数轴上的距离公式和中点公式高级课上课讲义

解析几何中距离公式与中点坐标公式在解析几何中，我们经常需要计算点之间的距离及求解线段的中点坐标。

距离公式和中点坐标公式是解析几何中两个基本的公式，它们在求解点和线段的位置关系以及相关计算中起到了重要的作用。

本文将详细介绍距离公式和中点坐标公式，并给出一些实际问题的例子来加深理解。

距离公式在解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。

设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面上的两个点，我们可以使用距离公式来计算它们之间的欧几里得距离。

距离公式如下所示：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，AB表示A点和B点之间的距离。

让我们举一个具体的例子来说明距离公式的用法。

假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们想计算它们之间的距离。

按照距离公式，我们可以进行如下计算：AB = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5。

距离公式的推导可以通过利用勾股定理得到。

我们可以将线段A和B之间的距离看作是由于直角三角形的斜边长度，而直角三角形的两条直角边分别是x轴和y轴上的长度差值。

距离公式在解析几何中非常常用，它可以用于计算点和点、点和直线、点和曲线之间的距离。

在实际问题中，我们经常需要计算两个地点之间的距离、两个物体之间的距离等。

中点坐标公式中点坐标公式是解析几何中求解线段中点坐标的公式。

设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是线段的两个端点，我们可以使用中点坐标公式来求解线段AB的中点坐标。

中点坐标公式如下所示：M((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)其中，M表示线段AB的中点坐标。

我们可以使用一个实际问题来说明中点坐标公式的用法。

假设有一条线段，其中一个端点为A(2, 3)，另一个端点为B(5, 7)，我们想求解线段AB的中点坐标。

数轴上的距离公式与中点公式考点解析及例题讲解1. 数轴上点的坐标在数轴上，如果点P 与x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．练习一观察数轴，完成下列题目：（1）点P 与－3.5对应，则点P 的坐标是 ，记作 ；（2）点A 的坐标是 ，记作 ；（3）点B 的坐标是 ，记作 ；（4）点O 的坐标是 ，记作 ．2. 数轴上的距离公式探究一如图，填空：（1）图中点A 的坐标是 ，B 的坐标是 ，C 的坐标是 ，点D 的坐标是 ；（2）点A 与B 之间的距离|AB |=，点C 与A 之间的距离|CA |=，点B 与C 之间的距离|BC |=；（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离公式为|AB |=|x 2－x 1|．探究二在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？x ● xP ● ● ● B A O ● x● ● C ● ● 1 2 4 12 34B试求两个图中点A 与B 之间的距离．3. 数轴上的中点公式探究三根据下图回答问题：（1）点A (－1)，C (－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，C 两点的坐标有怎样的关系？（2）点A (－1)，D (1)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，D 两点的坐标有怎样的关系？一般地，在数轴上，A (x 1)，B (x 2)的中点坐标x 满足关系式x ＝ x 1＋x 22．4. 应用例 已知点A (－3)，B (5)，求：（1）|AB |；（2）A ，B 两点的中点坐标．解 （1）|AB |＝|5－(－3)|＝8；（2）设点M (x )是A ，B 两点的中点，则x ＝ －3＋52＝1．即A ，B 的中点坐标为1．平面直角坐标系中的距离公式和中点公式1. 距离公式探究一如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ．两点的距离公式|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2．x● ● C A D ●探究二求两点之间的距离的计算步骤：S1 给两点的坐标赋值x 1＝？，y 1＝？，x 2＝？，y 2＝？S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即d x ＝x 2－x 1，d y ＝y 2－y 1；S3 计算d ＝d 2x ＋d 2y ； S4 给出两点的距离d ．例1 已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|AB |．解 因为x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，所以dx ＝x 2－x 1＝－2－2＝－4，d y ＝y 2－y 1＝3－(－4)＝7．因此|AB |＝d 2x ＋d 2y ＝(－4)2＋72 ＝65．练习一求两点之间的距离：（1）A (6，2)，B (－2，5)；（2）C (2，－4)，D (7，2)．2. 中点公式探究三如图所示，若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M (x ，y )是A ，B 的对称中心，即线段AB 的中点．过A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线，AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别是A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2．在平面直角坐标系内，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点M (x ，y )的坐标满足x ＝x 1+x 22，y ＝y 1+y 22．例2 求证：任意一点P (x ，y )与点P '(－x ，－y )关于坐标原点成中心对称． 证明 设P 与P '的对称中心为(x 0，y 0)，则x 0＝x +(－x )2＝0，y 0＝y +(－y )2＝0．所以坐标原点为P 与P ′的对称中心．练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例3 已知坐标平面内的任意一点P (a ，b )，分别求它关于x 轴的对称点P ′，关于y 轴的对称点P ′′的坐标．练习三求下列点关于x 轴和y 轴的对称点坐标：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－3，0)，B (2，－2)，C (5，2)，求顶点D 的坐标．解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x +22＝－3+52＝1y －22＝0＋22＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4所以顶点D 的坐标为(0，4)．。

