2019届高三文科数学精准培优专练十八：圆锥曲线综合(解析版)

【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a ==222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+，专题18 圆锥曲线综合进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB的斜率为5或5-． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值． 【答案】（1）22194x y +=；（2）111228或． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-． 又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以k 的值为12或1128． 【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =；（2）330x -=或330x -=．【解析】（1）设F 的坐标为(,0)c -． 依题意，12c a =，2pa =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++． 由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m--+-+-+-=++， 令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+，所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD △22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±．所以，直线AP 的方程为330x +-=或330x --=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．（1）由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，解出,P Q 两点的坐标，把直线AP 的方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线的方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △解方程求出m ，可得直线AP 的方程．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得00Ax By C Fx y ++=⎧⎨=⎩，（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件． 结论：（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．2．圆锥曲线中弦的相关问题（1）弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两个不同的点，则弦长|x 1–x 2|y 1–y 2|（k ≠0）； ③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． （2）弦中点问题圆锥曲线以P （x 0，y 0）（y 0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：其中k=1212y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．【方法总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解． 2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题 （1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．②面积问题常采用S三角形=12×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．（2）弦中点问题的解决方法①用“点差法”求解弦中点问题的步骤②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．点差法的用途：（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题（1）最值问题的求解方法①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．（2）求参数取值范围的常用方法①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题 （1）求解定点问题常用的方法①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明； ②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标． ③求证直线过定点（x 0，y 0），常利用直线的点斜式方程y –y 0=k （x –x 0）来证明． （2）求解定值问题常用的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．有关存在性问题的求解策略（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在． （2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．1．【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =若圆Q 方程(()2211x y -+-=，且圆心Q 满足122QF QF a +=．（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点()0,1P 的直线1:1l y kx =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为线段CD 中点，若MAB △的面积为5，求k 的值． 【答案】（1）22142x y +=（2）k =【解析】（1）由题意可知：()1F，)2F，)Q12242a QF QF a ∴=+=⇒=，c =2222b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y+= （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，得()2212420kxkx ++-=，()222168213280k k k ∆=++=+>，122412k k x x +=-+，122212kx x =-+，12212AB x k ∴=-=+，M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥，又12l l ⊥，//MQ AB ，MAB QAB S S ∴=△△，又点Q 到1l的距离d =，125MABSAB d ∴=⋅==△()()422222847180228902k k k k k k ∴--=⇒-+=⇒=⇒=．此时2:12l y x =±+，圆心Q 到2l的距离1h ==<，成立． 综上，k =【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2．【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，其短轴的端点分别为,,||2A B AB =，且直线,AM BM 分别与椭圆C 交于,E F 两点，其中点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭，满足0m ≠，且m ≠ （1）求椭圆C 的方程；（2）若BME △面积是AMF △面积的5倍，求m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =±．【解析】（1）由题意可得：222222c e a AB b a b c ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆的方程为2214x y +=．（2）()()10,1,0,1,,2A B M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为112k m =-，直线BM 的斜率为232k m=， ∴直线AM 的方程为112y x m =-+，直线BM 的方程为312y x m =-，由221,411,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140mx mx +-=，∴240,1mx x m ==+，∴22241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 由221,431,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120m x mx +-=， ∴2120,9mx x m ==+，∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵11sin sin 22AMF BME S MA MF AMF S MB ME BME =∠=∠△△，，AMF BME ∠=∠， 5AMF BME S S =△△，∴5MA MF MB ME =，∴5MAMBME MF=，∴22541219m mm mm m m m =--++， ∵0m ≠，且m ≠21m =，∴1m =±为所求． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一）数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离（1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】（1）由题设：c bc a == 解得223,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2213x y +=．（2）设()()1122,x ,A x y B y 、， ①当AB ⊥x轴时，AB =，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，=，得()22314m k =+， 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ， 整理得()222316330k x kmx m +++-=，有()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++， ()()()()()222222212222121361k13131m k m AB x x k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦()()()()()()2222222221213131913131k k m kk kk++-++==++()242221212330196196k k k k k k =+=+≠++++1234236≤+=⨯+，当且仅当2219,k k =，即3k =±时等号成立． 当0k =时，AB ，综上所述max 2AB =，从而△AOB【名师点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．4．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △面积为3，求k 的值． 【答案】（1）22142x y +=；（2）±【解析】（1）由题意，知2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=． （2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -．由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=．设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∆∴=-+-=， 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+． ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=， ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==，241132221APMkS AP d k ∴=⋅==+△． 3AOMS =△，243213k k ∴=+，解得k =． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．5．【天津市河北区2019届高三一模数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1，（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）y =0或y =23x ．【解析】（1）由题222224112a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a=b，c，∴椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）由题，当1l 的斜率k =0时，PQ直线2:0l x y +=-与y 轴的交点（0，满足题意； 当1l 的斜率k ≠0时，设直线1:,l y kx =与椭圆联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2214k x +=8，22814x k =+， 设P （00x y ，），则Q （00x y --，），222002288 ,,1414k x y PO k k ∴==∴==++ 又PQ 的垂直平分线方程为1y x k=-，由10y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得1x k y ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，M ⎛∴ ⎝⎭，MO ∴=，∵MPQ △为等边三角形，,MO ∴==解得k =0（舍去），k =23，∴直线1l 的方程为y =23x ，综上可知，直线1l 的方程为y =0或y =23x ． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查方程求法，弦长公式，等边三角形的应用，准确转化与化归，熟练计算是关键，是中档题．6．【天津市红桥区2019届高三一模数学】设1F 、2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，122F F =，直线1过1F 且垂直于x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，连接A 、B 、2F ，所组成的三角形为等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试问：椭圆C 上是否存在点P ，使O P O M O N =+成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）椭圆22:132x yC +=；（2）3(,22P ±【解析】（1）由122F F =可得1c =， 等边三角形2ABF △中：1AF =2AF =，则1AF+22AF a =，得a =又因为222b a c =-，所以b =则椭圆22:132x y C +=．（2）设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则由题意知的m 斜率为一定不为0，故不妨设:(1)m y k x =-，代入椭圆22:132x y C +=的方程中，整理得2222(32)6360k x k x k +-+-=，显然>0∆．由韦达定理有：2122632k x x k +=+，21223632k x x k -=+①且22121224(1)(1)32k y y k x x k -=--=+②假设存在点P ，使OP OM ON =+成立，则其充要条件为： 点1212(,)P x x y y ++，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=， 又A B 、在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=，故由①②代入：12124660x x y y ++=，解得k =3(,22P ±． 【名师点睛】解决解析几何中探索性问题的方法：存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．7．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F，且过点． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为M ，另一个交点为G ，过点F 且斜率为–1的直线与l 交于点N ，103FGM MNF S S =△△，求k 的值． 