陪集

9
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:

第二章 群论
第九节 子群的陪集
主讲人：XXX
Email：XXX@
安阳师范学院·数学与统计学院
第九节 子群的陪集
02
目录
CONTENTS
1 2 3
集合的积 陪集的引入 子群的陪集定义和性质
第九节 子群的陪集
03
1、集合的积 设
G 为群, A, B 是群 G 的两个非空子集, 定义
AB {ab | a A, b B} G
a ~ b a b(mod n) n | a b a b H
第九节 子群的陪集
06
Z n 0 , 1 , 2 ,
, n-1
每个类 [i] 正好是子群 H 乘上这个类中任取定的一个元素,即
[i ] {nh i | h Z } i H i [0]
第九节 子群的陪集
12
由上例可以发现： (1) H 的一个陪集一般不是G 的子群， (2) G 的不同元素可能得到关于 H 的同一个左陪集(或右陪集)， (3) H 的左陪集 aH 一般不等于相应的右陪集 Ha， (4) |aH|=|Ha|.
左陪集有如下性质：
1) a aH 2) a H aH H 3) b aH aH bH
第九节 子群的陪集
16
定理3 (Lagrange) 设 G 是有限群，H 是 G 的子群，则 |G| = |H| ·[G:H] 其中 [G:H] 是 H 在G 中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为 H 在G 中的指数.
证明 设[G:H] = r，且 a1, a2, …, ar 分别是 H 的 r个不同右陪集的代表
08
对任意的群 G，H 是G 的子群，a,bG, 规定

陪集的计算详细过程摘要：1.陪集的定义和作用2.计算陪集的方法3.陪集在实际应用中的案例和价值4.总结正文：在我们的日常生活和工作中，数据分析和处理的重要性日益凸显。

