当前位置：文档之家 › 6.4-子群及其陪集

6.4-子群及其陪集

  • 格式：ppt
  • 大小：460.50 KB
  • 文档页数：66

下载文档原格式

  / 66

合集下载

子群的陪集教案

子群的陪集教案

h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1


H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab

1 1

ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到

子群的陪集

子群的陪集
第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.

《子群的陪集》课件

《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。

子群的陪集

子群的陪集
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为

子群的左右陪集例题

子群的左右陪集例题

子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。

本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。

首先，我们需要了解子群的定义与性质。

子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。

子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。

左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。

右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。

左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。

假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。

我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。

通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。

最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。

子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。

此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。

2：置换群和子群及其陪集

2：置换群和子群及其陪集

1 2 3 4 5 6 例6.3.3 σ = 3 2 4 1 5 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.3.3 M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）说是不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
1
3
2
4
在该表示法中，我们从a向b引一箭头，就表示在 该置换下，a变到b。
总之，一个n元置换σ有一图形表达式 Gσ =α1z1 +α2z2 + … +αrzr 其中α1+2α2+…+rαr = n称为该置换的图型； 反之，给一个图型，即如上的图形表达式，就 相应有一个n元置换σ。因为n元置换最多只能出 现１个最长的圈zn，也最多只能出现n个最短的 圈z1，所以对于上列的图形表达式Gσ，总可写成
6.3.1 置换的定义
定义6.3.1 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。

子群及其陪集

使用同样办法可以证明下面练习：
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
精品PPT
6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
精品PPT
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
精品PPT
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
精品PPT
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，

子群的左右陪集例题

子群的左右陪集例题子群的左右陪集是群论中的重要概念。

让我们首先回顾一下子群的定义。

设G是一个群，H是G的一个非空子集。

如果H对于G的乘法运算构成一个群，那么H被称为G的子群。

现在，让我们来看一个例题，设G是一个群，H是G的一个子群。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集的例子。

首先，我们来定义左陪集和右陪集。

对于群G的子群H和g∈G，gH={gh | h∈H} 是g的左陪集。

同样地，Hg={hg | h∈H} 是g的右陪集。

假设我们有一个群G = {1, -1, i, -i}，其中乘法运算是复数的乘法。

现在，让我们考虑它的子群H = {1, -1}。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集。

首先，我们来计算左陪集：1. 对于元素1∈G，1H={11, 1-1}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，iH={i1, i-1}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的左陪集。

接下来，我们来计算右陪集：1. 对于元素1∈G，H1={11, -11}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，Hi={1i, -1i}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的右陪集。

通过这个例题，我们可以看到子群的左右陪集是如何在群G中分别作用的。

左陪集和右陪集的元素个数都等于子群H的阶（元素个数）。

这些陪集在群论中有着重要的应用，例如证明拉格朗日定理等。

希望这个例题能帮助你更好地理解子群的左右陪集的概念和性质。

如果你对群论中的其他概念有疑问，也欢迎随时向我提问。

第12讲 第2章第9节 子群的陪集


推论1 有限群子群的阶整除群的阶.
推论2 有限群 G 的任一元素的阶都能 整除群的阶数.
推论3 设群 G 的阶数是n, 则对任意的
aG , an e .
H {(1), (12)}
H 在 G 中的全部不同的右陪集有:
H(1) {(1), (12)} H(12) H(13) {(13),(123)} H (123) H(23) {(23),(132)} H (132)
H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H
上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。
G (1)H (13)H (23)H H(1) H(13) H(23)
是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代表 系吗？即 若 G H a1H a2H ai H 则 G H Ha1 Ha2 Hai
G H (13)H (132)H
G H H (13) H (132)
上述猜测是不对的，引发下面两个问题
1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集 代表系；
2）如何由一个给定的左陪集代表系得到 一个对应的右陪集代表系。
定理1 设 H G，H 的左陪集的个数与右陪集
的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。
证明 a G ,
命题1：对任意群G, H G. a, b G,规定 a ~ b ab1 H
则 是G上一种等价关系. 进而可确定G的一种分类：
a G, a所在类 [a] {ha | h H }=Ha, 称为H的一个右陪集.
证明：首先 ～ 是G上一种等价关系. (1)反身性：a G, aa1 e H ,a ～a (2)对称性：a,b G, a ～b,ab1 H ba1 (ab1)1 H

