顶点。

记号：νε()(),()().G V G G E G ==。

习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。

1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。

同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。

图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。

记为 G ≅F。

注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。

de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。

完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。

V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。

图论及应用课件-欧拉图与中国邮路问题

图论及应用课件-欧拉图与中国邮路问题

解：
d
f
h
a
b
c
e
g
i
j
图G
例4 某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊， 结点e是入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物 馆。请找出从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最 后从g处离开的路线。
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、Fleury算法
该算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方 法。方法是尽可能避割边行走。
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从
v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。
要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。
要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如
v1
4 v2 2
v3
1
v7
2 9
v8
5 3
1
v4
1

图论_李煜东

图论_李煜东

• 拓扑排序
– 判定有向无环图(DAG)
3
Graph Theory
图论 目录页
最短路
任意两点间的最短路问题
• 使用动态规划求解？需要定义状态、阶段、决策。 • 以长度为阶段？
– 经过k条边从x到y的最短路F[k,x,y] = Min{F[i,x,z]+F[k-i,z,y]}，O(N^4)
• 倍增优化？
15
Graph Theory
图论 目录页
最短路
欧拉回路(POJ2230)
• 欧拉回路：经过每条边恰好一次的回路（一笔画问题） • 欧拉回路存在 连通图中每个点的度数都是偶数。
• 初始时，1号点入栈。 • 依次把与栈顶节点有未标记的边相连的节点入栈并递归，递归前标记该边。 • 如果当前栈顶结点出发已经没有未标记边，把该节点出栈，并记录到答案序 列中。 • 重复上述步骤直到栈为空。 • 倒序输出答案序列，就是一条欧拉回路。
最短路
Floyd求最小环(POJ1734)
• 最小环：从一个点出发经过至少一条边回到该点，不能重复经过 某条边，距离最短的回路。 • 有向图最小环： • 令dist[i,i]=+∞，然后floyd求最短路。 • 无向图最小环： • 在最外层循环开始进行k时，用“i到k、再到j、再经过编号<k的 节点从j到i”的最短路w(i,k)+w(k,j)+dist[i,j]来更新最小环。
24
Graph Theory
图论 目录页
生成树
生成树
POJ1639
• 题意：求n<=30个点的图的MST，满足根节点的度数<=S。 • 1. 去掉根节点，对得到的每个连通分量求MST，并对每个连通分 量选择一个到根节点距离最近的点连到根节点上，此时得到的生 成树T已经满足度数<=S。 • 2. 枚举每个点，若该点与根节点有边相连，设长度为D1，设该 点在T中到根节点的路径上的最长边长度为D2。找出D2-D1最大 的点，若D2-D1>0，删除边D2，加入边D1，形成一棵更小的生 成树；若D2-D1<=0，说明当前方案已经最优。 • 3. 重复第二步K次，K为第一步后根节点还能连边的条数。

《离散数学》图论 (上)

《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。

程序员的数学4：图论入门

程序员的数学4：图论入门

内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。 第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算 法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。 第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成 树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。 第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上 的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。 《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的 基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提 高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作 者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编 程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之 间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种 复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图 等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中， 节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。

