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等差数列与等比数列二一、填空题1、等比数列a n的公比大于1，a5a115,a4a26，则a32、在各项均为正数的等比数列a n中，若a21,a8a52a2，则a53、等比数列a n的前n项和S n3n1t，则t4、在等差数列a n中，若a m n,a n m,m n，则a mn5、等差数列a n中，公差d1,a1a3a5...a9960，则前100项和S10026、一个各项为正数的等比数列，任何项都等于它后边两项之和，则公比等于7、若某三角形的三边成等比数列，则公比q的取值范围是8、已知数列a n是非零等差数列，又a1,a3,a9是某个等比数列的前三项，则a1a3a9a2a4a109、设数列an是等比数列，公比q1，已知此中连续三项恰为某等差数列的第r项，第2r项，第4r项，则等比数列的公比q10、已知方程x22x m x22x n0的四个根构成一个首项为1的等差数列，则4mn11、等差数列a n的前n项和为S n，已知S100,S1525，则nS n的最小值为12、已知f x x3x1，公差d不为0的等差数列a n知足：fa1f a2...f a2727，则a14二。
选择题13、等比数列a n的公比为q，则“q1”是“关于随意自然数n，都有a n1a n”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足又非必需条件14、设等差数列a n的前n项和S n，且知足S20160,S20170，对随意正整数，都有a n a k，则k的值为（）15、设an 是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A.若a1a20，则a2a30 B.若a1a30，则a1a20C.若0a a，则a 21a3 D.若a10，则a2a1a2a3012a16、已知a n是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3,a,a成等比数列，则（）48A. a1d 0,dS40B. a1d 0,dS40C. a1d 0,dS40D. a1d 0,dS40三、解答题17、已知互不相等的三个数之积为-8，这三个数适合摆列后可成为等比数列，也可成为等差数列，求这三个数摆列成的等差数列18、已知数列a n是首项为2，公比为1的等比数列，前n项和S n2（1）求证：S n,S n1n N 在某向来线上；（2）能否存在正整数c和k，使得Sk1c2建立？S k c19、在数列an中，a12，a n14a n3n 1,n N（1）求证：数列a n n是等比数列；（2）设数列a n的前n项和S n，求证S n14S n，对随意n N皆建立20、已知数列a n知足条件：a11,a2 rr 0，数列a n a n1是公比为qq 0的等比数列，b n a2n1a2n n N（1）若不等式a n a n1a n1a n2a n2a n3建立，务实数q的取值范围；1log2b n1的最大项和最小项的值。
等差数列与等比数列二一、填空题1、等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =2、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28521,2a a a a ==+，则5a =3、等比数列{}n a 的前n 项和13n n S t -=+，则t =4、在等差数列{}n a 中，若(),,m n a n a m m n ==≠，则m n a -=5、等差数列{}n a 中，公差135991, (602)d a a a a =++++=，则前100项和100S = 6、一个各项为正数的等比数列，任何项都等于它后面两项之和，则公比等于 7、若某三角形的三边成等比数列，则公比q 的取值范围是 8、已知数列{}n a 是非零等差数列，又139,,a a a 是某个等比数列的前三项，则1392410a a a a a a ++=++9、设数列{}n a 是等比数列，公比1q ≠，已知其中连续三项恰为某等差数列的第r 项，第2r 项，第4r 项，则等比数列的公比q = 10、已知方程()()22220x x mxx n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -=11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10150,25S S ==，则n nS 的最小值为 12、已知()31f x x x =++，公差d 不为0的等差数列{}n a 满足：()()()1227...27f a f a f a +++=，则14a =二。
选择题13、等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“对于任意自然数n ，都有1n n a a +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件 14、设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A.1006B.1007C.1008D.100915、设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >若10a <，则()()21230a a a a -->16、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 三、解答题17、已知互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，求这三个数排列成的等差数列18、已知数列{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，前n 项和n S（1）求证：()()1,n n S S n N *+∈在某一直线上； （2）是否存在正整数c 和k ，使得12k k S cS c+->-成立？19、在数列{}n a 中，12a =，1431,n n a a n n N *+=-+∈（1）求证：数列{}n a n -是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立20、已知数列{}n a 满足条件：()121,0a a r r ==>，数列{}1n n a a +是公比为()0q q >的等比数列，()212n n n b a a n N *-=+∈（1）若不等式11223n n n n n n a a a a a a +-++-+>成立，求实数q 的取值范围；（2）设19.2121,2r q =-=，求数列212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项的值。