【答案】（1）2211612x y +=；（2）32k =或926k =【解析】（1）由题意得：222241231a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2216,12a b ==（负值舍去），所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=；（2）设点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，由题意可得120y y >>，由103FGM MNF S S =△△，可得53FOM MNF S S =△△，52FON FOM S S =△△，即2125y y =，可得2211612y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，可得1y =易得NF 的解析式为：20x y +-=， 由20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，消去x ，可得221ky k =+，5221kk =⋅+，整理得：25296270k k -+=，解得32k =或926k =．【名师点睛】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的关系，综合性大，由已知得出2125y y =是解题的关键．8．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知椭圆22221x y E a b=:+（0a b >>），12,F F 为其左右焦点，12,B B为其上下顶点，已知椭圆过点)，且四边形1122F B F B 的面积为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过定点()2,0M -的直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，若MP MQ λ=，当11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求OPQ △面积S 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）283⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵椭圆过点)，∴a =又∵四边形1122F B F B 的面积为2，∴22bc =， 结合222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）依题意，可设:2l x ty =-，联立222 12x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222420t y ty +-+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，由0∆>，解得22t >， 且12242t y y t +=+，12222y y t =+，且易知()20M ，-，由 M P λMQ =可得12y y λ=， ∴()22222412 22t y t y t λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221822t λλt ++=+，∵11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴9162,231λλ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，∴229182362t t <+<，∴24187 t <<，满足0∆>， ∴12122122OMQ OMPS S S OM y y y y t =-=-=-==⋅+△△，设m =m ∈⎝，∴22t m=+，∴244S m m m==++，∵4m m +在m ∈⎝递减，故S 关于m 递增，∴2,83S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．本题在得到面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键．9．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线22:4C x y =的焦点重合，1F ，2F 分别是椭圆1C 的左、右焦点，离心率36=e ，过椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得1OA OB ⋅=-，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由； （3）设点(),0M t 是一个动点，若直线l 的斜率存在，且N 为AB 中点，AB MN ⊥，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）答案见解析；（3）03t <<．【解析】（1）抛物线22:4C x y =的焦点坐标为()0,1，故1b =，结合2231c e a a c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩可得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2213x y +=． （2）很明显直线的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，假设存在满足题意的直线方程：(y k x =，与椭圆方程2213x y +=联立可得：()()222231630k x x k +-+-=，则2212122263,3131k x x x x k k -+==++，则(212121212OA OB x x y y x x k x x⋅=+=+()()222121212k x x x x k =+++，结合题意和韦达定理有：()2222222631213131k k k k k -+⨯⨯+=-++，解得12k =±，即存在满足题意的直线方程：(12y x =±． （3）设()()()1122,,,,,N N Ax y B x y N x y ，设直线AB的方程为(()0y k x k =≠，由于222212121,133x x y y +=+=，两式作差整理变形可得：()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+-，即3NNy k x =-① 又1N N y x t k=--②(N N y k x =③①×②可得：32N x t =④④代入③可得：32N y k t ⎛=⎝⑤④⑤代入①整理可得：2221133t k k ==++， 0k ≠，∴210k >，据此可得：211033k <<+，从而03t <<． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．10．【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等）2019届高三上学期】设椭圆222210x y a b a b+=>>（）的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的焦距为AB 的斜率为23-． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0l y kx k =<：（）与椭圆交于M N ，两点，且点M 在第二象限．l 与AB 延长线交于点P ，若BNP △的面积是BMN △面积的3倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）89-．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得23ba ⎧-=-⎪=，所以32ab ==，， 所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点()()1100M x y P x y ，，，，由题意，010x x <<且()11N x y --，， 由BNP △的面积是BMN △面积的3倍，可得3PN MN =，所以3PN MN =，从而()()101011322x x y y x y ----=--，，， 所以1016x x x --=-，即015x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由236x y y kx +=⎧⎨=⎩，消去y ，可得0632x k =+．由方程组22194x y y kx⎧+==⎪⎨⎪⎩，消去y，可得1x = 由015x x =，可得632k =+， 整理得2182580k k ++=，解得89k =-或12k =-． 当89k =-时，090x =-<，符合题意；当12k =-时，0120x =>，不符合题意，舍去．综上，k 的值为89-．【名师点睛】本小题主要考查利用解方程组的方法求椭圆的标准方程，考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线和椭圆交点坐标的求法，考查三角形面积的利用，考查化归与转化的数学思想方法．属于中档题．11．【天津市和平区耀华中学2019届高三第一次校模拟考试数学】已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12l l ，，它们与椭圆2213xy +=都只有一个公共点，且分别交圆于点M N ，．（1）若()20A -，，求直线12l l ，的方程； （2）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②求AMN △面积的取值范围．【答案】（1）22y x y x =--=+，；（2）①证明见解析；②⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）设直线的方程为()2y k x =+，代入椭圆2213x y +=，消去y ，可得()222213121230kxk x k +++-=，由0∆=，可得210k -=，设12l l ，的斜率分别为121211k k k k ∴=-=，，，， ∴直线12l l ，的方程分别为22y x y x =--=+，；（2）①证明：当直线12l l ，的斜率有一条不存在时，不妨设1l 无斜率1l 与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x =当1l 的方程为x =1l 与圆的交点坐标为)1±，2l ∴的方程为1y =（或121y l l =-⊥，成立，同理可证，当1l 的方程为x =当直线12l l ，的斜率都存在时，设点()A m n ，且224m n +=， 设方程为()y k x m n =-+，代入椭圆方程， 可得()221363230kxk n km x n km ++-+--=（）（），由0∆=化简整理得()2223210mkmnk n -++-=，()2222243230m n m k mnk m +=∴-++-=，， 设12l l ，的斜率分别为12k k ，，12121k k l l ∴=-∴⊥，成立， 综上，对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②记原点到直线12l l ，的距离分别为12d d ，， 因为MA NA ⊥，所以MN 是圆的直径，所以2221212224MA d NA d d d OA ==+==，，，AMN △面积为12122S MA NA d d =⨯=，()()2222222121114444216S d d d d d ==-=--+，[][]221131216d S ∈∴∈，，，，4S ⎡⎤∴∈⎣⎦．【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及求范围问题，综合性强，难度大．解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解．12．【天津市河北区2019届高三二模数学】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与椭圆C 交于另一点B ．设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）22182x y +=；（2）直线AB 与直线OP 平行，说明见解析．【解析】（1）由题意的：224112a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得a =b = ∴椭圆C 的方程为22182x y +=． （2）直线AB 与直线OP 平行，证明如下： 由题意，直线PA 的斜率存在且不为零，,PA PA '关于:2l x =对称，则直线PA 与PA '斜率互为相反数，设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2218221x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得()()222241168161640k x k k x k k +--+--=， 21216164241k k x k --∴=+，21288241k k x k --∴=+， 同理22288241k k x k +-=+，1221641k x x k ∴-=-+，()1121y k x =-+，()2221y k x =--+， ()121228441k y y k x x k k ∴-=+-=-+，121212AB y y k x x -∴==-， 又12OP k =，AB OP k k ∴=，故直线AB 与直线OP 平行．【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程求解、椭圆中的定值问题．本题解题的关键是能够通过直线与方程联立，借助韦达定理利用变量表示出点的坐标，从而可解得斜率为定值，进而证得结论．13．【天津市红桥区2019届高三二模数学】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且FAB △的面积是1+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），则直线1PQ 与x 轴交于点H ，求PQH △面积的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）0,2PQH S ⎛∈ ⎝⎭△． 【解析】（1）由c e a ==得c =，则()111122FAB S a c b ab ⎛=+⋅=⨯+=+ ⎝⎭△2ab ⇒=， 则22222434a b c a a =+=+，解得：2a =，则1b =，c =， ∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）由1P 与Q 不重合可知：0m ≠，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：()224230m y my ++-=，0m ≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()111,P x y -， 则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 直线1PQ 的方程为：()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，解得212112112112x x x y x yx x y y y y y -+=+⋅=++，又111x my =+，221x my =+，则()()()211212121212121211221my y my y my y y y my y x y y y y y y +++++===++++2266411314224mm m m m m --+=+=+=+=--+． 即直线1PQ 与x 轴交点为：()4,0H ， ()1221341224PQHS y y m ∴=⨯-⨯-==+△，0m ≠，令t >223m t =-，26611PQH t S t t t∴==++△，当t >1t t+单调递增，则13t t+>，61t t∴<=+，又601t t>+， 0,2PQHS ⎛∴∈ ⎝⎭△． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出H 点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题．14．【天津南开中学第五次月考数学】已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点1⎛- ⎝⎭，且椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与直线AB 交于点D ，与椭圆交于E F ，两点（点E 在第一象限），满足ED DF λ=． （1）求椭圆的方程； （2）若四边形AEBF 的面积为145，求实数λ的值． 【答案】（1）2214x y +=；（2）16．【解析】（1）由题意可得c e a ==，又由点1⎛- ⎝⎭在椭圆上，即221314a b +=， 解得2241a b ==，，所求椭圆方程为2214x y +=；（2）由()()2,00,1A B ，，直线AB 的方程分别为22x y +=，设()00,D x kx ，联立方程组22y kx x y =⎧⎨+=⎩，解得0212x k =+，所以22,1212k D k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，又由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22144k x +=． 