子群与陪集

8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。

子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。

子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。

本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。

首先，我们需要了解子群的定义与性质。

子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。

子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。

左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。

右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。

左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。

假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。

我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。

通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。

最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。

子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。

此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。

陪集8.2 子群与陪集陪集定义与实例定义8.9设H是G的子群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.例7(1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b}不同的右陪集只有两个，即H和{b,c}.8.2 子群与陪集例7(续)(2) 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中f={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}1f={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}3f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}5令G = {f1, f2, … , f6}，则G 关于函数的复合运算构成群. 考虑G 的子群H={f, f2}. 做出H 的全体右陪集如下：1Hf={f1︒f1, f2︒f1}=H , Hf2={f1︒f2, f2︒f2}=H1Hf={f1︒f3, f2︒f3}={f3, f5}, Hf5={f1︒f5, f2︒f5}={f5, f3}3Hf={f1︒f4, f2︒f4}={f4, f6}, Hf6={f1︒f6, f2︒f6}={f6, f4}4结论：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.定理8.8 8.2 子群与陪集陪集的基本设H是群G的子群，则(1) He = H(2) a∈G有a∈Ha证(1) He = { he | h∈H} = { h | h∈H} = H(2) 任取a∈G，由e∈H，a = ea和ea∈Ha得a∈Ha8.2 子群与陪集定理8.9设H是群G的子群，则∀a,b∈G有a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb证先证a∈Hb⇔ab-1∈Ha∈Hb⇔∃h(h∈H∧a=hb)⇔∃h(h∈H∧ab-1=h) ⇔ab-1∈H再证a∈Hb⇔Ha=Hb.充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性. 由a∈Hb可知存在h∈H使得a =hb，即b =h-1a 任取h1a∈Ha，则有h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb从而得到Ha ⊆Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有h1b = h1(h-1a) = (h1h-1)a∈Ha从而得到Hb⊆Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.8.2 子群与陪集定理8.10设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.证先证明R为G上的等价关系.自反性. 任取a∈G，aa-1= e∈H⇔<a,a>∈R对称性. 任取a,b∈G，则<a,b>∈R⇒ab-1∈H⇒(ab-1)-1∈H⇒ba-1∈H⇒<b,a>∈R传递性. 任取a,b,c∈G，则<a,b>∈R∧<b,c>∈R ⇒ab-1∈H∧bc-1∈H⇒ac-1∈H ⇒<a,c>∈R下面证明：∀a∈G，[a]R= Ha. 任取b∈G，b∈[a]R⇔<a,b>∈R ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb⇔b∈Ha推论设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb 或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G证明：由等价类性质可得.由以上定理和推论可知，H的所有右陪集的集合恰好构成G的一个划分。

子群的左右陪集例题一、子群的定义和性质子群是群的一个重要概念。

给定一个群G和一个子集H，如果子集H中的元素满足封闭性、结合律和单位元、逆元等群性质，那么称子集H是一个子群。

子群内部的元素具有一定的组合规律，我们可以利用子群来研究群的性质和结构。

二、陪集的概念和作用陪集是群论中的一个重要概念。

给定一个群G和一个子集H，对于子集H 中的每一个元素h，我们可以找到一个与h等价的元素g，使得陪集GH={g}。

陪集在研究群结构、子群关系等方面具有重要作用。

三、子群的左右陪集的求解方法子群的左右陪集是指子群G中元素与子群H中元素的对应关系。

求解子群的左右陪集的方法主要有以下几种：1.直接法：对于子群G和子群H，我们可以通过列出G中元素与H中元素的对应关系来求解左右陪集。

2.传输矩阵法：对于子群G和子群H，可以构造一个传输矩阵，通过矩阵的乘法得到左右陪集。

3.拉格朗日插值法：利用拉格朗日插值多项式求解子群的左右陪集。

四、例题解析以下以一个具体的例子来说明如何求解子群的左右陪集：已知群G={1, 2, 3, 4, 5}，子群H={1, 3}。

1.求解G关于H的左陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的左陪集为：LG={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}2.求解G关于H的右陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的右陪集为：RG={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}五、总结与拓展本文介绍了子群的定义和性质、陪集的概念和作用，以及子群的左右陪集的求解方法。

