第四章-表象—态和力学量的表达方式

c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
r r r Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r ) ⇒ ∫ cλ (t )φ λ (r )dλ
n
nlm
M c µ (t ) M ⇒ 波函数 c (t ) λ cλ (t ) M
态和力学量的表达方式—表象理论 第四章 态和力学量的表达方式 表象理论 第2节 算符的矩阵表示 r r r r Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r ), ˆ 算符作用 FΨ (r , t ) = Φ(r , t ) n r r r r ˆ 因此 ∑ cm (t )Fφ m (r ) = ∑ bn (t )φ n (r ), ∫ φ n* (r )φ m (r )dV = δ nm
态和力学量的表达方式—表象理论 第四章 态和力学量的表达方式 表象理论 第2节 算符的矩阵表示
连续谱情况
r ˆ r FΨ(r, t) = Φ(r, t) ⇒bµ
r r r Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r ) ⇒ ∫ cλ (t )φ λ (r )dλ
(t) = ∫ Fµλcλ (t)dλ
Fψ = fψ ⇔ (F − fI )ψ = 0
F12 F22 − f M Fn 2 M L L M F1n F2 n M
F11 F21 L M Fn1 M
)
F12 L F1n L c1 (t ) F22 L F2 n L c2 (t ) M M M M M Fn 2 L Fnn L cn (t ) M M M M M
厄米矩阵
—厄米算符对应厄米矩阵 厄米算符对应厄米矩阵
连续谱情况
r ˆ r FΨ (r , t ) = Φ (r , t ) ⇒ bµ
—算符在自身表象中为对角矩阵 算符在自身表象中为对角矩阵 r r r r r r
= r r ∫ φ µ (r )Fˆ φ λ (r )dV
*
* * ˆ ˆ Fφm (r ) = fmφm (r ) ⇒ Fnm = ∫ φn (r )Fφm (r )dV = fm ∫ φn (r )φm (r )dV = fmδ nm
坐标表象
F rr ′rr ′′
r r r r r r ˆ ˆ r δ (r − r ′) = r ′δ (r − r ′), xδ ( x − x ′) = x ′δ ( x − x′), L r r r r r Ψ (r , t ) = ∫ Ψ (r ′, t )δ (r − r ′)dr ′ r r ˆ r r r r r ˆ r = ∫ δ (r − r ′ )F (r , − i h ∇ )δ (r − r ′′ )dV = F (r ′ , − i h ∇ ′ )δ (r ′ − r ′′ )
(t ) = ∫ Fµλ cλ (t )dλ
n
r r r Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r ) ⇒ ∫ cλ (t )φ λ (r )dλ
F
µλ
矩阵元
M c µ (t ) M ⇒ 波函数 c (t ) λ cλ (t ) M
n
F
µλ
=
∫
φ
µ
*
r r (r )Fˆ φ λ (r )dV
矩阵元
M c µ (t ) M ⇒ 波函数 c (t ) λ cλ (t ) M
M Ψrr ′ (t ) r M ⇒ 波函数 Ψr (t ) ≡ Ψ (r , t ) r Ψrr (t ) M
ih
d Ψ (t ) = HΨ (t ) dt r
n
r Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r )
r r ∫ φ (r )φ (r )dV = δ
* n m nm
c1 (t ) H11 c2 (t ) H 21 d ih M = M dt cn (t ) H n1 M M
坐标表象
r r 1−1 2， Ψ (r , t ) ←对应→{cn ( t ), n = 1， L} ⇒ Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn , n = 1,2,L}描述状态
n
而且
r 2 2 cn (t ) = ∫ Ψ (r , t ) dV (= 1) ∑
n
态和力学量的表达方式—表象理论 第四章 态和力学量的表达方式 表象理论 第1节 态的表象 r r r r r r 态 Ψ (r , t ) = ∑ cn (t )φ n (r ), ∫ φ n* (r )φ m (r )dV = δ nm , cn (t ) = ∫ φ n* (r )Ψ (r , t )dV ,
态和力学量的表达方式—表象理论 第四章 态和力学量的表达方式 表象理论 第3节 量子力学公式的矩阵表示 r ˆ r r ˆ 平均值 F = ∫ Ψ * (r , t )F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t )dV * ˆ ⇒ F = ∑ cn (t )Fnm cm (t ) = Ψ + (t )FΨ (t )
矩阵元
r ˆ r FΨ(r, t) = Φ(r, t) ⇒
r r r ˆr r Φ(r, t) = ∫ Frrrr′Ψ(r′, t)dr′ = F(r,−ih∇)Ψ(r , t)
上述表达方式不方便——连续谱情况通常的表示方法 连续谱情况通常的表示方法 上述表达方式不方便 r r r r ˆ ˆ 坐标表象 态 Ψ (r , t ) 力学量 r = r , p = −ih∇, r
动量表象
r 态 C ( p, t )
r ˆ r 力学量 r = ih∇p ,
ˆ r FC( p, t )
ˆ FΨ(r, t)
r r ˆ p = p,
( ) rr ˆ r ˆ ˆ ˆ (r, p) = F(ih∇ , p) F
rr ˆr ˆ r, p = F(r,−ih∇) Fˆ ˆ
r p
r ∂ r ∂ r ∂ r ∇p = i +j +k ∂px ∂py ∂pz
F11 − f F21 det M Fn1 M F12 F22 − f M Fn 2 M L L M M F1n F2 n M M L L M =0 L M
L Fnn − f M M
L c1 L c2 M M = 0 L cn M M
m
r ˆ & ⇒ ih ∑ cn (t )φ n (r ) = ∑ cm Hφ m (r ),
m
& ⇒ ihcn (t ) = ∑ H nm cm (t )
H12 L H1n L c1 (t ) H 22 L H 2 n L c2 (t ) M M M M M H n 2 L H nn L cn (t ) M M M M M
r ˆ r r ( ∫ Ψ (r , t )F rr ,−ih∇ )Ψ (r , t )dV = Ψ + (t )FΨ (t ) ˆ F = r * Ψ + (t )Ψ (t ) ∫ Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
*
矩阵元
r ˆ r FΨ (r , t ) = Φ (r , t ) ⇒ FΨ (t ) = Φ (t )
L Fnn − f
求解久期方程 久期方程决定本征值 求解步骤 求解久期方程决定本征值 det (F − fI ) = 0 对求出的每一个本征值决定本征矢 对求出的每一个本征值决定本征矢 本征值决定
薛定谔方程
n
r r ∂Ψ (r , t ) ˆ r ih = H (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ), ∂t r