下载文档原格式
（经典整理）等差、等比数列的性质第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质一：考试要求1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数⎩bn⎭⎩bn⎭列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．三：例题诠释，举一反三例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________B3A33A3例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=Snn}1k,ak=1m,则该数列前mk项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式1已知数列{an}中，a1=35，an=2-1an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝(n∈N*)．an-1(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11(1)求证数列－1}是等比数列；ann(2)求数列{前n项的和an变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=nan2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的前n项和Sn。
高三数学数列知识点归纳总结数列是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
高三学习阶段，数列的理解和应用变得尤为重要。
本文将对高三数学数列的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握数列的相关内容。
一、数列的定义和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
一般表示为{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ}，其中a₁, a₂, a₃, ... 分别表示数列的第1项、第2项、第3项、... 第n项。
1. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的差值是一个常数，称为公差，一般表示为d。
常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d(2) 前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 22. 等比数列等比数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之间的比值是一个常数，称为公比，一般表示为r。
常用性质：(1) 第n项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)(2) 前n项和公式（当r ≠ 1时）：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)3. 通项公式通项公式可以根据数列的规律，直接给出第n项的表达式。
通过通项公式，可以快速计算数列的任意一项。
二、数列的应用1. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，常用于描述一些增减规律明显的情况。
(1) 速度、距离和时间的关系：当速度恒定时，可以利用等差数列来描述物体在某段时间内的位置变化。
(2) 等差数列求和：可以利用等差数列的前n项和公式，求解一段时间内某物体的总距离或总位移。
2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中也有广泛的应用，常用于描述一些指数型的增长或衰减规律。
(1) 复利问题：利用等比数列可以解决一些复利问题，比如定期存款、投资基金等。
(2) 指数增长和衰减：利用等比数列可以描述一些指数增长或衰减的情况，比如病菌的增殖、放射性物质的衰变等。
三、常见数列的特殊性质1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是前两项之和。
高三数学数列知识点总结数列是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域具有广泛的应用。
高三数学中，数列的学习和理解是非常重要的。
本文将对高三数学数列的一些关键知识点进行总结和归纳。
一、数列的定义数列是数学中一组按照顺序排列的数，这些数按照一定的规律排列。
常用的数列有等差数列和等比数列。
二、等差数列等差数列特点是每一项与它前面的项之差都相等。
记为a，a+d，a+2d，a+3d...。
其中，a为首项，d为公差。
等差数列的通项公式可表示为an = a + (n-1)d，其中n为项数。
1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = (a + an)n/2，其中a为首项，an为第n项，n为项数。
2. 求等差数列的公差已知等差数列的首项a1和第n项an，公差d可通过公式d = (an - a1)/(n-1)来求解。
3. 等差数列的性质等差数列有以下性质：- 任意两项的和与它们的夹着的项的和相等。
- 任意两项的和与中间项的和相等。
三、等比数列等比数列特点是每一项与它前面的项的比值都相等。
记为a，ar，ar^2，ar^3...。
其中，a为首项，r为公比。
等比数列的通项公式可表示为an = ar^(n-1)，其中n为项数。
1. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
2. 求等比数列的公比已知等比数列的首项a1和第n项an，公比r可通过公式r = (an / a1)^(1/(n-1))来求解。
3. 等比数列的性质等比数列有以下性质：- 任意两项的和与它们的夹着的项的和相等。
- 任意两项的和与中间项的和不相等。
四、数列的应用数列在实际问题中有广泛的应用，如金融、生物、物理等领域。
在高三数学中，数列的应用也是不可忽视的。
1. 等差数列的应用等差数列在数学建模、运动学等方面有重要应用。
2. 等比数列的应用等比数列在金融学、生物学等方面有很多实际应用。
等差等比数列的性质总结一、等差数列1、等差数列的定义等差数列（Arithmetic Progression）是指任意两项之差相等的数列。
即：a1, a2 , a3 , a4 ,..., an 构成的数列，其中，a2 - a1 = a3 -a2 = ... ... = an - an−1，又称为等差数列或等差级数，可简记为“等差”或“等差故”。
2、等差数列的性质（1）每一项减去第一项，得到的差为等差数列的公差。
（2）等差数列的每一项都可表示为第一项加上相应的公差乘以第几位：an = a1 + (n-1)d（3）由公式可以推出：等差数列的和∑an = a1 + an其中n是等差数列的项数，d为公差。
（4）等差数列平方之和的求法：∑n²an = a1² + (n + 1)an² + 2[∑(n - 1)an]其中n为等差数列的项数，d为公差。
（5）等差数列的反序列若 a1, a2 , a3 , a4 ,... , an 构成的等差数列，则相反数列为an, an–1, an–2, an–3,... , a1二、等比数列1、等比数列的定义等比数列（Geometric Progression）也叫指数数列，是指任意两项之比相等的数列。
即：a1, a2 , a3, a4 ,... , an 构成的数列，其中，a2/ a1 = a3/ a2 = ... ... = an/ an−1，又称为等比数列或等比级数，可简记为“等比”或“等比故”。
2、等比数列的性质（1）每一项减去第一项，得到的差为等比数列的公比。
（2）等比数列的每一项都可表示为第一项乘以相应的公比的幂次：。