通过具体例题的解析，加深了对子群和陪集的理解。

在实际应用中，子群和陪集的研究有助于揭示群的内在结构，为后续的群论研究打下基础。

群论的概念
群论是数学中的一个重要分支，它主要研究代数结构中的群及其性质。

群是一种代数结构，具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质，它是数学中最基本的代数结构之一，涉及到许多领域，如代数、几何、物理学等。

群论的基本概念包括群、子群、同态、陪集等。

群是由一组元素及其之间的一种二元关系组成的代数结构，它满足封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质。

子群是群的一个子集，也是一个群，同时满足原群的封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

同态是一个保持群之间运算关系的映射，它保持群之间的结构不变。

陪集是指群中一个元素a和它的所有变换aG所组成的集合。

群论在许多领域中都有广泛的应用。

在代数学中，群论是研究各种代数结构的基础，如环、域等。

在几何学中，群论被用于研究对称性和变换群等问题。

在物理学中，群论被广泛应用于研究对称性、粒子物理学、量子力学等问题。

在计算机科学和密码学中，群论被用于设计和分析密码系统。

总之，群论是数学中一个重要的分支，它涉及到许多领域，具有广泛的应用价值。

通过对群论的研究，可以深入理解许多代数结构和自然现象，并且能够为实际问题提供解决思路和方法。

子群的陪集与群的同构定理的几何解释
本文旨在讨论子群的陪集与群的同构定理的几何解释。

群的同构定理指出，一个群的子群存在其他群的子群，可以表示为一个巨大的空间。

因此，本文将介绍子群的陪集在群的同构定理中的几何解释。

首先，需要界定什么是群及其子群，以及它们之间的关系。

群是一种数学实体，由一组可以进行执行操作组成。

这些操作可以是乘法，加法，减法等。

群的子群是指具有特定规则的一组元素。

是一个群的子集，也有自己的操作，需要遵守群中的操作规则，如乘法，加法等。

接下来，将介绍子群的陪集在群的同构定理中的几何解释。

群的同构定理认为，一个群的子群存在另一个群的子群。

这意味着它们之间存在几何上的关系，可以用一个巨大的空间来描述。

这个空间可以用四维坐标来表示，如果把四维坐标投射到３维坐标中，就会出现一个二次曲面，代表着子群的关系。

紧接着，将介绍子群的陪集在群的同构定理中的另一个几何解释。

如果把一个群中的一些特定元素投射到空间中，就会得到一个几何体，这个几何体被称为群的同构体。

同构体可以用来表示一组元素之间的关系，也可以用来表示子群之间的关系。

最后，本文简单介绍了子群的陪集在群的同构定理中的几何解释。

空间中的各种解释，可以更好地帮助我们理解构成群的子群之间的关系，以及它们之间在操作上的相互协调性。

同时，也深入地认识了群的同构定理，在数学上的重要性以及其几何上的应用。

- 1 -。

第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。

⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。

类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。

（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。

(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。

(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。

证明:　(iV)　有b=ah,\, h\in H。

则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V)　⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。

子群的左右陪集例题【原创版】目录1.子群的左右陪集概念介绍2.左右陪集的性质3.左右陪集的求法4.应用实例正文一、子群的左右陪集概念介绍在数学中，子群是指一个群的某个子集，它具有群的一些性质。

