Hilbert_Huang变换的滤波特性及其应用

限性 。 在 Fourier 变换中一个基本概念是频率 ,而频率就 代表着信号的周期性 ,也就是平稳性要求 ,非平稳信号 的特点之一就是没有周期性 ,这样按 Fourier 变换的方 法定义频率 ,进行频谱分析将缺乏物理基础 ,为了解决 这个问题 ,有必要定义一种新的频率描述方法 ,使得对 非平稳信号同样可以进行频谱分析 ,而且与 Fourier 变 换的频谱分析是兼容的 ,正是出于这种需求 ,一种称为 瞬时频率的概念被提出来 。瞬时频率有多种描述方 式 ,其中以 Hilbert 变换为基础 ,对信号进行 Hilbert 变 换 ,求出解析信号再对其相位求导 ,从而得到一个具有 频率量纲的参量 ,在满足单值性的条件下 ,这个参量可 以定义为瞬时频率 ,并且与 Fourier 变换的频率是相容 的。 瞬时频率是定义在解析信号的相位求导上的 , 并 不是任意信号都可以通过 Hilbert 变换得到瞬时频率 , 严格意义上讲只有满足窄带条件的一类信号定义瞬时 频率才有意义 ,那么对于非平稳信号又如何进行基于 瞬时频率的频谱分析呢 ? 这就需要对非平稳信号进行 分解 ,把原始信号分解为一系列满足窄带条件信号的 组合 ,然后进行 Hilbert 变换 , 求解每一分解分量的瞬 时频谱 ,从而得到原始信号的时频谱 。如何进行分解 , 美国的 N . E Huang 进行了研究 , 并在文献 [ 2 ] 中详细 论述他的方法 ,这种对非线性非平稳信号进行分析的 新方法被称为 Hilbert - Huang 变换 。 Hilbert - Huang 变换是一种两步骤信号处理方 法 。首先用经验模态分解方法 ( Empirical mode com2 position met hod ,简称 EMD) 获得有限数目的固有模态 函数 ( Int rinsic mode f unction ,简称 IM F) ,然后再利用
第 27 卷第 2 期 谭善文 等 : Hilbert - Huang 变换的滤波特性及其应用
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而获得信号幅值的时间、 频率分布 —Hilbert 谱。更进一 步的 ,通过对时间的积分我们可获得信号的 Hilbert 边际 谱。
) = h (ω H (ω, t ) d t ∫
2 多尺度滤波特点
借助于经验模态分解方法 ( EMD) ,可以获得有限数 目的分段固有模态函数 ( IMF) ,由于特征尺度参数是基于 实际测量所获得的数据 ,因此 ,根据特征尺度参数对数据 进行筛分所得到的分段 IMF 一般都具有明显的物理意 义 ,每一个 IMF 表征了信号在某一特征尺度参数上的模 态。在这里将说明 EMD 的尺度滤波特征。 传统上 ,信号的滤波是在频域上实现的 。通过对 信号作 Fourier 变换 , 可以得信号的频域表示 , 根据信 号所包含信息的频率分布 , 采用一定结构和带宽的滤 波器 ,就可以消除干扰 , 获得有用的信息 。然而 , 对于 非线性和非平稳信号 , 频域滤波方法面临着很大的困 难 。由于对非线性系统或者非平稳信号 , 在频域上都 表现包含着所有的谐波成分 , 从而使得滤波后的信号 产生失真 。借助 IM F 能够构造一种新型的滤波方式 — — — 时空尺度滤波 ( time space filtering) 。 例如 ,对于一个包含有 n 个 IM F 成分的低通尺度 滤波结果可表示为 :
由于瞬时频率方法不能对任意信号都适用 , 它只 能对单分量信号 ( monocomponent signal ) 才有意义 , 而 对于自然界和工程应用领域 , 获取的信号一般都不能 满足单分量信号的要求 , 因此必须对信号进行适当的 处理 。经验模态分解方法 ( EMD) 就是通过对信号进 行分解 , 使之能够表示为许多单分量信号之和 。在 Hilbert - Huang 变换中 , 为了把复杂的信号分解为简 单的单分量信号的组合 ,在进行 EMD 方法时 ,所获得 的固有模态函数 ( IM F) 必须满足下列 2 个条件 : 1) 在整个信号长度上 , 一个 IM F 的极值点和过 零点数目必须相等或至多只相差一点 。 2) 在任意时刻 ,由极大值点定义的上包络线和由 极小值点定义的下包络线的平均值为零 , 也就是说