专题等差与等比数列考点精要1 •理解等差，等比数列的概念，2 •掌握等差，等比数列的通项公式，前n项和的公式和中项公式，3•熟练运用等差，等比数列的性质；热点分析等差数列历来是高考考查的重点内容.一方面它的运算相对简单而又灵活多变，二来它是学习数列的基础内容，许多数学思想方法都能体现出来.等差数列性质在数列考试中所占比重很大，灵活运用相关性质，可以快速准确地解决所给问题.等比数列通项与前n项和是考试中经常考查的内容.要特别注意在运用等比数列求和公式时对公比的限定条件是否满足，防止失解. 等比数列的性质也是高考命题的常考内容，运用得当，可以化繁为简.知识梳理等差数列1. ______________________________ 定义：如果一个数列从 _ ，每一项与的差等于一个_______ ，那么这个数列叫等差数列，这个常数叫_____________ 通常用d表示. 即：数列｛a n｝满足a n -a n ±=d,( n_2, n・N)时，数列｛a n｝叫等差数列.(判断或者证明的依据)2. 通项公式：5•等差数列的主要性质： (1)1) 如果 m+n=p+r,则有 a m - a^a p - a q ; 2) 若m+n=2p 则a m a^2a p 逆之则不然！3) a ! a^a 2 ■ a n J^a 3 a n ^=—；即项数成等差数列时的项也成等差数列； (2) 片段和” S n ,S 2n -S n ’S n -务…成等差数列，新数列的公差为 fd ；(3)若｛a n ｝,｛b n ｝都是等差数列，则＜ka n IbJ 是等差数列；｛Sn ｝也是等差数列；naA(4) 若A n ,B n 分别是等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和，则—=.b n B 2ndn a n 1 n 是奇数(5) 关于前n 项和：S n W n-(a n +a n ) n 是偶数 2 2 2 1二等比数列1. _______________________________ 定义：如果一个数列从第 __________ 起每一项与前一项的 ______________________ 同 一个 _________ 数q ,那么这个数列叫等比数列. 常数q 叫做等比数列的 __________ .时，数列6 ｝叫等比数列.a n2•通项公式： (1) a n =科2 (2)=^amq n J m(注意 aq^O )(1) an P (n -1)d (2) (3)a n = a m (n - m) dd =k a n = k n ba^k b若 ______________ 则A 叫做a 与b 的等差中项，等差中项公式:3.等差中项: a +bA 2小结论：(1) (2) 三个数X ，y ，z 成等差数列的充要条件是x ・z=2y 任意两个数的等差中项不仅存在，而且是唯一的.4.等差数列的前n 项和：(1) S_(2) S 二n((3)=A d =2A 印=A B3. 等比中项：三个数a, G , b成等比数列时，G叫做a与b的等比_____________ ，等比中项公式G .小结论：(1)任意两个实数不一定存在等比中项，存在时则有两个值.(2)三个数x,y,z成等比数列的充要条件是y2=xz = 0n^ (q = 1 )4. 前n 项和公式：S- = a1(1-q n ) a -a n q- - -q =1J 1 - q 1 - q5. 等比数列的常用性质(1) ______________________________________________________ 等比数列◎｝中，m，n，p，，若m+n=p+q，则a m 也_______________________ a p % 逆之则不然.(2)等比数列 __________________________________________ 中，S n 为其前n项和，当n为偶数时，S禺二S奇 ______________________________ . (3)等比数列laj中，公比为q，依次k项和S k，S2k - S k，S3k - Ek成 ________________ 数列，新公比q= __________ (注意当q=- 1,而k为偶数时则例外)6. 等比数列中解题技巧与经验8（1） 若｛a n ｝是等比数列，且a n >0（n w N *）,则｛log a aj 成 _________ 列，反之 亦然.（2） _____________________________________ 三个数成等比数列可设三数为 例题精讲：例1.已知｛a n ｝是等差数列，a i a^4，sv a^ 28，则该数列前10项和0。
等差、等比数列的运算和性质【高考能力要求】1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前n 项和公式解题是高考考查的重点.2.从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题.3.学习时，要注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.【例题精讲】【例1】已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8，其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.分析 将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算. 解 （1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n . （3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列，所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ；b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .说明 本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c+323b m c +…+nn n b m c 1-=（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .分析 （1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a n 和b n ；（2）由题先求出{a n }的通项公式后再求S n .解 （1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2. ∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b m c 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时，S n =6+9+13+…+（4n +1） =6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时，S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n.② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n=6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n.31,31≠=m m 说明 本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）； （2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim 'nnS S 的值.分析 先根据递推关系求前几项。
高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。
下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等比等差是数学中常见的两种数列，它们有着重要的应用和特点。
本文将介绍等比数列和等差数列的基本概念、性质以及常见的应用。
一、等差数列1.定义等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之差都相等。