数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式掌握数轴的基本概念后，已知数轴上两点的具体数值时，我们可以利用数轴算出两点间距离，以及中点表示的数值。

但是如果给的是字母（大小关系不确定），那么就需要严格按照定义或公式来描述。

(一)数轴上两点之间的距离公式在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| （差的绝对值）在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。

反过来看，这就是绝对值的几何意义(|a-b|代表点A与点B的距离，|a|代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。

例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。

根据距离公式，两点距离AB = |5+x-(5-x)| = |2x| = 15所以|x|=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。

(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)例题2：解方程|x|=15根据|x|的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。

所以方程的解是x=15或x=-15。

例题3：解方程|x-3|=15根据|x-3|的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。

所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)数轴上两点的中点公式中点表示的数值：(a+b)/2简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。

所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

求数轴上两点间距的公式在我们的日常生活中，数轴就像是一个隐形的朋友，它陪伴着我们走过各种数字的旅程。

想象一下，你在数轴上走，左边是负数，右边是正数。

每次我们要计算两点之间的距离时，就像是在数轴上丈量这段路，特别简单又有趣！那么，这个距离到底怎么计算呢？其实，公式就是：距离 = |x1 x2|，这儿的 x1 和 x2 就是你要比较的两个点。

先来个简单的例子吧，假设你在数轴上有两个点，一个在3，另一个在7。

我们想知道它们之间有多远，简单吧？你只需要把大的点减去小的点，也就是7 3，结果是4。

这就说明，3和7之间的距离是4。

看，数轴上距离的秘密就藏在这个简单的计算里。

轻松吧？就像夏天喝冰凉饮料那样，爽！不过，距离不仅仅是简单的数字，想想看，这其中还蕴含了生活的哲理。

就像人生的旅程一样，很多时候，我们面对的是选择和距离。

你可能在一个地方徘徊不前，但只要勇敢地迈出一步，你就能看到更广阔的天地。

其实，数轴上那段距离也提醒着我们，无论遇到什么，心中始终要有一个方向感，才能找到自己的路。

再说说数轴上的点，有正数，也有负数。

很多人一听负数就皱眉头，觉得这东西不好。

但是，负数其实也有它的魅力啊，就像是冬天的雪花，看似冷冰冰的，实际上却给我们带来了无尽的乐趣。

我们可以在数轴上从负数到正数，像是在玩一个接力赛，跑得越远，看到的风景就越美。

所以，不管是正数还是负数，它们都在数轴上共同构成了我们生活的背景。

再来看看距离公式的应用。

在实际生活中，这个公式可以帮助我们解决很多问题。

比如，你在超市里买东西，两个商品的价格分别是15元和25元，你想知道这两个商品的价格差距是多少。

没问题，只需要用25 15，就得到了10元的距离，这可真是实用。

通过这个公式，我们能快速了解两者的关系，从而做出更明智的决策。

生活中有太多这样的例子，让我们用数学的眼光去看待身边的一切，简直像是开启了一扇新世界的大门。

说到这儿，咱们还可以探讨一下，为什么这个公式在数学里这么重要。

《数轴上的距离公式和中点公式》课件内容介绍
适用范围：职业中学数学教学
作品名称：数轴上的距离公式和中点公式
本节是中等职业教育数学（基础模块下册）第八章第一节内容，
一、主要内容
1、教学目标的明确：
（1）、理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上的某点的坐标。

（2）、掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题。

（3）、培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质。

2、教学重点
数轴上的距离公式和中点公式
3、教学难点
数轴上的距离公式和中点公式的应用
二、本课教学流程
导入——回忆知识——讲授数轴上点的坐标的表示——探究、讨论、总结，得出数轴上的距离公式——再探究、再讨论，得出数轴上的中点公式——教师总结——例题示范——练习——作业布置
三、教学特点
这节课本着“教学创新，思维拓展，培养能力”的原则进行设计.通过问题的思考解决，由讨论探究的方式来调动学生的学习积极性，多媒体课件有重点、有顺序的推导公式、应用公式，提升学生的素养，培养学生的探究、讨论、总结的综合能力。