Ξ
变换中需要选择小波基的困难 , 因此该方法同样可以 用来对非平稳信号进行滤波和去噪 。由于从信号本身 的尺度特征出发对信号进行分解 , 该方法具有良好的 局部适应性 ,加上瞬时频率的引入 ,便可以从时频两方 面同时对信号进行分析 , 增加了处理信号的灵活性和 有效性 。 滤波和去噪往往是相关的 ,在信号分析中 ,采用有 效的方法对信号的时频谱特征进行分析 , 分离噪声和 信号的时频谱区域 ,再用适当的方法进行滤波 ,从而达 到信号去噪的目的 。
n
x ( t) =
i =1
∑C
i
+ Rn
(3)
上面的分解过程可以解释为尺度滤波过程 ,每一个
IMF 分量都反映了信号的特征尺度 ,代表着信号的非线
性非平稳信号的内在模态特征[3 ] 。 获得了信号的 IMF 分量以后 ,就可以对每一阶 IMF 作 Hilbert 变换。
y ( t) = ) 1 x ( t′ d t′ π p t - t′
∫(Βιβλιοθήκη )x ( t ) 和 y ( t ) 共同组合为一解析信号 z ( t ) z ( t ) = x ( t ) + ij ( t ) = A ( t ) e
θ i ( t)
(5)
这里
A ( t) =
2 2 x ( t) + y ( t)
(6) (7)
( ) θ( t) = arctg y t x ( t)
2004 年 2 月 第 27 卷第 2 期
重庆大学学报 Journal of Chongqing U niversity
Feb. 2004 Vol. 27 No . 2
文章编号 :1000 - 582X ( 2004) 02 - 0009 - 04
Hilbert - Huang 变换的滤波特性及其应用
n
图1 信号 x ( t) 的 EMD 分解及每一个 IMF 的 Fourier 谱
3 Hilbert - Huang 变换时空滤波与小波变换
Hilbert 变换和瞬时频率方法获得信号的时 - 频谱 Hilbert 谱 。
IM F 的上下包络线对称于时间轴 。
满足上述条件的 IM F 就是一个单分量信号 。 对于给定的信号 , Huang 所介绍的 EMD 方法是 : 首先找到信号的极大值和极小值 ,通过 3 次样条拟合 , 从而获得信号的上包络曲线和下包络曲线 , 计算上下 包络曲线在每一点上的平均值 , 从而获得一平均值曲 线 m 1 , 设分析信号为 x ( t ) ,则
0
T
现出某一尺度范围的模态 , 并且彼此之间没有模态混 叠现象 。在频域上 ,表现为从高频到低频的层层过滤 。
(10)
Hilbert - Huang 变换是目前最新发展起来对非线性 非平稳信号进行分析的有效方法 ,已经逐渐应用到流体 力学、 地震信号分析、 基础结构检测、 故障诊断等领域。 在许多领域其分析效果完可以和小波变换方法媲美。具 有很大的研究价值和广阔的应用前景。
解析信号的极坐标形式反映了 Hilbert 变换的物理含 义 :它是通过一正弦曲线的频率和幅值调制获得信号局 部的最佳逼近。根据瞬时频率的定义 ,我们有 IMF 分量 的瞬时频率 : θ( ) ω( t) = d t dt 数的幅值谱和瞬时频率 ,从而原始信号可以表示为
x ( t) =
j =1
1 Hilbert - Huang 变换
历史上 ,Fourier 频谱分析方法占了信号分析领域 的主导地位 ,但它也受到严格的限制 : 首先被分析的系 统必须是线性的 ; 其次是信号必须是周期的或平稳的 。 不满足这两个条件 ,用 Fourier 变换所得到的结果将缺 乏物理意义 [ 2 ] 。 对于非线性非平稳信号如何进行分析 ? 一种通常 的方法是假定信号为平稳或分段平稳的 , 然后采用适 当的分析方法如短时 Fourier 变换 ,小波变换等对信号 进行分析 ,从而得到信号的时频分布 。由于这些分析 方法都是以 Fourier 变换为基础的 ,因此具有很大的局