第一讲 等差数列、等比数列限时规范训练一、选择题 1.已知数列｛a n ｝，若点（n , a n ）（ n € N ）在经过点（8,4）的定直线I 上，则数列｛a n ｝的前15项和S s=( ) A. 12 D. 120解析：T 点（n , a n ）在定直线上，数列｛a n ｝是等差数列，且a 8= 4, 答案：C2. 已知各项不为0的等差数列｛a n ｝满足a 4— 2a 2+ 3a *= 0,数列｛b n ｝是等比数列，且b ?= a ，则b 2b 8bn 等于() A. 1 B . 2 C. 4D. 8解析：T a 4 — 2a 7+ 3a 8= 0,「. 2a ?= a 4 + 3a 8,「. 2a ?= a 5+ a ?+ 2a $ = a 5 + a ?+ a ?+ a 9,即卩 2a ?= 4a ?, •- a 7 = 2, • b 7 = 2,又T b 2b 8b1= b 6b 8“= b 7b 7= (b 7) 3= 8，故选 D. 答案：D 3.在等差数列｛a n ｝中，a n >0，且a 1+ a 2+-+ a 10= 30,贝U a 5 • a 6的最大值等于( )A. 3 B . 6 C. 9D. 36解析：T a 1 + a 2+…+ a 10= 30,得 a 5 + a 6 = = 6,又 a n >0,「. a 5 • a 6<5 答案：C 4.设等差数列｛a n ｝满足a 2 = 7, a 4= 3, S 是数列｛a n ｝的前n 项和，则使得 S>0的最大的自然数 n 是()A. 9 B . 10 C. 11D. 123 — 7 、、解析：.｛a n ｝的公差 d =■ = — 2,. • ｛a n ｝的通项为 a = 7 — 2(n — 2) = — 2n + 11,. • ｛a n ｝是递减4 — 2 数列，B . 32C. 60a 1 + a 152XI52a 8 x 152 =15a 8= 60.a5 + a6且a5>0>a6, a5+ a6= 0，于是S9= 9a5>0, S o= - • 10= 0, S1 = 11 a6< 0,故选 A.答案：A5. 在等比数列｛a n｝中，a1+ a n= 34, a2 • a n-1 = 64,且前n项和S= 62,则项数n等于（）-2 -C. T 5D. T 6B. 5C. 6D. 7解析：设等比数列｛a n ｝的公比为q ,由a 2a n -1 = a©= 64,又a i + a n = 34，解得a i = 2,a n = 32或a ia i 1 — qa i — a n q 2 — 32qn=32, a n = 2.当 a i = 2, a n = 32 时，S = 一-=-= 62,解得 q = 2.又 a n = ag n1 — q 1 — q 1 — q—1所以2x2 1= 2 = 32,解得n = 5.同理，当a 1= 32, a n = 2时，由S= 62,解得q =右=2 4,即n — 1= 4, n = 5.综上，项数n 等于5，故选16 2B.答案：B+ a 10）v 0,S 9a 10v 0，即该等差数列前 9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则 一最大，故选C.a 9答案：CA. 4 6.在等差数列｛a n｝中, a 1= — 2015，其前n 项和为S n ,若誇―S= 2,则S 2016的值等于（A.— 2 015 C. 2 016 B . 2 015 D. 0解析：设数列10X9d , S o = 10a 1+ -2-d ,12X 11S 12所以石=12a + —2d 12- 9=a 1 + -^d . 10= a 1 + 尹S12 S 0 所以 S 2— S 0= d =2,所以 S 2 016 = 2 016 x a 1+2 015 X 2 016d = 0.答案：D7.设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 S, 且满足 S §2S 7>0, S 8V 0,则a ,-,¥中最大的项为（ ）S A.- a 7sB.-a 8a 9 a 10解析：因为｛a n ｝是等差数列，所以 =17a 9> 0, a 9> 0,S )8=IX a 1 + a 18=9( a 9&正项等比数列｛a n｝中，a2 = 8,16 a4= a©，则数列｛◎｝的前n项积T n中的最大值为（）A. T3B. T4-4 -C. T 5D. T 621 2 a 4 1解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q (q >0)，贝U 16a 4 = af 5= a 2a 4= 8a 4, a 4= , q = =花，又q2 a 2 16 >0,贝y q =1a n= aq-2= 8x1 n _2= 2一2n ，贝H T n = aa 2…a n = 25+3+…+(7一2n) = 2n(6 —n)，当 n = 3 时，4诒丿n (6 — n )取得最大值9,此时T n 最大，即(T n ) max = T 3,故选A.答案：A 二、填空题a 29. (2017 •咼考北京卷 )若等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝满足a 1 = b 1 = — 1, a 4= S = 8，则匸=b 2解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,等比数列｛b ｝的公比为q ,a 4 — a 1 8— — I则由 a 4= a+ 3d ,得 d =3 — = 3= 3,33b 48由 b 4= b 1q 得 q = = —=— 8,「・ q =— 2.b 1 — 1a 2 a 1 + d — 1 + 3:b 2=両=—ix -? =1.答案：110 .若等比数列｛ a n ｝的各项均为正数，且a 1o an + a 9a 12= 2e 5,则ln a 1+ ln a ?+…+ ln a 2o = _____________55解析：因为 a 1o au + a 9a 12= 2a 1o a“= 2e ，所以 a 1o au = e . 所以 In a 1+ lna 2 + …+ In a 20= ln( aa 2…a 20)= ln[(a 1a 20)•( a 2a 19) ........ ( a 10an)] = ln( aean)5=10ln( aean) = 10ln e = 50ln e = 50.答案：50小值时，S 2 =且仅当 m= n 时取等号，n = 2,「. a 2= 2X 3= 6, — S 2= 2+ 6= 8. 答案：811.等比数列｛a n ｝的首项为2,公比为3,前n 项和为S.若log 3Sm + 1=9，则丄+上取最n m 解析：由题意可得a n = 2X3n —1, S = 2二=3n — 1,所以 log 3 |^aS m + 1n + 4m- 1=log 33 = n+ 4m-1 = 9,所以 n + 4m= 10,所以1+ 4 =n m2m 172=空」当5 10 2'1S k1+n2m 17 2n+?=帀+5m +乔》和+2Xn)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3= 3, S= 10,则12. (2017 •高考全国卷nk = 1-6 -C. T 5D. T 6鬥=a i + 2d = 3,解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,则由4X3S 4= 4a i + —^d = 10,1111 1 11111 1 1S = S 1+ S 2+§+•••+ s n =2 1— 2+ 2-3+3 - 4+^+ n _ 市=2三、解答题13. 