2020届高考数学统计与概率

高考数学统计与概率分布列

一、随机抽样：

抽签法和随机数法（超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．）

分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成

系统抽样：当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体再编号

二、古典概型与几何概型

三、用样本估计总体

1．频率分布直方图

(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距；(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；

(3)各个小方形的面积总和等于1 .

常见结论：

(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．

(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．

2．频率分布表的画法

第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；

第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

3．茎叶图

茎叶图是统计中来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．

4．极差、中位数、众数、平均数、标准差、方差

标准差s＝ 1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．

四、相关关系

1、当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

相关系数r＝∑ni＝1 xi－xyi－y∑ni＝1 xi－x2∑ni＝1 yi－y2.

2、线性回归方程

回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑ni＝1 xi－x·yi－y∑ni＝1 xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2；a^＝y－b^x.

a^＝y－－b^x－，其中b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距，(x－，y－)称为样本点的中心．

3、独立性检验

K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．

五、分布列

1、0-1分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)

2、超几何分布（不放回不重复）

如果X服从参数为n，M，N，记作X～H(n，M，N)(超几何分布)，其数学期望E(X)＝nMN.

3、二项分布（有放回，n次独立性重复实验） X～B(n，p)，E(X)＝np D(X)＝np(1－p)

4、正态分布： 若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线与x轴之间的面积为1；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

⑤三个常用数据

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6 P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4

P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.

5、均值（期望值）E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 偏离程度 E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

方差D(X)＝i＝1n (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均 D(aX＋b)＝a2D(X)

注意：P为事件发生成功的概率，可以表示为没抓住，没取到，没达到的概率

例题：

1、利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )

2、某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )

3、总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

4、一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是( )

5、(2019·辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )

A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25

B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24

C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80

D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8

6、(2018·青岛三中期中)已知数据x1，x2，…，xn的平均数x＝5，方差s2＝4，则数据3x1＋7,3x2＋7，…，3xn＋7的平均数和标准差分别为( )

A．15,36 B．22,6 C．15,6 D．22,36

7、(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是( )

8、在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥22”发生的概率为________.

9、(2019·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )

10、(2019·太原联考)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是( ) 11、老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟．若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率是( )

12、点集Ω＝{(x，y)|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{(x，y)|y≥ex，(x，y)∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为( )

13、(2019·广东清远一模)已知袋子中放有若干个大小和形状相同的小球，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.

(1)求n的值．

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求使x2＋y2>(a－b)2恒成立的概率．

14、对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y^＝0.8x－155.

x 196 197 200 203 204

y 1 3 6 7 m

则实数m的值为( )

15、 (2019济宁一中)已知变量x，y的一组数据如下表：

x 0 1 2 3

4

y 1 1.3 3.2 5.6

8.9

若在依据表中数据所画的散点图中，所有样本点(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5)都集中在曲线y＝12x2－a附近，则a＝( )

16、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为( )

17、设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 0.2 0.1 0.1 0.3 m

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(3)求随机变量ξ＝X2的分布列. 18、为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和期望值.

19、已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2

20、设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为( )

21、设随机变量X服从二项分布X～B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是( )

22、已知三个正态分布密度函数fi(x)＝12πσi·e－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )

(A)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3

(B)μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

(C)μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3

(D)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

23、京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．

(1)若P(ξ<38)＝P(ξ>68)，求a，b的值；

(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关

京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．

24、随机变量X的可能取值为0,1,2，若P(X＝0)＝15，E(X)＝1，则D(X)＝( )

25、(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