这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。
一个等差数列可以用首项a1和公差d来表示。
2.性质等差数列有以下性质：•公差d是常数。
•第n项an可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
•第n项an和第m项am之间的差可以通过公式am - an = (m - n)d 来计算。
•等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。
3.应用举例等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，考虑一个连续保存每天销售额的数据表格，如果销售额满足等差数列，那么可以使用等差数列的性质来计算某一段时间内的总销售额。
二、等比数列1.定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之比都相等。
这个相等的比值称为公比，通常用字母q表示。
一个等比数列可以用首项a1和公比q来表示。
2.性质等比数列有以下性质：•公比q是常数。
•第n项an可以通过公式an = a1 * q^(n-1)来计算。
•第n项an和第m项am之间的比可以通过公式am / an = q^(m - n)来计算。
•等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来计算（当q不等于1时）。
3.应用举例等比数列在实际生活中也有许多应用。
例如，考虑一个存款账户每年按照一定比例产生的利息，如果每年的利息满足等比数列，那么可以使用等比数列的性质来计算多年后账户的总金额。
三、等比数列与等差数列的关系等比数列和等差数列在某些情况下存在一定的关系，并可以相互转化。
如果一个等比数列的公比为q，则将该等比数列取对数，得到的数列就是一个等差数列，公差为ln(q)。
四、总结在数学中，等比数列和等差数列是两个重要的数列概念。
等差等比数列的综合及数列求和知识要点：1、等差数列、等比数列的综合（ 1）等差数列通项公式有如下求法：a2a1d（1）a3a2d（ 2）a n a n 1()n N，且n 2 d n 112n 1 有，a n a1n 1 d∴ a n a1n 1 d当 n1a1n 1 d a1n N a n a1n 1 d 成立。
由此，这种“累加法”适用于如下数列a n：a n 1a n f n 的数列求通项公式。
（ 2）等比数列通项公式有如下求法：a2q1a1a3q2a2a nq (n 1)n Nn 2an 1(1)2n1，得a n q n1a1a n a1· q n 1当 n a1· q n1a n N ana ·q n 1成立。
111由此，这种“累乘法”知用于如下数列a n，a n 1g n的数列求通项公式。
a n（ 3）“错位相减法”求“差比数列”的前n 项和等比数列前 n 项和公式采用的是“错位相减法”求得，用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n 项和：a n b n· C n，其中 b n是等差数列，C n是等比数列，公差为 d，公比为 q q 1。
设 S n a1a2a nb1· C1b2· C2b n· C n（1）两边同乘以 q，得qS n b1· C1q b2· C2q b n· C n qb1C2b2C3b n C n1（ 2）（ 1）－（ 2），得：1 q S n b1 C1b2 C2b n C n b1C2b2C3b n C n 1b1C1b2C1 C2b n bn 1CnbnCn 1b1C1 d C2C3C n bnCn 1∴ S n b1C1d· C1q C1q n b1n 1 d · C1· q n 1q 1q1q2、数列求和求 S n a1a2a n f n的方法有如下几种（ 1）公式法：等差数列中S n na1n n 1 d n a1a n 22na1q1等比数列中 S n a1a n q a1 1q nq11q1q12 22n2n n12n16（ 2）错位相减法：如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n项和公式可以采用“错位相减法”求得。
2016届高三数学33个黄金考点总动员考点17 等差、等比数列的运算和性质【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解等差、等比数列的概念；（2）掌握等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式；（3）了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；（4）能利用等差、等比数列的前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和；（5）能运用数列的等差、等比关系解决实际问题.2.命题方向预测：预计2016年高考针对本节内容的考查将以等差、等比数列的通项公式，求和公式和性质为主，在复习时应予以关注等差、等比数列与其他知识的综合.3.课本结论总结：等差数列的判断方法：(1)定义法：对于2n ≥的任意自然数，验证1n n a a --为同一常数； (2)等差中项法：验证*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈都成立； (3)通项公式法：验证n a pn q =+； (4)前n 项和公式法：验证2n S An Bn =+.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列． 等比数列的判定方法： (1)定义法：若1n n a q a +=(q 为非零常数)或1n n aq a -=(q 为非零常数且2n ≥)，则{}n a 是等比数列． (2)中项公式法：若数列{}n a 中0n a ≠且2*12()n n n a a a n N ++=⋅∈，则数列{}n a 是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成1n n a c q -=⋅(c ，q 均为不为0的常数，*n N ∈)，则{}n a 是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{an}的前n 项和n n S k q k =⋅-(k 为常数且0k ≠，0,1q ≠)，则{}n a 是等比数列．注：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．4.名师二级结论：以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数()f x 在定义域为D ，则当x D ∈时，有()f x M ≥恒成立()min f x M ⇔≥；()f x M ≤恒成立()max f x M ⇔≤；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.5.课本经典习题：(1)新课标A 版必修5第44页，例3 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它是首项与公差分别是什么？.【经典理由】结合具体实例，给出了数列通项公式的求法与等差数列的判定，并可就此发散，引申出等差数列通项公式与前n 项和n S 的特点.(2)新课标A 版必修5第45页，例4 已知等差数列5，247，437，……的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.【解析】由题意知，等差数列5，247，437，……的公差为57-，∴2257555151125[25(1)()]()271414256n n n n S n n -=⨯+--==--+，∴当7n =或8时，n S 取最大值. 【经典理由】结合具体的例题，给出了利用二次函数的方法求等差数列前n 项和n S 的方法.6.考点交汇展示： (1)数列与函数相结合1. 【2015高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．2.