已知等差数列｛a n ｝中，a 2= 5，前4项和s= 28. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵若b = ( - 1)n a n ,求数列｛b n ｝的前2n 项和Tm[a 2= a 1 + d = 5, 解析:(1)设等差数列｛a n｝的公差为d，则由已知条件得S 4= 4&+宁X d = 28,a 1= 1, d = 4,• a n = a 1+ (n -1) X d = 4n — 3.⑵ 由(1)可得 b n = ( - 1)n a n = ( - 1)n (4 n -3), T 2n =- 1 + 5-9+ 13-17 +…+ (8 n -3) = 4X n = 4n .14. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S = 9, a 1, a 3, a ?成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵ 若金丰a 1(当n 》2时)，数列｛b n ｝满足b n = 2a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .2 2 1解析：(1) a 3 = a 1a ?，即(a + 2d ) = a(a 1 + 6d )，化简得 d =尹或 d = 0. 1 3X2 1 9当 d = ?a 1 时，S= 3a 1+ ~2~X ?a 1 = ^a 1= 9，得 a 1= 2, d = 1, • a n = a 1+ (n - 1)d = 2 + (n — 1) = n + 1,即卩 a n = n +1 ；当d = 0时，由S= 9,得a 1 = 3,即有a n = 3.⑵ 由题意可知b n = 2a n = 2n +1,b 1= 4, 一b• ｛b n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列, • T n =养=二=2n + 2- 4.a i = 1,d = 1.n S 1 = n X 1 + n T2S T n n+1 = 21-估.nk = 1答案:2nn +1b n + 1 =2.15. 已知数列｛a n｝的前n项和为S, a1 = 2, a n M 0, a n a n+ 1= pS + 2,其中p 为常数.-8 -(1) 证明：a n + 2 —a n = p；(2) 是否存在p,使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.解析：(1) 证明：由题设知a n a n+ 1= pS n+ 2，a n+ 1a n+ 2= pS n+ 1+ 2，两式相减得a n + 1 ( a n+ 2—a n) = pa n + 1，由于a n +1 M 0, 所以a n+2 —a n = p. (2)由题设知a i= 2, a i a2= pS+ 2,可得比=p+ 1,由(1)知a3= p+ 2. 令2a2= a1+ a3，解得p= 2，故a n+2—a n= 2,由此可得｛a2n—1｝是首项为2,公差为2的等差数列，且a2n—1= 2门，｛a2n｝是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n= 2n +1,所以a n= n+ 1 ，a n + 1 —a n = 1 ，因此存在p= 2,使得数列｛a n｝为等差数列.。
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法一、等差数列与等比数列一、解答题(★★★) 1. 已知是等差数列，，前项和为是等比数列，公比满足，前项和为，求．(★★★) 2.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(★★★) 3.设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列.（II）求数列的通项公式.(★★★) 4. 求和（1）；（2），求；（3），求．(★★★) 5. 求数列的前项和．(★★★) 6. 据下列关系求通项公式：（1），求；（2），求；（3），求．(★★★) 7. 在数列中，．（1）求；（2）求．(★★★★) 8. 设数列的前项和为，已知，且其中为常数．（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）证明不等式对任何正整数都成立．(★★) 9. 在等差数列中，已知，求的值．(★★) 10. 已知数列的前项和为，求数列的前项和．(★★★) 11. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．(★★★) 12. 已知数列的前 n项和为，，且（ n为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记…若对任意正整数 n，恒成立，求实数 k的最大值.(★★★) 13. 根据下列条件，求的通项公式：（1）已知，求；（2）已知，求．(★★★) 14. 已知前项和满足下列关系，求．（1）；（2），且，求；（3），求．(★★★) 15. 解答下列各题：（奇表示奇数项和，偶表示偶数项和）（1）是等比数列，，项数为偶数．奇＝85，偶＝170，求；（2）是等差数列，共项，为奇数，，偶，，求通项公式．(★★) 16. 求和：；(★★)17. 为公差为的等差数列，且，求的和（用、表示）.(★★) 18. 求和：．(★★★) 19. 已知数列，求：（1）前项和；（2）通项公式．(★★★) 20. 已知数列{ a n}的前 n项和为 S n，且 S n＝ n﹣5 a n﹣85，n∈N *（1）证明：{ a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{ S n}的通项公式．请指出 n为何值时， S n取得最小值，并说明理由？（参考数据15＝﹣14.85）(★★★) 21. 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：……记表中的第一列数、、、……构成的数列为，，为数列的前项和，且满足（I）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和(★★★★) 22. 在直角坐标平面上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．（1）判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数，满足，求证：．(★★★)23. (3’+7’+8’)已知以 a 1为首项的数列{ a n}满足： a n＋1＝.