设()()1122E x y F x y ，，，，其中12x x >，故1212x x y y =-==-=．由题设，1BO =，2AO =．所以四边形AEBF 的面积为()()1122BEF AEF E F E F S S S OA y y OB x x =+=-+-△△1121214225E E k x y x y +=+=+===， 所以2242560k k -+=，23k ∴=或38， 23k =时，646464555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，1283535ED ，⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，7248=3535DF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以1=6λ；38k =时，838383555577E F D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，， 1663535ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，9636=3535DF ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，所以1=6λ．综上，1=6λ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．15．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-的焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过动点(0,)(0)M m m b <<的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点,A B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ． ①设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，'k ，证明：'30k k +=； ②求直线BG 的斜率的最小值．【答案】（1）22163x y +=；（2【解析】（1）抛物线2x =-的焦点是(0,，b ∴=22c a =且222a b c =+，a ∴=c = ∴椭圆C 的方程22163x y +=． （2）①设()00,A x y ，那么()00,D x y -，M 是线段AN 的中点()0,2A x m ∴，()0,2D x m -，。

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第十八单元 圆锥曲线注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线22=13x y -的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，()2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0)2，2)D ．()02-，，()0,22．若双曲线22(0)5y x m m -=>的焦距等于离心率，则m =（ ）A ．120B ．110C ．15D ．143．若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．364．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则AF BF+的值是（ ） A ．2B ．23C ．4D ．435．设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 为椭圆上的点，且128F F =，1210PF PF +=，则椭圆的短轴长为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若5PF =，则PFK △的面积为（ ） A ．4B ．5C ．8D ．108．已知双曲线2222:1-=x y C 的离心率为53，其左焦点为()15,0F -，则双曲线C 的方程为（ ）A C ．221169x y -=D ．221916x y -=9的一条渐近线方程为20x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且15PF =，则2PF =（ ） A ．1B ．3C ．1或9D ．3或710．双曲线22221(00x y E a b a b-=>>：，）5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）A B ．22C ．1D ．211．如图，AB 为经过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，点A ，B 在直线2px =-上的射影分别为1A ，1B ，且113AA BB =，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 12．已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ） A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．抛物线22y x 的焦点到准线的距离为__________．14．已知F 为双曲线220()3C x my m m ：－＝＞的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为______．15．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x =6方程为__________．16．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，4AB =，则该抛物线的方程为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p ：对任意实数x ，不等式220x x m -+≥恒成立；命题q :表示焦点在x 轴上的双曲线．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，过点2F 作直线交椭圆C 于M 、N 两点，1F MN △的周长为42． （1）求椭圆C 的方程； （2）若1234F F M π∠=，求弦长MN ．19．（12分）已知点()1,P m 在抛物线()2:20C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()4,0T 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OA OB ⋅的值．20．（12分）抛物线22(0)y px p =>上的点P 到点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离与到直线0x =的距离之差为1，过点(),0M p 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）若ABO △的面积为43，求直线l 的方程．21．（12分）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 两点．（1）用p 表示AB ；（2）若3OA OB ⋅=-求这个抛物线的方程．22．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为（O 为原点）（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线1l ：2=+y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且2⋅>OA OB ，求k 的取值范围．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第十八单元 圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(),0c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为()2,0±，选B ． 2．【答案】A【解析】双曲线2205y x m m -=（＞）的焦距等于离心率．可得：55+=m m e m ，即155me m m m =++120m =．故选A ． 3．【答案】C【解析】由双曲线的方程22219y x a -=，可得一条渐近线的方程为3a y x =-，所以1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选C ．4．【答案】C【解析】设椭圆的右焦点为2F 连接2AF ，2BF ，因为OA OB =，2 OF OF =，所以四边形2AFBF 是平行四边形． 所以2BF AF =，所以224AF BF AF AF a +=+==，故选C ． 5．【答案】A【解析】由题意，椭圆满足1210PF PF +=，128F F =， 由椭圆的定义可得210a =，28c =，解得5a =，4c =，又22222549b a c =-=-=，解得3b =，所以椭圆的短轴为26b =，故选A ． 6．【答案】C【解析】由题意得2222212c a b b e a a a +==+，∴3b a = 又双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线的渐近线方程是3y x =30x y ±=，故选C ． 7．【答案】A【解析】由抛物线的方程24y x =，可得()1,0F ，()1,0K -，准线方程为1x =-， 设()00,P x y ，则015PF x =+=，即04x =，不妨设()00,P x y 在第一象限，则()4,4P ，所以01124422PKF S FK y =⨯=⨯⨯=△，故选A ．8．【答案】D【解析】∵双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为53，其左焦点为()15,0F -，∴5c =，53c a =，∴3a =，∵222c a b =+，∴216b =， ∴双曲线C 的标准方程为221916x y -=，故选D ．9．【答案】C【解析】由双曲线的方程，渐近线方程可得1122a a =⇒=， 因为222415c ab =+=+=，所以5c =，所以521c a -=-<，或9，故选C ．10．【答案】D【解析】因为FM b =，OF c =，所以OM a =，故12ab=，即2ab =， 由5c a =，所以2225a b a+=，即2b a =，故1a =，2b =，双曲线的实轴长为2．故选D ． 11．【答案】C【解析】由抛物线定义可知：1F AA A =，1BB BF =，设1BB t =， ∵113AA BB =，∴4AB t =，作1BH AA ⊥交1AA 于H ，则2AH t = 在Rt ABH △中，cos 3HAB π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，故选C ． 12．【答案】C【解析】设A ，B 的坐标为()11x y ，，()22x y ，，28x y =，4x y '=，PA ，PB 的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=-由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA ，PB 都过点(),4P b ，(),4P b ，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =，直线AB 恒过定点()04-，，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．2【解析】根据题意，抛物线22y x =的标准方程为22x y =， 其焦点坐标为2（，准线方程为2y = 22． 14．3【解析】双曲线2230C x my m m =>：﹣（）可化为22133x y m -=，∴一个焦点为)，一条渐近线方程为0x =，∴点F 到C15．【答案】221248x y += 【解析】由题意知抛物线216y x =的焦点为4,0（），∴4c =，∵46c e a a ===26a = ∴2228b a c =-=，∴椭圆的方程为221248x y +=．故答案为221248x y +=． 16．【答案】22y x =【解析】直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程并整理得22304p x px -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x p +=，又12AB x x p =++，∴34p p +=，1p =， ∴抛物线方程为22y x =，故答案为22y x =．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）1m ≥；（2）(]0,1．【解析】（1）∵不等式220x x m -+≥恒成立，∴440m ∆=-≤，1m ≥， ∴当1m ≥时，p 为真命题．（2）因为方程221x y m t m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线．∴0 0->>⎧⎨⎩m t m ，得>m t ； ∴当m t >时，q 为真命题．∵p 是q 的充分条件，∴{}{}1m m m m t ≥⊆≥，∴1t ≤ 综上，t 的取值范围是(]0,1．18．【答案】（1）2212x y +=；（242． 【解析】（1）因为焦距为2，所以22c =，即1c =．又因为1F MN △的周长为42，结合椭圆定义可得442a =，所以2a =． ，于是椭圆C 的方程（2，所以直线MN 的斜率，所以直线MN 的方程为1y x =-，y 可得2340x x -=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则，210x x =，19．【答案】（1）28y x =；（2）16-．【解析】（1）抛物线()2:20C y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由132p PF =+=得4p =．∴抛物线C 得方程为28y x =．（2）依题意，可设过点()4,0T 的直线l 的方程为4x ty =+，由28 4y xx ty =+⎧⎨⎩=得28320y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232y y =-， ∴222212111688x x y y =⨯=，∴121216OA OB x x y y ⋅=+=-． 20．【答案】（1）24y x =；（2）2=-y x 或2=--y x ． 【解析】（1）设()00,P x y ，由定义知02p PF x =+，所以，0012p x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以2p =，所以，抛物线方程为24y x =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知()2,0M ；若直线l 的斜率不存在，则方程为2x =，此时42AB =ABO △的面积为42l 的斜率存在；设直线l 的方程为()2y k x =-，带入抛物线方程得：()22224140k x k x k -++=()222161160k k ∆=+->，所以，12244x x k +=+，124x x =，所以2224211k AB k k+=+， 点O 到直线l 的距离为221=+kd k 22222142114321++=+k k k k k1=±k ． 所以，直线l 的方程为2=-y x 或2=--y x ． 21．【答案】（1）4=AB p ；（2）24=y x ．【解析】（1，过点F 且倾斜角为设()11,A x y ，()22,B x y 得22304p x px -+=， ∴213+=x x p ，2124=p x x ，∴124=++=AB x x p p（2）由（1）知，123+=x x p ，2124=p x x∴⋅=OA OB x x ，解得24=p ，∴2=p∴这个抛物线的方程为24=y x ．22．【答案】（1）2213-=x y ；（2）331133，，⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由2⋅>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，11故k 的取值范围为313，⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭。

