圆的切线证明[优质ppt]

求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
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F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ a＋b－c或r＝
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ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
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想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
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例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
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例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。

.
4
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
.
5
动手做一做
• 画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半 径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直 线与圆有几个交点？
●O
┐
l
思考：直线l一定是圆O的A切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
.
6
〖想一想〗
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
.
11
∴PE为⊙0的切线。
〖拓展例题〗 ：如图所示，等腰△ABC，BC边过圆
心O,且满足OB=OC,AB边交⊙O于点D，连结AO,并且满足
OD⊥AB。求证：AC与⊙O相切。
A
证明：过点O作OE⊥AC于E。
∵△ABC是等腰△ABC
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
Байду номын сангаас
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
〖想一想〗
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
.
1
圆的切线
授课教师：邹春雨
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系

A
o
E
C
D
B
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例4
7
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交AC 于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与⊙o 相切。
A
E
A
o
C E
B
D F
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例2
4
如图，AB是⊙o的弦，点C是⊙o外一点，OC交AB于D， OA⊥OC，CD=CB.求证：CB是⊙o的切线。
A
oD
C
B
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
A o
P
2
切线 垂直 半径
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例1
3
如图，⊙o中，AB是圆的一条直径，CD是⊙o的一条弦交AB于 点E，且AB垂直于CD，过点B做BF∥CD交AD延长线与F，求证： BF是⊙o的切线。
9
不知道直线与圆是否有公共点
做垂直 证半径
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例5
10
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。

研究曲线的性质
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。

。
06
总结与回顾
重点回顾
圆与圆的位置关系
总结了五种位置关系，包括外离、外切、相交、内切和内含，并 介绍了如何利用圆心距与两圆半径的关系来判断位置关系。
切线的定义与性质
回顾了切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线，以及切线的 性质，如垂直于过切点的半径等。
切线与圆的位置关系
总结了切线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交，并介绍了 如何利用圆心到切线的距离与半径的关系来判断位置关系。
详细描述
相离是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离大于两圆的半径之和时， 两圆处于相离位置关系。此时，两个圆没有交点，无法相切或相交。在切线 课件中，相离位置关系的圆与圆之间可以有公共的切线。
相切
总结词
指两个圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，两圆处于相 切位置关系。
详细描述
相切是两圆位置关系的一种，当两圆心之间的距离等于两圆 的半径之和时，两圆处于相切位置关系。此时，两个圆只有 一个交点，该交点称为切点。在切线课件中，相切位置关系 的圆与圆之间只有一条公共的切线。
详细描述
切线的性质可以用于解决实际问题，如计算圆的面积、周长等。例如，如果我们知道一个圆的半径， 我们可以利用切线的性质来计算圆的面积或周长。此外，切线的性质还可以用于解决其他与圆有关的 问题。
05
圆的切线在生活中的应用
车辆行驶中的转弯问题
车辆转弯时需要利用圆的切线，确 保车辆以安全速度和轨迹转弯，避 免侧滑或侧翻。
圆的切线定义
直线与圆只有一个公共点时， 称为直线与圆相切。这条直线
称为圆的切线。
切线和圆心的距离称为切线长 度，通常用字母d表示。
切线和圆的半径之间的夹角称 为切线角，通常用字母θ表示。

圆的切线的性质及判定定理
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡Fra bibliotek， 晏如也 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！

已有 大部分同学对已经掌握了证明圆的切线的 知识 辅助线的添加方法。
学生在应用切线的判定定理证明时，在证
困难 预设
明垂直上
板书设计说明
圆的切线的判定
一、小结：
1. 证明直线和圆的相切的基本思路：
（1）已知半径
（一）证明
（2）没有半径
2、在证明圆的切线问题中，准切点处的 垂关系的证明常用以下方法（不是所有方 法）
（二)证明
平行 互余
全等
（三）证明
基本
学生层次不一，知识水平差异较大；
情况
学生已经学习了圆的切线判定的三种方法，
（1）求证：DE为⊙O的切线。 （2）求DE的长。
连半径，证垂直
1.等边三角形，等腰三角形， 内错角，平行，菱形
2.角平分线，等腰三角形，内错角， 平行，垂径定理 ，勾股定理
3.角平分线，等腰三角形，内错角，平 行，直径，垂径定理 ，勾股定理
4.如图,在△ABC中，AB=AC,O是底边 BC的中点,以点O为圆心的圆与AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
5.如图,O为正方形ABCD对角线上一点,以 O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
(1)求证:CD与⊙O相切. (2)若正方形ABCD的边长为1,求⊙O的半径.
做垂直，证半径
1.等腰三角形，三线合一， 2.正方形，角平分线的
角平分线的性质
性质，勾股定理
(2018年湖北随州中考)
6.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上 一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O， 分别交AC、CN于D、M两点．
求证：MD=MC；
(2017年浙江丽水中考)
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为 直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.

∴∠1＝∠3，∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.

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初三年级数学学科
与圆的切线有关的证明（上）
一、据已知条件证切线
温习梳理
1、切线的定义:直线和圆有且只有1个公共点时，这条 直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线 垂直 于过切点的半径。 3、切线的判定:
⑴和圆只有 一个公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离等于 半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的
(2)解：如图所示，连接BM，OD.
∴∠ODB＝∠OBD.
由(1)得AD＝CD.
∵∠OBD＝∠ABD，
又∵AD＝CM，
∴∠ODB＝∠ABD.
∴CD＝CM，∠DBC＝∠MBC＝∠MDC. ∴OD∥AB.
∵DM⊥BC，
∵BE⊥DE，
∴∠DBC＋∠BDM＝90°.
∴OD⊥DE.
∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的直径.
∴DE与⊙O相切.
∴OD＝OB，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1.
作业答案
2.已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.
求证: AC∥BD
证明：
A
C
∵AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线
O
∴∠CAB＝∠DBA= 90°
∴∠CAB+∠DBA= 180° ∴AC∥BD
∴ PB是⊙O的切线．
3．如图，在 Rt△ ABC 中， C 90 ，AE 是△ ABC 的角平分线. AE 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， 交 AB 于点 F.
求证：BC 是⊙O 的切线.
证明：连接 OE. ∵ AE 的垂直平分线交 AB 于点 O， ∴ OA=OE.