（1）当 a 1＝1， c＝1， d＝3时，求数列{ a n}的通项公式；（2）当0＜ a 1＜1， c＝1， d＝3时，试用 a 1表示数列{ a n}的前100项的和S 100；（3）当0＜ a 1＜（m是正整数）， c＝，d≥3m时，求证：数列 a 2－， a 3m+2－， a 6m+2－，a 9m+2－成等比数列当且仅当 d＝3m.(★★★★) 24.已知数列{ a n}和{ b n}满足： a 1= λ， a n+1= 其中λ为实数， n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{ a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{ b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜ a＜ b， S n为数列{ b n}的前 n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜ S n＜ b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．二、填空题(★) 25. 仔细观察数列给出部分的数字，寻找规律，在空白处填上合适的数字．（1）2，3，5，8，__________21；（2）8，_______14，17，20，23；（3）2，4，8，16，_______，64；（4），，，，，_________．(★) 26. 设f（n）＝2+2 4+2 7+2 10+⋅⋅⋅+2 3n+1（n∈N*），则f（n）＝_____．(★★★) 27. 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ________ .(★★★) 28. ，则____________；(★★★) 29. __________；(★★★) 30. __________；(★★) 31. _____________ ．(★★) 32. 在等差数列中，若，则有：（，且）成立.类比上述性质，在等比数列中，若，则有______.(★★) 33. 数列中，且（是正整数），则数列的通项公式．(★★★) 34. 设数列{ }是首项为1的正项数列，且（n+1）,则它的通项公式 ______ .(★★★) 35. 一个有限数列、、、的部分和定义为，其中，称为该有限数列的“凯森和”．已知一个有项的数列、、、的“凯森和”为，则有项的数列、、、、的“凯森和”为_______．三、双空题(★★★) 36. 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则________；当时，______（用表示）；(★★★) 37. 已知次多项式．如果在一种算法中，计算的值共需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要______次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要______次运算；四、单选题(★★)38. 在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．(★★★) 39. 设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（）A．8B．9C．10D．11(★★★) 40. 已知数列的前项和，其中、是非零常数，则存在数列、使得（）A．，其中为等差数列，为等比数列B．，其中和都为等差数列C．，其中为等差数列，为等比数列D．，其中和都为等比数列(★★★) 41. 等比数列的公比为，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定。
专题11 等差数列与等比数列【母题原题1】【2018上海卷，6】记等差数列的前项和为，若，，则____．【答案】14【解析】【分析】【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【母题原题2】【2017上海卷，15】已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）【答案】A【解析】存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.【母题原题3】【2017上海卷，10】已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 【方法总结】1.求数列前n 项和的常用方法 1）分组求和法分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. (2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑ 解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭3）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x xnx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… 4）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……1．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是 ( )． A ． 若，则 B ． 若，则C ． 若，则D ． 若，则【答案】D【解析】利用排除法：本题选择D 选项.2．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】()4651112,466152510S S S a d a d a d +>∴+++>+， 2120,0d d d ∴>∴>，充分性成立，若“0d >”则4654620,2S S S d S S S +-=>+>，必要性成立，所以“0d >”是“4652S S S +>”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过等差数列前n 项和的基本量运算，主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．【上海市浦东新区2018届高三5月综合练习（三模）】已知数列满足,其首项,若数列是单调递增数列,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【点睛】本题是中档题，考查数列的单调性，注意推出数列的第二项大于第一项，是解题的关键，同时注意分类讨论．4．【上海市2018年5月高考模拟】设正数数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则__________【答案】【解析】【分析】由和都是等差数列，且公差相等，把和都用和表示，联立求解和，即可求得结果. 【详解】设数列的首项为，公差为，数列的前项和是，，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得，①，两边平方得，②②-①得：，③把③代入①得，或，当时，，不合题意，当时，代入③解得，，故答案为.