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曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
第1讲 曲线的切线1. 曲线的切线及切线方程是高考中的一个重要考点，曲线的切线与直线与二次曲线相切的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切则只有一个公共点．2. 高考中涉及曲线的切线，往往有如下题型：一是直接求切线的方程；二是通过曲线的切线求相关的参数；三是求切点的坐标或公切线等．1. (2018·苏州期中调研)已知曲线f(x)＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案：13解析：因为f ′(x )＝3ax 2＋1x ，所以f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.2. (2018·南通一调)若曲线y ＝xln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则实数t 的值为________．答案：e －2解析：因为y ′＝1＋ln x ，所以当x ＝1时，y ′＝1，当x ＝t 时，y ′＝1＋ln t ．因为曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，所以1·(1＋ln t )＝－1，得t ＝e －2.3. 已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．答案：3解析：已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3(x＝－2舍去)．4. (2018·淮安期中)已知函数f(x)＝x 3.设曲线y ＝f(x)在点P(x 1，f(x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f(x 2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f ′（x 1）f′（x 2）的值为________．答案：14解析：设点P(x 1，x 31)，曲线y ＝f(x)在点P(x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′（x 1）f′（x 2）＝3x 213x 22＝14., 一) 求切线的方程, 1) 已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l.(1) 求斜率最小的切线方程；(2) 求切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1) y′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点(2，53)，斜率k ＝－1，所以切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2) 由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1.因为α∈[0，π)，所以α∈[0，π2)∪[3π4，π)．故α的取值范围是[0，π2)∪[3π4，π)．点评：求切线方程的方法：① 求曲线在点P 处的切线，则表明点P 是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；② 求曲线过点P 的切线，则点P 不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为________．答案：1e解析：因为f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x.设切点P (x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.所以ln x 0＝1，所以x 0＝e ，所以k ＝1x 0＝1e., 二) 利用导数的几何意义求参数的值, 2) 已知函数f(x)＝e x ，g (x )＝x －m ，m ∈R. (1) 若曲线y ＝f (x )与直线y ＝g (x )相切，求实数m 的值； (2) 若h (x )＝f (x )·g (x )，求h (x )在[0，1]上的最大值．解：(1) 设曲线f (x )＝e x 与g (x )＝x －m 相切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝e x 知e x 0＝1，解得x 0＝0，可求得点P 为(0，1)，代入g (x )＝x －m ，得m ＝－1.(2) 因为h (x )＝(x －m )e x ，所以h ′(x )＝e x ＋(x －m )e x ＝[x －(m －1)]e x ，x ∈[0，1]． ① 当m －1≤0，即m ≤1时，h ′(x )≥0，此时h (x )在[0，1]上单调递增，所以h (x )max＝h (1)＝(1－m )e.② 当0<m －1<1，即1<m <2时，当x ∈(0，m －1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(m －1，1)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (0)＝－m ，h (1)＝(1－m )e.(ⅰ) 当－m ≥(1－m )e ，即ee －1≤m <2时，h (x )max ＝h (0)＝－m ；(ⅱ) 当－m <(1－m )e ，即1<m <ee －1时，h (x )max ＝h (1)＝(1－m )e.③ 当m －1≥1，即m ≥2时，h ′(x )≤0，此时h (x )在[0，1]上单调递减，所以h (x )max＝h (0)＝－m .综上，当m <e e －1时，h (x )max ＝(1－m )e ；当m ≥ee －1时，h (x )max ＝－m .点评：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：① 切点处的导数是切线的斜率；② 切点在切线上；③ 切点在曲线上．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行．(1) 求a 的值；(2) 求此切线方程．解：(1) 由题得f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23，即当x ＝－a 3时f ′(x )取得最小值－9－a23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，所以－9－a 23＝－12，解得a ＝±3.由题设a <0，所以a ＝－3.(2) 由(1)知，切点坐标为(1，－12)， 所以切线方程为y ＋12＝－12(x －1)， 即12x ＋y ＝0., 三) 公切线问题, 3) 已知f(x)＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．答案：－2解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，所以直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1.因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2(m ＝4舍去)．曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线(切线相同)的条数为________．答案：1解析：设公切线切曲线y ＝－1x(x ＜0)与曲线y ＝ln x 的切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，它们是同一方程，因此对应系数相等，得x 2＝x 21，2x 1＝1－ln x 2，则2x 1＝1－2ln(－x 1)．由于函数y ＝－2x ＋1，y ＝2ln(－x )的图象仅有一个交点，则2x 1＝1－2ln(－x 1)仅有一个零点，则(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均唯一确定，即公切线的条数为1., 四) 曲线的切线的综合应用, 4) 函数y ＝f(x)图象上不同两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N)＝|k M －k N |MN(MN 为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f(x)在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f(x)＝x 3＋2上不同两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N)的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫0，3105解析：f′(x)＝3x 2， 设x 1＋x 2＝t(|t|>2)，则φ(M ，N)＝|3x 21－3x 22|（x 1－x 2）2＋（x 31＋2－x 32－2）2＝|3x 21－3x 22|（x 1－x 2）2[1＋（x 21＋x 1x 2＋x 22）2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[（x 1＋x 2）2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[（x 1＋x 2）2－1]2＝3|t|1＋（t 2－1）2＝3t 2＋2t2－2. 