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关于数轴上的距离公式和中点公式课件

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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)，B(－3，5)，C(－2，－4)，D(3，－5)．
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称 距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
2 2 S3 计算 d＝ d x dy
；
S4 给出两点的距离d．
求两点之间的距离：
（1）A（6，2），B（－2，5）； （2）C（2，－4），D（7，2）．

1-数轴上的距离公式与中点公式

1-数轴上的距离公式与中点公式

作
教材 P67 练习 A 组第 1 题．
学生标记作业．
业
教材 P67 练习 B 组第 3 题(选做)．
针对学生实 际，对课后书面作 业实施分层设置．
变的，特别是竖直 放置的数轴上的距 离问题，为下节解 决平面直角坐标系 中两点间的距离公 式打下基础．
试求两个图中点 A 与 B 之间的距 离．
3. 数轴上的中点公式
探究三
根据下图回答问题：
C
A
D
●
●●
－3 －2 －1 0 1 2 x
（1）点 A(－1)，C(－3)的中点坐 标是多少？中点坐标与 A，C 两点的坐 标有怎样的关系？
设计意图
师：人类早期用石子来记
通过引入激发
数，但是石子记数不能移动，无 学生学习的兴趣．
法携带，于是人们又想到了用结
绳等方法记数．我国古书《易经》
上记载有“结绳记数”的历史，
即在一根长绳上打上结表示
数．随着社会的进步，记数的方
法也越来越准确、科学．到了
17 世纪，法国数学家笛卡儿发
明了用直线和直线上的点来表
探究二使学生
都是水平放置的，如果数轴不是水平 尝试解决．
理解到非水平放置
放置的(如下图所示)，数轴上的距离
的数轴上的两点间
公式成立吗？
师：不管数轴在平面上怎么 的距离公式是不改
x
B ●3 4
2
1
0
A
－1 ●－2
－3
－4
y
4 B ●3
2 1 0 －1 A ●－2 －3 －4
放置，两点间的距离公式是不变 的．
学生在尝试解决问题 (3)
与两个点坐标之间的关系吗？

课件1：§2.1　坐标法

课件1：§2.1　坐标法

题型四 坐标法的应用 状元随笔 1.如何建立平面直角坐标系？ [提示] (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图 形的对称轴作为坐标轴． 2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？ [提示] 不影响．
跟踪训练 4 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M， 建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
解析：如图所示，以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标 轴，建立直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为点 M 是 BC 的中点，故点 M 的坐标为0＋2 b，0＋2 c，即b2，2c. 由两点距离公式得
A．4
B．－4 或 2
C．－2 D．－2 或 4
解析： a－12＋6－22)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为________．
解析：由题意|AB|＝ 17，|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，显然△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰三角形
例 4 在△ABC 中，D 为 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合)， 且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC 为( ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
【解析】 如图所示，作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在直线 为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系． 设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)， 又因为 d－b≠0，所以－b－d＝c－d， 即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又 AO⊥BC，故△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A

数轴上的距离公式和中点公式

数轴上的距离公式和中点公式

填空： 已知数轴上点A表示的数是a, 点B表示的数是b， 点A,B的中点C表示的数是c, AB表示A，B两点的距离：
a b
两点距离AB= |a－b|或 |b－a| ，中点C表示的数c= 2
;
（1）若a=3,b=7，AB= 4
，中点C表示的数c= 5
;
（2）若a=3,b= —7，AB= 10 ，中点C表示的数c= —2 ;
2：如果中点是2？ 或－2？或 －1呢？ 请同学们自己试试看！
－4 －3 －2 －1 0 1
23
4
x
1．数轴上两点间的距离公式．
|AB|＝|a－b|= |b－a|
两点距离怎么找，右减左来大减小， 如果分不清大小，套绝对值错不了。
2．数轴上两点的中点公式．
X ab 2
我在它俩中间住， 就是它倆平均数。
;
（1）若a=3, AB=2,则b= 1或5 ，中点C表示的数c= 2或4 ;
（2）若a=3,b= 6，中点C表示的数c= 4.5 ;
（3）若a=—7,中点C表示的数c=—4，b= —1
;
（4）若b=—5,中点C表示的数c=1，则a= 7
;
谈谈收获
• 熟悉了两点间距离公式和中点公式，； • 数形结合，有图有真相；
两点距离怎么找，右减左来大减小， 如果分不清大小，套绝对值错不了。
A(a)
B(b)
X
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x
X =?
A，B的中点X的值是多少?
如图：
C
A
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点 对应的数与 A、C 两数有什么关系？