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，意在考查学生的计算能力、转化与划归思想的运用，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.5．【上海市2018年5月高考模拟】等差数列，，记，则当__________时，取得最大值【答案】4【解析】【分析】因此在中，当时，，当时，，故当时，取得最大值，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的计算，属于难题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数， ，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的.6．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若()1211nn n n n b a a ++=-,则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________. 【答案】()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数当n 为偶数时， 111n T n =-++ ，当n 为奇数时， 111n T n =--+ ，综上所述()111nnT n -=-++ ,故填()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．7．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】若数列{}n a 为等比数列，且53a =，则2738a a a a -=__________.【答案】18【解析】数列{}n a 为等比数列，且53a =,所以228375=9a a a a a ⋅=⋅=，故行列式272837389918a a a a a a a a -=⋅+⋅=+=，故填18.8．【上海市十二校2018届高三联考】若等差数列{}n a 的前5项和为25，则3a =________ 【答案】5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 9．【上海市徐汇区2018届高三一模】著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8…，满足*12211,,n n n a a a a a n N ++===+∈，那么357920171a a a a a +++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列的第_____项【答案】2018【解析】357920172357920171a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅+457920176792017892017a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 201620172018a a a =⋅⋅⋅=+=，即为第2018项10．【上海市金山区2018届高三下学期质量监控（二模）】已知数列满足：(1) 证明：数列是等比数列；(2) 求使不等式成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有成立，求t 的取值范围．试题解析：(1) 由an+1=an+2，所以an+1–4 =( an –4 )，且a1–4=–2，故数列{an–4}是以–2为首项，为公比的等比数列；(2) 由(1)题，得an–4=–2，得，于是，当m≥4时，，无解，综上所述，的取值范围是(0,1)∪(2,)．11．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：(1)若，，求数列的通项公式；(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；(3)若，数列是等比数列，求的数值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)根据题意，由，，代入. 可求得，．(2)由，代入，可得，．即可证明数列是首项为公差为的等差数列．(3).由题意可得). 由是等比数列，且，设公比为，则.可证明当，和时均不成立.故，(). 根据数列是等比数列，有..根据可化为(2) ，，∴，，．∴，．∴数列是首项为、公差为的等差数列．(3) ，，由，得.是等比数列，且，设公比为，则.∴当，即，与矛盾．因此，不成立. 当，即，与矛盾．因此，不成立.，即数列是常数列，于是，(). . ，数列也是等比数列，设公比为，有.可化为由，得.把，代入解得. ．【点睛】本题新定义题型，考查的知识是数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．12．【上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模】已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =， 1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥， *n N ∈，λ， R μ∈.（1）若0λ=， 4μ=， 12n n n b a a +=-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和；（2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】(1) 122n +- (2)见解析【解析】试题分析： ()1根据已知条件得到14n n S a +=，两式相减得1144n n n n S S a a +--=-，得到12n n b b -=求得2a 的值，进而得到12122b a a =-=，即可得到数列{}n b 为以2为首项， 2为公比的等比数列，然后求得数列{}n b 的前n 项和；()2将23a =，且32λμ+=代入，解得12λ=， 1μ=，猜想1n a n =+，用数学归纳法证明 解析：（1）14n n S a -=，所以14n n S a +=.两式相减得1144n n n n S S a a +--=-. 即1144n n n a a a +-=-所以()11222n n n n a a a a +--=-，即12n n b b -=，又2148S a ==，所以2216a S a =-=，得12122b a a =-=则当1n k =+时， ()112222121212k k k k k a a a k k k k k +---⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ， 1n a n =+. 所以11n n a a +-=为常数，所以数列{}n a 是等差数列.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
