与圆的切线有关的证明与计算

切线长定理及应用切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在许多实际应用中发挥着重要的作用。

本文将介绍切线长定理的概念、证明以及一些实际应用。

一、切线长定理的概念切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出的切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

换句话说，如果从圆外一点引出一条切线，那么切线与半径的乘积等于切点到圆心的距离的平方。

二、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们可以利用几何推理和一些基本的几何定理。

首先，我们可以通过连接圆心、切点和圆上的一个点，构成一个直角三角形。

然后，利用勾股定理和相似三角形的性质，我们可以得出切线长定理的结论。

三、切线长定理的应用切线长定理在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 圆的切线问题：切线长定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，例如确定切线的长度、判断两条切线是否相等等。

2. 几何建模：在几何建模中，切线长定理可以用于计算和确定物体表面的切线长度，从而帮助我们进行准确的建模和设计。

3. 光学问题：在光学问题中，切线长定理可以用于计算光线的传播路径和角度，从而帮助我们理解光的行为和性质。

4. 工程测量：在工程测量中，切线长定理可以用于计算和确定测量点与目标物之间的距离和位置关系，从而帮助我们进行精确的测量和定位。

5. 数学建模：在数学建模中，切线长定理可以用于建立数学模型，从而帮助我们解决各种实际问题，例如物体运动的轨迹、曲线的切线方程等。

总结：切线长定理是解决几何问题中常用的定理之一，它在圆的切线问题、几何建模、光学问题、工程测量和数学建模等领域都有着广泛的应用。

通过理解和应用切线长定理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的准确性和效率。

切线长定理一． 重点：切线长定理及其应用难点：与切线长定理有关的证明和计算问题． 二．1、切线长的概念：经过圆外一点作 ，这点和 之间的线段的长叫做切线长。

2.切线与切线长的区别与联系：3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条 ，它们的切线长 ，圆心和这一点的连线 4. 练习（1）如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于D 、E ，交AB 于E ．(1)写出图中所有的垂直关系．(2)写出图中所有的全等三角形．（2）已知：⊙O 的半径为3厘米，点P 和圆心O 的距离为6厘米，经过点P 和⊙O 的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．例题讲解：例1 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径 求证：AC//OPABC OP例2 圆外切四边形的两组对边的和相等．已知：如图，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA和⊙O 分别相切于L 、M 、N ，P ． 求证：AB+CD=AD+BC ．练习：1. 圆内接平行四边形是_____2.圆外切平行四边形是_______ 例题3.如图，某镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。

已知雕塑中心M 到道路三边AC 、BC 、AB 的距离相等，AC ⊥BC ，BC=30米，AC=40米。

请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？A CB古镇镇商业镇工业区.M弦切角教学重点：弦切角定理及其应用是重点．教学难点：弦切角定理的证明是难点． 一．探究1.弦切角的定义：顶点在 ，一边和圆 ，另一边和圆 的角叫做弦切角。

2. 弦切角定理：弦切角等于 3、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么二． 例题 例1如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ,AD ⊥CE ,垂足为D 。

求证： AC 平分∠BAD例2、如图，已知AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 点C ,AD ⊥OB ,垂足为D 。

圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。

其中一个重要的性质是切线与切点的关系。

本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。

一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。

对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。

二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。

根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。

这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。

2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。

对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。

这个性质也可以通过几何证明得出。

3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。

这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。

也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。

4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。

三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。

换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。

2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。

通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。

四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。

在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。

总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。

圆外一点引两条切线交得弦长公式是圆的基本性质之一，在数学中有着广泛的应用。

下面将从几何关系、证明和应用三个方面来详细介绍这个公式。

一、几何关系1. 圆外一点引两条切线的几何关系在平面几何中，当一条直线与圆相交时，有以下几种情况：1）直线与圆相交于两点，这时称直线为割线；2）直线与圆相切，这时称直线为切线；3）直线与圆不相交也不相切，这时称直线为圆外直线。

