第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。
7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。
8)是，因任取二矩阵Y X ,nn P⨯∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，A (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X ，故A 是n n P ⨯上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换，证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2，并检验(AB )2=A 2B 2是否成立。
解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z)，A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)，B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z)，B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)，C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z)，C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)， 所以A 4=B 4=C 4=E 。
2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y)，BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB ≠BA 。
3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A 2B 2=B 2A 2。
4)因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)，A 2B 2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB )2≠A 2B 2。
3.在P[x] 中，A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =，证明:AB-BA=E 。
证 任取∈)(x f P[x]，则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f 所以 AB-BA=E 。
4.设A,B 是线性变换，如果AB-BA=E ，证明：A kB-BA k=k A 1-k (k>1)。
证 采用数学归纳法。
当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。
归纳假设m k =时结论成立，即A mB-BA m=m A 1-m 。
则当1+=m k 时，有A1+m B-BA1+m =(A1+m B-A m BA)+(A m BA-BA1+m )=A m(AB-BA)+(A mB-BA m)A=A mE+m A1-m A=)1(+m A m。
即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
证 设A 是可逆变换，它的逆变换为A 1-。
若a ≠b ，则必有A a ≠A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1-，有a=b ，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A 1-b=a 即可。
因此,A 是一个双射。
6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。
证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关。
证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A ，故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关，故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵；2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影，求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中，设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→， 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1)下的矩阵A ； 4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax sin bx ，3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e axsin bx ，1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵；5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P 3中，A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A ， 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη， 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A 在1η,2η,3η下的矩阵。
解 1)A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε，A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε，A 3ε=(0,1,0)= 2ε，故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012。
2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1），则A 1ε=211ε+212ε，A 2ε=211ε+212ε，故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121。
又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε，所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=211ε+212ε，所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210。
3）因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε， 所以A 0110=-=ε，A 01)1(εε=-+=x x ，L L L LA )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n K K ε=)!1()]3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010KK K。
4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε， D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a。
5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211。
