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单纯形法图解法及原理

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第二章 图解法与单纯形法

第二章 图解法与单纯形法

表1-4 XB
基变量 x1 x2
进基列 x3
bi /ai2，ai2>0 x4 b
将3化为1
(1)
θi 40 10
出 基 行
x3
x4
2
1 3
1
3 4
1
0 0
0
1 0
40
30
σj
x3
乘 以 1/3 后 得 到
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
x2
40
例题
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
max Z 3x1 4x2 2 x1 x2 40
30
x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
10
O
10
20
30
40
x1
2.1 线性规划问题的图解法
θ M 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动

单纯形法(第三章线性规划2)

单纯形法(第三章线性规划2)

-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2

物流运筹学单纯形法

物流运筹学单纯形法

如何确定出基变量（可以按照下述方法来理解） 当x2定为入基变量后，必须从x3 、 x4 、 x5中换出来一个，并保 证其余的变量在新可行解中还都是非负，即： x3≥0 、 x4 ≥0 、 x5 ≥0
因为x1 仍为基变量， 所以将x1=0，带入约 束条件，得到：
4 x2 x3 360 5 x2 x4 200 s.t . 10x2 x5 300 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优？判断标准是什么？
1.5.1单纯形法原理
单纯形法步骤
确定初始基本可行解
检验其 是否为最优
是
停
主要工作： 最优性检验
否 寻找更好的 基本可行解
主要工作： 1、基变换（将原来的基换成新的基） 2、修正单纯形表，得到新的基本可行解
基变量的 价值系数 基变量
基本 可行解
CB
0 0 0
XB
X3 X4 X5 机会成本行 σj
7 B b 360 200 300
-1
12 X2 4 5 10 0 12
0 X3 1 0 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0
0 X5 0 0 1 0 0
X1 9 4 3 0 7
θ
90 40 30
因为基变量的检验数σ1和σ2都大于0，所以当前解不是最优。需要变换可行 基，寻找新的解。即原来的非基变量x1 、x2，要有一个被换为基变量，基变 量中也要有一个被换为非基变量，以确定新的基、新的解。
0
0
0
主元列 （确定入基变量）
主元行 （确定 出基变 量）
主元素

单纯形法图解法及原理

单纯形法图解法及原理

单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理

《图解法与单纯形法》课件

《图解法与单纯形法》课件
《图解法与单纯形法》ppt课件
• 图解法概述 • 单纯形法概述 • 图解法与单纯形法的比较 • 图解法与单纯形法的实际应用案例 • 总结与展望
01
图解法概述
图解法的定义
• 定义：图解法是一种通过图形和 图像来表达和解决问题的数学方 法。它利用几何图形、函数图像 等手段，将抽象的数学问题转化 为直观的视觉表达，便于理解和 分析。
04
图解法与单纯形法的实际应用案例
图解法应用案例
案例一：线性规划问题 案例三：下料问题
案例二：运输问题 案例四：生产计划问题
单纯形法应用案例
案例一
最小成本问题
案例三
资源分配问题
案例二
最大收益问题
案例四
投资组合优化问题
图解法与单纯形法结合应用案例
案例一
混合整数规划问题
案例二
多目标规划问题
案例三
图解法与单纯形法的未来发展方向
未来发展的方向之一是研究更加高效 、精确的算法，以提高线性规划问题 的求解速度和精度。
另一个发展方向是结合人工智能、机 器学习等技术，探索更加智能化的求 解方法，以解决更加复杂、多变的实 际问题。
THANK YOU
非线性规划问题
案例四
动态规Hale Waihona Puke 问题05总结与展望
图解法与单纯形法的总结
图解法与单纯形法是线性规划中常用的两种方法，它们在解决实际问题中具有广泛 的应用。
图解法是一种直观的方法，通过图形来展示线性规划问题的解，易于理解，但精度 不高。
单纯形法是一种数值方法，通过迭代计算来寻找线性规划问题的最优解，精度高， 但计算量大。
成本最小化问题
在企业的生产和经营过程中，需要最小化成本以获得 最大利润。