陪集作为一种数据分析的方法，可以帮助我们更好地理解数据的分布和特征。

本文将详细介绍陪集的计算过程，以及其在实际应用中的案例和价值。

一、陪集的定义和作用陪集（Complete Set）是指在有限集合中，与给定子集不相交的元素组成的集合。

简单来说，就是一个集合中除了给定子集的元素之外的所有元素。

陪集在数据分析中的应用十分广泛，如在统计学、概率论、组合数学等领域，都有重要作用。

二、计算陪集的方法计算陪集的主要方法有以下两种：1.排除法：在给定全集U中，若子集A的元素个数为n，则陪集的元素个数为u-n。

我们可以通过排除子集A中的元素，得到陪集。

2.补集法：对于全集U和子集A，补集和陪集的关系为：A的补集+ A = 全集U。

也就是说，我们可以通过求子集A的补集，再与其相加，得到陪集。

三、陪集在实际应用中的案例和价值1.投票系统：在投票系统中，计算候选人所得票数的陪集，可以帮助我们了解其他候选人获得了多少票。

这对于分析选民的意愿和预测选举结果具有重要意义。

2.市场份额分析：在市场竞争中，企业可以通过计算自己产品和竞争对手产品的市场份额陪集，来了解整个市场的大小和潜在发展空间。

3.组合优化：在组合优化问题中，陪集的计算有助于找到最优解。

例如，在旅行商问题（TSP）中，通过计算各城市间的距离陪集，可以优化路径规划，降低旅行成本。

四、总结陪集作为一种数据分析方法，在各个领域都有着广泛的应用。

通过掌握陪集的计算方法，我们可以更好地分析数据，发现潜在规律，为决策提供有力支持。

在实际应用中，陪集的计算结果有助于我们了解整体情况，为解决问题提供有益信息。

子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。

本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。

首先，我们需要了解子群的定义与性质。

子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。

子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。

左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。

右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。

左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。

假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。

我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。

通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。

最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。

子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。

此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。

定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 个等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。
• 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H }
• 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G 的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ， 则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成 H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。
• G的子群H的生成元集是不唯一的。
例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 }
7.4 子群与陪集
定义7.4.1 设( G, ∘)是群，H 是G的一个非空子集， 若H 关于运算 ∘ 构成一个群，则称H是( G, ∘)的一 个子群。
• 任何群( G, ∘)都至少有两个子群：群G本身，以及 只包含单位元的集合{e}。称为群 G的平凡子群。
定理7.4.1 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： （1）若a, b ∈ H, 则 a∘b ∈ H, （2）若a ∈ H, 则 a-1∈ H。 推论7.4.1 若 H是群( G, ∘)的一个子群，则H的单位 元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆 元就是它在G中的逆元。
例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H={(1), (12)} S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123), (132)，它 们的阶分别是1 2 2 2 3 3，都能整除S3的阶。 S3的6子群是{(1)}, {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)}, {(1), (123), (132)}, {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}

子群的左右陪集例题子群的左右陪集是群论中的重要概念。

让我们首先回顾一下子群的定义。

设G是一个群，H是G的一个非空子集。

如果H对于G的乘法运算构成一个群，那么H被称为G的子群。

现在，让我们来看一个例题，设G是一个群，H是G的一个子群。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集的例子。

首先，我们来定义左陪集和右陪集。

对于群G的子群H和g∈G，gH={gh | h∈H} 是g的左陪集。

同样地，Hg={hg | h∈H} 是g的右陪集。

假设我们有一个群G = {1, -1, i, -i}，其中乘法运算是复数的乘法。

现在，让我们考虑它的子群H = {1, -1}。

我们要找出H在G中的左陪集和右陪集。

首先，我们来计算左陪集：1. 对于元素1∈G，1H={11, 1-1}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，iH={i1, i-1}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的左陪集。

接下来，我们来计算右陪集：1. 对于元素1∈G，H1={11, -11}={1, -1}。

2. 对于元素i∈G，Hi={1i, -1i}={i, -i}。

同样地，我们可以计算出其他元素-1和-i的右陪集。

通过这个例题，我们可以看到子群的左右陪集是如何在群G中分别作用的。

左陪集和右陪集的元素个数都等于子群H的阶（元素个数）。

这些陪集在群论中有着重要的应用，例如证明拉格朗日定理等。

希望这个例题能帮助你更好地理解子群的左右陪集的概念和性质。

如果你对群论中的其他概念有疑问，也欢迎随时向我提问。

陪集
8.2 子群与陪集
陪集定义与实例
定义8.9
设H 是G 的子群，a∈G.令 Ha={ha |h∈H}
称Ha是子群H 在G 中的右陪集.称a为Ha的代表元素.
例7 (1) 设G={e,a,b,c}是Klein四元群， H = < a > 是G 的子群.
H 所有的右陪集是： He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b}
论，可知 G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + …+ |Har|
由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r,得 |G| = |H|·r= |H|·[G:H]
8.2 子群与陪集
Lagrange定理推论 推论1 设G 是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e. 证 任取a∈G，<a>是G 的子群，由Lagrange定理知，<a>的阶是n的因子.
8.2 子群与陪集
推论 设H 是群G 的子群,则 (1) a,b∈G，Ha = H b 或 Ha∩Hb = (2) ∪{Ha |a∈G} = G 证明：由等价类性质可得.
由以上定理和推论可知，H 的 所 有 右 陪 集 的 集 合 恰 好 构 成 G 的一个 划分定。理8.11
设H 是群G 的子群，则 a∈G，H ≈ Ha （两集合等势，存在从H 到Ha的双射函数 ）
Hf1={f1f1, f2f1}=H ,Hf2={f1f2, f2f2}=H Hf3={f1f3, f2f3}={f3, f5}, Hf5={f1f5, f2f5}={f5,f3} Hf4={f1f4, f2f4}={f4, f6}, Hf6={f1f6, f2f6}={f6,f4}

