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数学高考复习名师精品教案第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn m Am Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项.解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶，∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}na 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n Sn a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4na n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++---- 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232n n a +=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3nn a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A BB=∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n nS n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
等差、等比数列“下标和”性质的运用定理：等差数列{a n }中，m+n=i+j ，则a m +a n =a i +a j ，等比数列{a n }中，m+n=i+j ，则a m ·a n =a i ·a j （m 、n 、i 、j ∈+N ）。
证明：若{a n }是等差数列，a m +a n =2a 1+(m+n -2)d, a i +a j =2a 1+(i+j -2)d ,∵m+n=i+j ,∴(m+n -2)d=(i+j -2)d,即a m +a n = a i +a j (其中d 为公差)若{a n }是等比数列，a m ·a n =a 12q m+n-2, a i ·a j = a 12q i+j-2, ∵ m+n=i+j ∴q m+n-2= q m+n-2 即a m ·a n =a i ·a j (其中q 为公比)。
这一性质可表述为：等差数列的下标和相等则相应的项的和相等，等比数列的下标和相等则相应的项的积相等；但必须注意：两项和（积）只能等于两项和（积），三项和只能等于三项和……。
等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。
例1．在等差数列{}n a 中，972a a a ++为常数，则其前（ ）项和也为常数（A ）6 （B ）7 （C ）11 （D ）12解析：等差数列{}n a 的前k 项和为常数即k a a +1为常数，而972a a a ++=36a 为常数， ∴26a =111a a + 为常数，即前11项和为常数，选C 。
注意：千万不要以为972a a a ++= 18a =171a a +，那就大错特错了！等差数列中“n 项和”与“两项和（转化为a 1+a n ）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n 项和”联系起来。
例2．等比数列{n a }中，a 4+a 6=3，则a 5（a 3+2a 5+a 7）=解析：a 5（a 3+2a 5+a 7）=a 5a 3+2a 52+a 5a 7=a 42+2a 4a 6+a 62=(a 4+a 6)2=9例3．在正项的等差数列{n a }和正项的等比数列{n b }中，有11b a =，1212--=k k b a ，试比较k a 与k b 的大小。
等差数列和等比数列的概念关系等差数列和等比数列是初中数学中非常基础的概念，但是它们在高中数学和大学数学中也有着非常重要的地位。
这两种数列之间有着一定的联系和关系，本文将从定义、性质和应用等方面探讨等差数列和等比数列的概念关系。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指一个数列中相邻两项之差相等的数列，这个公差常用字母d表示。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等差数列有许多重要的性质。
首先，等差数列的前n项和Sn可以用下面的公式表示：Sn=n(a1+an)/2。
其次，对于等差数列中的任意一项ai，它的前后两项之和等于首项和末项之和，即ai+ai+1=a1+an。
最后，等差数列的任意三项构成的差分数列仍是等差数列。
二、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中相邻两项之比相等的数列，这个公比常用字母q表示。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式是an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
等比数列同样也有许多重要的性质。
首先，等比数列的前n项和Sn可以用下面的公式表示：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
其次，对于等比数列中的任意一项ai，它的前后两项之比等于首项和末项之比，即ai/ai+1=a1/an。
最后，等比数列的任意三项构成的比分数列仍是等比数列。
三、等差数列和等比数列的关系等差数列和等比数列之间有着一定的联系和关系。
首先，等差数列和等比数列都是数列的特殊形式，它们是数列的两种常见形式。
其次，等差数列和等比数列都有着通项公式和前n项和公式，这些公式都可以用来计算数列中的任意一项或前n项和。
最后，等差数列和等比数列都有着一些重要的应用，例如在数学、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
另外，等差数列和等比数列之间还有一些有趣的关系。
代数中的等差数列与等比数列代数中的等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）和等比数列（Geometric Progression，简称GP）是数学中常见的两种数列。
它们在数学和实际应用中都起着重要的作用。
本文将对这两种数列进行介绍和比较，并讨论它们在不同领域中的应用。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之差都相等的数列。
用公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
在这个数列中，相邻两项之差始终为2。
等差数列具有以下特点：1. 公差确定性：等差数列的公差确定了数列中任意两项之间的差值。
2. 递推性：通过知道首项和公差，可以逐步计算其他项。
3. 对称性：等差数列关于中间项对称，即an = a(n+1-m)，其中m为正整数。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
等差数列在代数中的应用非常广泛，例如：1. 数学问题中：常用于求和、求未知项和求平均数等计算。