《图解法与单纯形法》课件

《图解法与单纯形法》课件

异同点总结
图解法和单纯形法在求解线 性规划问题时有相似之处， 但也存在差异，了解差异将 有助于选择正确的方法。
问题性质选择
根据问题的性质和要求，选 择合适的方法是解决线性规 划问题的关键。
启示和建议
通过学习图解法和单纯形法， 我们可以深入理解线性规划 问题，并从中总结出一些有 益的启示和建议。
图解法与单纯形法 PPT 课 件
通过本次PPT课件，我们将学习图解法和单纯形法的基本概念、应用场景以及 比较分析，希望能给大家带来全新的启示和建议。
பைடு நூலகம்解法
基本概念
图解法是一种直观的线性规划求解方法，通过在坐标系中绘制约束条件和目标函数的图形， 找出最优解。
应用场景
图解法常用于简单的线性规划问题求解，特别适用于二维平面上的问题。
图解法和单纯形法的比较
优缺点对比
图解法直观易懂，但对于复杂问题效率较低；单纯形法高效准确，但需要数学推导和计算。
适用范围对比
图解法适用于简单问题和二维平面；单纯形法适用于复杂问题和多维空间。
实际案例对比分析
通过比较实际案例应用图解法和单纯形法，我们可以更好地理解两种方法的优劣和适用场景。
总结与讨论
步骤
1. 找出约束条件的交点（解集） 2. 计算目标函数在解集中的取值 3. 找出最优解（最大值或最小值）
单纯形法
基本概念
单纯形法是一种高效的线性 规划求解方法，通过迭代计 算顶点的函数值来逐步接近 最优解。
应用场景
单纯形法适用于复杂的线性 规划问题，尤其是多维空间 中的问题。
步骤
1. 确定初始单纯形 2. 计算单纯形的顶点函数值 3. 选择下一个单纯形 4. 判断是否达到最优解

运筹学 (单纯形法原理)

运筹学 (单纯形法原理)

x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5 x4 = 16 – 4x1 x2 = 3 –1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0 x4 = 16 – 4 θ ≥0 x2 = 3 ≥0
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3 相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
xni bi aij x j
j 1
n
（i 1, 2,L , m）
3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数 j
Z c j x j cni xni
j 1 i 1
n Z c j x j cni b a x i ij j j 1 i 1 j 1 n m
b1 M M M 0 .1L bi M M M 0 0L 1 bm
表格单纯形法
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1 cnm xnm
标准型：

a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 , x 2 , , x n , x n 1 , , x n m 0
m
cni bi (c j cni aij ) x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
j cj zj
n j 1
Z Z 0 (c j z j ) x j Z 0 j x j

线性规划中的最优解求解

线性规划中的最优解求解

线性规划中的最优解求解线性规划是一种在运筹学和数学中广泛应用的数学建模技术，通过确定一组线性约束条件下的最优解，以实现目标最大化或最小化。

最优解是指在满足给定约束条件的前提下，能使目标函数达到最优值的解。

在线性规划问题中，最优解的求解有多种方法。

本文将介绍线性规划中的两种主要方法：图解法和单纯形法。

一、图解法图解法是一种简单直观的方法，适用于只有两个变量的问题。

它通过在平面坐标系上画出约束条件的图形，找到可行域（满足所有约束条件的解集），并在可行域内寻找使目标函数达到最优值的点。

具体步骤如下：1. 绘制坐标系，并画出约束条件的直线或曲线。

每个约束条件都会限制变量的取值范围，在平面上形成一条直线或曲线。

2. 标出可行域。

根据所有约束条件的交集，确定满足所有约束条件的解的集合，即可行域。

可行域通常是一个多边形区域。

3. 确定目标函数。

根据问题的要求确定目标函数，并将其表示为直线或曲线。

4. 在可行域内寻找最优解。

通过平行于目标函数的线，将其移动至与可行域相切，并找到使目标函数取得最优值的点。

图解法的优点是简单易懂，能够提供初步的解决方案。

然而，对于复杂问题和具有多个变量的大规模问题，图解法可能不适用。

二、单纯形法单纯形法是一种基于矩阵运算的高效方法，适用于多变量和大规模问题。

它通过不断进行迭代计算，寻找最优解。

具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。

标准形式要求目标函数为最小化问题，并且所有约束条件均为等式形式。

如果原问题不符合标准形式，可以进行线性变换进行转化。

2. 构建初始单纯形表。

将原问题的线性规划模型表示为矩阵形式，并构建单纯形表，包括目标函数系数、基变量和非基变量等信息。

3. 迭代计算。

根据单纯形表中的信息，进行迭代计算，通过选择合适的主元（即最大系数法则）和更新各个单元的值，逐步接近最优解。

4. 判断终止条件。

在每一次迭代计算后，判断是否满足终止条件，即目标函数是否达到最优解。

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解线性规划问题
2.5
在单纯形法的求解过程中，有下列重要指标：
（1）每一个基本可行解的检验向量 ，根据检验向量可以确定所求得的基本可行解是否为最优解。如果不是最优又可以通过检验向量确定合适的换入变量。
图解法和单纯形法求解以下线性规划问题
1.1
只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下：
(1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。
(2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
1.3
使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式
所谓标准形式是指下列形式：
当实际模型非标准形式时，可以通过以下变换化为标准形式：
①当目标函数为 时，可令Z′=-Z，而将其写成为
求得最终解时，再求逆变换Z=-Z′即可。