等差数列与等比数列高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★☆☆☆记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【参考答案】C【解题必备】1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列{}n a 的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：,2,,,,2,a d a d a a d a d --++；当等差数列{}n a 的项数为偶数时，可设中间两项分别为,a d a d -+，再以公差为2d 向两边分别设项：,3,,,3,a d a d a d a d --++.2．递推关系式构造等差数列的常见类型：学+（1）转化为211()(n n n a a a +++--)n a -=常数，则{}1n n a a +-是等差数列； （2）转化为111n n a c a c +-=++常数，则1{}n a c+（c 可以为0）是等差数列；（31n n a a +=常数，则{}n a 是等差数列；（4）转化为221n n a a +-=常数，则2{}n a 是等差数列；（5）转化为111nnS c S c+-=++常数，则1{}nS c+（c可以为0）是等差数列．1．已知公差不为零的等差数列{}n a中，有2258220a a a-+=，数列{}n b是等比数列，55b a=，则37b b=A．16 B．8C．4 D．22．若等差数列{}n a和等比数列{}n b满足111a b==-，448a b==，则22ab为A．1B．1-C．2D．2-3．各项为正的等比数列{}n a中，4a与14a的等比中项为22，则27211log loga a+的值为A．4 B．3C．2 D．11．【答案】A【解析】在等差数列中，()282852224a a a a a+=+=，由2258220a a a-+=得2554a a=，所以54a=或5a=，因为等比数列{}n b中，55b a=，所以54b=，又因为237516b b b==，故选A.3．【答案】B【解析】由等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，得4148a a =， 又27211271124142log log log ()log ()log 83a a a a a a +====，故选B ．。
2018年一模汇编——数列专题一、知识梳理【知识点1】等差、等比数列的相关公式的应用通项n a前n 项和n S等差()11n a a n d =+- 1n a dn a d =+-()12n n n a a S +=；2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 等比()110n n a a q q -=≠⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n【例1】设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{n S }都是等差数列，且公差相等，则=+d a 1 ． 【答案】43. 【解析】由于等差数列的前n 项和是n S 是关于n 一元二次表达式，且等差数列都是关于n 的一元一次表达式，那么n S 也是关于n 的一元一次表达式，所以n S 必然是个完全平方式。
根据以上分析，我们可以得到等式()111100241022d a a a d d d d ⎧⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或舍，所以134a d +=. 【点评】对于等差、等比数列来说，只需要求出首项1a 与公差d 或者公比q 就可以直接根据公式求出通项n a 和前n 项和n S .【例2】公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,65n a a ==，则n d +的最小值等于 ． 【答案】17.【解析】()()111165n a a n d n d =+-=+-=，所以()164n d -=，由基本不等式22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知，()2112n d n d -+⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即182n d -+≥，所以17n d +≥. 【点评】等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差或公比，当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决..【知识点2】等差、等比数列的证明定义法等差、等比中项通项与求和的性质等差1n n a a --为定值 112n n n a a a +-+=n a 为一元一次 n S 为没有常数的一元二次 等比 1nn a a -为定值 211n n na a a +-⋅= n a 为指数函数类似形式【例1】数列}{n a 满足：)(22,111N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：数列}1{na 是等差数列； （2）求}{n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）12+=n a n . 【解析】注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而nn n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 【点评】对于数列的证明题，尤其是证明一个新的数列为等差或者等比，一般采用定义法，偶尔采用等差中项或者等比中项.【知识点3】等差、等比数列的基本性质以及两者间的类比推理等差数列等比数列性质一：),,,(N q p n m q p n m ∈+=+ q p n m a a a a +=+ q p n m a a a a ⋅=⋅ 性质二：每n 项捆绑（等差为前n 项和，等比为前n 项积）n S 、2n n S S -、32n n S S -成等差n T 、2n n T T 、32nnT T 成等比 性质三：等差（比）前n 项和n S （积n T ）的最值1100()00n n n n a a a a ++≥≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩ )11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a【例1】设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos2sin()a a a a a a a --=+，42k a π≠，k Z ∈且公差(1,0)d ∈-，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 错误！未找到引用源。