证明陪集构成划分1. 引言在数学中，划分是一种重要的概念，在许多领域中都有广泛应用。

特别是陪集的划分，被广泛用于群论和线性代数等领域。

本文将的重要性，并提供一个详细的证明过程。

2. 陪集的定义在了解陪集构成划分之前，我们首先要明确陪集的定义。

给定一个群G和它的一个子群H，对于任意元素a∈G，H的左陪集定义为aH={ah|h∈H}，右陪集定义为Ha={ha|h∈H}。

在陪集的定义下，我们可以将群G分成若干个不相交的陪集。

3. 陪集的性质在证明陪集构成划分之前，我们先来看一些陪集的性质。

首先，对于两个陪集aH和bH，它们要么完全相等，即aH=bH；要么完全不相交，即aH∩bH=∅。

这是因为如果aH∩bH不为空，那么必然存在一个元素c同时属于aH和bH，即存在c1，c2∈H，使得ac1=bh，则b=ac1h-1∈aH，因此bH包含于aH；同理可证，aH包含于bH。

因此，要么aH=bH，要么aH∩bH=∅。

其次，对于任意元素c∈G，它属于某个左陪集aH，即c∈aH，证明如下：由于G是一个群，所以它必然包含单位元素e。

而e∈aH，因此aH非空。

又由于aH是一个陪集，它包含了所有形如ah（其中h是H的一个元素）的元素。

那么对于给定的任意元素c，我们可以找到一个h使得c=ah，因此c属于aH。

同样地，对于右陪集，它们也具有类似的性质。

对于两个右陪集Ha和Hb，要么Ha=Hb，要么Ha∩Hb=∅；对于任意元素c∈G，它属于某个右陪集Ha。

4. 陪集构成划分现在我们来证明陪集构成划分。

证明过程分为两步。

第一步，我们要证明陪集构成的是一个划分，即每个元素属于且只属于一个陪集。

假设存在一个元素c同时属于两个陪集aH和bH，即c∈aH且c∈bH。

那么必然存在两个元素h1，h2∈H，使得c=ah1=bh2。

由于H是一个子群，它一定包含单位元素e，因此对于h1和h2，我们可以找到元素h3使得h1=h3=hh-1=h2，从而得到c=ae=ab=b。

结论：设a为群G的一个元素，
（1）如果a的周期为无穷大，则（a）是无 限循环群，（a）由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成。 （2）如果a的周期为n，则（a）为n元循环 群，它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1 组成。
加法群中元素的周期
在加法群中，(a)应换为a的所有倍数的集合：
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）： …，a-2，a-1，a0，a，a2，… （1）
情形10 如果（1）中所有元素都彼此不同，则称 a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的 整数s与t，as≠at。 情形20 如果（1）中出现重复的元素，即有整数 s≠t，使as=at。不妨设s>t，于是 s-t>0且as-t=1， 即有正整数m使am=1。
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
因（a）是一个n元循环群，即a的周期为n。 由周期的性质知，n|km-1。因此， km-1=qn， mk-qn=1。
这说明k与n互质。
充分性。若k与n互质，则有s和t，使
sk+tn=1， 故
a1=ask+tn = askatn = (ak) s ( an)t = (ak) s.
即a可表为ak的若干次方，因此（a）中每个元素

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近世 代数
Lagrange定理的注释
注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可
知：G的子群的阶必是n的一个因子.
但反过来，则未必成立，即：
对n的任一因子d，G未必有一个d阶子
群.
例如：交代群A4中就没有6阶子群.
但在群论中有以下结论：
结论：若G是一个有限交换群，则Lagrange定理的
(2) 子群与正规子群之间的关系. 21/22
近世 代数
总结
主要内容： 子群陪集的定义和性质 Lagrange定理 Lagrange定理的一些简单应用 正规子群的定义和判别
基本要求： 熟悉陪集的定义和性质 熟悉Lagrange定理及其推论，学习简单应用 熟悉正规子群的定义及商群的构造
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
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近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
eabc
eabc aecb bcea cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, H所c}有. 的右陪集？
3/22
近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123)H,={((113)2,)}(.1 2)}是S3的子群.