数轴上的距离公式和中点公式通用课件

数轴上的距离公式和中点公式通用课件
利用中点公式，可以确定数轴上任意两点间的距 离。
求解线段的中点
对于任意一条线段AB，其的中点D的坐标等于A 、B两点坐标的平均值。
3
用于函数图像的绘制
在绘制一些函数图像时，可以利用中点公式来找 到函数的对称点，从而绘制出完整的函数图像。
中点公式的证明
• 使用勾股定理证明：根据勾股定理，可以得到中点公式的证明。假设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，AB的长度 为|AB|，则D为AB的中点，CD为AB的垂直平分线，则|AD| = |DB|，从而得到中点公式的证明。
公式
设两点为 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) ，则两点之间的距离 d = |x2-x1| 或 |y2-y1|。
距离公式的应用
求解两点的距离
利用距离公式可以直接求解数轴上任意两点的距离。
判断数轴上点的位置关系
通过比较两点之间的距离与零的大小关系，可以判断两点间的位置 关系，如相离、相切、相交等。
确定位置关系
在地理学中，可以比较两个地点之 间的距离，来确定它们之间的位置 关系。
中点公式的实际应用案例
求两点之间的中点
在几何学中，可以求出两点之间的中点 ，通过中点公式可以计算出这个中点的 坐标。
Hale Waihona Puke VS确定位置关系在地理学中，可以比较两个地点之间的中 点，来确定它们之间的位置关系。
结合实际案例进行讲解
复杂性
数轴上的距离公式的计算过程相对简单，而中点公式的计算 过程可能涉及到分数和小数的计算，相对较复杂。
04
数轴上的距离公式和中点 公式的扩展
向量距离公式
总结词
向量距离是指两个向量在数轴上的差距，可以通过公式计算。

数轴上两点间中点公式

数轴上两点间中点公式

数轴上两点间中点公式
（a+b）/2。

如果这两点的坐标分别为a和b，中点坐标是：（a+b）/2。

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，在数学中有着广泛的运用。

两根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成平面直角坐标系；三根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成空间直角坐标系，以确定物体的位置。

具体如下：
数轴上两点的中点公式
中点表示的数值：(a+b)/2
简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2
当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。

所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2
(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2
这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

还有其它一些变形，例如a+b=2x，a=2x-b等等也是经常用到。

数轴上两点间的距离公式及中点公式

数轴上两点间的距离公式及中点公式

x
（1）线段 AC的中点对应的数是多少？中点 对应的数与 A、C 两点对应的数有怎样的关系？
（2） 线段AD的中点对应的数是多少？中点对应 的数与 A、D 两点对应的数有怎样的关系？
数轴上两点的中点公式
A(a)
B(b)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A对应的数为a，B对应 的数为b，则AB中点对应的数x满足关系式
若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，求 出最小值；若没有，请 说明理由.
解：|x-1|+|x+3| =|x-1|+|x-（-3）|
它的几何意义： 在数轴上表示x的点与1和-3这两个点的距离和
4
-1 0 1 2 3
∴有最小值，最小值是4.
如下图：
CA
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
假设：数轴上点A、B表示的数分别是a、b. 用|AB|表示点A和点B之间的距离 若a＞b（A在B的右边)，则|AB|=a-b 若a＜b（A在B的左边)，则|AB|=b-a
以上规律能统一吗？你能用一个式子表示吗？
数轴上两点之间的距离等于对应两数之差的绝 对值。即A,B两点之间的距离为|AB|= |a-b|
规律：数轴上的点，向正方向移动就加上移 动的单位，向负方向移动，就减去移动的单位
练习：若b= - 3,把B点向正方向移动2个单位， 再向左运动5个单位后表示的数是 ——，
练习：若a= - 3, 点A和点B之间的距离为4,则B表示 的数是 ————
若b= 2019, 点A和点B之间的距离为3,则A 表示的数 是 ————
a b
X=－3，点B对应的数为5，求： （1）|AB|；（2）A，B 两点的中点对应的数x．