【2014高考陕西卷文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x+-===-+++ 0x ≥，11x ∴+≥，111x ∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号当0x =时，(0)0n f =当0x >时()0f x >∵1()(())n n f x f f x +=，∴1()()1()n n n f x f x f x +=+，∴11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++==+，即1111()()n n f x f x +-=∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列 11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+，()(0)1n x f x x nx ∴=>+， 当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n x f x x nx ∴=≥+，2014()12014x f x x ∴=+. (2)数列与不等式相结合【房山区2014届高三年级第一学期期末统考】设0,0.a b >>若3是a 3与b 23的等比中项,则ba 12+的最小值为( )A.8B.4C.1D.14【答案】A【考点分类】热点1 等差数列基本量的计算1.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.2. 【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.3. 【2014高考江西卷文第13题】在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】7(1,)8--【解析】由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<-4.在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【答案】20【解析】依题意12910a d +=，∴()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383221020a a a a +=+=⨯=.【解题技巧】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当0d =时，为常数列，是特殊的等差数列，例如第4题，需分类讨论求解问题.【方法规律】数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，例如第3题，将条件中的等式都转化为关于1a 和d 的方程组，通过解方程组求解.热点2 等差数列性质的综合运用1. 【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.2. 【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13-【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力. 3. 设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8π的等差数列,125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=,则2313[()]f a a a -=（ ）A ．0B ．2116πC ．218πD ．21316π 【答案】D【解析】∵数列{}n a 是公差为8π的等差数列,且125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，∴π5)cos cos (cos 2521521=+++-+++a a a a a a ）（， ∴125(cos cos cos )0a a a +++=，即 π55223521=⨯=+++a a a a ）（ ，得43,4,2513πππ===a a a ， ∴2313[()]f a a a -=1613163)cos 2(22251233πππ=-=--a a a a . 4. 设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=__________. 【答案】35【解析】因为数列{},{}n n a b 都是等差数列,所以数列{}n n a b +也是等差数列，故由等差中项的性质,得()()()5511332a b a b a b +++=+,即()557221a b ++=⨯,解得5535a b +=.【方法规律】等差数列的性质：（1）通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈（2）若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a +=+；（3）若{}n a ，{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 和'n S ，则2121'm m m m a S b S --=，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6题，利用等差数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】等差数列前n 项和的最值问题的方法：①二次函数法：将n S 看作关于n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题有解；②通项公式法：求使0n a ≥（或0n a ≤）成立的最大n 值，即可得n S 的最值；（3）不等式法：借助n S 最大时，有11(2)n n n n S S n S S -+≥≥⎧⎨≥⎩，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应n S 的值（即n S 的最值）.热点3 等比数列基本量的计算1.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+，5c =-则b = ．【答案】1【考点定位】等比中项．【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．2. 等比数列x ，33x +，66x +，…的的第四项等于（ ） A.-24B.0C.12D.24【答案】A【解析】由x ，33x +，66x +成等比数列得2(33)(66),3,2,x x x x q +=+∴=-=第四项33224-⨯=-选A.3.【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 . 【答案】44.【2014高考安徽卷文第12题】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.【答案】14【解析】由题意，12BA a ==，32121tan 4n n a a a a a a π-=====，所以{}n a 是以首项12a =，公比q =6671124a a q =⋅=⋅=. 【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．（2）在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，例如第13题，将条件中的等式转化为关于1a 和q 的方程组，解得1a 和q ，从而解决问题热点4 等比数列性质的综合运用1．【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D2.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算. 3.【2014高考福建卷文第17题】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1) 13n n a -=.（2）22n n nS -=.4.