第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。

⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。

类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。

（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。

(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。

(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。

证明:　(iV)　有b=ah,\, h\in H。

则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V)　⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。

第12 讲§9 子群的陪集（Coset of subgroup）P89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。

在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。

进而引出拉格朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。

在本讲的学习中要求（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系要分辩清楚。

（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。

（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。

（4）Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。

本讲的重点和难点：本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。

一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z。

其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--= []{} ,9,5,1,3,7,1--= []{} 10,6,2,2,6,2--= []{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示： (1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Zn n Z∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地,4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中 3,2,1,0=i .引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M。

证明： 记 H={a,a2,a3,…ar-1,ar=e}，<H, ∗>显然是<G, ∗>的循环子群。由拉格朗 日定理，有 r | n。于是，有整数m使得 n=mr，故
an=amr=(ar)m=e 若n为质数，<G, ∗>只能有平凡子群，即 r=1或r=n 。故<G, ∗>必是循环群且 G=<a>。
(1) 对∀a∈G ，有aH≠Ø 。
(2) 任意两个陪集，要么完全重合，要么不相交，即对∀a,b∈G ，若aH≠bH，则
(3) aH G 。 aG
aH∩bH= Ø
证明： (1) 因幺元 e∈H ， 有a=a*e∈aH ，即aH≠Ø 。
(2) 推证，若aH∩bH ≠ Ø，必有aH=bH 。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
(3) aG aH G 是自然的。对x∈G，因x∈xH，即 x aH ，故 G aH 。等
aG
aG
式成立。
理解：定理说明，由子群H的所有左陪集构成群G的划分。 思考：a、b属于同一个左陪集可以描述成a-1*b∈H吗？
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.7.1 陪集
证明：(1) ∀a∈G ，构造映射 f：H→aH，使对∀h∈H，有 f (h)=a ∗ h
那么，对∀h1,h2∈H ，若f (h1)=f (h2) ，即a∗h1=a∗h2，有h1=h2，故f 是单射。 对∀y∈aH，必有h∈H，使y=a∗h=f (h)，说明f 是满射。故f 是双射，结论成立。 (2) 由(1)和定理6-14，G可被划分为有限个且个数与|H|相等的部分，故|H|必能整 除|G| 。
6.7.1 陪集
Discrete mathematics