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C xy.（1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线10y kx k 交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212xy的位置关系.1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164xy,所以2222216,4,12从而a b ca b ,因此4,23ac,故椭圆C 的离心率32c ea............4分(II)由221,416y kx xy得22148120kxkx ,由题意可知0. ..............5分设点,E F 的坐标分别为1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为,M M x y ,则1224214Mx x k x k,1221214My y y k......................7分因为BEF 是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,所以BM EF , 因此BM 的斜率1BMk k. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为0,2,所以222122381440414M BMMy kkk kx kk,..........10分即238104k kkk ,亦即218k,所以24k,....................12分故EF 的方程为2440x y................ ...........................................13分又圆2212xy的圆心0,0O 到直线EF 的距离为42223218d, 所以直线EF 与圆相离.....................14分2．已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为22,离心率22e，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ 的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为222210x y a b ab．--------1分∵长轴长为22,离心率22e，∴1,2b c a ．所求椭圆方程为2212xy．----------- 4分（2）因为直线l 过椭圆右焦点1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1yx ．设1122,,,P x y Q x y ，由2222,1,x yyx 得23210yy，解得1211,3y y ．∴1212112223POQ S OFy y y y ．--------------9分（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x ，此时POQ 小于90，,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1yk x ．由2222,1,x y yk x 可得2222124220k x k x k．∴22121222422,1212kkx x x x k k．11(1)y k x ，22(1)y k x 212212ky y k因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQuu u r uuu r.由221212222201212kkOP OQx x y y k kuu u r uuu r 得22k，2k .所求直线的方程为2(1)yx ．----------------14分3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)xy ab ab的一个顶点为(2,0)A ，离心率为63．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，因为2a，63c a，所以263c，22243b ac．所以椭圆的方程为223144xy ．…………４分（2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，则可设直线l 的方程为(2)y k x ，则原点O 到直线l 的距离为2|2|1k dk．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2234y kx xy消y得22(31)4kx．可得2222(,)3131k P kk，2222(,)3131k Q kk．因为以PQ 为直径的圆与直线l 相切，所以1||2PQ d ，即||OP d ．所以22222222|2|()()()31311k k kk k，解得1k ．所以直线l 的方程为20xy或20x y ．………14分4．已知离心率为32的椭圆2222:1(0)xy C a bab与直线2x 相交于,P Q 两点（点P在x 轴上方），且2PQ ．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．4．解：（1）由已知得32e，则12b a，设椭圆方程为22221(0)4xy b bb由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114bb．解得22b．故椭圆C 的标准方程为22182xy．………４分（2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ，所以PAPB k k ．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x （0k）．由2248(12),xyy kx k 得222(14)8(12)161640k xk k x k k ……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0成立.即222264(12)4(14)161640k k k kk ,化简得216(21)0k ，解得12k.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214Akkx k．所以2288214Akkx k．当方程（1）根的判别式0时，12k，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x ．同理，易得22228()8()288214()14Bk k kkx k k．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k.设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQBPQABS SSPQ x PQx 2222188288221414B A k k k k PQ x x kk21614k k由于12k，故216161144k Skkk.当12k时，144k k，即110144kk ，即04S .(此处另解：设t k ，讨论函数1()4f t t t 在1,2t时的取值范围.222141()4t f t tt，则当12t时，()0f t ，()f t 单调递增.则当12t 时，()(4,)f t ，即S 0,4.)所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是0,4.………14分5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022y x的距离为 3.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线0ykxm k与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A MA N 时，求m 的取值范围.5．解: （1）依题意可设椭圆方程为2221x ya，………….2分则右焦点F 的坐标为21,0a，由题意得212232a，解得23a，故所求椭圆的标准方程为2213xy.………………………….5分6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12xC y的顶点，直线20x y与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP，0BQ BP ，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标.6．（1）解法1：∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , ……１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0a b ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴1224a AF AF ，得2a.……２分∴22222ba.………………………３分∴椭圆1C 的方程为22142xy.………………………４分解法2:∵双曲线222:12xC y的顶点为1(2,0)F ,2(2,0)F , …………………１分∴椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F ,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222by ax 0ab ，∵椭圆1C 过点A (2,1)，∴22211ab . ①………………………２分. ∵222ab,②………………………３分由①②解得24a, 22b .∴椭圆1C 的方程为22142x y.………………………４分（2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∴(2,1)AQxy ，11(2,1)AP x y ，(2,1)BQxy ，11(2,1)BP x y . 由0AQ AP , 得11(2)(2)(1)(1)0xx y y ，……………………５分即11(2)(2)(1)(1)xx y y .①同理, 由0BQ BP , 得11(2)(2)(1)(1)x x y y . ②……………６分①②得222211(2)(2)(1)(1)xxy y.③………………………７分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142xy，得221142xy , 代入③式得2222112(1)(2)(1)(1)yxy y.当2110y时，有2225x y，当2110y ，则点(2,1)P 或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A(2,1)及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)，∵0AQ AP，0BQ BP，∴AQ AP，BQ BP.∴1111122y y x x12x ，①……………………５分1111122y y x x 12x . ②……………………６分①②得12222111122y y xx. (*)………………………７分∵点P 在椭圆1C 上,∴2211142x y ，得221122x y,代入(*)式得2212211112122xy xx，即2211122y x,化简得2225xy .若点(2,1)P 或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)，其坐标也满足方程2225xy.………………………８分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)，由②得23yx ，解方程组2225,23,x yyx得点Q 的坐标为2,1或2,22.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为2,1或2,22.∴点Q 的轨迹方程为2225xy, 除去四个点2,1,2,22, 2,1,2,22.………………………９分(3) 解法1：点Q,x y 到直线:AB 20xy 的距离为23x y .△ABQ 的面积为2221(22)(11)23xy S………………………10分2xy22222xyxy .………………………11分而22222(2)()422y yxy x x（当且仅当22y x时等号成立）∴22222222522224522yS xyxyxyxxy522. ……12分当且仅当22y x时, 等号成立.由222,225,y x xy解得2,22,x y或2,22.xy………………………13分∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22或2,22.…14分解法2：由于22221123AB ，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………10分设与直线AB 平行的直线为20x y m ，由2220,25,x y m xy消去x ，得22542250y my c ，由223220250mm，解得522m．………………………11分若522m，则2y ，22x ；若522m，则2y ，22x．…12分故当点Q 的坐标为2,22或2,22时，△ABQ 的面积最大，其值为2222221522212SAB．………………………14分7．如图，B A,分别是椭圆C ：)0(12222ba by ax 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．7．【解析】：（1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴，解得a=2，c=1，∴b 2=a 2﹣c 2=3．∴椭圆C 的方程为=1．（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k ≠０），联立，化为（3+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣12=0，∴，∴x P =，∴y P =k （x P +2）=，∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣．直线QF 的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q =，∴Q．∴k PQ ==，k BQ =．∴k PQ =k BQ ，∴B ，P ，Q 三点共线．8．已知椭圆2222:10x y C a b ab的离心率为32，且经过点0,1．圆22221:C xyab. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l:0y kx m k 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM 0是否成立？请说明理由．8．解析：（1）解：∵椭圆2222:1x y C ab过点0,1，∴21b.∵2223,2c ab c a，∴24a．∴椭圆C 的方程为2214xy.……………４分（2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O . ……………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．…………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm kmx kk，22241414M Mk m m y kx mmkk. ……９分∴点M 的坐标为224,1414km m kk. ……………10分由于0k ，结合①式知0m ，∴OMk k2211414414mk kkmk.…………11分∴OM 与AB 不垂直. ……12分∴点M 不是线段AB 的中点. ………13分∴AMBM0不成立.………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225xy，其圆心为原点O .………５分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14ykx m x y（*）有且只有一组解．由（*）得222148440kxkmxm ．………６分从而2228414440km k m,化简得2214mk ．①………７分228414214Mkm km x kk，………………８分由于0k ，结合①式知0m ，设1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为,N N N x y , 由22,5,y kx m xy消去y ,得2221250kxkmx m.…………９分∴12221N x x km x k . …………10分若N M x x ,得224114km km kk,化简得30,矛盾. ………11分∴点N 与点M 不重合. ………12分∴点M 不是线段AB 的中点. …………13分∴AMBM 0不成立.………14分9．已知抛物线C ：22(0)ypx p 的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN 的最小值．9．【解析】（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2p yx，………１分代入22(0)ypx p得：22304pxpx，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p …３分∵8MN，∴128x x p ，即38p p ，解得p 2∴抛物线的方程为：24yx ．