【2014高考上海文第23题】已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-.（3）由题得，∵1133n n n a a a +≤≤，且数列数列12100,,a a a 成等差数列，11a =，∴1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，∴(21)2(23)2d n d n +≥-⎧⎨-≥-⎩，∴2[,2]199d ∈-【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广：*(,)n m n m a a q n m N -=⋅∈（2）若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a ⋅=⋅；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第18题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】(1)由1n n a qa +=，0q ≠并不能立即断言{}n a 为等比数列，还要验证10a ≠，(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q =这一特殊情形导致解题失误．【热点预测】1. {}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则216log a =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】 29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=2.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）】在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S = （ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132【答案】D3. 设等比数列{a n }的前n 项积n n a a a a P ⋅⋅⋅⋅= 321，若12732P P =，则10a 等于( ) (A)16 (B)8 (C)4 (D)2 【答案】D【解析】由12732P P =，得891232a a a ⋅⋅⋅=，即51032a =，于是102a =. 4.【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试】如图，互不相同的点1A ，2A ，…，n A ，…和1B ，2B ，…，n B ，…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形1!n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =，若11a =，22a =，则9a ＝（ ）A C ．5 D ．【答案】C.【解析】由题意可知，1122OA B A B ∆∆，∴11222121()4OA B OA B S OA S OA ∆∆==，∴11112213OA B A B B A S S ∆=， 同理1199OA B OA B ∆∆，∴119921991()5138OA B OA B S OA OA S OA ∆∆==⇒=+⨯，即95a =.5. 【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）】已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )． A ．3- B ．2- C ．3 D ．2【答案】C6.【湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（三）】将函数x y 2cos =的图象向右平移6π个单位长后与直线)0(1≠-=m m y 相交，记图象在y 轴右侧的第)N (*∈n n 个交点的横坐标为n a ，若数列}{n a 为等成数列，则所有m 的可能值为（ ）A. 1±B.2±C.1 或2D.1- 或2【答案】C7.【成都外国语学校高2014届高三（下）二月月考数学】若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为（ ） A,2014 B.1007 C.1- D.2 【答案】D8. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，则下列结论错误的是（ ）A. B.C, D.与均为的最大值【答案】C 【解析】由于，，，因此，从第8项开始小于1，均为的最大值，，因此. 9. 在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=. 则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 . 【答案】12{}()*N n a n ∈q n K n 87665K K K K K >=<，17=a 59K K >6K 7K n K 1656>=a K K 1767==a K K 1878<=a K K10<<q 76,K K n K ()1287987659<==a a a a a a K K 59K K <10<<q10. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 【答案】2，122n +-【解析】公比352440220a a q a a +===+，()()3324112220a a a q q a +=+=+=，解得12a =，故该等比数列的前n 项和为()12122212n n n S +-==--.11.【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试】已知各项均为正数的数列{}n a 满足：n S 为数列{}n a 的前n 项和，且 2，n a ，n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21()2n b na =，n n n bc a = 求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(1) 2.n n a =；（2）1242n n n T -+=-.【解析】(1) ∵22n n a S =+ ， ∴ 1n =，12a =，2n ≥，1n n n a S S -=- ， ∴12(2)n n a a n -=≥，∴ 通项公式为2.n n a =（2）12,2n n n nb nc --=-∴=所以23123412222n n nT --=++++⋅⋅⋅+①23411234222222n n n T -=++++⋅⋅⋅+② ①-②得：234111111112222222n n n nT --=+++++⋅⋅⋅+-所以1242n n n T -+=-.12. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且24a =，3424a a +=. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-.13.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试16】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*273,49,a S n N ==∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=，求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-；(2)122n n T +=-14.【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当λ为何值时，数列{}n a 为等差数列？并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）4λ=，理由详见解析.：。