当圆外一点引两条切线的情况时，这两条切线的交点即为该圆外一点到圆的两个切点。

2. 弦长的定义在圆的几何关系中，弦是两个圆上的两点之间的直线段，圆外一点引两条切线交得的弦即为这两个切点之间的弦长。

二、证明圆外一点引两条切线交得弦长公式的证明可以通过几何分析和运用几何关系来完成。

这里给出一个简单的证明过程：假设圆的半径为r，圆心为O，圆外点为A，切点分别为B、C，连接AB、AC两条线段。

根据切线与半径的垂直关系可得△OAB与△OAC为直角三角形，根据勾股定理可得AB^2 = AO^2 - OB^2AC^2 = AO^2 - OC^2将以上两个等式相减可得AB^2 - AC^2 = OB^2 - OC^2由于OB=OC=r，代入上式可得AB^2 - AC^2 = r^2 - r^2 = 0即AB=AC，所以弦长AB=AC。

三、应用圆外一点引两条切线交得弦长公式在数学和物理领域中有着广泛的应用，下面分别从几何学和工程领域来具体介绍其应用。

1. 几何学应用圆外一点引两条切线交得弦长公式可以用来解决圆的内切、外切问题，求解弦长等几何问题。

在解决相关几何问题时，可以通过建立方程，并利用弦长公式进行求解。

2. 工程应用在工程领域中，圆外一点引两条切线交得弦长公式可以应用于工程测量、机械设计等领域。

在建筑工程中，通过利用圆外一点引两条切线的弦长公式可以计算出两个圆的切线距离，来确定建筑物的布局和位置；在机械设计中，可以利用弦长公式计算两个切点的位置，从而确定机械零件的安装位置。

陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cos A＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．4．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．（1）求证：∠ABC＝2∠A；（2）若⊙O半径为，AB：BD＝5：1，求AE的长．5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，∠D＝30°，连接AC、BC，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．6．已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为8，求⊙O的半径．7．如图，在△AOB中，以点O为圆心的⊙O与AB相切于点D，延长AO交⊙O于点C，连接CD，过点A作AF⊥BO，交BO的延长线于点H，交⊙O于点F，∠B＝∠C．求证：（1）AF∥CD；（2）AH2＝OH⋅BH．8．如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E＝∠B．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝6，CF＝4，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，⊙O与CD相切于点D，过点A作AE ⊥CD，垂足为E．（1）求证：AD平分∠EAC．（2）若BC＝3，，求⊙O的半径以及线段ED的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当D是OA的中点时，AB＝4，求BF的长．11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作BC平行线AM，连接BO并延长，交AM于点D，连接AO、CO．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若BC＝10，AD＝8，求⊙O的半径．12．如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、BD、BE、DE，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C．（1）求证：∠DEB＝∠CDB；（2）若BD＝DE＝6，BE＝9.6，求⊙O的半径．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE 并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D．（1）求证：OD∥AC；（2）延长EO交AB于点F，AF＝2，⊙O的直径为2，求OD的长．17．如图，已知△ABC的外接圆直径是AB，点O是圆心，点D在⊙O上，且＝，过点D作⊙O的切线，与CA、CB的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AB∥EF；（2）若⊙O的半径为5，BC＝8，求DF的长度．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．19．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，tan∠ACB＝2，求弦AF的长度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．（1）求证：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）若，BD＝4，求BE的长．23．如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC 点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．25．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CAD＝∠CDE；（2）若CD＝6，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为⊙O的直径，过点A作AE ⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．28．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的半径．29．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O 于点D，延长BA到点P，使得PE＝PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径3，PC＝4，求CD的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．31．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．（1）求证：AD是⊙O的切线：（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cos C＝，求CF的长．33．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．36．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求DF的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作⊙O的切线EF，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若⊙O的半径是，cos∠ACD＝，求DF的长．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．39．如图，BD为⊙O的直径，∠ABE＝∠BCA，过点A的直线与⊙O分别交于点E，C，与BD交于点F，连接BE，BC．（1）求证：AB为⊙O的切线．（2）若∠A＝∠ABE，BE＝5，BC＝8，求⊙O的半径．40．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CDE＝∠CAD；（2）若CD＝4，tan B＝，求⊙O的半径．。