………５分（2）设l 方程为yxb ，代入24yx ，得22(24)0xb x b ，因为l 为抛物线C 的切线，∴0，解得1b ，∴:l 1yx ………７分由（1）可知：126x x ，121x x 设(,1)P m m ，则1122(,(1)),(,(1))PMx m y m PN x m y m 所以1212()()[(1)][(1)]PM PNx m x m y m y m 2212121212()(1)()(1)x x m x x my y m y y m 126x x ，121x x ，21212()1616y y x x ，124y y ，2212124()yy x x ，∴12121244x x y y y y 221644(1)(1)PM PN m m m m ………10分222[43]2[(2)7]14mm m 当且仅当2m 时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN 的最小值为14．………12分10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20xy 上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标.10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得222(2)4x y y +-=+，（2分）化简得24x y =.（2分）（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bì?=?í?=+?消去y 得2440x kx b --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=??í?=-?，且21616k b D =+（2分）以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即2111124y x x x=-同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =-设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x 1Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+??==???í??==-???，即(2,)A k b -则：220k b +-=，即22b k=-（2分）代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>22212||1||41PQ k x x kk b=+-=++(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22|22|1k b d k +=+（2分）3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y=上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111()2y y x x x -=-即1112y x x y =-同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-（2分）设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ì??=-??í??=-???，点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-（2分）代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=00(,)A x y 到直线PQ 的距离为200201|2|2114x y d x -=+（2分）33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).（4分）11．已知点)1,2(A 在抛物线:2x ay 上，直线1:l 1y kx （R k ，且0k ）与抛物线E 相交于C B,两点，直线AC AB,分别交直线2:l 1y 于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若25S，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．11．（1）解：∵点2,1A 在抛物线2:E x ay 上，∴4a . ……１分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设点,B C 的坐标分别为1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4xy xy ，由21,4,y kx xy 消去y 得2440xkx ，解得221,24412212kk x k k.∴12124,4x x k x x .……………２分直线AB 的斜率2111111124224ABxy x k x x ，故直线AB 的方程为12124x y x.……………３分令1y，得1822xx ，∴点S 的坐标为182,12x . ……………４分同理可得点T 的坐标为282,12x .……………５分∴121212888222222x x STx x x x 121212121288248x x xxx x x x x x kk . ……………６分∵25ST ，∴1225x x k .由221212124x x x x x x ，得22201616kk，解得2k , 或2k ,……………　7分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .……………９分（3）设线段ST 的中点坐标为0,1x ，则1212124418822222222x x x x x x x 1212444444222248k k x x x x k k . ……………10分而2ST2221212122221614kx x x x x x k kk，……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为2222114xy ST k 2241kk.展开得22222414414kx x y kkk.……………12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24xy.设直线AB 的方程为112y k x ，点B 的坐标为11,x y ，由112,1,y k x y解得122,1.x k y∴点S 的坐标为122,1k . ………２分由1212,4,y k x xy 消去y ，得2114840x k x k ，即12420x x k ，解得2x或142x k .∴1142x k ，22111114414y x k k .∴点B 的坐标为211142,441k k k . ………３分同理，设直线AC 的方程为212y k x ，则点T 的坐标为222,1k ，点C 的坐标为222242,441k kk . …………４分∵点,B C 在直线1:1l y kx 上，∴22222211212121214414414242kk kk kkk k k k k k k 121k k .∴121k k k . ………５分又211144142k k k k 1，得21111214442412k k kk kk k k k ，化简得122k k k .……………６分12121222222k k STk k k k ，…………７分∵25ST ，∴1212225k k k k .∴2212125k k k k .由2221212121212454k k k k k k k k k k ，得225124k kk ，解得2k.……８分∴直线1l 的方程为21yx ，或21yx .…… 9分（3）设点,P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ，………10分得122222110x x y y k k ，…11分整理得，224410x xy k . …12分令0x，得214y ，解得1y 或3y.……13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点0,1,0,3.…14分12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）B A,为椭圆C 上满足AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OPtOE ，求实数t 的值.12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(12222baby ax 由题意可得：2222222b a cecba，解得：1,2c b a 因此：椭圆C 的方程为1222yx(II)（1）当B A,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x，由题意可得：)2,0()0,2(m 将x m 代入椭圆方程1222yx ，得22||2m y 所以：4622||2m m S AOB ，解得：232m 或212m①又)0,()0,2(21)(21mt m t OB OA t OEt OP因为P 为椭圆C 上一点，所以12)(2mt ②由①②得：42t或342t，又知0t，于是2t或332t（2）当B A,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kxy，由hkx y y x 1222得：0124)21(222hkhx xk 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0可得：2221hk 此时：2212122212212122)(,2122,214kh hx x k y y kh x x kkh x x ，所以222221221221211224)(1||khk kx x x x kAB 因为点O 到直线AB 的距离21||kh d所以：222221||212112221||21kh khkkd AB SAOB46||21212222h khk③令221k n，代入③整理得：016163422h n h n 解得：24h n 或234h n ，即：22421h k 或223421h k ④又)21,212(),(21)(21222121khtk kht y y x x t OB OA t OE t OP 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222kh kkh t ，即121222tkh⑤将④代入⑤得：42t 或342t，又知0t ，于是2t 或332t，经检验，符合题意综上所述：2t或332t13．已知点2,1P 在抛物线21:20C xpy p上，直线l 过点0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。

2019高考试题解析分类汇编：圆锥曲线一、选择题1．1（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 C ．255D ．4552214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式20022Ax Bx C d A B++=+2222551(2)±=+±．2（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x y -=B ．22145x y -= C．22125x y -=D ．22125x y -==． B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．3 3．（2019年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±已知双曲线C ：的离心率为，故有=，所以=，解得=．故C 的渐近线方程为，故选C ．本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。

双曲线1C 中，2222cos ,sin a b θθ==，所以21c =，离心率为221c o s e θ=。

2C 中，22222s i n ,s i n t a n a b θθθ==，所以22222s i n s i nt a nt a nc θθθθ=+=。

离心率为2222tan 1sin cos e θθθ==，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.4 4．（2019年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B ．32C ．1D ．3B因为抛物线方程为y 2=4x 。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。

培优点十八 圆锥曲线综合1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q两点，且PQ = （1）求C 的方程；（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析，()2,1． 【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，因为PQ =(P c -，代入椭圆方程得22221c a b+=，又因为c e a ==，所以21212b+=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22184x y +=．（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，联立()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，由相切得()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦，化简得()221184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，因为方程只有一解，所以1111122111822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()11112x y y x x y -=--， 即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为0028x x y y +=，又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=， 即()02880x x y y -+-=，令20880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，所以直线AB 恒过定点()2,1．2．面积问题例2：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y xc =与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22184x y +=；（2）3232,93⎛⎤⎥⎝⎦． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b cα=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，()12122sin9012||sin sin 90F F c a ce b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++， 解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=．（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得A ⎛ ⎝，B，得AB =由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝，12CD x =-=而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，12ACBD S AB CD ∴=⨯=由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．3．参数的值与范围例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点． （1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=，2240BM BN +=，求λ的值． 【答案】（1）24y x =，2AF =；（2）2λ=． 【解析】（1）抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，12p∴=，则24p =，抛物线方程为24y x =； 点()1,2A 在抛物线C 上，122pAF ∴=+=． （2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，联立方程241y xx my ==+⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my -=-．所以121244y y m y y +==-⎧⎨⎩ ①，且112211x my x my =+=+⎧⎨⎩，又MF FN λ=，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入①得()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩，消去2y 得2142m λλ=+-，()1,0B -，则()111,BM x y =+，()221,BN x y =+，则()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++ ()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++ ()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++，当4216401640m m ++=，解得212m =，故2λ=．