01-中国邮递员问题

01-中国邮递员问题

欧拉图及判定定理
顶点可能重复
一进一出
经过一次 且不重复
偶点
如果一个连通图有欧拉环游，即从某个顶点出发，经过该图所有边一次，且不 重复，最后回到出发点，则对中间经过的任一顶点都是一进一出，而出发点开始出 去最后又进来，也是一进一出。注意有的顶点可能有若干次一进一出。不论如何， 都意味着该图的每个顶点都应该是偶点（即进出总共偶数条边）。
中国邮递员问题
厦门大学数学科学学院 金贤安
引言
中 国 邮 递 员 问 题 是 由 山 东 师 范 大 学 管 梅 谷 同 志 1960年首先提出的。
这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题 或定理之一。
该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg) 七桥问题。
七桥问题是图论和拓扑学的起源。
以交叉路口为顶点，街道为边，街道的长度为边的权得 到 一赋权图，我们称之为街道图。 不妨设邮局在一条街道上。 若街道图是欧拉图，有欧拉环游，无需重复走街道，沿 着 一个欧拉环游作为投递路线即可。
中国邮递员问题
若街道图不是欧拉图，则有些街道需要重复 走，那么中国邮递员问题就变为：重复走哪 些街道，使总路程最短？
给定一个连通图，我们称经过图的所有边一次且只有一次 的走法为一个欧拉通路。
如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回 路）。
具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
C
哥尼斯堡问题即图3是否是欧拉图的问题。
A
B
D
图3 七桥问题对应图
欧拉图及判定定理
一笔画问题：什么样的图形可以一笔画成，笔不离纸，而 且每条线都只画一次不准重复？
(1) 在最优方案中，对街道图的任意一边，所添加的平行边的次数不会超过1。 事实上，若在某可行方案中，对街道图的某边，所添加的平行边的次数 大于等于2，那么在该方案中去掉该边2次，将得到一个新的更优的可行 方案，矛盾。

图的基本概念与握手定理

图的基本概念与握手定理

9
二、 图旳类型
注意：完全图是 n-1 正则图
完全图旳每个结点都与其他 n-1 个结点相邻接,即与 n-1条边有关联,所以是n-1正则图,反之正则图不一定 是完全图。
1.完全图：
2.正则图：
是3正则图
完全图,
不是完全图
10
二、 图旳类型
子图：
设G=<V,E>, G`=<V`,E`>为两个图，满足V` V 且E` E，则称G`为G旳子图， G为G`旳母图，记 作G`G。 (1)G`为G旳真子图：若G` G且V` V或E` E。 (2)G`为G旳生成子图：若G` G且V` = V。 (3)V1导出旳导出子图：顶点集≠V1 V,边集为 两端点均在V1中旳全体边构成旳子图。 (4) E1导出旳导出子图：≠E1E,以E1中边关联旳 顶点旳全体为顶点集旳G旳子图。
定理2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
n
d(vi ) 2m, 且
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
16
握手定理推论及应用
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点旳个数是 偶数.
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶 点，其他顶点度数均不大于3，问G旳阶数n为几？
分别为D旳最大出度、最小出度、最大入度、最小 入度。简记作△、、 △+、+ 、 △- 、- 。
15
四、握手定理
定理1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn},
|E|=m, 则
n
边 (涉及环) 都有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.

运筹学基础-图论方法

运筹学基础-图论方法

间V的弧即为最小V截集，最小截集容量即为该网络最大流量；
最大流最小截 的标号法步骤
第二步：增广过程
1、对增广链中的前向弧，令 f=f +q (t)，q(t) 为节点 t 的标记 值
2、对增广链中的后向弧，令 f=fq (t) 3、非增广链上的所有支路流量保持不变
第三步：抹除图上所有标号，回到第一步
1
2
3
5
6 Θ=2
1
2
4
3 截止
截止，最大流量＝9+5＝14（或者最大流量＝7+5+2＝14
（六）利用 EXCEL求网 络最大流量
建立各结点间的流量矩阵
各结点间的流量矩阵
v1
v2
v3
v1
30
80
v2
v3
10
v4
v5
20 60
v6
2
20 30
1 80
10
100 3
v4
v5
60 100
10
4 70
10
5(34)
2(0)
6(01)
t
最大流量为5+9＝14
7(65)
2
4
(s+, 1) 9(9)
10(98)
第二条链：(s+,)→(s+,1) → (2-,1) → (1+,1)截止
又例：利用标 号法（确定最 小截集）求最
大流量
(3-,1)
(1+,1)
1
3(2)
4
5(5)
(s+,) s
3(3)
3(3(5) -,41()4)
1(0)
(s+,)