2. 经济学中：用于描述投资收益率中的等差增长。
3. 物理学中：常用于描述匀速直线运动的位移变化。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之比都相等的数列。
用公式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r 表示公比。
例如，2，6，18，54，162就是一个等比数列，公比为3。
在这个数列中，任意两项之比始终为3。
等比数列具有以下特点：1. 公比确定性：等比数列的公比确定了数列中任意两项之比值。
2. 递推性：通过知道首项和公比，可以逐步计算其他项。
3. 比率可逆性：等比数列的逆数也是等比数列，即1/an也是等比数列。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可表示为Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
等比数列在代数中的应用也非常广泛，例如：1. 数学问题中：常用于求和、求未知项和求平均数等计算。
2022高考数学满分讲义：第三章 数列第1讲 等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 答案 A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二 等差数列、等比数列的性质 核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， 可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法 等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2， 解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)， 故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三 等差数列、等比数列的探索与证明 核心提炼等差数列 等比数列 定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代， 累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2， 又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析 由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ； 外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析 由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误． 三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________． 答案 4解析 由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析 设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次． 答案 16解析 因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________． 答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值． 解 由T n ＝2b n －1，n ∈N *得， 当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1， 从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)， 当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
等差数列与等比数列及其应用数列是数学中非常重要的概念之一，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种最常见的形式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的定义、性质及其在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列，顾名思义，就是数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差d确定了等差数列的增量，若d>0，则为递增数列，d<0，则为递减数列。
2. 等差数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 + d来得到。
3. 等差数列的前n项和（部分和）Sn可以通过公式Sn = n/2 * (a1 + an)来计算。
二、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的运用，下面举几个常见的例子：1. 借贷利息计算在借贷利息计算中，每期支付的利息就是一个等差数列。
利率可以看做是首项，每期还款的本金不变，因此每期的利息之间的差值相等，满足等差数列的性质。
2. 时间和距离计算当物体以恒定速度运动时，它所经过的距离就构成一个等差数列。
速度可以看作是首项，时间的增量相等，满足等差数列的性质。
3. 数学题与排列问题等差数列在解决一些排列问题时非常有用。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些关于“前n项和”的问题，通过将问题转化为等差数列的形式，可以更方便地解决问题。
三、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列可以用以下公式表示：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比r确定了等比数列的增长规律，若r>1，则为递增数列，0<r<1，则为递减数列。
2. 等比数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 * r来得到。