4．弦长类问题例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x Cy -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．【答案】（1）2213x y +=；（2）(． 【解析】（1）由题意可知：23a =，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x =⇔=，1b ==，∴椭圆方程2213x y +=． （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得：()222136330k xkmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()222222221301303641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩， 设()111,Q x y ，()222,Q x y ，则有：122613kmx x k +=-，21223313m x x k --⋅=-．又()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++． 又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：()()()22222221133613513k m k m m k k ⎡⎤+--++-=-⎣⎦-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=，要有两交点，则()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>．③ 由①②③有2109k <≤．设()133,M x y 、()244,M x y ．有342613kmx x k -+=+，23423313m x x k -⋅=+，12M M==将2219mk =-代入有1212M M M M ==12M M ⇒=2t k =，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++，10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．所以()'0f t >在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，故函数()f t 在10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内单调递增，故()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦．5．存在性问题例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，点A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则1c=， ∵A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，∴122a AF AF =+==∴a =2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）假设这样的直线存在，设直线l 的方程为2y x t =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭，()44,Q x y ，MN 的中点为()00,D x y ，由22222y x t x y =++=⎧⎨⎩，消去x ，得229280y ty t -+-=，∴1229ty y +=，且()2243680Δt t =-->，故12029y y t y +==且33t -<<， 由PM NQ =，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， ∴405329y t y +==，得42159t y -=，又33t -<<，可得4713y -<<-，∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．一、解答题1．已知动圆P 过点()22,0F 并且与圆()221:24F x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()22,0F 的直线1l 与轨迹C 交于A 、B 两点，设直线1:2l x =，设点()1,0D -，直线AD 交l 于M ，求证：直线BM 经过定点．【答案】（1）()22103y x x -=>；（2）见解析． 【解析】（1）由已知12| | 2PF PF =+，12| | 2PF PF -=，P 轨迹C 为双曲线的右支，22a =，1a =，12| 24F F c ==，2c =∴曲线C 标准方程()22103y x x -=>．（2）由对称性可知，直线BM 必过x 轴的定点，当直线1l 的斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，知直线BM 经过点()1,0P ，当直线1l 的斜率存在时，不妨设直线()1:2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，对点增分集训直线()11:11y AD y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭， ()22233y k x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩得()()222234430k x k x k -+-+=，212243k x x k -+=-，2122433k x x k +=-， 下面证明直线BM 经过点()1,0P ，即证PM PB k k =，即1212311y yx x -=+-， 即12112233y x y x y y -+=+，由112y kx k =-，222y kx k =-，整理得，()12124540x x x x -++=，即()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=--- 即证BM 经过点()1,0P ，直线BM 过定点()1,0．2．已知点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB（1）求椭圆E 的方程；（2）设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）22143x y +=；（2） 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，有229141a b +=，由等面积法，可得原点O 到直线AB=联立两方程解得2a =，b =E 的方程为22:143x y E +=．（2）设点()()00000,,0P x y x y >>，则2200143x y +=，即2203412x y +=． 直线()00:22y PA y x x =++，令0x =，得0022D yy x =+．从而有00022y BD x =+，同理，可得AC =．所以四边形的面积为1122AC BD ⋅=1122====．所以四边形ABCD的面积为3．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP 上的点M ，满足0MQ AP ⋅=，2AP AM =．（1）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，且3445OF OF ≤⋅≤（其中O 是坐标原点），求k 的取值范围． 【答案】（1）是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2212x y +=；（2）32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦． 【解析】（1）由题意MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以2CP QC QP QC QA CA=+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为 ∴a =1c =，1b =，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=．（2）设直线l ：y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ， 直线l 与圆221x y +=1=，即221b k =+，联立2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kbx b +++-=，()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>，得0k ≠，122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+， ∴()()()()()222221212121222122411212k bkb OF OH x x y y k x x kb x x b kbb kk+--⋅=+=++++=++++()()222222222124111121212k k k k k k k k k +++=-++=+++，所以223144125k k +≤≤+，得21132k ≤≤，k ≤≤，解得k ≤≤k ≤≤故所求范围为32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦． 4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB △面积的最大值为2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点P ，Q ，求PQ 的取值范围． 【答案】（1）22143x y +=，221x y +=；（2）⎡⎢⎣⎦．【解析】（1）设B 点到x 轴距离为h ，则1111222A AB A OB S S AO h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△，易知当线段AB 在y 轴时，max h BO c ==，12A AB S a c ∴=⋅=△， 12c e a ==，2a c ∴=，2a ∴=，1c =，b =， 所以椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y +=．（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L 的方程为1x =±，此时223b PQ a==；设直线L 方程为：y kx m =+，直线为圆的切线，1d ∴==，221m k ∴=+，直线与椭圆联立，22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，判别式()248320Δk =+>，由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以弦长12PQ x =-=2433t k =+≥，所以PQ ⎛= ⎝⎦；综上，PQ ⎡∈⎢⎣⎦，5．如图，己知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>的左、右焦点，直线():1l y k x =+经过左焦点1F ，且与椭圆G 交A ，B 两点，2ABF △的周长为 （1）求椭圆G 的标准方程；（2）是否存在直线I ，使得2ABF △为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22132x y+=；（2）不存在，见解析． 【解析】（1）设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为()1,0-，故1c =． 又2ABF △的周长为224AB AF BF a ++==a =222312b ac =-=-=．因此，椭圆G 的标准方程为22132x y +=．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即22AF BF ≠．由题意知()21,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，假设22AF BF =，则又2211132x y +=，2222132x y +=，代入上式，消去21y ，22y 得：()()121260x x x x -+-=． 因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以12x x ≠，故126x x +=．(与1x≤，2x ≤126x x +≤矛盾）联立方程()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得：()2222326360k x k x k +++-=，所以21226632k x x k +=-=+矛盾．故22AF BF ≠．再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设2ABF △为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点．设1AF m =，则2AF m =-，在12AFF △中，由勾股定理得：()224m m +=，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。

【解析】1）连结 PF 1 ，由 △P OF1a（2）由题意可知，满足条件的点 P( x , y) 存在．当且仅当 | y | ⋅2c = 16 ，1 y y x2 y 22 2专题 20圆锥曲线综合【母题来源一】【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 F 1 , F 2 是椭圆 C :x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P为 C 上一点，O 为坐标原点．（1）若 △POF 2 为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P ，使得 PF 1 ⊥ PF 2 ，且 △F 1PF 2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围．【答案】（1） 3 - 1 ；（2） b = 4 ，a 的取值范围为[4 2, +∞ ) .（ 2为等边三角形可知在△F 1PF 2 中，∠F 1PF 2 = 90︒ ，PF 2 = c ，PF = 3c ，于是 2a = PF + PF = ( 3 + 1)c ，故 C 的离心率是 e = c= 3 - 1 .1 2⋅ = -1 ， + 2 x + c x - c a b 2即 c|y| = 16 ，①x 2 + y 2 = c 2 ，②= 1 ，x 2 y 2 = 1 ，③+ ab 2由②③及 a 2 = b 2 + c 2 得 y 2 =b 4 162，又由①知 y 2 =c 2 c 2，故 b = 4 ．由②③得 x 2 =a 2 (c 2- b 2)，所以 c 2≥ b 2，从而 a2 = b 2+ c2 ≥ 2b 2= 32, 故 a ≥ 4 2 .c2当 b = 4 ， a ≥ 4 2 时，存在满足条件的点P ．所以 b = 4 ， a 的取值范围为[4 2, +∞) ．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.⎩ y 2 = 4x 得 k 2 x 2 - (2k 2 + 4) x + k 2 = 0 ．k 2， ⎪ 0⎪( x 0 + 1)2 = + 16. ⎩ y 0 = 2 ⎩ y 0 = -6.【母题来源二】【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线C ：y 2 = 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．（1）求 l 的方程；（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2） ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或 ( x - 11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【解析】（1）由题意得 F （1，0），l 的方程为 y =k （x –1）（k >0）．设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．⎧ y = k ( x -1)由 ⎨∆ = 16k 2 + 16 = 0 ，故 x 1+ x =2 2k 2 + 4 k 2．4k 2 + 4所以 AB = AF + BF = ( x + 1) + ( x + 1) = ．