图论课件-图的因子分解

图论课件-图的因子分解
对于同一个图，可能存在多种不同的因子分解，如何找到最优的因 子分解是一个挑战。
因子分解的应用场景
虽然图的因子分解在理论计算机科学中有广泛的应用，但在实际应 用中，如何将理论应用于实际问题仍需进一步探索。
未来可能的研究方向和挑战
寻找高效算法
01
未来研究的一个重要方向是寻找更高效的算法来解决图的因子
分解问题。
04
图的因子分解的应用
在计算机科学中的应用
计算机网络
图的因子分解可以用于优化路由算法，通过将网络分解为 若干个连通子图，可以更有效地进行路由选择和流量控制 。
并行计算
在并行计算中，图的因子分解可以用于任务分配，将一个 大任务分解为若干个小任务，并分配给不同的处理器执行 ，从而提高计算效率。
数据挖掘和机器学习
一个图，其中任意两个不 同的顶点之间都恰有一条 边相连。
空图
一个图，其中任意两个不 同的顶点之间都无边相连 。
图的因子分解的重要性
理论意义
图的因子分解是图论中的重要概 念，它有助于深入理解图的性质 和结构。
应用价值
图的因子分解在计算机科学、运 筹学、电子工程等领域有广泛的 应用，如网络设计、电路优化等 。
资源配置和调度。
金融风险管理
在金融风险管理中，图的因子分 解可以用于识别和评估风险因素 之间的关联关系，从而更好地进
行风险管理和控制。
在网络设计中的应用
01
社交网络分析
在构和群体关系，
从而更好地理解社交行为的模式和规律。
02 03
推荐系统
在推荐系统中，图的因子分解可以用于用户兴趣分析和物品关联推荐， 通过将用户和物品之间的关系进行分解和分析，可以更有效地进行个性 化推荐。

图论与代数结构第一二三章习题解答

图论与代数结构第一二三章习题解答

习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数,仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

(或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）2.若存在孤立点,则m 不超过K n —1的边数， 故m 〈= （n-1)(n-2）/2， 与题设矛盾。

3.4。

用向量（a 1，a 2，a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1，2,3。

以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2，a 3为非负整数）的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2，a 3）中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a'2, a ’3 ） , 则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由( 8， 0， 0 )到( 4, 4， 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条:5. 可以。

6 若9个人中没有4个人相互认识,构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。

1） 若可以找到点v,d （v)>5，则与v 相连的6个点中,要么有3个相互认识,要么有3个相互不认识（作K 6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。

v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色（设为红），这三边的另一顶点设为v 2， v 3， v 4。

若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△)。

若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识,这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 12112212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。

图论简介

图论简介

关于有 n 结点 m 边的(n,m)图度的定理
• 定理1-1 令 v1,…,vn为图的所有结点,则 i=1n deg(vi)=2m. (1) 定理1-2 任何图中度为奇数的结点必பைடு நூலகம்偶数个.
图的同构
定义:对给定两个图 G=V,E,G=V,E,若存在 双射 f:VV 使对任意a,bV, (a,b)E (f(a),f(b))E,并且(a,b)与 (f(a),f(b))有相同重数,则称 G 与 G同构,记 为 GG. 注:① 两图同构是相互的: GG GG. ② 两图同构时不仅结点之间要有一一对应关系, 而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系. 对有向图同构还要求保持边的方向. ③ 寻求判断图同构的简单有效方法仍是图论待 解决的重要问题.
无向图 G 能否一笔画的问题等价于 G 是 否有一条Euler路径(回路)的问题
a
1 b 2 3 9 6 4 5 8 7
若图只有两个奇结点,则任何Euler路径必 从其中一点开始到另一点结束.利用这条规律, 先在此2奇点之间加条边使之变成Euler图并画 出一条Euler回路,然后再去掉所加的边即得一 条Euler路径.
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d 6
H H’
b
G’
d b
f c e
G G’ 1a,2b,3c, 4d
H H’ 1a,2b,3c, 4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图 仍然不同构的情况.; 如下:(注意:两个4度点 或邻接或不相邻接)
图的定义与记号
• 图G是一个二重组:G=V,E,其中V是非空有限集 合,它的元素称为结点或顶点, E 也是(可空)有 限集合,它的元素称为边. • 图G的边e是一个结点二重组:a,b,a,bV,e可 以是有序的,称为有向边,简称为弧,a称为弧e 的始点,b称为e的终点; e也可以是无序的,称 为无向边.e=a,b时,称e与a,b关联,或a,b与e 关联,或a与b相邻接;关联于同一顶点的一条边 称为自回路或环. • 每条边都是无向边的图称为无向图;每条边都 是有向边的图称为有向图;我们仅讨论无向图 和有向图.