专题复习十一： 等差数列与等比数列一一、填空题1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1156,0a a a =+=，则6S =2、在等差数列{}n a 中，已知499,6,63n a a S ==-=，则n =3、已知等差数列{}n a 前n 项和23n S n p =+，则p =4、设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=5、实数,,a b c满足b =b 为,a c 等比中项的 条件6、某纯净水制造厂在精华水过程中，每增加一次过滤可减少说中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为7、若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大8、等差数列{}n a 中，10110,0a a <>且1110a a <，使前n 项和0n S >的最小正整数n =9、设(){}{}1220151220152,51,,,...,,,...,n n n a b n n N S a a a b b b *==-∈=⋂，则集合S 中元素的个数为10、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若223n n S n T n +=+，则77a b 的值为 11、设三个数248log 3,log 3,log 3a a a +++成等比数列，则其公比为12、在正项等比数列{}n a 中，5671,32a a a =+=，则满足1212...n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为二。
选择题13、123,,a a a 成等差数列，234,,a a a 成等比数列，345,,a a a 的倒数成等差数列，则135,,a a a （ ）A. 成等差数列B. 成等比数列C. 倒数成等比数列D. 以上都不对14、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若246a a a ++的值是一个确定的常数，则数列中也为常数的项是（ ）A. 7SB. 8SC. 13SD. 15S15、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和和前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A. 2X Z Y +=B. ()()Y Y X Z Z X -=-C. 2Y XZ =D. ()()Y Y X X Z X -=-16、设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56678,S S S S S <->，则下列结论错误的是（ ）A. 0d <B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值三、解答题17、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T18、等差数列{}n a 中，公差0d ≠，由{}n a 中的部分项组成的数列{}n k a 为等比数列，其中1231,5,17k k k ===，求12...n k k k +++的值19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1323n n a S ++=（n 为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12......n S a a a =++++，若对任意n N *∈，n kS S ≤恒成立，求实数k 的最大值20、设等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S（1）若11140,98a S ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若111146,0,77a a S ≥>≤，求所有可能的数列{}n a 的通项公式21、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比都是r （0,1r ≠且r R ∈）且11441010,,a b a b a b ===（1）求1a 与r ，并分别写出这两个数列的通项公式；（2）试写出两数列所有的公共项（用{}n b 中的项来表示）(()202111273042561478821931037112112213161215217940641831219(1)3(2)3201212,132121n n n n n n n n n n n ~BCDCn n T n n n n a a a n a na nb -+-⎧-≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩--==-=-=-=-答案：、-9、、、、既不充分又非必要、、、、、、、、、、、、（）=22-2n ；（）、(1)。
专题能力训练9 等差数列与等比数列(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在等比数列{a n}中,若a12=4,a18=8,则a36为()A.32B.64C.128D.2562.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2a n-4(n∈N*),则a n=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-23.(2018届甘肃兰州一中高三8月月考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第2天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里4.在正项等比数列{a n}中,a1 008·a1 009=,则lg a1+lg a2+…+lg a2 016=()A.2 015B.2 016C.-2 015D.-2 0165.已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为S n,且满足2a n+1+S n=2,则满足的n的最大值是()A.8B.9C.10D.116.若数列{a n}满足a1=2,a2=1,并且(n≥2),则数列{a n}的第100项为()A. B. C. D.7.已知数列{a n}是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l≤S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016=()A.3·21 008-3B.22 016-1C.22 009-3D.22 008-3二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=5,a5=3,则a n=,S7=.10.