1 2由题设知 4k 2 + 4 k 2= 8 ，解得 k =–1（舍去） k=1．因此 l 的方程为 y =x –1．（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为y - 2 = -( x - 3) ，即 y = - x + 5 ．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则⎧ y = - x + 5，0 ⎨ ( y - x + 1)2 0 0 ⎩ 2 ⎧ x = 3， ⎧ x = 11， 解得 ⎨ 0 或 ⎨ 0因此所求圆的方程为( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 16 或 ( x - 11)2 + ( y + 6)2 = 144 ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线 l 的方程，代入抛物线方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;2“ . （2）由题意写出线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.x 2【母题来源三】【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C : + y 2 = 1 上，过 M 作 2x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP =2 NM .（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x = -3 上，且 OP ⋅ PQ = 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.【答案】（1） x 2 + y 2 = 2 ；（2）见解析.【解析】（1）设 P （x ，y ），M （ x 0 , y 0 ），则 N （ x 0,0 ）， NP = ( x - x 0 , y), NM = (0, y 0 ) ，由 NP = 2 NM 得 x = x ，y =20 0y .因为 M （ x 0 , y 0 ）在 C 上，所以x 2 y 2 + = 1 . 2 2因此点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 = 2 .（2）由题意知 F （−1,0），设 Q （−3，t ），P （m ，n ），则OQ = (-3, t ), PF = (-1 - m , -n ), OQ ⋅ PF = 3 + 3m - tn ，OP = (m , n ), PQ = (-3 - m , t - n ) .由 OP ⋅ PQ = 1 得 -3m - m 2 + tn - n 2 = 1 ，又由（1）知 m 2 + n 2 = 2 ，故3 + 3m - tn = 0 .所以 OQ ⋅ PF = 0 ，即 O Q ⊥ PF .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过C 的左焦点 F.【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 定点”是什么、“定值”是多少，或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的 定点、定值问题同证明问题类似，在求 定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；P n ） .. ..（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证 OQ ⋅ PF = 0 ，先设 （m ， ，则需证 3 + 3m - tn = 0 ，即根据条件 OP ⋅ PQ = 1 可得 -3m - m 2 + tn - n 2 = 1 ，而 m 2 + n 2 = 2 ，代入即得 3 + 3m - tn = 0 .【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 （3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 （4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强 从近三年高考情况来看，多考查直线与 圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养 【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在 x(y)轴上的截距是直线与 x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为 0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式 A x +By +C =0，且 A ≥0.（二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．“2 2 2 . “.（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半 径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．（三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a 2，b 2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为 x 2 y 2 y 2 x 2 + = 1(a > b > 0) 或 +a b a b 2= 1(a > b > 0) .第三步，找关系 根据已知条件，建立关于 a, b , c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 c 2 = a 2－b 2 ）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要 先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 mx 2 + ny 2＝1(m > 0，n > 0且m ≠ n) .（四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程（五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题.由 ⎨，得 k 2 x 2 + (2km - 4)x + m 2 = 0 ，k定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究同时，也要 掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【陕西省汉中市 2019 届高三全真模拟考试数学试题】已知点 M 为直线 l : x = -1 上的动点， N (1,0)，1过 M 作直线 l 的垂线 l ， l 交 MN 的中垂线于点 P ，记点 P 的轨迹为 C .1（1）求曲线 C 的方程；（2）若直线 l : y = kx + m (k ≠ 0) 与圆 E : (x - 3)2 + y 2 = 6 相切于点 D ，与曲线 C 交于 A ， B 两点，2且 D 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程.2【答案】（1） y 2 = 4 x ；（2）直线 l 的方程为 y = 2【解析】（1）由已知可得， PN = PM ，即点 P 到定点 N 的距离等于它到直线 l 的距离，1故点 P 的轨迹是以 N 为焦点， l 为准线的抛物线，1∴曲线 C 的方程为 y 2 = 4 x .2 x 或 y = - 2 x .（2）设 A (x , y )， B (x , y1122) ， D (x , y ) ，0 0⎧ y = kx + m ⎩ y 2 = 4 x∴ x + x = 4 - 2km1 2 2，∴x=x+x，即D ,⎪，2-km2⎛2-km2⎫2k k⎝k k⎭∴DE2=6，且DE⊥l，从而⎛ -3⎪+ ⎪=6，kDE ⋅kl=-1，⎭⎝k⎭⎪k2-3=-2即：⎨，⎪⎛2-km⎫2⎛2⎫2⎪⎩ ⎝k2-3⎪+ ⎪=6整理可得⎛ ⎪=2，即k=±2，2．（重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题）已知椭圆C：+x2y236【解析】（1）由题意可得：a=2，ca22，则b2=a2-c2=2.，得c=12=，y=kx+m=02002∵直线l与圆E:(x-3)2+y2=6相切于点D，222-km ⎝k2⎫2⎛2⎫22⎧2-km⎪⎭⎝k⎭2⎫2⎝k⎭∴m=0，故直线l的方程为y=22x或y=-2x.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，还考查了韦达定理及两直线垂直的斜率关系，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于难题.x2y2a2b2=1(a>b>0)的左顶点为M(-2，0)，离心率为2 2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当MA⋅MB取得最大值时，求△MAB的面积．【答案】（1）C:+=1；（2）4222=x2y2所以椭圆C的方程为+=1.42（2）当直线l与x轴重合，不妨取A(-2,0),B(2,0)，此时MA⋅MB=0，⎪ + t 2 + 2t 2 + 2= (t 2 + 1) y y + 3t ( y + y ) + 9 = (t 2 + 1) -3 t 2 + 2 t 2 + 2), B(1,- ) ，所以 AB = 6 .【解析】 1）设 AB 中点为 M ， A 到准线的距离为 d 1 ，B 到准线的距离为 d 2 ，M 到准线的距离为 d ，当直线 l 与 x 轴不重合，设直线 l 的方程为： x = ty + 1 ,设 A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，⎧ x = ty + 1 ⎪联立 ⎨ x 2 y 2 得 (t 2 + 2) y 2 + 2ty - 3 = 0 ，= 1 ⎩ 4 2显然 ∆ > 0 ， y + y =12所以 MA ⋅MB = ( x 1 + 2)(x 2+ 2) + y 1 y 2 =(ty 1 +3)(ty 2 + 3) + y 1y 2-2t+ 3t + 91 2 1 2-3t 2 - 3 - 6t 2 -9t 2 - 3= + 9 =t 2 + 2 t 2 + 2+ 9 = 15 t 2 + 2 ，当 t = 0 时， MA ⋅ MB 取最大值15 2.此时直线 l 方程为 x = 1 ，不妨取 A(1, 6 62 2又 MN = 3 ,所以 △MAB 的面积 S = 1 3 6 ⨯ 6 ⨯ 3 = 2 2.【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.3．【湖南省郴州市 2019 届高三第二次教学质量监测试卷数学试题】已知抛物线C : x 2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点.（1）若以 A ， B 为直径的圆的方程为 ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 16 ，求抛物线 C 的标准方程；（2）过 A ， B 分别作抛物线的切线 l 1 ， l 2 ，证明： l 1 ， l 2 的交点在定直线上.【答案】（1） x 2 = 4 y ；（2）见解析.（则 d = y + M p 2，由抛物线的定义可知， d 1 =| AF |, d 2 =| BF | ，所以 d 1 + d 2 = |AB| = 8 ，由 x 2 = 2 py 得 y = ，则 y ' =所以直线 l 1 的方程为 y - y 1 = x ( x - x )，直线 l 的方程为 y - y = 2 (x - x ) ， p p 2 ， y = 1 2 ，即 l， l 的交点坐标为2⎪ ， 2 p22 p ⎭⎝因为 AB 过焦点 F 0, 2 ⎭ p.【由梯形中位线可得 d = d + d 1 22 = 4 ，所以 y + M p 2= 4 ，而 y = 3 ，M 所以 3 + p 2= 4 ，可得 p = 2 ，所以抛物线 C : x 2 = 4 y .（2）设 A (x , y )， B (x , y1 122x 22 p)，x p.x 1 1 2 2 2联立得 x = x + x12x x ⎛ x + x x ⋅ x ⎫1 21 2 , 1⎛ ⎝p ⎫⎪ ，所以设直线 AB 的方程为 y - p= kx ，将其代入抛物线 x 2 = 2 py 中得2x 2 - 2 pkx - p 2 = 0 ，所以 x x = - p 2 ，1 2所以 x x - p 2 p1 2 = =- ， 2 p 2 p 2所以 l 1 ， l 2 的交点在定直线 y = - 2上.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，以及圆锥曲线中定点定值的求法题目较综合，对计算量的要求比较高，属于中档题目.（1）由抛物线的定义求出 p ，可得抛物线方程.（2）利用导数求出过 A 、 B 两点的切线方程，并求出其交点.再由直线 AB 与抛物线联立得到 A 、 B 两点的坐标关系.代入交点坐标，可得所求定直线.x 2 y 24． 甘肃省、青海省、宁夏回族自治区 2019 届高三 5 月联考数学试题】已知椭圆 C ：+ a 2 b 2 = 1(a > b > 0)（ ⎧⎪a = 2⎪2c = 2 3 l 的方程为 y = - x + m ， P (x , y )， Q (x , y ) ,2 ⎪⎪ 2 ()则 ∆ = 4m 2 - 8 m 2 - 1 = 4 2 - m 2 > 0 ，且 x 1 + x 2 = 2m > 0 ， x x = 2 m 2 - 1 > 0 ，故 y y = - x + m ⎪ - x + m ⎪ = x x - m (x + x )+ m2 = ⎝ 21⎭⎝ 22⎭ 41 222x x - m (x + x )+ m 2 = 1 2 = 4 = = k 2 yy 1 2的离心率为3 ，焦距为 2 3 ．2（1）求 C 的方程；（2）若斜率为 - 1的直线 l 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点（点 P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：2直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】（1）x 2 4+ y 2= 1 ； 2）见解析.⎧ c 3 ⎪ =【解析】由题意可得 ⎨ a 2 ，解得 ⎨⎩又 b 2 = a 2 - c 2 = 1 ，x 2所以椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1 .4⎪⎩ c = 3，（2）记直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次为 k OP ， k PQ ， k OQ ，易得 k 1PQ = - 2 .设直线1 1 12 2⎧1 y=- x + m由 ⎨⎪ x 2 + y 2 = 1 ⎪⎩ 4，消去 y ，得 x 2 - 2mx + 2 m 2 - 1 = 0 ，() ()()1 21 212⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1 1 m 2 - 1，k k OP OQ x x x x41 2 1 21 1 12 1 2PQ ，即直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单10【 4 ，所以 y' = 1 ，切线 l 的斜率为 k x( )5． 辽宁省沈阳市 2019 届高三教学质量监测（三)数学（理)试题】抛物线 C : x 2 = 2 py( p > 0) 的焦点为 F ，M (-2, y ) 是 C 上一点，且 MF = 2 ．（1）求 C 的方程；（2）过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A, B 两点，分别过点 A, B 两点作抛物线 C 的切线 l 1 , l 2 ，两条切线相交于点 P ，点 P 关于直线 AB 的对称点 Q ，判断四边形 P AQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1） x 2 = 4 y ；（2）见解析.【解析】（1）根据题意知， 4 = 2 py 0①因为 MF = 2 ，所以 y +p2 = 2 ②联立①②解得 y 0 = 1, p = 2 ．所以抛物线 C 的方程为 x 2 = 4 y ．（2）四边形 P AQB 存在外接圆．设直线 AB 方程为 y = kx + 1 ，代入 x 2 = 4 y 中，得 x 2 - 4kx - 4 = 0 ，设点 A (x , y ), B (x , y 1122) ，则 ∆ = 16k 2 + 16 > 0 ，且 x + x = 4k , x x = -4 ，121 2所以 | AB |= 1 + k 2 x - x = 4 (k 2 + 1)，1 2因为 C : x 2 = 4 y ，即 y =x 2 x2 ．