半代入法求圆的切线证明1.引言准备编写文章1.1 概述部分的内容。

在这一部分，我们将简要介绍半代入法求圆的切线证明的背景和要点。

概述：在几何学中，我们经常遇到需要求解圆的切线问题。

而半代入法是一种常用的数学方法，用于推导和证明圆的切线方程。

通过使用这种方法，我们可以轻松地得出切线方程，从而解决各种与圆的切线相关的数学问题。

本文将详细介绍半代入法的原理和步骤，并阐述其在求解圆的切线问题中的有效性。

通过掌握和应用这一方法，读者将能够更好地理解和解决与圆的切线相关的几何难题。

文章结构：本文将分为三个主要部分。

首先，我们将介绍半代入法的原理和步骤，这将为后续的内容打下基础。

其次，我们将详细阐述半代入法在求解圆的切线问题中的基本思想和具体步骤。

最后，我们将对半代入法求圆的切线的有效性进行评估，并对整个文章进行总结。

目的：本文的目的是全面介绍半代入法在求解圆的切线问题中的应用。

通过阐述其原理、步骤和基本思想，我们旨在帮助读者掌握这一数学方法，并能够灵活应用于实际问题中。

这就是文章1.1 概述部分的内容。

接下来，我们将继续编写文章的其他部分。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对半代入法求圆的切线的证明进行讨论：1. 引言：首先对半代入法求圆的切线的背景和意义进行概述，介绍半代入法在几何证明中的应用以及本文的研究目标。

2. 正文：2.1 半代入法的原理和步骤：详细介绍半代入法的基本原理和具体步骤，包括如何使用半代入法求解几何问题以及相应的推导方法。

2.2 半代入法求圆的切线的基本思想：阐述半代入法求解圆的切线的基本思想，包括如何利用已知的圆心、半径和切点等信息，通过半代入的方法得到切线的方程和证明过程。

同时，附上具体的实例进行说明。

3. 结论：3.1 半代入法求圆的切线的有效性：对半代入法求解圆的切线的有效性进行分析和论证，包括讨论该方法的适用范围、其优点和局限性，并通过实例验证其有效性。

3.2 结论总结：总结本文的主要观点和证明过程，强调半代入法求解圆的切线的重要性和实用性，并对进一步应用和研究的发展方向提出展望。

过圆外一点作圆的两条切线,切点连线的方程概述说明1. 引言1.1 概述在几何学中，研究圆的性质和相关问题一直是一个重要的课题。

其中，通过一点外于圆之外触发两条切线，并对切点进行连线，是一个经典且常见的问题。

本文旨在探讨过圆外一点作圆的两条切线以及切点连线的方程。

我们将从几何性质和数学推导两个方面展开讨论，解释其基本思路、求解方法与验证，并通过具体实例与数学证明来进一步说明和分析。

1.2 背景圆作为几何学中最基本的图形之一，在生活和科学研究中有广泛应用。

通过理解圆与其他图形（如直线）之间的关系，我们可以进一步揭示其内在规律和特性，并应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。

过圆外一点作圆的两条切线是一个常见且有趣的问题。

它不仅需要运用到圆与直线的基础概念，还需要灵活运用相关定理和推导思路来解决具体问题。

因此，深入研究这个问题对于提高我们几何思维能力和解决实际问题具有重要意义。

1.3 目的本文的目的是系统地阐述过圆外一点作圆的两条切线，并介绍切点连线的方程求解过程。

主要包括以下内容：第二部分将从圆与直线关系概述入手，引出过圆外一点作圆的两条切线，并介绍其定义及相关性质。

同时，还将对切点连线方程的推导过程进行简述，为后续章节做准备。

第三部分将详细讲解推导切线方程的基本思路，并提供不同方法求解切点坐标的详细步骤。

我们将探讨几种常见情况下的解法，并对结果进行验证和理论应用的讨论。

第四部分通过具体实例问题的分析与处理步骤说明，展示数学推演和证明过程。

我们将运用已掌握知识，以严谨而有效的方式解析问题，推演出结果并进行验证与总结。

最后，在第五部分中对研究成果进行总结归纳，并指出存在问题及未来研究需要改进之处。

通过这样一个完整而系统化的研究及阐述过程，我们希望能深入理解该问题，在此基础上可以进行更深入的研究，并为相关学科做出贡献。

2. 过圆外一点作圆的两条切线的几何性质2.1 圆与直线的关系概述在几何学中，圆和直线是基本的几何元素。

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。