最新北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试(含答案解析)
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一、选择题
1．两圆22440xyxy和22280xyx相交于两点,MN，则线段MN的长为
A．4 B．355 C．1255 D．655
2．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0) B．(17，27) C．(27，17) D．(17，114)
3．若直线0xyb与曲线210xy有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1,2] B．[2,1] C．[1,1] D．[2,2]
4．直线1ykx与圆22214xy相交于P、Q两点.若22PQ，则k的取值范围是（ ）
A．3,04 B．1,1 C．33,33 D．3,3
5．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆221(1)(4)7:Cxy和圆222:(2)(5)9Cxy引切线，记切线长分别为12,dd．则12dd的最小值为（ ）
A．22 B．32 C．42 D．52
6．已知圆2260xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A．5
B．2
C．3 D．2
8．在正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别是梭BC，CD的中点，则1AF与1CE所成角的余弦值为（ ）
A．55 B．255 C．515 D．2515
9．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA是铅垂面，下宽3mAA，上宽4mBD，深3m，平面BDEC是水平面，末端宽5mCE，无深，长6m（直线CE到BD的距离），则该羡除的体积为（ ）
A．324m B．330m C．336m D．342m
10．在长方体1111ABCDABCD中，12,3ABBCAA，E是BC的中点，则直线1ED与直线BD所成角的余弦值是（ ）
A．728 B．728 C．3714 D．3714
11．已知平面图形PABCD，ABCD为矩形，4AB，是以P为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD△沿着AD翻折至PAD△，当四棱锥PABCD体积的最大值为163，此时四棱锥PABCD外接球的表面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
12．在三棱锥SABC中，SA底面ABC，且22ABAC，30C，2SA，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
二、填空题
13．已知点(2,2),(4,2)AB，点P在圆224xy上运动，则22||||PAPB的最小值是__________．
14．若三条直线20xy，30xy，50mxny相交于同一点，则点(,)mn到原点的距离的最小值为________.
15．经点2,3P，作圆2220xy的弦AB，使得P平分AB，则弦AB所在直线方程是______.
16．关于x的方程29(3)4xkx有两个不同的实数解时，实数k的取值范围是_______
17．已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角02，所得直线方程是20xy，若将它继续旋转2角，所得直线方程是210xy，则直线l的方程是______.
18．若直线30axby与圆22410xyx相切于点1,2P，则ab________.
19．在正三棱锥OABC中，已知45AOB，记为二面角AOBC的大小，cosmn，其中m，n为整数，则以||n，||m，||mn分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．
20．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.
21．如图，圆柱的体积为16，正方形ABCD为该圆柱的轴截面，F为AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，EF所成的角的余弦值为______．
22．在直三棱柱111ABCABC中，90ABC，13AA，设其外接球的球心为O，已知三棱锥OABC的体积为3，则球O表面积的最小值为______.
23．在三棱锥PABC中，4PAPB，42BC，8AC，ABBC．平面PAB平面ABC，若球O是三棱锥PABC的外接球，则球O的半径为_________．
24．如图①，一个圆锥形容器的高为2a，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a（如图②），则图①中的水面高度为_________．
三、解答题
25．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm)，
（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；
（2）求该几何体最长的棱长.
26．如图，在四棱锥PABCD中，PAB△是等边三角形，CB平面,//PABADBC且22PBBCADF，为PC中点．
（1）求证：//DF平面PAB；
（2）求直线AB与平面PDC所成角的正弦值．
27．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，60BAC，沿BD将三角形BCD向上折起到PBD位置，E为PA中点，若F为三角形ABD内一点（包括边界），且//EF平面PBD.
（1）求点F轨迹的长度；
（2）若EF平面ABD，求证：平面PBD平面ABD，并求三棱锥PABD的体积.
28．在四棱锥PABCD中，90ABCACD，60BACCAD，PA平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，24PAAB．
（1）取PC中点F，证明：PC平面AEF；
（2）求点D到平面ACE的距离.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得
公共弦的长．
【详解】
∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②
①﹣②可得：x﹣2y+4=0．
∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0，
∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为22， ∴圆心到公共弦的距离为d=2224425512，
∴公共弦长=222122225555.
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
2．C
解析：C
【解析】
直线方程变形为(31)(2)0kxyyx，则直线通过定点21(,)77，故选C．
3．B
解析：B
【分析】
根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x2+y2＝1的下半部分，结合图形分析可得答案．
【详解】
根据题意，y21x，变形可得x2+y2＝1（0y），为圆x2+y2＝1的下半部分，
若直线x+y﹣b＝0与曲线y21x有公共点，
则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y21x有公共点
此时b＝1，
将直线向下平移至直线与曲线相切时，有2b1，解可得b＝±2，又由b<0，
则b2，
则b的取值范围为[2,1]；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：曲线y21x，变形可得x2+y2＝1（0y），为圆x2+y2＝1的下半部分，数形结合解决即可.
4．B
解析：B
【分析】
由22PQ，结合圆的半径，由勾股定理可得圆心2,1到直线1ykx的距离2d,利用点到直线距离公式，列不等式可得结果.
【详解】
若22PQ，
则圆心2,1到直线1ykx的距离222422d,
即2221kk，
解得1,1k，故选B.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
5．D
解析：D
【分析】
利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.
【详解】
221(1)(4)7:Cxy，圆心1,4，半径17r 222:(2)(5)9Cxy，圆心2,5，半径33r
设点P0,0x，
则2222120010472059ddxx
220019216xx222200103204xx，
即0,0x到1,3与2,4两点距离之和的最小值，
当0,0x、1,3、2,4三点共线时，12dd的和最小，
即12dd的和最小值为2212345052.
故选：D
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
6．B
解析：B
【分析】
当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆2260xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，
设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP
根据弦长公式得最小值为229||2982CP.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
7．B
解析：B
【分析】
可得原几何体如图所示正三棱锥ABCD，取BD中点E，连接,AECE，设底面边长为2x，表示出2522AExAOOE，1333xOECE，即可求出x，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥ABCD，
取BD中点E，连接,AECE，则底面中心O在CE上，连接AO，可得AO平面ABC，