单纯形法基本原理及实例演示

单纯形法基本原理及实例演示
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•

1 1 1
1 0 0
0 1 0

用单纯形法解决线性规划问题

用单纯形法解决线性规划问题

盐城师范学院运筹学期末论文题目: 用单纯形法解决线性规划问题**: **二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 111 班学号: ********成绩评定:前言线性规划问题是数学以及日常生活中最基本的问题之一，如何快速有效的解决线性规划问题是数学家也在努力研究的科目之一。

以前中学时我们解决线性规划问题一般采用的是图解法，即画出所给条件的可行域，找出目标函数的最优解。

这种方法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适用于问题中有两个变量的情况。

下面我们介绍另外一种方法—单纯形法，来解决图解法不能解决的问题。

1 单纯形法1.1 单纯形法的基本思路利用求线性规划问题基本可行解的方法求解较大规模的问题是不可行的。

有选择地取基本可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移动到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。

在线性规划的可行域中先找出一个可行解，检验它是否为最优解，如果是最优解，计算停止；如果不是最优解，那么可以判断线性规划无有限最优解，或者根据一定步骤得出使目标函数值接近最优值的另一个基本可行解。

由于基本可行解的个数有限，所以总可以通过有限次迭代，得到线性规划的最优基本可行解或判定线性规划无有限最优解。

1.2 单纯形法的基本步骤第1步求初始基可行解，列出初始单纯形表。

对非标准型的线性规划问题首先要化成标准形式。

由于总可以设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵（P1,P2，…，Pm），以此作为基求出问题的一个初始基可行解。

为检验一个基可行解是否最优，需要将其目标函数值与相邻基可行解的目标函数值进行比较。

为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表（见表1—1）。

迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。

含初始基可行解的单纯形表称初始单纯形表，含最优解的单纯形表称最终单纯形表。

第2步：最优性检验如表中所有检验数c j−z j≤0，且基变量中不含有人工变量时，表中的基可行解即为最优解，计算结束。

第五章 单纯形法

第五章 单纯形法

x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
基 B1=(p1 ,p2 ,p3) B2=(p1,p2 ,p4 ) B3=(p1 ,p2 ,p5) B4=(p1 ,p3 ,p4) B5=(p1 ,p3 ,p5) B6=(p1 ,p4 ,p5) B7=(p2 ,p3,p4) B8=(p2 ,p3,p5) 基向量 基变量 非基 向量 p4 ,p5 p3 ,p5 p3 ,p4 p2 ,p5 p2 ,p4 p2 ,p3 p1 ,p5 p1 ,p4 非基 变量 x4 ,x5 x3 ,x5 x3 ,x4 x2 ,x5 x2 ,x4 x2 ,x3 x1 ,x5 x1 ,x4 基本解 (75,250,-25,0,0) (50,250,0,50,0) (100,200,0,0,50) 不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) 是 否 是 否 是否可行 否 是 是 p1 ,p2 ,p3 x1 ,x2 ,x3 p1 ,p2 ,p4 x1 ,x2 ,x4 p1 ,p2 ,p5 x1 ,x2 ,x5 p1 ,p3 ,p4 x1 ,x3 ,x4 p1 ,p3 ,p5 x1 ,x3 ,x5 p1 ,p4 ,p5 x1 ,x4 ,x5 p2 ,p3 ,p4 x2 ,x3 ,x4 p2 ,p3 ,p5 x2 ,x3 ,x5
一、问题的提出

既然如此，如果我们在技术矩阵中取出三列， 组成一个可逆阵，令其余两列对应的变量为 零，则一定可以得到一个解。
一、问题的提出

运筹学4单纯形法迭代原理

运筹学4单纯形法迭代原理

CB XB
b
xl x1 x2 … xm
xm+1
xm…t xn

c1 x1 b1' 1 0 .*.. 0 a1',m1 .0.. a1'n
c2 x2 b2' 0 1 ..*.. 0 a2',m1 .0... a2'n
: : : . cm+t xm+t b'm+t 0 .0 .*... 0. . a'l,m+1 ..1. .a'ln
0 0
0 ... 1
am,m1
... amn
bm

