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2020届高三数学专题训练题-概率统计

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2020届高三高考针对性训练题－概率统计

1、一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为12,xx，记2212(3)(3)xx．

（1）分别求出取得最大值和最小值时的概率；

（2）求的分布列及数学期望．

解：（1）掷出点数x可能是：1,2,3,4.

则3x分别得：2,1,0,1.于是2(3)x的所有取值分别为：0,1,4.

因此的所有取值为：0，1，2，4，5，8．

当11x且21x时，221233xx可取得最大值8，

此时，11184416P;

当13x且23x时，221233xx可取得最小值0．

此时，11104416P．

（2）由（Ⅰ）知的所有取值为：0，1，2，4，5，8．

10816PP；

当=1时，21,xx的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．即4116P；

当=2时，21,xx的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．

即4216P；

当=4时，21,xx的所有取值为（1，３）、（３，１）．即2216P；

当=5时，21,xx的所有取值为（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．即4216P．

所以ξ的分布列为： ξ 0

1

2

4

5

8

P 161 41 41 81 41 161

316184158144124111610E

2、某辆载有5位乘客的公共汽车在到达终点前还有3个停靠点（包括终点站）．若车上每位乘客在所剩的每一个停靠点下车的概率均为13，用表示这5位乘客中在终点站下车的人数，

求：（I）随机变量的分布列；

（II）随机变量的数学期望。

解：（1）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4,5

055232(0)()3243PC

1451280(1)()33243PC

22351280(2)()()33243PC

33251240(3)()()33243PC

4451210(4)()33243PC

55511(5)()3243PC

所以随机变量的分布列为

 0 1 2

3 4

5

P 32243 80243 80243 40243 10243 1243

（2）∵随机变量1(5,)3B:

∴15533E 3、某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.

（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数的数学期望；

（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

解：（Ⅰ）由题意知甲取球次数的取值为1，2，3，4

31(1)62P；333(2)6510P；3233(3)65420P；

32131(4)654320P

则甲取球次数的数学期望为

13317123421020204E

（Ⅱ）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有

116636CC(种) 不同的情形

每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则

111111332211116671()182CCCCCCPACC

所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平。

4、已知将一枚质地不均匀．．．的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为.271

（1）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；

（2）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ.

（1）解：设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有： EDCBA5元4元3元2元1元 .31.271333PPC可得

所以，抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为

.9232)31(223CP………………………………6分

（2）解：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4.

;2792132)31(21)32(31)2(;271021)32(3121)32()1(;27421)32()0(223213213303303CCPCCPCP

.54121)31()4(;54721)31(2132)31()3(333333223CPCCP

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

4

P 274 2710 279 547 541

Eξ=0×274+1×2710+2×279+3×547+4×541=.23…………………………12

5、有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者，享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域EDCBA,,,,所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5元、4元、3元、2元、1元的学习用品.摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域C，可获得价值3元的学习用品）.

（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去 购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗？

（II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元的学习用品的概率.

解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为EDCBA,,,,.

则其概率分别为

,151543211)(AP,152)(BP,51153)(CP,154)(DP.31155)(EP……3分

设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为，则的分布列为：

37151515245131542311E.………6分

若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为35001500E（元）,

除去购买学习用品的款项后，剩余款项为115003055101500（元）,

故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. ………8分

（II）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F，则457154152153153155151)(1212CCFP.

即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为.457………12分

6、甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为23与P，且乙射击2次均未命中的概率为116，

（I）求乙射击的命中率;

（II）若甲射击2次，乙射击1次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

解：（I）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B  1 2 3 4 5

P 31 154 51 152 151 由题意得221(1())(1)16PBP┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

解得34P或54P（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分

故乙射击的命中率为34。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(II)由题意和（I）知2131(),(),(),()3344PAPAPBPB。

ξ可能的取值为0，1，2，3，故

1111(0)()()()33436PPAPAPB┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分

2111137(1)2()()()()()()233433436PPAPAPBPAPAPB.