群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格朗日定理。

主要内容：z陪集定义z陪集基本性质（4个定理+1个推论）z拉格朗日定理及其推论1定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<e,a>是G的子群.H所有的右陪集是：He={e,a}=H, Ha={a,e}=HHb={b,c}, Hc={c,b}可以看出：1) 不同的右陪集只有两个，且He= Ha , Hb=Hc,Ha∩Hb=Φ2) {Ha, Hb}是G的一个划分3) |H|=|Ha|=|Hb|2定理1设H是群G的子群，则(1) He = H(2) ∀a∈G 有a∈Ha证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H(2) ∀a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha3定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb证先证a∈Hb ⇔ab−1∈Ha∈Hb ⇔∃h(h∈H∧a=hb)⇔∃h(h∈H∧ab−1=h)⇔ab−1∈H 再证a∈Hb ⇔Ha=Hb.充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb.必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h−1a任取ha∈Ha，则有1 ha = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ⊆Hb.1反之，任取hb∈Hb，则有1 hb = h1(h−1a) = (h1h−1)a∈Ha , 从而得到Hb ⊆Ha.1综合上述，Ha=Hb得证.4定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb说明:定理2给出了两个右陪集相等的充要条件右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素a∈Hb⇔Ha=Hb5定理3设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a, b∈G, <a,b>∈R ⇔ab−1∈H= Ha.则R是G上的等价关系，且[a]R证先证明R为G上的等价关系.自反性. ∀a∈G，aa−1= e∈H ⇔<a,a>∈R对称性. ∀a, b∈G，则<a,b>∈R⇒ab−1∈H⇒(ab−1)−1∈H⇒ba−1∈H⇒<b,a>∈R传递性. ∀a, b, c∈G，则<a,b>∈R∧<b,c>∈R ⇒ab−1∈H∧bc−1∈H ⇒ac−1∈H ⇒<a,c>∈R= Ha.下面证明：∀a∈G，[a]R∀b∈G，b∈[a]R⇔<a,b>∈R ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb ⇔b∈Ha67定理3的推论推论设H 是群G 的子群, 则(1) ∀a , b ∈G ，Ha = Hb 或Ha ∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a ∈G } = G证明：由等价类性质可得.定理3设H 是群G 的子群，在G 上定义二元关系R ：∀a , b ∈G , <a ,b >∈R ⇔ab −1∈H则R 是G 上的等价关系，且[a ]R = Ha .左陪集的定义与性质设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G关于左陪集有下述性质：(1) eH = H(2) ∀a∈G，a∈aH(3) ∀a, b∈G，a∈bH ⇔b−1a∈H ⇔aH=bH(4) 若在G上定义二元关系R， ∀a, b∈G，<a, b>∈R ⇔b−1a∈H= aH.则R是G上的等价关系，且[a]R8陪集的基本性质定理4设G是群，H是G的子群，则：(1) ∀a∈G，有|Ha|= |H| = |aH|(2) ∀b∈G，有|Hb|= |H| = |bH|(3) ∀a, b∈G，有|aH| = |bH| =|Ha|=|Hb|说明：从定理4可以看出，如果G是有限群，设|G|=n，则它的子群H也是有限群，设|H|= m，∀a∈G，有|Ha|= |aH| = m.9Lagrange定理定理（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H| · [G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.证: 设[G:H] = r，a1, a2,…, ar分别是H 的r 个右陪集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har|由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r, 得 |G| = |H|·r = |H|·[G:H]拉格朗日定理简言之：G是有限群，H是G的子群，则H的阶整除G的阶.10推论1阶为素数的群G只有平凡子群，而无真子群。