子群的陪集

证明：
若群 G 的阶是素数，则
G 是循环群。
设 | G | p, p 是素数，则 但 p 的约数只有
a G, a e, a 的阶整除 p ,
1， p, 从而 a 的阶是 p, 所以 | a | p,
又 a G , 所以 G a 。证毕。
(4)
解：
例：确定 S 3的所有子群。
若群 G 的阶是素数，则
5.重点、难点讲解
(1). 计算： G S 3 , H {( 1), (12 )}, H 的所有左（右） 陪集。 解：1) H (12 ) H ( H ), (13 ) H {( 13 ), (132 )}, ( ( 23 ) H {( 23 ), (123 )}, H (1) {( 1), (12 )} H (12 ) H , H (123 ) {( 123 ), (13 )} H (13 ), H ( 23 ) {( 132 ), ( 2 , 3 )}.
4 .1
叫做
[ G : H ]。
Lagrange 定理：设 H G , 如果 | G | N, | H | n, 且 [G : H] j, 那么 N nj.Fra bibliotek4.2
设 G 是有限群， | G | n, 则 a
n
a G, a 的阶整除 G 的阶；若
e. G 是循环群。
4 .3
集的
是无限大，或者都
3.陪集的计算
3 .1 3 .2 G S 3， H { (1), (1, 2 )}, H 的所有左（右）陪集。 一个元 a 所在的左陪集 aH 和右陪集 Ha 不一定相 等，例如 (13 ) H H (13 )。
4.子群在群中的指数
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15
判别条件三
定理6.4.3 设H是群G的一个有限非空子
集，则H是G的子群的充分必要条件是H 对G的运算是封闭的，即若a∈H，b∈H， 则ab∈H 。 提示：充分性证明可用教材201页习题2 得出的结论：若集合非空、有限、运算封 闭、且适合结合律、消去律，则为群。还 可以利用判别条件一证。
16
证明：
必要性显然。 充分性。由判别条件一知，只需证明： 若a∈H，则a-1∈H即可。 任取aH，则由运算封闭性， a,a2,a3,...H。 因为H有限，所以i, j，有 ai=aj，j>i，故 aj-i=1，aaj-i-1=1 a)若j-i>1，则a-1=aj-i-1H。 b)若j-i=1，则a=1，故a-1=aH。 因此，H是G的子群。
5
判别条件一
证明：必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。 现要证(2)。 (错误证法：由H是G的子群知，H是群， 故对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以 b是a的逆，由a的逆的唯一性， 知a-1=b，而b∈H ，故 a-1∈H。)
6
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元， 1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有：1Ha=a，故在G 中也成立。以a-1右乘得： (1H a)a-1=aa-1，即， 1H (aa-1)=1G ，1H1G=1G， 故，1H=1G。
21
结论：群的单位元的周期为1，(1)={1}。 结论：群中任一元素和它的逆元具有同样
的周期。 证明： 若a的周期为无穷大，则显然a-1的周期也为 无穷大。 若a的周期为n，a-1的周期为m， 由(a-1)n=a-1n=(an)-1=1-1=1， 知m≤n(m|n)。 由am=((a-1)m)-1=1-1=1，知n≤m(n|m)。 因此，m=n。
24
由y· y-1=x2，得： x·
x4=(y· y-1)· x· -1) x· (y· y =(y· (y-1· (x· -1) x)· y)· y =(y· 1· y-1) x)· (x· = y· 2· -1 x y = y· x· -1)· -1 由已知： (y· y y = y2· y-2 x· 由y的周期是2知，y2=1，且y-2=1。 因此，x4=1· 1=x。 x· 即，x3=1。因此，3是满足xn=1的n的最 小正整数，即，x的周期是3。
22
周期的例
例：4次对称群中(1 2 3 4)的周期是4，
因为 (1 2 3 4)2=(1 3)(2 4) (1 2 3 4)3=(1 4 3 2) (1 2 3 4)4=I
例：在(C*，· )中，1的周期为1，-1的周期
为2，±i的周期为4。
23
周期的例
例：设(G，· )是群，x,y∈G，
19
§6.4.3 循环群
定义6.4.2 如果群G可以由它的某元素a生
成，即有a∈G，使G=(a)，则G叫做一个 循环群，或巡回群。 上面定理中的(a)称为由a生成的循环子群。
例：整数加法群(Z，+)是由1生成的循环
群。(mZ，+)是由m生成的循环群。 例：设G是4次对称群(本身不是循环群)， 由(1 2)生成的循环子群为{I, (1 2)}。
11
用反证法。
若x· y∈H1，则由x∈H1 及由H1是G的子 群知，x-1∈H1， 故， x-1· y)∈H1，即，y∈H1，与yH1 (x· 矛盾。 若x· y∈H2，则由y∈H2 及由H2是G的子 群知，y-1∈H2， 故， (x· y-1∈H2，即，x∈H2，与xH2 y)· 矛盾。 因此，x· yH1∪H2，而x· y∈G，所以 H1∪H2≠G。
17
应用判别条件三 例：
设G是n次对称群，判断其非空子集是否
是群只需验证运算是否封闭。 试判断下面子集在置换的乘法下是否是群： 1)所有偶置换的集合 2)所有奇置换的集合 3){I, (1 2)} 4来自{I, (12), (13)}
18
§6.4.3 循环群
定理6.4.4 设a是群G的一个元素。于是a
7
判别条件一
由群的定义，对于H中的a，应有b∈H，
使，ab=1H，而1H=1G ，因此， ab=1G， 此式在G中亦成立，以a-1左乘得 b=a-11G=a-1 因而a-1∈H，即(2)成立。 必要性证毕。
8
判别条件一