22312(3)()()()33436PPAPAPB┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分

171216(2)1(0)(1)(3)136363636PPPP┉┉┉10分

故ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P 136 736 1636 1236

由此得ξ的数学期望1716122501233636363612E┉┉┉12分

7、在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为(2,)xxy，记2OPuuur．

(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望．

解:(Ⅰ)x、y可能的取值为1、2、3，12x，2xy，

22(2)()5xxy，且当3,1yx或1,3yx时，5． 因此，随机变量的最大值为5…………………………4分

 有放回抽两张卡片的所有情况有933种，2(5)9P 6分

(Ⅱ)的所有取值为0,1,2,5．

0时，只有2,2yx这一种情况．

1时，有1,1yx或1,2yx或3,2yx或3,3yx四种情况，

2时，有2,1yx或2,3yx两种情况．

91)0(P，4(1)9P，2(2)9P…………………………8分

则随机变量的分布列为：

 0 1 2 5

P 91 94 92 92

………………10分

因此，数学期望1422012529999E……………12分

8某出版社准备举行一次高中数学新教材研讨会，以征求对新教材的使用意见.邀请50名使用不同版本教材的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版

人数 20 15 10 5

(I) 从这50名见识中随即选出2名见识发言，求两人所用教材版本相同概率；

(II)若从使用人教版奇偶才的教师中选出2名发言，设使用任教A版的教师人数为

，求随机变量的分布列的数学期望.

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2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点二十 概率、随机变量及其分布 Word版含解析

2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点二十 概率、随机变量及其分布 Word版含解析

考点二十 概率、随机变量及其分布

一、选择题

1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )

A．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”

B．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”

C．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”

D．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”

答案 C

解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C.

2．随机向边长为10π，10π，12π的三角形中投一点M，则点M到三个顶点的距离都不小于π的概率是( )

A．π95 B．1π

C．9596 D．196

答案 C

解析 分别以三角形的三个顶点为圆心，π为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于π的部分，所以所求概率P＝1－12×π×π212×12π×8π＝9596，故选C.

3．(2019·四川成都七中5月模拟)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为( )

A．15 B．25

C．45 D．35

答案 C

解析 由题意知，基本事件的总数有5×5＝25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为1－525＝2025＝45.

4. (2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC＝15°，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE中(阴影部分)的概率是(

2021届新高考高三数学新题型专题10 概率统计多选题 (解析版)

2021届新高考高三数学新题型专题10 概率统计多选题 (解析版)

1 / 9 第一篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径

专题10 概率统计多选题

典 型 母 题

题源 2020·蒙阴县实验中学高三期末

试题

内容 某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为23，游览B，C和D的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）

A．游客至多游览一个景点的概率14 B．328PX

C．1424PX D．136EX

试题

解析 记该游客游览i个景点为事件iA，0,1i，

则0211111111322224PA，

3211321211511113232224PAC，

所以游客至多游览一个景点的概率为0115124244PAPA，故A正确；

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4;

01(0)24PXPA，

15(1)24PXPA，

213211(2)1322PXC2232113113228C，故B正确；

23211(3)1322PXC33311713224C，

3211(4)3212PX，故C错误； 2 / 9 数学期望为：1597()012324242424EX2134246，故D正确，

故选：ABD.

试题

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是基础题.

方法

2020届高考文数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第19题+统计概率+Word版含答案

2020届高考文数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第19题+统计概率+Word版含答案

常考题型大通关：第19题 统计概率

1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；

（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；

（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表:

年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60]

频数 5 10 10 5 10

赞成人数 4 6 8 4 9

1.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁?

2.若从年龄在15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率.

4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.

2020届高考数学一轮总复习第十单元计数原理、概率与统计第77讲二项分布与正态分布练习理(含解析)新人教A

2020届高考数学一轮总复习第十单元计数原理、概率与统计第77讲二项分布与正态分布练习理(含解析)新人教A

1 第77讲 二项分布与正态分布

1．ξ～B(n，p)，若Eξ＝3Dξ，则p等于(B)

A.13 B.23

C.12 D.14

由条件np＝3np(1－p)，得p＝23.

2．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

A．1 B．2

C．3 D．4

已知μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，解得c＝2.

3．(2017·山东省日照三模)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(2

A. 0.84 B．0.68

C. 0.32 D. 0.16

由P(X≤4)＝0.84，得P(X>4)＝1－0.84＝0.16，

又随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，

所以正态分布的概率密度函数图象关于x＝3对称，

P(24)＝1－2×0.16＝0.68.

4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(B)

A．0.7 B．0.6

C．0.4 D．0.3

由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)， 2 所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.

又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，

所以C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，

解得p＞0.5，所以p＝0.6.

5．(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是

32

.

(方法1)由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝116，P(X＝1)＝C12×14×34＝38，

P(X＝2)＝(34)2＝916.