1 c1 c2 ... cm cm1 ... cn 0
第-Z一行x1 是x2价…值系xm数行，标xm+出1 了决策…变量xj的x价n 值系数右cj端
第0二行1 是0标.示.. 行0，标出a了1,m表1 中主体.各.. 行的含a1义n 。
xk1 i

bi'

a' i,mt
xmt

xik

a' i,mt
xmt
xk1 i

xik

a' i,mt
xmt

0
n
Z Z0 j x j
jm1
a' i ,mt < =
xmt
xik

a' i ,mt
xmt
若 mt 0 且pm' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0 时，为使
xik

a' i,mt
xmt

目标规划图解法标规划单纯形法

目标规划图解法标规划单纯形法
X1 , X2 , di- , di+ 0
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB

第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件

第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。

第五章单纯形法

第五章单纯形法

17
基解：在约束方程组(1.7)中，令所有非基变量为 xm+1=xm+2=…=xn=0零，以因为有|B|≠0，根据 克莱姆法则，由m个约束方程可解出m个基变量的唯 一解XB=(x1,…,xm)T。将这个解加上非基解中变量 取0的值有X=（x1,x2,…,xm,0,0,…,0）T，称X为线 性规划问题的基解。显然在基解中变量取非零值的个 数不大于方程数m，故基解的总数不超过Cnm个。
基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量构成
的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b，于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的一个基本解。
基可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基可行解，这时
基B也称为可行基。
减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有 ⑷令变xj量= xxjj无- x约j束，。对模型中的变量进行代换。
(5)对于x≤0的情况,令x =-x,显然x ≥0。
12
(6)对于b<0的情况，不等式两边同乘以-1
例：将下述线性规划化为标准型
max z x1 2x2 3x3
同理,取B5=（P2,P4）,可得x2 =3,x4=18, x1 =x3 =0是基可行解。
同理,取B6=（P3 , P4 ）,可得x3=15,x4=24, x1 =x2 =0是基可行解。
22
可行域极点的数量
如果线性规划有50个变量，20个约束条件，全部是等号约
束。按照以上的算法，每计算一个基础解，要从50个变量中选
4.711 03 1.510 6 （年） 360204365

§2.2单纯形法

§2.2单纯形法

Maxz 7 x 12 x
1
Maxz 7 x1 12x2 0x3 0x4 0x5
3) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求， 称为自由变量, 则可令 x x x ,x ,x 0
/ // / // k k k k k
化为标准型。 4) 若某个bi<0,两边乘(-1) 5) 对负变量 x j 0 ，换元设 xj x j 0
2. 最优性检验
问题：用什么检验？ —— 目标。
1 1
X 而目标z CX (C C ) C (B b B N X ) C X X C B b (C C B N ) X

记 C C B N，则当 0 时，当前基可行解为最 优。
1
方法：计算每个变量 x 的检验数 c C B P ,
1
若 0, 则当前解为最优；否则 非最优。
问题：非最优的特征为何？
至少有某个检验数 0。
3. 寻找更好的基可行解（换基迭代） （基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行 解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。 进基
1 1 1 1
360 90 4
[ ] 中表示进基列与出基行的交叉元，下一张表将实行以它为主 元的初等行变换（称高斯消去）。方法是：先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0。
特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程； (3) 非负约束：决策变量xj为非负； 右端常数项bi非负。
标准型的矩阵表示：
Maxz CX AX b s.t. X 0
其中，A 的秩为m（m n） , b 0。