(2017浙江台州4月调研)已知数列{a n}的前m(m≥4)项是公差为2的等差数列,从第m-1项起,a m-1,a m,a n+1,…成公比为2的等比数列.若a1=-2,则m=,{a n}的前6项和S6=.11.在数列{a n}中,a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a4=,数列{a n}的前2 016项和为.12.已知等差数列{a n}满足:a4>0,a5<0,则满足>2的n的集合是.13.等比数列{a n}的前n项和为S n,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有a n+2+a n+1-2a n=0,则S5=.14.已知a,b,c是递减的等差数列,若将其中两个数的位置互换,得到一个等比数列,则=.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(1)求证:数列是等比数列;(2)设S n是数列{a n}的前n项和,求满足S n>0的所有正整数n.16.(本小题满分15分)在数列{a n}中,a1=1,2a n a n+1+a n+1-a n=0(n∈N*).(1)求证:数列为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)若ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练9等差数列与等比数列1.B解析由等比数列的性质可知:a12,a18,a24,a30,a36构成等比数列,且=2.故a36=4×24=64.2.A解析由S n=2a n-4可得S n-1=2a n-1-4(n≥2),两式相减可得a n=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).又a1=2a1-4,a1=4,所以数列{a n}是以4为首项,2为公比的等比数列,则a n=4×2n-1=2n+1.故选A.3.B解析由题意可知,此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,∵S6==378,∴a1=192,a2=192×=96,∴第二天走了96里.4.D解析 lg a1+lg a2+…+lg a2 016=lg a1a2…a2 016=lg(a1 008·a1 009)1 008=lg=lg(10-2)1 008=-2 016.故选D.5.B解析当n=1时,2a2+S1=2,得a2=.当n≥2时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n.再考虑到a2=a1,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·.因此原不等式可化为,化简得,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值为9,选B.6.D解析条件(n≥2),即,所以数列是等差数列.故+99×+99×=50,a100=.7.A解析可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,故A正确,同理可以验证B,C,D选项均不正确.8.A解析∵数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),∴a2·a1=2,即a2=2.当n≥2时,=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2.则S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)==3·21 008-3.9.8-n28解析设等差数列{a n}的公差为d,则2d=a5-a3=-2,d=-1,所以a1=a3-2d=7,a n=a1+(n-1)d=7+(n-1)×(-1)=8-n,S7=7a1+d=7×7+21×(-1)=28.10.428解析a m-1=a1+(m-2)d=2m-6,a m=2m-4,而=2,解得m=4,所以数列{a n}的前6项依次为-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.11.-20解析∵a1=2,a2=10,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),∴a3=a2-a1=10-2=8,同理可得a4=8-10=-2,a5=-10,a6=-8,a7=2,a8=10,….∴a n+6=a n.则a4=-2,数列{a n}的前2 016项和=(a1+a2+…+a6)×336=(2+10+8-2-10-8)=0.12.{5}解析已知等差数列{a n}满足a4>0,a5<0,则d<0,前4项为正数,从第5项开始为负数,由>2得>0,即>0,∴<0,∴a1+(n-2)d>0,a1+(n-1)d<0,∴解得n=5.故答案为{5}.13.11解析设等比数列{a n}的公比为q,则a n+2+a n+1-2a n=a1·q n+1+a1·q n-2a1·q n-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.故S5==11.14.20解析依题意得①或②或③由①得a=b=c,这与a,b,c是递减的等差数列矛盾;由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.15.(1)证明=,所以数列是以a2-=-为首项,为公比的等比数列.(2)解由(1)得a2n-=-=-,则a2n=-,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=--6n+,所以a2n-1+a2n=--6n+9=-2×-6n+9,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2-6(1+2+3+…+n)+9n=-2×-6×+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.显然,当n∈N*时,数列{S2n}单调递减;当n=1时,S2=>0,当n=2时,S4=-<0,则当n≥2时,S2n<0,S2n-1=S2n-a2n=-3n2+6n.同理可得仅当n=1时,S2n-1>0.综上,可得满足条件S n>0的n的值为1和2.16.(1)证明∵2a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2),∴=2(n≥2).又=1,∴数列是首项为1,公差为2的等差数列.∴=1+2(n-1)=2n-1,即a n=.(2)解∵ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,即t+1≥0恒成立.∴t≤对任意n≥2的整数恒成立.设c n=(n≥2),则=1+>1,∴当n≥2时,数列{c n}为递增数列,∴c n≥c2=.∴t的取值范围为.。
