高中数学选修2-1第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件人教A版

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

要做的事情总找得出时间和机会；不愿意做的事情也总能找得出借口。 没有所谓失败，除非你不再尝试。
注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 人总是在失去了才知道珍惜！ 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 我们要以今天为坐标，畅想未来几年后的自己。 有理想在的地方，地狱就是天堂。 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 成功永远属于马上行动的人。 只有一条路不能选择――那就是放弃。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 一个人如果不能从内心去原谅别人，那他就永远不会心安理得。
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。 拼尽全力，逼自己优秀一把，青春已所剩不多。
Hale Waihona Puke

(1) 根据c与B→C 共线，设c＝λB→C → 根据模列出关系式
→ 求λ (2) 写出ka＋b，ka－2b的坐标 → 利用垂直列关系式 → 求k
[规范作答] (1)∵B→C＝(－2，－1,2)，且c∥B→C， ∴设c＝λB→C＝(－2λ，－λ，2λ).2分 ∴|c|＝ －2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.4分 解得λ＝±1. ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).6分
1 ． 设 平 面 向 量 a ＝ ( a 1 ， a 2 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ) ， 则 a ⊥a1bb⇔1＋，
a∥a2bb2(＝b≠00)⇔a＝λb⇔.
a1b2－a2b1＝0
2．设i，j，k为单位正交基底，试写出下列各题中向量的坐
标．
(1)4i＋3j＋6k；(2)－i＋3j－5k；(3)4i＋5k；(4)8j.
又因为a⊥A→B，a⊥A→C，且|a|＝ 3，
－2x－y＋3z＝0， 所以x－3y＋2z＝0，
x2＋y2＋z2＝3.
解得 xy＝ ＝11， ， z＝1，
或 xy＝ ＝－ －11， ， z＝－1.
所以a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).
已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)， (1)求A→B＋A→C，A→B－A→C，A→B·A→C. (2)求A→B，A→C夹角的余弦值． (3)问是否存在实数x，y，使得 A→C ＝x A→B ＋y B→C 成立，若存 在，求出x，y的值．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
解析： 如下图所示，以 C 为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)． ∴|B→N|＝ 1－02＋0－12＋1－02＝ 3， ∴BN 的长为 3.

【解析】(1)错误.当b=(b1,b2,b3)中的b1,b2,b3中存在0时,式子 a1 a2 a3 无意义,故此种说法错误.
b1 b2 b3
(2)错误.空间向量a=(1,1,1)的长度为 12 12 12 3，故向量 a=(1,1,1)不是单位向量.
(3)错误.由向量的坐标表示知,若向量 AB的起点A与原点重合, 则B点的坐标为(x1,y1,z1),若向量 AB 的起点A不与原点重合, 则B点的坐标就不为(x1,y1,z1). 答案:(1)× (2)× (3)×
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同? 提示:空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,算法是 相同的,但空间向量比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式 与横坐标、纵坐标是一样的.
(3)两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式： ①模：|a|＝___a_12__a_2_2__a_3_2 _，
|b|＝__b_12___b_22___b_32_；
a1b1 a2b2 a3b3
②夹角：cos〈a，b〉＝__a_12__a_22___a_32 __b_12 __b_22__b_32__；
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b
共线,则 a1 a2 a3 . (
)
b1 b2 b3
(2)空间向量a=(1,1,1)为单位向量.( )
(3)若向量 AB=(x1,y1,z1),则点B的坐标为(x1,y1,z1).( )
x2－x1 y2－y1 z2－z1 . x3－x1 y3－y1 z3－z1