(8)
对每一阶 IMF 作 Hilbert 变换 ,并求出相应的解析函
∑a ( t) e ∫d
j
n
j ω t j
(9)
其数学表达式反映了 Hilbert - Huang 变换是 Fourier 变换的一种扩展形式[2 ] 。 上式反映了信号幅值、 时间和瞬时频率之间的关系。 信号的幅值能表示为时间、 瞬时频率的函数 H (ω, t ) ,从
x ( t ) - m 1 = C1 ( 1)
从理论上讲 , C1 即为第一阶 IM F 分量 , 然后 , 从 原始信号中减去 C1 即可获得信号的逼近分量 R 1 。
x ( t ) - C1 = R 1 ( 2)
对 R1 重复上面的过程 ,就可以获得第二阶 IMF 分 量。通过 EMD 方法对信号的一次次的筛分 ,就可以获得 信号的多个 IMF 分量和一个逼近分量 R n ,从而信号可由 下式表示 :
收稿日期 :2003 - 11 - 10 基金项目 : 西华大学博士基金资助项目 ( 0324009) 作者简介 : 谭善文 ( 1968 - ) ,男 ,湖南宜章人 ,西华大学副教授 、 博士 ,主要从事测控技术与虚拟仪器的研究 。
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重 庆
大
学
学
报 2004 年
谭 善 文1 , 秦 树 人2 , 汤 宝 平 2
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( 1. 西华大学 能源与环境工程系 ,四川成都 610039 ;2. 重庆大学 机械工程学院测试中心 ,重庆 400030)
摘 要 : Hilbert - Huang 变换是最新发展起来的处理非线性非平稳信号的时频分析方法 。其基本 的实现分为两步 ,多分辨经验模态分解和瞬时频率的求解 ,随后可以获得信号的时 — 频谱 。这种方法的 关键部分是多分辨经验模态分解 ,任何复杂的信号都可以分解为有限数目并且具有一定物理意义的固 有模态函数 。多分辨经验模态分解方法可以解释为以信号极值特征尺度为度量的时空滤波过程 。时空 滤波器充分保留了信号本身的非线性和非平稳特征 ,在信号的滤波和去噪中具有很大的优势 。文中介 绍了 Hilbert - Huang 变换时空滤波的实现过程 ,并列举了一些实例 ,说明了该方法的有效性 。 关键词 : Hilbert - Huang 变换 ; 时空滤波 中图分类号 : T G156 文献标识码 :A 在受干扰背景下有效地检测信号 , 不仅与信号的 形式和干扰的性质有关 ,也与信号处理的方法有关 ,对 于不同类型的信号寻找最佳的处理技术一直是信号处 理及检测的主要难题之一 。 传统方法之一是广泛使用的频谱分析技术 , 即利 用 Fourier 变换把信号映射在频域内加以分析 ,这种方 法在信号是平稳且有明显区别于噪声的谱特性时是比 较有效的 。然而 ,实际上经常碰到非平稳信号的情况 , 需要分析每个时刻内含有的频率分量 , 这类信号的时 变频谱特征不适合应用 Fourier 谱分析技术 。 小波变换通过小波基的伸缩和平移 , 实现了信号 的时频分析局部化 , 它能够同时保留信号的时域特征 和频域特征 ,表现在二维相平面上分析信号 ,由于其多 分辨特性 ,在合适的尺度下 ,非平稳信号中的有效成分 会呈现出同噪声截然不同的特性 , 利用信号和噪声在 多尺度空间中不同的传递特性可以获得干扰背景下信 号的有效检测 ,这种处理信号的方法 ,在获得信噪比增 益的同时能够保持对突变信息的良好分辨 , 在非平稳 信号的处理中有自身的优越性 [ 1 ] 。 Hilbert - Huang 变换是最新发展起来的处理非线 性非平稳信号的时频分析方法 。Hilbert - Huang 变换 吸取了小波变换多分辨的优势 , 同时又克服了在小波