运筹学图论

运筹学图论

其中：
bi j

wi j 0
(vi , v j ) E (vi , v j ) E
24 2019/11/19
图的基本概念与模型
例6.3 下图所表示的图可以构造邻接矩阵M如下:
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
e11 v7
e4
e7
v8 v1
e8
v2
v3
2019/11/19
无向图
有向图 8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图
多重边
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图 中的e4和e5，对无环、无多重边的图 称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e2 v2
e6
v4
e1 e4 v1 e3 e5 e7
定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。
定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
A=(aij) nn，其中
aij

1, 0,
(vi , v j ) E 其他

《图论》第2章 基本概念(1)

《图论》第2章 基本概念(1)
2.1 图的概念
[有向图] 设V是一个非空有限集，A是V上的二元关
系。二元组 G=(V,A) 称为（有向）图，V 中元素
称为顶点，A 中元素称为弧（有向边）。
关系A的关系图就是图G的图解。
[自环] A中的自反性图解为环形，称为自环。
[多重边] 在表达实际问题的图解中可能出现重复的
关系定义，称为多重边。
平凡图是任何图的子图。（零图无类似结论）
3
2.1 图的概念
[生成子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图且 V = V ，则称 G 是 G 的一个生成子图或支撑子图。
[极大子图] G=(V, A)是 G=(V, A) 的一个子图，若对
u,vV, <u,v>A 必有 <u,v>A，则称G 是G的一
S=(a1,a2,…,an,…)，即存在一个正整数，使对任何
正整数 n，都有an+= an。S 的一个 k 阶子式 Si 定义 为k 元组 Si = (ai, ai+1,…, ai+k1)。具有最大的周期 使得 S1, S2, … , S 各不相同的 S 序列称为 k 阶 De Bruijn 序列。
记为 (a1, a2, a3, …, ak1) 的点v，引入两条外向弧分
别与点 (a2, a3, …, ak1, 0) 和点 (a2, a3, …, ak1, 1) 邻 接，并将上述的弧分别标记为 k 位的 (a1, a2, a3, …, ak1 , 0) 和 (a1, a2, a3, …, ak1 , 1) 。显然点 v 同时也 被点 (1, a1, a2, …, ak2) 和点 (0, a1, a2,…, ak2) 分别
（即以4除n余0或余1）