陪集（companion set）是指在一个集合中找到与另一个集合中元素相关的元素的过程。

虽然您的用户资料提到您是NFT创作者，通常与图像和创作相关的话题，但您提出的问题与这个用户资料无关，因此我将回答您的问题。

计算陪集的详细过程通常包括以下步骤：
1. 确定两个集合：首先，您需要明确两个集合，一个是主集合，另一个是要查找相关元素的集合。

2. 遍历主集合：逐个检查主集合中的元素。

3. 对比元素：对于主集合中的每个元素，将其与要查找相关元素的集合中的元素进行比较。

4. 匹配条件：确定何时认为元素相关。

这取决于您的具体需求。

通常可以使用条件来判断两个元素是否相关，例如，它们的属性是否匹配或它们是否满足某些条件。

5. 构建陪集：将满足条件的元素添加到陪集中。

6. 返回陪集：最终，将陪集返回给用户，其中包含与主集合中元素相关的元素的列表。

这个过程可以用多种编程语言来实现，例如Python、JavaScript等，具体的实现方式会依赖于您的需求和编程技能。

证明陪集构成划分陪集构成划分是集合论中一个重要且基础的概念。

在证明陪集构成划分的过程中，我们首先需要明确陪集的定义，然后逐步证明陪集满足划分的三个条件：互不相交、并集等于原集合、非空。

一、陪集的定义：给定一个集合A，如果存在一个子集B，使得对于A中的任意元素a，存在唯一的元素b使得a=b，则B被称为A的一个陪集。

而A中的每个元素都可以对应一个陪集，这里的陪集实际上是一种等价关系定义的等价类。

二、互不相交：要证明陪集构成划分，我们首先需要证明任意两个陪集是互不相交的。

即对于陪集B1和陪集B2，如果B1不等于B2，则B1∩B2=∅。

证明：假设存在两个陪集B1和B2，满足B1∩B2≠∅，则存在一个元素x∈B1∩B2。

根据陪集的定义，x在B1中对应的元素和x在B2中对应的元素是相等的，即存在b1∈B1和b2∈B2，使得x=b1=b2。

由等价类的性质可知，如果b1=b2，则b1和b2对应的陪集必然相同，即B1=B2，与已知条件矛盾。

因此，假设不成立，得证任意两个陪集是互不相交的。

三、并集等于原集合：接下来，我们证明所有的陪集的并集等于原集合A。

即A=B1∪B2∪...∪Bn，其中B1、B2、...、Bn是A的全部陪集。

证明：首先，根据陪集的定义，对于任意元素a∈A，必然存在某个陪集Bx，使得a∈Bx。

换句话说，所有的元素都存在于陪集的某个陪集中。

因此，所有陪集的并集包含了A中的所有元素。

其次，假设存在一个元素y∈A，但是y∉B1∪B2∪...∪Bn。

那么y的唯一陪集必然是Bx，即y必然属于Bx。

与已知条件矛盾。

因此，假设不成立，得证所有的陪集的并集等于原集合A。

四、非空：最后，我们需要证明所有的陪集都是非空的。

即对于陪集Bx，Bx≠∅。

证明：根据陪集的定义，对于陪集Bx中的任意元素b，必然存在一个元素a∈A，使得a=b。

因此，陪集Bx至少包含一个元素，即Bx≠∅。

由于Bx是A中的一个陪集，所以这个结论对于所有陪集都成立。

陪集的计算详细过程陪集是一个常见的数学计算方法，通常用于计算某个数的倍数。

陪集是指由正整数a和整数的各种乘积所组成的集合。

在此过程中，我们将介绍陪集的计算过程和一些例子。

陪集的计算过程如下：1.确定基数：首先，要确定一个基数a，它可以是任何正整数。

这将是我们计算陪集的起点。

2.生成陪集：使用基数a，我们可以生成一系列的陪集，其中包含a的各个倍数。

这样的陪集可以表示为：{a, 2a, 3a, 4a, ...}3.计算任意整数的陪集：对于给定的整数n，我们可以计算出它的陪集。

这可以通过计算n与基数a的余数来完成。

如果n除以a的余数为r，则可以表示为n = aq + r，其中q为商。

然后，我们可以通过计算n + a - r的陪集值得到n的陪集。

4.计算其他倍数的陪集：除了计算n的陪集，我们还可以计算其他倍数的陪集。

例如，对于a的倍数m，我们可以使用类似的方法计算出m的陪集。

下面是一个例子来说明陪集的计算过程：假设我们选择基数a = 5，并计算整数9的陪集。

步骤1：确定基数a = 5。

步骤2：生成陪集{5, 10, 15, 20, ...}步骤3：计算整数9的陪集。

9 ÷ 5 = 1余4，所以9的陪集可以表示为9 + 5 - 4 = 10。

步骤4：计算其他倍数的陪集。

假设我们计算整数18的陪集。

18 ÷ 5 = 3余3，所以18的陪集可以表示为18 + 5 - 3 = 20。

可以看出，陪集的计算过程非常简单，只需使用基数与整数的除法运算和一些基本的加减运算即可。

陪集的应用非常广泛，尤其在数论、代数和离散数学等领域。

它可以帮助我们研究数的特性和数列的性质，例如算术数列和几何数列。

陪集还可以用来解决一些有关整数的问题，如求解同余方程、证明整除性质等。

总结起来，陪集是通过基数和整数的乘法运算得到的一系列数的集合。

它的计算过程非常简单，只需要进行除法和加减运算。

陪集在数学中有广泛的应用，可以帮助我们研究数的特性和解决一些整数相关的问题。