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

如图所示．设 M(x，y) 是 A(x1，y1) ，B(x2，y2) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
过 A，B，M 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2， MM2，垂足分别为A2， B2 ，M2 ．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x2 2 y2 35 1Βιβλιοθήκη 202 122
解得
x 0
y
4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
平面直角坐标系中的距离公 式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x=
x1
2
x2
．
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
（1）以上四个垂足 A1，B1，A2，B2 的坐标分别是多少？
B
（2）|AC| 与 |A1B1| 关系如何？ 如何求 |A1B1| ？
C （3）|BC| 等于多少？
B1 x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？ （5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y
A(x2 ，y2) O
B(x2，y2)

【高职数学课件】向量的长度公式和中点公式

【高职数学课件】向量的长度公式和中点公式
关于坐标原点成中心对称．
证明 设 P 与P 的对称中心为(x0，y0)，则 x (x)
x0 2 0,
y0
y ( y) 2
0.
所以坐标原点为 P 与 P 的对称中心．
1、向量的长度公式
(x2 x1)2 ( y y2 .
2
a
a12 a22
如果已知平面上两点 (x1, y1), (x2, y2 ) ，则
(x2 x1, y2 y1)
从而
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
这是平面上两点间的距离公式。
例题讲解
例1：
已知a
(4,3),b
(6,8),求
a
,
b
,
a
b
,
a
b.
例2：
已知两点 3,9,(2,4), 求,之间的距离.
随堂练习 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ．
2、中点公式
一般地，已知点 A(x1, y1)和点B(x2, y2 ),点M (x, y)是线段AB的中点, 由中点的向量表达式
OM 1 (OA OB).
2
容易得到线段AB的中点M的坐标是
( x1 x2 2
,
y1 y2 ). 2
2
课后作业
课本p67 4、5
即
x x1 x2 , y y1 y2 .
2
2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.
例题讲解： 例3：
已知点A(1,3),点B(5,11), 求线段AB的中点坐标.
随堂练习
求证：任意一点 P(x，y) 与点 P (－x，－y)
关于坐标原点成中心对称．
随堂练习
求证：任意一点 P(x，y) 与点 P (－x，－y)
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数轴上的中点公式
A(x1)
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐 标x满足关系式
x=
x1
2
x2
．
例 已知点 A（－3），B（5），求： （1）|AB|；（2）A，B 两点的中点坐标． 解：（1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；
（2）设点 M(x) 是 A，B 两点的中点，则
x=
35 2
＝1．
即 A，B 的中点坐标为 1 ．
已知点 A（－6），B（－1），C（2），D（4.5）， E（7），求：
（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|； （2）A，B 的中点坐标；B，E 的中点坐标．
1．数轴上点的坐标． 2．数轴上两点间的距离公式． 3．数轴上两点的中点公式．
A(x1)
B(x2)
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
一般地，在数轴上，如果 A(x1)，B(x2)， 则这两点的距离公式为
|AB|＝|x2－x1|．
在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，
如果数轴不是水平放置的 ( 如图所示 ) ，数轴上的距离
公式成立吗？
x
B4 3
2
1
0
A
－1 －2
关于数轴上的距离公式和中点公 式
1．数轴 1
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
2．数轴上的点与实数是
对应的．
1．数轴上点的坐标
BP
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
在数轴上，如果点 P 与数 x 对应，则称点 P 的坐标记作 A(1)； 点 B 的坐标为－4，记作 B(－4) ．
x
（1）图中点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ， 点 C 的坐标是 ，点 D 的坐标是 ；
（2）点 A 与 B 之间的距离 |AB|＝ ；点 C 与 A 之 的距离 |CA|＝ ；点 B 与 C 之间的距离 |BC|＝ ．
（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点的坐 标之间的关系吗？是怎样的？
距离公式
观察数轴，完成下列题目：
PB O
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）点 P 与 －3.5 对应，则点 P 的坐标是 ，记作 ； （2）点 A 的坐标是 ，记作 ； （3）点 B 的坐标是 ，记作 ； （4）点 O 的坐标是 ，记作 ．
C A DB
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
－3 －4
x
4 3B 2
1 0 －1 －2 A －3 －4
试求两个图中点 A 与 B 之间的距离．
如图：
CA
D
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
x
（1）点 A（－1），C（－3）的中点坐标是多 少？中点坐标与 A，C 两点的坐标有怎样的关系？
（2）点 A（－1），D（2）的中点坐标是多少？ 中点坐标与 A，D 两点的坐标有怎样的关系？