matlab图论方法

matlab图论方法
能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
哈密顿圈（环球旅行游戏）
问题3(四色问题): 对任何一张地图进行着色，两个共同边界的
国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了.
问题4(关键路径问题): 一项工程任务,大到建造一座大坝,一座体育
中心,小至组装一台机床,一架电视机, 都要包括 许多工序.这些工序相互约束,只有在某些工序完 成之后, 一个工序才能开始. 即它们之间存在完 成的先后次序关系,一般认为这些关系是预知的, 而且也能够预计完成每个工序所需要的时间.
V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.
今后将不计较这种外形上的差别,而用一个容 易理解的、确定的图解去表示一个图.
有边联结的两个点称为相邻的点, 有一个公共 端点的边称为相邻边. 边和它的端点称为互相关联. 常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目, d(v) 称为顶点v的度数. 用N(v)表示图G中所有与顶点v相 邻的顶点的集合.
这时工程领导人员迫切希望了解最少需要多 少时间才能够完成整个工程项目, 影响工程进度 的要害工序是哪几个？
6.1 图论的基本概念
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记 为G = (V, E ), 其中
(0,1,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (0,0,0,0) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1)
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如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
A
C D
桥所连接的地区 视为点
A
C
D
B B 每一座桥视为一 条线
求从图中任一点出发，通过每条边一次，最后回到起点。
如果通奇数座桥的地方不止两个，那麽 满足要求的路线便不存在了。
如果只有两个地Biblioteka 通奇数座桥，则可从 其中一地出发可找到经过所有桥的路线。
r(3,5)=14, r(3,8)=28, r(4,5)=25.
计算Ramsey数是一个NPC问题，匈牙利 数学家厄尔多斯（Erdos）曾用下面的话比喻 计算Ramsey数的艰巨性：
某年某月某日，一伙外星强盗入侵地球， 并威胁到，若不能在一年内计算出r(5,5)，他 们便灭绝人类！面对危机，人类最好的选择 是调动地球上所有的计算机、数学家、计算 机专家，日以继夜的计算r(5,5)，以求人类免 于灭顶之灾；如果外星人威胁说要求得r(6,6)， 那我们别无选择，只能和外星人战斗到底了！
蓬勃发展：1946年，随着世界上第一台计算机 的问世，使图论的发展突飞猛进。 其后，图论在现代数学、计算机科学、工程技 术、优化管理等领域有大用而得以大力发展。
一、Konisberg七桥问题(Euler问题)
柯尼斯堡七桥问题是图论中 的著名问题。
这个问题是基于一个现实 生活中的事例：位于当时东 普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯 加里宁格勒)有一条河，河中 心有两个小岛。小岛与河的 两岸有七条桥连接。如何才 能在所有桥都恰巧只走一遍 的前提下，回到原出发点？
1857年，Cayley在有机化学领域发现了 一种重要的图，称为“树”，解决了计算饱和 氢化物同分异构体的数目；
1930年，波兰数学家库拉托父斯基 (Kuratowski)证明了平面图可以画在平面上；
里程碑：1936年，匈牙利数学家寇尼希 (D.Konig)发表名著《有限图和无限图理论》， 使得图论成为一门独立的数学学科；
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯 普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布 证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决 了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德 以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久， 泰勒的证明也被人们否定了。后来，人们开始认识到， 这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲 美的难题。
如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
不少数学家都尝试去解析这个事例。而 这些解析，最后发展成为了数学中的图论。
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并 不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的问题抽象 简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为 一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从 某点出发后最后再回到这点，则这一点的线 数必须是偶数。
1930年， Ramsey因腹部手术并发症不幸逝世， 年仅26岁。但他关于Ramsey数的遗产却永泽数学 界。
▪ 有n+1只鸽子进入n个笼子，那么必然有至少 两只鸽子在同一个笼子中。
Ramsey问题的证明
证：设6个人分别用v1,v2,v3,v4,v5,v6表示。 任取一点vi，它与其他5点联线中，至少有
3条同为实线或3条同为虚线：
vi
vi
或
vj
vj
vp
vp
vq
实线表示相互认识
vq
虚线表示相互不认识
证毕。
而5个人的人群，可能出现既没有3个人彼此不 认识，也没有3个人相互认识，如下图：
1928年， 英国数学家Ramsey提出了 Ramsey数与相关理论，直观的讲，就是：
任意6个人在一起，6人中要不是有3个人 彼此相互认识，就必然有3个人相互不认识； 即两种情况至少存在一种。
记作：r(3,3)=6 推广：r(p,q)是任给出的人群中必有p人 彼此认识或有q人彼此不相识的最小值。