在群论研究中，子群的陪集是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析群的结构。

而子群的左右陪集是陪集中的一种，它具有一些独特的性质和应用。

二、左右陪集的性质左右陪集具有以下性质：1.存在性：对于任意子群 H，总存在左右陪集。

2.对称性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是相等的，即左陪集等于右陪集。

3.唯一性：对于任意子群 H，左陪集与右陪集是唯一的。

4.稳定子群：对于任意子群 H 和其左陪集 L，H 与 L 的交集是 H 的稳定子群。

三、左右陪集的求法求子群的左右陪集，通常采用如下方法：1.先求出子群的正规子群。

2.对于正规子群，求出它的极大子群。

3.极大子群与子群的交集即为子群的左陪集。

4.对于子群的任意元素，都可以找到一个元素与其对应，使得它们的乘积属于左陪集。

根据这个性质，可以求出子群的右陪集。

四、应用实例子群的左右陪集在群论中有广泛的应用，下面举一个例子：例：设 G 为四个元素的群，子群 H 为{e, a^2}，其中 e 为单位元，a 为群 G 的生成元。

求子群 H 的左陪集。

解：首先，求出子群 H 的正规子群，即 H 本身。

因为 H={e, a^2}，所以 H 的极大子群也是 H。

然后，求出 H 与 H 的交集，即得到子群 H 的左陪集。

计算可得，左陪集为{e, a^2, a^4, a^6}。

子群对应定理
子群对应定理，又称为拉格朗日定理，是群论中一个重要的结论，它描述了一个有限群的
子群和相应的陪集之间的关系。

该定理由法国数学家拉格朗日于18世纪提出，并且具有广泛
的应用和重要性。

具体来说，子群对应定理描述了有限群G中一个子群H的阶数与G的阶数之间的关系。

根据
该定理，子群H的阶数必须是G的阶数的约数。

换句话说，如果G是一个有限群，并且H是
G的一个子群，那么H的阶数必定能整除G的阶数。

子群对应定理的证明通常使用陪集的概念。

根据群的定义，陪集是群元素和子群元素之间的一
种关系。

具体而言，对于一个子群H和群G的任意元素g，gH表示所有形如gh的元素的集合，其中h是H的元素。

在这样的定义下，G可以被分成若干个不相交的陪集，每个陪集都具有与子群H相同的阶数。

根据子群对应定理，这些陪集的个数就等于G的阶数除以H的阶数。

子群对应定理的一个重要推论是，如果G是一个有限群，那么G的任何子群的阶数都必须是
G的阶数的约数。

这个推论进一步加强了子群对应定理的重要性和应用价值。

子群对应定理在数学中的应用非常广泛。

它不仅在群论中有着重要的地位，还在其他分支的数
学中发挥着重要作用，如代数、几何和组合数学等领域。

这个定理不仅提供了计算群的阶数的
工具，还为研究群的性质和结构提供了重要的线索。

总体而言，子群对应定理是群论中一个基本的结论，在有限群的研究以及其他相关领域中具有
广泛的应用。

它为研究和理解群的性质和结构提供了重要的工具和线索，对于数学的发展起到
了重要的推动作用。

子群的左右陪集例题子群的左右陪集是群论中的重要概念。

让我们首先回顾一下子群的定义。

设G是一个群，H是G的一个非空子集。

如果H对于G的乘法运算构成一个群，那么H被称为G的子群。

现在，让我们来看一个例题，设G是一个群，H是G的一个子群。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集的例子。

首先，我们来定义左陪集和右陪集。

对于群G的子群H和g∈G，gH={gh | h∈H} 是g的左陪集。

同样地，Hg={hg | h∈H} 是g的右陪集。

假设我们有一个群G = {1, -1, i, -i}，其中乘法运算是复数的乘法。

现在，让我们考虑它的子群H = {1, -1}。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集。

首先，我们来计算左陪集：1. 对于元素1∈G，1H={11, 1-1}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，iH={i1, i-1}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的左陪集。

接下来，我们来计算右陪集：1. 对于元素1∈G，H1={11, -11}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，Hi={1i, -1i}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的右陪集。

通过这个例题，我们可以看到子群的左右陪集是如何在群G中分别作用的。

左陪集和右陪集的元素个数都等于子群H的阶（元素个数）。

这些陪集在群论中有着重要的应用，例如证明拉格朗日定理等。

希望这个例题能帮助你更好地理解子群的左右陪集的概念和性质。

如果你对群论中的其他概念有疑问，也欢迎随时向我提问。