充分性：设(1),(2),(3)成立。
由(3)，H非空。 由(1)，H内运算封闭. 在G中成立的结合律在子集H中自然成立。 往证H中有单位元1G。任取a∈H，由(2)， a-1∈H，由(1)，aa-1∈H，即1G∈H；1G在G中 适合1Ga=a，故在H中亦有此性质，1G也是H的 单位元。 往证H中任意元素a有逆。因由(2)，a-1∈H，但 是G中，a-1a=1G，此式在H中亦应成立，故a-1 是a在H中之逆。 综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。
9
判别条件一
子群H与大群G的关系：
H的单位元就是G的单位元， H中任一元素a在H中的逆元也就是a在G 中的逆元。
10
应用判别条件一 例：
设(H1，· )，(H2，· )是群(G，· )的两个互不
包含的子群，证明：H1∪H2≠G。
证明：因H1∪H2 G，故只需证 G中存在
一个元素，它既不属于H1，也不属于H2。 由H1，H2互不包含知，存在x，y，使得 x∈H1，且xH2，y∈H2，且yH1。 往证：x· yH1，且x· yH2。
也可表示为ak的方幂。设
a=(ak)m=akm 由(a)是无限循环群知，km=1。 因此，k=±1。即，a及a-1 为无限循环群 (a)的生成元。
31
2)必要性：
若ak 是(a)的一个生成元，那么(a)中每个 元素都可表示为ak 的方幂。特别地，a也 可表示为ak的方幂。设 a=(ak)m=akm 因(a)是一个n元循环群，即a的周期为n。 由周期的性质知，n|km-1。因此， km-1=qn， mk-qn=1。 这说明k与n互质。
32
充分性。
若k与n互质，则有s和t，使sk+tn=1，故 a1=ask+tn=askatn=(ak)s(an)t=(ak)s。 即a可表为ak的若干次方，因此(a)中每个 元素都可表示为ak的方幂， ak是(a)的一 个生成元。 总之， ak是(a)的生成元 iff (n, k)=1。 但在0≤k<n中，共有(n)个k与n互质，故 共有(n)个元素ak可生成(a)。
且y· y-1=x2，其中x≠1，y的周期是2，试 x· 求x的周期。 解：由已知x≠1，断言x2≠1。 反证：若x2=1，由已知，y· y-1=x2，得 x· y· y-1=1，即，y· y-1)=1。 x· (x· 又由群中任意元素的逆是唯一的得 y-1=x· -1， y 两边同时右乘y，得x=1，与已知矛盾。
27
结论
设a为群G的一个元素，
1)如果a的周期为无穷大，则(a)是无限循环 群，(a)由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成。 2)如果a的周期为n，则(a)为n元循环群， 它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1 组成。
28
加法群中元素的周期
在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集
的所有幂的集合an，n=0,±1,±2,…做成 G的一个子群，记为(a)。此群称为由a生 成的子群。 证明：显然，(a)G。 1)(a)非空，至少a0=1∈(a)。 2)任取(a)中二元素am, an，有 am(an)-1=ama-n=am-n∈(a) 故由判别条件二，(a)做成G的一个子群。 (还可用子群的定义或其他判别条件证明)
注：G的子群H的运算必须与G的运算一样。
比如， (C*，· )不是(C，+)的子群。
2
例：
(mZ，+)是整数加法群(Z，+)的一个子群，
其中m为整数。 (C，+)以(R，+)、(Q，+)、(Z，+)为其真 子群。 (C*，· )以(R*，· )、(Q*，· )为其真子群。 行列式等于1的所有n阶矩阵作成实数域 上所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个真 子群。 n次交代群是n次对称群的一个真子群。
设a∈H，由(*)可推得，a∈H，a∈H，故 aa-1∈H，即1∈H。 若a∈H，又由(*)可推得，1∈H，a∈H， 则1a-1∈H，即a-1∈H，因而(2)成立。 设a∈H, b∈H，因为(2)已证，故b-1∈H。 再由(*)推知，a∈H，b-1∈H，则 a(b-1)-1∈H，即ab∈H，故(1)成立。
29
循环群的生成元素
定理6.4.6
1)无限循环群(a)一共有两个生成元：a及a-1。
2)n元循环群(a)中，ak是(a)的生成元的充要
条件是(n, k)=1。所以(a)一共有(n)个生 成元素。
30
证明：
1)如果ak 是(a)的一个生成元，那么(a)中每
个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a
3
平凡子群
任一群G都有两个明显的子群，称为G
的平凡子群； 1. 由其单位元素组成的子群{1}，称为G的 单位子群； 2. G本身。 其余的子群(如果有的话)称为非平凡子 群。
4
§6.4.2 子群的判别条件
判别条件一
定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子
群的充分必要条件是： 1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； 2) 若a∈H，则a-1∈H； 3) H非空。
20
元素的周期
看由元素a所生成的循环群(a)：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，… (1) 情形1 0 如果(1)中所有元素都彼此不同， 则称a的周期为无穷大或0。此时，对任意 两个不同的整数s与t，as≠at。 情形20 如果(1)中出现重复的元素，即有 整数 s≠t，使as=at。不妨设s>t，于是 s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使am=1。 若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周 期为n。