鸽巢原理
>>
六、妖怪（snark graph）
妖怪图每个点都关联着3条边，用4种颜 色可以把每条边涂上颜色，使得有公共端点 的边异色，而用3种颜色办不到，切断任意3 条边不会使它断裂成2个有边的图。
单星妖怪
双星妖怪
七、过河问题
参看课本p7~p11。
由此可见
图论中蕴含着强有力的思想、漂亮的图 形和巧妙的理论，即使是非常困难尚未解决 的问题，它的表述也可以是非常平易的。图 论是最接近百姓生活、最容易阐述的一门数 学分支，具有实质性的难度又有简朴的外表 是很多图论问题的特点之一。
这类问题称为NPC问题。
哈密顿回路和七桥问题的区别
▪ Hamilton回路： 侧重顶点（一次行遍顶） ；
▪ 七桥问题： 侧重边（一次行遍桥/边） 。
▪ 两者相似，但在难度上不是同一级别的问题。
三、四色问题
四色问题是世界近代三大数学 难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。
莱昂哈德·欧拉
弗兰克·拉姆赛(Frank Ramsey 1904～1930)， 英国剑桥的数学家、哲学家、经济学家。
是20世纪最显赫的两大经济学家之一约翰·梅纳 德·凯恩斯的得意弟子。
1928年，拉姆赛在伦敦数学会宣读了一篇数学 奇文，提出了Ramsey数的计算和相关理论。科学 界一致认为， Ramsey理论是离散数学中最漂亮的 成就。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在 两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了 世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！ 数学家仍为此努力，并由此产生了多个不同的图论 分支。
四、计算机程序的流程图
具体可参看课本P13～P14
五、Ramsey问题
为什么要学习图论？ ▪ 可以采用图论的成果和方法； ▪ 最重要的是：
可以培养我们思考问题和解决问题的能力。
▪ 图论诞生和孕育于民间游戏。
创生：1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父； 进展：1847年，基尔霍夫(Kirchhoff)运用图论解
决了电路理论中求解联立方程的问题，引进了 “树”概念；
欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不 是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，
挑战德尼·狄德罗：“先生，(a+b)n/n = x；所以上帝存在， 这是回答！”
欧拉的离世也很特别：据说当时正是下午茶时间， 正在逗孙儿玩的时候，被一块蛋糕卡在喉头窒息而死。
欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数 的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在 1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。 欧拉是有史以来最多产的数学家，他的全集共计75卷。欧 拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时新发明的微积分， 他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双 目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平 一半的著作。
自我介绍
阙(quē)夏 自2001年开始讲授《算法与数据结构》课程
2005年开始讲授《图论》课程
quexia@
课程简介
➢《图论》是计算机科学与技术专业、信息 安全专业的选修课程。 通过本课程的学习，使学生对图论的 历史背景、研究内容、相关技术及其发展 有一个较为全面地了解，从而将所学知识 和技术运用于实际应用领域奠定基础。
求解算法（算法）
用大量数据验证
测试
编程实现
什么是图论？
▪ 图论是离散数学的分支： 图(graph)： 是一个离散集和某些两元素子集的集合。 数学形象是：纸上画几个顶点，把其中一些点
用曲线段或直线连起来。图显示的是点与点 之间的二元关系。
图论的分支很多，例如： ▪ 图论 ▪ 算法图论 ▪ 极值图论 ▪ 网络图论 ▪ 模糊图论 ▪ 代数图论 ▪ 随机图论 ▪ 超图论
若没有一个地方通奇数座桥，则从任何 一地出发，所求的路线都能实现。
>>
二、哈密顿回路问题到货郎问题
1856年，哈密顿（Hamilton）提出了所谓环 球旅行问题：
在正12面体上的注2意0个！顶！点分别表示20个城市， 两点间的连线表不示是城所市有间图的道都路能。要求旅行者从 某个城市出发找，到到达这各样个的城路市线一！次且仅一次，最
v1
v2
v3 实线表示相互认识
虚线表示相互不认识
v4
v5
所以r(3,3)≥6
>>
自Ramsey在1928年提出了Ramsey数与 相关理论70多年以来，至今求得的Ramsey 数仅仅9个，它们是：
r(3,3)=6, r(3,6)=18, r(3,9)=36,
r(3,4)=9, r(3,7)=23, r(4,4)=18,
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明 基本上是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家 富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用 四 色 着 色 。 1950 年 ， 有 人 从 22 国 推 进 到 35 国 。 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四 种颜色着色；随后又推进到了50国。
➢本课程所介绍的内容包括：
图论的发展历程和经典问题； 图的基本概念； 有关树和图的算法； 网络流问题； 匹配问题、色数问题；
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第二章 树 第三章 图的算法
第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
参考书籍
▪ 《图论》 王树禾著 科学出版社 2004
后返回出发城市。
两个问题：
（1）经过每个顶点一次且仅一次； （2）代价最小的Hamilton回路。
(目前无有效的方法求解)