设g(x)＝x ＋2x ，x>4，则g′(x)＝1－2x2>0，所以g(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N)<3105.设函数f(x)＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3. (1) 求f (x )的解析式；(2) 证明函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心．(1) 解：f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2) 证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数，所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．1. (2018·天津卷)已知函数f(x)＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． 答案：e 2. (2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．答案：1解析：因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1.又f (1)＝a ，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，整理得y ＝(a －1)x ＋1，所以切线l 在y 轴上的截距为1.3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x 3＋(a －1)x 2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________．答案：y ＝x解析：因为f(x)＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x[x 2＋(a －1)x ＋a]为奇函数，设g(x)＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则g(x)为偶函数，故a －1＝0，则a ＝1.设f(x)＝x 3＋x ，从而f ′(x)＝3x 2＋1，切线斜率k ＝f′(0)＝1，因此切线方程为y ＝x.4. (2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________． 答案：－3解析：f ′(x )＝a e x ＋(ax ＋1)e x ，则f ′(0)＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3. 5. (2017·北京卷)已知函数f(x)＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解：(1) 因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2) 设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈(0，π2)时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间[0，π2]上单调递减，所以对任意x ∈(0，π2]，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间[0，π2]上单调递减．因此f (x )在区间[0，π2]上的最大值为f (0)＝1，最小值为f (π2)＝－π2.(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋12，g (x )＝x 2＋(b ＋1)x ，a ，b ∈R.(1) 若函数f (x )的图象在点(1，1)处的切线与g (x )的图象也相切，求a ，b 的值； (2) 若不等式f (x )≤0对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． (注：e 是自然对数的底数，e ≈2.718)解：(1) 由f (1)＝a ＋12＝1，得a ＝12，所以f (x )＝ln x ＋12x 2＋12，(2分)所以f ′(x )＝1x＋x ，从而f ′(1)＝2，所以函数f (x )的图象在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，y ＝x 2＋（b ＋1）x ，消y 得x 2＋(b －1)x ＋1＝0， 由Δ＝(b －1)2－4＝0，得b ＝3或b ＝－1，所以a ＝12，b ＝3或a ＝12，b ＝－1.(8分)(2) 不等式ln x ＋ax 2＋12≤0对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立，即为a ≤－ln x ＋12x2对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立． 设函数t (x )＝－ln x ＋12x 2，x ∈(0，＋∞)，则t ′(x )＝－1x ·x 2－（ln x ＋12）·2x x 4＝2ln xx3.(10分) 令t ′(x )＝0，得x ＝1，且当0<x <1时，t ′(x )<0；当x >1时，t ′(x )>0， 所以函数t (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以t (x )min ＝t (1)＝－12，(12分)所以a ≤－12.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12.(14分)1. 曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．答案：12ln 2解析：因为y ′＝1x ln 2，所以k ＝1ln 2，所以切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，所以所求三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.2. 已知函数f(x)＝x －aln x ，g (x )＝－1＋ax(a ∈R)．(1) 当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程； (2) 设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间． 解：(1) f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，f (1)＝1，f ′(1)＝0，切点为(1，1)，斜率k ＝0， 所以曲线f (x )在点(1，1)处的切线方程为y ＝1.(2) h (x )＝x ＋1＋ax－a ln x ，h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2.① 当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上，h ′(x )<0；在(1＋a ，＋∞)上，h ′(x )>0， 所以h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增； ② 当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，h ′(x )>0， 所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上，当a ＞－1时，h (x )在(0，1＋a )上单调递减，在(1＋a ，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，h (x )在(0，＋∞)上单调递增．3. 已知函数f(x)＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值； (2) 讨论f (x )的单调性．解： f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)．(1) 由题意得f ′(2)·(－1e 2)＝－1，即e 2(4a ＋4a －4)·(－1e 2)＝－1，解得a ＝58.(2) 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.① 当0<a <1时，x 2>0，在(－∞，0)和(2－2a a ，＋∞)上，f ′(x )>0；在(0，2－2aa )上，f ′(x )<0，则f (x )的单调增区间为(－∞，0)和(2－2a a ，＋∞)，单调减区间为(0，2－2aa)；② 当a ＝1时，f (x )在R 上单调递增；③ 当a >1时，x 2<0，f (x )的单调增区间为(－∞，2－2a a )和(0，＋∞)，单调减区间为(2－2aa，0)．请使用“课后训练·第6讲”活页练习，及时查漏补缺！。
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
平面曲线在一点处的切线
平面曲线在一点处的切线是指该曲线在该点处的切线。
曲线在该点处的切线是经过该点的曲线上的两个非常接近的点所形成的直线，它描述了曲线在该点处的局部特性。
在数学上，可以通过对曲线在该点处进行导数计算来得到切线的斜率，从而得出切线的方程式。
切线可以帮助理解曲线的局部性质，例如曲线的方向变化、凸凹性质等。
在实际应用中，切线可以用于测量曲线在一点处的斜率、方向以及相关的物理量。