6.4 等差数列、等比数列的应用考点梳理--重双基考点一 等差数列、等比数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等比数列的通项公式：11-=n n q a a .考点二 等差数列、等比数列的前n 项和公式 3.等差数列的前n 项和公式 求和公式1：()21n n a a n S +=（已知1n n a a 、、求n S ）；求和公式2：()d n n na S n 211-+=（已知1n a d 、、求n S ）. 4.等比数列的前n 项和公式 （1）当1q ≠时，求和公式1：()qq a S n n --=111 （已知n q a ,,1求n S ）；求和公式2：qqa a S n n --=11（已知n a q a ,,1求n S ）.（2）当1q =时，1na S n =.自我检测1.如图所示，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…，则这个数列的第9项是（ ）A.53B.54C.55D.561.C 【解析】数列第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55.2.某工厂去年12月份产值为a ，若月平均增长率为p ，则今年12月份产量为（ ） A.ap B.()p a +1 C.()111p a + D.()121p a +2.D3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有 个座位.3.1020【解析】第一排座位数：702(201)32-⨯-=（个），一共有座位：(3270)2021020+⨯÷=（个）．4．某省今年高考高校招生人数为a 万人，计划以后每年扩招%10，五年后该省的高校招生人数为 万人．（结果用指数幂表示） 4．51.1a5.点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？5.【解析】每天看的页数组成等差数列{}n a ，公差4=d ，首项301=a ，末项70=n a ， 则由()d n a a n 11-+=，得()704130=⨯-+n ，解得11=n .所以这本书的总页数()550270301111=+⨯=S (页）.6.小王和小高同时在某个单位实习，小王第一个月得到1500元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到1200元工资，以后每月多得45元.两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？6.【解析】设小王12~1月工资构成数列{}n a ，由题意可知60,15001==d a ，设小高12~1月工资构成数列{}n b ，由题意可知45',12001==d b .利用等差数列求和公式可得，工作一年后，小王的工资总数为21960606615001221112121=⨯+⨯=⨯⨯+d a ；小高的工资总数为173704566120012'21112121=⨯+⨯=⨯⨯+d b .所以一年后两人所得工资总数相差45901737021960=-元.考法拓展--重能力考法一 等差数列的应用◇◆难点释疑1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； 3.一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，最后利用等差数列的性质解答.◇◆典型例题【例题1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根？总共有多少根？【考查目标】 考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，并能用等差数列相关性质解题. 【解题指南】将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项51=a ，公差1=d ，项数是28=n ．由题意得，最下面一层即()321275128128=⨯+=⨯-+=d a a （根），圆木总数为d a S ⨯⨯+=2272828128 51812714528=⨯⨯+⨯=（根）. 答：最下面一层有32根，总共有518根. ◇◆反思提炼解决此类问题，首先要能根据题目所给条件将实际问题转化为等差数列模型，然后分清首项与公差，最后利用等差数列的通项公式与求和公式解之.◇◆变式训练1一个大剧院，座位排列成的形状是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……，最后一排有210个座位，那么剧院中间一排有多少个座位？这个剧院一共有多少个座位?◇◆变式训练1如果我们把每排的座位数依次记下来，10，12，14，16，… 容易知道构成的是一个首项为10，公差为2的等差数列．则()2110210⨯-+=n ，解得101=n ，即这个大剧院共有101排座位.中间一排就是第()5121101=÷+排，那么中间一排有：105112110+-⨯=（）（个）座位．根据等差数列的求和公式，这个剧场座位一共有：()11110221010101101=+⨯=S （个）．【例题2】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？【考查目标】 建立正确的数列模型，分清题目涉及的已知数、未知数，根据模型依次列出数列的一些项，找出规律，求出通项公式或前n 项和公式，进而求解.【解题指南】（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为2017年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2017年沙化土地为200亩.同理2018年沙化土地为200亩，所以每年沙化的土地面积为200亩. （2）设2018年及其以后各年的造林亩数分别为Λ,,,321a a a ，则()140040040011800+=⨯-+=n n a n . n 年造林面积总和为()400211400⨯-+=n n n S n .由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.由题意：24000200≥-n S n ，化简得012072≥-+n n ，解得8≥n .故到2025年可绿化完全部沙地.◇◆反思提炼首先要判断和证明数列是等差数列，其次一定要弄清数列的首项和公差等基本量，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.◇◆变式训练2用分期付款的方式购置一中型商场一套，价格为1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为%1.若付150万元后的第一个月开始算分期付款，在分期付款的第10个月应交付多少钱？全部贷款付清后，买这套商场实际花了多少钱？◇◆变式训练2首付150万元，则欠款1000万元，依题意需分20次分清，则每次的还款数额顺次构成一数列，记作{}n a .15010000.0160a =+⨯=（万元） 250(100050)0.0159.5a =+-⨯=（万元） 350(1000502)0.0159a =+-⨯⨯=（万元）……50(100050(1))0.0160(1)0.5n a n n =+-⨯-⨯=--⨯（万元），所以{}n a 是以及60为首项，－0.5为公差的等差数列.106090.555.5a =-⨯=（万元）.20次分期付款总和2020[60(60190.5)]11052S +-⨯==（万元）， 所以，实际付款共为11051501255+=（万元）.答：第10个月付款55.5万元，买这套商场实际花了1255万元.考法二 等比数列的应用◇◆难点释疑1.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ；2.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1()1(11)1(111q na q qq a a q q a S n n n . 3.一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，最后利用等比数列的性质解答.◇◆典型例题【例题3】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍.求： （1）第5天植树多少棵？（2）连续植树6天，能否完成计划？【考查目标】 本题着重考查等比数列的建模能力，并要求熟练使用等比数列的通项公式和求和公式解题.【解题指南】设每天植树的棵数构成的数列为{}n a ，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2.（1）第5天植树棵数为32224415=⨯==q a a （棵）.（2）连续植树6天，则植树总棵数为()()12621212116616=--⨯=--=q q a S （棵），因为100126>，所以连续植树6天，能完成计划. ◇◆反思提炼由题目所给条件构建等比数列模型，分清是求某项还是求和，再利用等比数列相关知识解决.◇◆变式训练3某种细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（1个细胞分裂成2个），经过4个小时后，这种细胞由1个繁殖成多少个？◇◆变式训练3经过4个小时，细胞分裂8次.第1次分裂，1个繁殖成12个，第2次分裂，繁殖成22个，以此类推，第8次分裂，这种细胞由1个繁殖成25628=个.【例题4】某人年初用26万元购买一套农村住房，付现金16万元，按合同欠款分6年付清，年利息为%10，每年以复利计算利息，问每年年底应还款多少万元？【考查目标】在现实生活中，细胞分裂、国民经济增长、核裂变、住房贷款中的等额本息还款、复利计息、植树造林面积等比增长等问题都可建立等比数列模型，运用等比数列知识进行解决.【解题指南】设每年年底应还款x 万元，以最后一次还款日为利息计算的截止时间，则还款6次的本息和依时间先后依次为：5510) 1.1(1x x =+%万元，41.1x 万元，31.1x 万元，21.1x 万元，1.1x 万元，x 万元，还款本息和总和为54321.1 1.1 1.1 1.1 1.1x x x x x x +++++（万元）；贷款10万元，6年后的本息和为6610(11010 1.1+=⨯%)万元.根据题意得543261.1 1.1 1.1 1.1 1.110 1.1x x x x x x +++++=⨯，则 2.3008x ≈.答：每年年底应还款2.3008万元.◇◆反思提炼解有关数列应用问题时，除按照一般应用问题所遵循的步骤外，还应特别注意以下几点： （1）把问题转化为数列问题，应分清是等差数列还是等比数列，公差或公比是什么. （2）应分清是求n a ，还是求n S .（3）还应确定1a ，当确定1a 后，特别要注意n 是多少，q （或d ）是多少.◇◆变式训练4某家庭计划在2025年初购一套50万元的小型住房. 为此，计划于2020年初开始每年年初存入一笔购房专用款，使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币，如果年初的存款额相同，年利息按%4的复利计. 那么每年至少需存入银行多少万元人民币？（精确到0.01，参考数据265.104.16≈）.◇◆变式训练4由于2020年至2025年，该家庭每年存入x 万元，至2025年初的本利和分别为5%)41(+x ，4%)41(+x ，3%)41(+x ，2%)41(+x ，%)41(+x ，x 组成一个等比数列，2025年初连本带息共有n S 万元.令x a =1，则04.1%41=+=q ，把所给条件代入公式qq a S n n --=1)1(1 ，得()5004.1104.116≥--x ， 解得x ≥55.7. 答：每年至少需存入银行55.7万元人民币，才能使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币.考题精选--重实战1.一个三角形的三个内角既成等差数列，又成等比数列，则公差等于（ ） A.0° B.15° C.30° D.60° 1.A2.某林场计划第一年造林a 公顷，以后每年比上一年多造林%20，那么第5年造林的公顷数是（ ）A.5%)201(+a B.4%)201(+a C.3%)201(+a D.2%)201(+a 2.B3.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,成等差数列，则=B （ ） A.ο30 B.ο60 C.ο90 D.无法确定 3.B 【解析】B C A B -=+=ο1802，所以=B ο60.4.幼儿园304个小朋友围成若干个圈(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差的人数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.D 【解析】这一等差数列的和是304，首项24，末项52，代入公式()21n n a a n S +=，得()30425224=+n ，解得8=n .再由公式()d n a a n 11-+=，得()521824=⨯-+d ，解得4=d ．5.某产品平均每月降低价格的14，目前售价为640元，则三个月后售价为（ ） A.100元 B.240元 C.270元 D.360元5.C 【解析】一个月后售价为⎪⎭⎫ ⎝⎛-411640，两个月后售价为2411640⎪⎭⎫⎝⎛-，三个月后售价为2704116403=⎪⎭⎫⎝⎛-.6.在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是 . 6.16507.在1-和7之间插入三个数，使它们顺次形成等差数列，则这三个数是 . 7.1，3，58.如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有 个．8.66【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L 排列，所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个)．9.某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2020年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2020年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2020年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？9.【解析】根据题意，该市从2020年起，每年在“校校通”工程上投入的经费组成一个等差数列{}n a ，其中1500a =，50d =，那么，到2030年（10n =），投入的资金总额为1010(101)105005072502S ⨯-=⨯+⨯=（万元）. 答：从2020～2030年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.10.西部某地区计划第一年植树造林2000公顷，以后每一年比前一年多造林%10，问： （1）该地区第3年造林多少公顷？ （2）到第4年底该地区共造林多少公顷？10.【解析】由题意知，每年植树造林的公顷数组成等比数列，记为{}n a .12000a =， 1.1q =，则12000 1.1n n a -=⨯，2000(1 1.1)1 1.1n n S -=-.（1）3132000 1.12420a -=⨯=.（2）4442000(1 1.1)20000(1.11)92821 1.1S -==⨯-=-. 答：该地区第3年造林2420公顷，到第4年底该地区共造林9282公顷.。