12单纯形法图解法及原理-3

12单纯形法图解法及原理-3
例：公交线路人员优化问题
某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下： 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下： 班 次 1 2 3 4 5 6 时 间 所需人数 60 70 60 50 20 30
6:00 -10:00 10:0010:00-14:00 14:00-18:00 14:0018:0018:00-22:00 22:00- 2:00 22:002:00 - 6:00
基本解， 基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2 =40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ] = 1080+(- 40/3 X4 -35/3 X5 )
26
例2：给定约束条件 ： -X3+X4 =0 X2 +X3 +X4 =3 -X1 +X2 +X3+X4 =2 Xj ≥0 ( j=1,2,3,4 ) 求出基变量是X 的基本解， 求出基变量是 1 , X3 , X4的基本解，是不是 可行解？ 可行解？
A1
x1 + x2 = 5
D
x1 − 2 x2 = 2 A3 A4
有唯一最优解
0
x1
13
对于线性规划问题，我们定义： 对于线性规划问题，我们定义： 可行解： 可行解：满足全部约束条件的决策向量 X∈Rn。 ∈ 可行域：全部可行解构成的集合。 可行域：全部可行解构成的集合。（它是 n 维 欧 氏空间R 中的点集，而且是一个“ 氏空间 n 中的点集，而且是一个“凸 多面体” 多面体”) 最优解： 使目标函数达到最优值（ 最优解 ： 使目标函数达到最优值 （ 最大值或最 小 并且有界）的可行解。 值，并且有界）的可行解。 无界解： 无界解 ： 若求极大化则目标函数在可行域中无 14 上
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3X1+2X2 +X4 =60
2X2 X1 … X5 0
+X5=24
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
19
AX=b的求解
A=(BN)
X=(XB XN )T
XB
(BN)
=b
XN
BXB +NXN=b
BXB =b-NXN XB = B-1 b - B-1N XN
20
24
B=(P3 P4 P5)=I 可逆 基 N=(P1 P2)
X3=30-( X1+2 X2)
X4=60-(3X1+2 X2)
X5 =24
-2 X2
22
令X1 = X2 =0, X3=30, X4=60, X5=24 0
0
XN
0
X=
=
= 30
XB
B-1 b
60
24
121
又：Ｂ1 =(P1 P2 P3 )= 3 2 0
2x1+x2 50
x1,x2 0
3
x2 50
40
30
由 4x1+3x2 120 x1 0 x2 0 围成的区域
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
4
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 5
x2
50
同时满足：
020
|B1|=6≠0, B可逆
23
X1=12-(1/3 X4 -1/3 X5) X2=12-(1/2 X5 ) X3 =-6-(- 1/3 X4 -2/3 X5 )
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
17
线性规划问题解的概念
定义1：基(基阵) ——由A中一个子矩阵B是可 逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(BN) 基向量 非基向量
…
X= (X1 … Xm Xm+1 … Xn )T=(XB XN)T 基变量 非基变量
XB
XN
18
例1、 X1+2X2 +X3 =30
第二节 单纯形法原理 ----图解法
▪ 图解法：是用画图的方式求解线性规 划的一种方法。
▪ 只能用于求解两个变量的LP问题
1
图解法基本步骤：
1）作出可行域 2）作出一条目标函数的等值线 3）平行移动目标函数的等值线，求出最优解
2
例1.数学模型
max Z=50x1+30x2
s.t.
4x1+3x2 120
该问题的可行域是由O， Q1，Q2，Q3作为顶点的
凸多边形
10
4x1+3x2 120
O（0，0） 10
Q1（25，0）
20
30 40
x1
7
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
D
0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
A4
x1
11
对于线性规划问题，我们定义： 可行解：满足全部约束条件的决策向量 XRn。 可行域：全部可行解构成的集合。（它是 n 维 欧
氏空间Rn 中的点集，而且是一个“凸 多面体”) 最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最 小 值，并且有界）的可行解。 无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无
13
例4 解线性规划 x2
z 2 x1 x2
min z 2x1 x2
s.t
.
x1 x1
x2 1 3x2
3
x1 0, x2 0
x1 3x2 3
A
D
有无界解
0B
x1 x1 x2 1
14
例5： MaxZ=3X1-2X2
X1 + X2 <=1 2X1 + 2X2 >=8
X1,X2 >=0
x2
2x1 2x2 8
无可行解
x1 x2 1
0
x1
15
结论：
1、线性规划问题的可行域为凸集 2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到
线性规划问题解的几种情况：
1、有唯一最优解 2、有无穷多最优解 3、无可行解 4、无最优解
16
第三节 单纯形法 ----原理
▪ 单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要 算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格 （G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年 中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简 单实用的特色始终保持着绝对 的“市场” 占有率。

mmaixn z z 4 x1x1 2 xx22
A2
z 4 Z=-2 Z=0
A1, A2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
A1
D
x1 0, x2 0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
0
有无穷多最优解
A4
x1
40 2x1+x2 50
4x1+3x2 120 2x1+x2 50
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 6
50 x2
Q3（0，40） 40
2x1+x2 50 30
Q2（15，20） 20
可行域
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
Max Z=50*15+30*20=1350
30
此时最优解（x1，x2 ） =（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
有唯一最优解
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
10
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s
.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
定义2：基本解——对应于基B，X= B-1 b
为AX=b的一个解。
0
定义3：基本可行解——基B，基本解X= B-1 b
若B-1 b0，称基B为可行基。
0
最优解、最优基
※ 基本解中最多有m个非零分量。
※ 基本解的数目不超过Cnm =
n! 个。
m!(n-m)!
21
例1：
X1
X2
X= X3
X4
X5
30 b= 60
30 40
x1 8
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2 50
当该直线移到Q2点时，Z（目标 40 2x1+x2 50 函数）值达到最大：