因此，切线 l 的斜率为 k = 1 1 x2 2 2 = 2 ，由于 k k = 1 2 x x1 2 = -1 ，所以 P A ⊥ PB ，即 △PAB 是直角三角形，4所以 △PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 的中点，线段 AB 是圆的直径，所以点 Q 一定在 △PAB 的外接圆上，即四边形 P AQB 存在外接圆．又因为 AB = 4 k 2 + 1 ，所以当 k = 0 时，线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4π ．11( ), 0 t ) 2【解析】（1）由题意， e = c （2）因为直线 l 经过点 P (t,0 )(0 < t < a ) 和点 Q (0,1)，所以直线 l 的斜率为 1 ，设 l : y = - x + 1，( )3t 2 + 4 3t 2 + 4因为 AP = λ PB ，所以 (t - x , - y + 1⎪ - 4 ． =(1 - + 1⎪ - 4 ∈ [12, +∞ )， 3 (1 - λ )2 ⎝ t 2【名师点睛】本题考查了抛物线的定义的运用、抛物线的切线的斜率的应用、证明四边形是否存在外接圆问题.6 ．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019 届高三第四次模拟考试数学试题】已知椭圆E : x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 与 y 轴 正 半 轴 交 于 点 M 0, 3 ， 离 心 率 为1 2 ．直线 l 经过点P ( t 0)( < < a 和点 Q (0,1)，且与椭图 E 交于 A 、B 两点（点 A 在第二象限）．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若 AP = λ PB ，当 0 < t ≤ 2 33时，求 λ 的取值范围．【答案】（1） x 2 y 2+ = 1 ；（2） 4 3 ⎛ 3 + 5 ⎤ λ ∈ 1, ⎥ . ⎝ ⎦1= 且 b = 3 ，所以 a = 2 ，a 2x 2 y 2所以椭圆 E 的标准方程为 + = 1 ．4 31 -ttx 2 y 2将其代入椭圆方程 + = 1 中，4 3消去 x 得 3t 2 + 4 y 2 - 6t 2 y + 3t 2 - 12 = 0 ，当 ∆ > 0 时，设 A (x , y )、 B (x , y1122) ，则 y + y = 1 2 6t 2 3t 2 - 12……①， y y =1 2……②11) = λ (x 2- t, y )，所以 y = -λ y ……③2 1 2联立①②③，消去 y 1 、 y 2 ，整理得 12λ )2 ⎛ 4 ⎫2⎝ t 2 ⎭2 312λ ⎛ 4 ⎫2 当 0 < t ≤ 时， =⎭⎡ 3 - 5 ⎫ ⎛ 3 + 5 ⎤ 解得 λ ∈⎢ 2 ,1⎪ 1, 2 ⎥ ，⎣ ⎭ ⎝ ⎦12⎛ ⎤.【解析】（1）由直线 x = 1 被椭圆截得的弦长为 3 ，得椭圆过点 1, ⎛ 3 ⎫1 32 ⎪⎭2 b 2( ) （2）由 ⎨ 4 得 1 + 4k 2 x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ⎪ y = kx + m= 4 ， b1 + 4k由 y + y 1 2 = (1 - λ) y2 =6t 23t 2 + 4 > 0 且 y 2 < 0 ，故 λ > 1 ，所以 λ ∈ 1, 3 +2 5⎥ ．⎝ ⎦【名师点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识7．【内蒙古呼伦贝尔市 2019 届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知椭圆 C ：x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a >b > 1)离心率为3 ，直线 x = 1 被椭圆截得的弦长为 3 .2（1）求椭圆方程；（2）设直线 y = kx + m 交椭圆 C 于 A ，B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 x = 1 上，求证：线段 AB的中垂线恒过定点.【答案】（1）x 2 4+ y 2= 1 ；（2）见解析.⎪ ，即 += 1， ⎝a 4b 2c 3又 e = = 1 - =a a 2 2，得 a 2 = 4b 2 ，x 2所以 a 22 = 1，即椭圆方程为 + y 2 = 1 .4⎧ x 2 ⎪ + y 2 = 1⎩由 ∆ = 64k 2m 2 - 4(1+ 4k 2 )(4 m 2 - 4) = -16m 2 + 64k 2 + 16 > 0 ，得 m 2 < 1 + 4k 2 ，由 x + x =-1 2 8km 1 + 4k 2，设 AB 的中点 M 为 (x , y 0)，得 x =- 4km= 1，即1 + 4k 2 = -4km ，0 213= - (x - 1). x - ⎪ ，故 AB 的中垂线恒过点 N ,0 ⎪ . k ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【1 ∴ y = kx + m = 0 0 m 1 =- 1 + 4k2 4k.∴ AB 的中垂线方程为 y +1 1 4k k即 y =- 1 ⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线相交，韦达定理的应用以及直线过定点问题，属于中档题.8． 河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知抛物线 E : x 2 = 2 py ( p > 0)的焦点为 F ，A (2, y 0)是 E 上一点，且 AF = 2 .（1）求 E 的方程；（2）设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 y = x - 3 交于点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线交 E 于点 M ，证明：直线 BM 过定点.【答案】（1） E 的方程为 x 2 = 4 y ；（2）见解析.【解析】（1）根据题意知， 4 = 2 py ①，因为 AF = 2 ，所以 y + 0 p 2= 2 ②.联立①②，解得 y = 1 ， p = 2 .所以 E 的方程为 x 2 = 4 y .（2）设 B (x , y )， M (x , y1122).由题意，可设直线 BM 的方程为 y = kx + b ，代入 x 2 = 4 y ，得 x 2 - 4kx - 4b = 0 .由根与系数的关系，得 x + x = 4k ， x x = -4b ③.1 21 2由 MP ⊥ x 轴及点 P 在直线 y = x - 3 上，得 P (x , x - 3) ， 2 2由 A ， P ， B三点共线，得 x - 4 kx + b - 1 2 = ，x - 2 x - 2 2 1整理，得 (k -1)x x - (2k - 4)x + (b + 1)x - 2b - 6 = 0 . 1 2 12将③代入上式并整理，得 (2 - x1)(2k + b - 3) = 0 .14由点B的任意性，得2k+b-3=0，(x-2)+3，所以y=kx+3-2k=k(2,3).即直线BM恒过定点15。

10.5 圆锥曲线的综合问题五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点一 圆锥曲线中点定值问题1．（2017课标全国II ．20，12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x= -3上，且1=⋅证明：过点P 且垂直于OQ 的直线L 过C 的左焦点F ．2．（2015课标II ，20，12分．0.247）已知椭圆>>=+b a by a x C (1.:2222)0的离心率为)2,2(,.22点在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线O 不过原点O 且不平行于坐标轴，L 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为胍证明：直线OM 的斜率与直线L 的斜率的乘积为定值．考点二 圆锥曲线中最值（范围）问题（2016课标全国Ⅱ．21,12分）已知A 是椭圆134:22=+y x E 的左顶点，斜率为k （k>0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上．MA⊥NA．(1)当︱AM|=｜AN|时，求△AMN 的面积； (2)当2｜AM ｜=｜AN|时，证明：.23<<kB 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点一圆锥曲线中定点定值问题1．(2016北京．19,14分）已知椭圆),0,2(.1:2222A by a x C ≡=+)1,0(B 两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率：(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：四边形ABNM 的面积为定值．2.（2014江西，20,13分）如图，已知抛物线,4:2y x C =过点M(O ，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D(O 为坐标原点)． (1)证明：动点D 在定直线上：(2)作C 的任意一条切线L （不含x 轴），与直线y=2相交于点,1N 与(1)中的定直线相交于点⋅2N 证明：2122||||MN MN -为定值，并求此定值．考点二圆锥曲线线中最值（范围）问题1．（2018浙江．21,15分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 x y C 4:2=上存在不同的两点A ．B 满足PA ．PB 的中点均在C 上． (1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆)0(1422<=+x y x 上的动点，求△PAB 面积的取值范围．2．（2016山东．21,14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的长轴长为4．焦距为.22(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M(O ，m)(m>0)的直线交x 轴于点N ，交c 于点A ，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．(i)设直线PM ，伽的斜率分别为,,/k k 证明/kk为定值：(ii)求直线AB 的斜率的最小值．3．（2017浙江．21,15分）如图，已知抛物线,2y x =点),49,23(),41,21(B A 抛物线上的点),(y x P ⋅<<)2321(x 过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求｜PA ｜．｜PQ ｜的最大值．4．（2017山东．21,14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:22>>=+b a by a x C 的离心率为,22 椭圆C 截直线y=l 所得线段的长度为.22(2)动直线z ：y=kx+m(m≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴剥点M 点N 是M 关于O 的对称点，ON 的半径为 ｜NO ｜．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．考点三圆锥曲线 中存在性问题1．（2015四川．20,13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率是,22点P(O ，1)在短轴CD 上，且.1.-= (1)求椭圆E 的方程；(2)设0为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点，是否存在常数.λ使得⋅+..λ为定值？若存在，求A 的值：若不存在，请说明理由．2．（2015湖北．22,14分）一种画椭圆的工具如图1所示.o 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1．MN=3．当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，带动Ⅳ绕D 转动．M 处的笔尖画出的椭圆记为G ．以0为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线L 与两定直线02:1=-y x l 和02:2=+y x l 分别交于P ，Q 两点，若直线L 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．突破方法方法1 圆锥曲线中定点、定值问题的求法例1(2017内蒙古包头一模）已知椭圆14:22=+y x C 与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，点M ，N 为椭圆C 上相异的两点，其中点M 在第一象限，且直线AM 与直线BN 的斜率互为相反数．(1)证明：直线MN 的斜率为定值； (2)求四边形AMBN 面积的取值范围，1-1（2017黑龙江哈尔滨师大附中三模）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为),0,()0,(21c F c F 、-过椭圆中心的弦PQ 满足Q PF Q PF PQ 22,90,2||∆=∠=且 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线L 不经过点A(O ，1)，且与椭圆交于M ，N 两点，若MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线L 过定点，并求出该定点坐标．例2（2017辽宁鞍山一中最后一模）已知O 为坐标原点),(),,(2211y x N y x M 是椭圆 12422=+y x 上的点，且=+21212y y x x ,0设动点P 满足.2+=(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线L ：y= x+m(m≠O)与曲线C 相交于A ，B 两个不的点，求△OAB 面积的最大值，2-1 （2018黑龙江佳木斯一中五调改编）椭圆E 中心在原点，焦点在y 轴上，21F F 、分别为椭圆上、下焦点，椭圆的离心率为p ,21为椭圆上一点且1.011PF k k PF PF 若=+的延长线与椭圆E 另一交点为A ．以PA为直径的圆过点N M ),0,536(为椭圆E 上的动点，求21NF NF ⋅的范围．方法3 圆锥曲线中存在性问题的求法例3（2017内蒙古呼和浩特一模）已知椭圆>=+a by a x （12222)0>b 的离心率,36=e 直线y=bx+2与圆222=+y x 相切．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(l ，0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由，3-1（2017黑龙江大庆二次质检）已知椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 经过点),2,2(P 离心率,22=e 直线L 的方程为x=4．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与Z 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为3213212:,,,k k k k k k -+问是不是定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由，三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点一圆锥曲线中定点定值问题1．（2018辽宁大连一模）已知抛物线,2:2x y C =过点M(l ，0)任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点，设点C(2，0)，连接AC ．BC 并延长，分别和抛物线C 交于点,//B A 和则直线//B A 过定点_______2．（2018新疆第二次适应性（模拟）检测）已知动点P 是圆x G (:32)622=++y 上的任意一点，点P 与点)0,6(A 的连线段的垂直平分线和GP 相交于点0．(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)过坐标原点D 的直线L 交轨迹C 于点E ，F ，直线EF 与坐标轴不重合，M 是轨迹C 上的一点，若△EFM 的面积是4，试问直线EF ，OM 的斜率之积是不是定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．3．（2017吉林长白山二模）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1．直线L 与抛物线相交于不同的A ．B 两点． (1)求抛物线的标准方程；(2)如果直线L 过抛物线的焦点，求.的值：(3)如果,4.-=直线L 是否过一定点？若过一定点，求出该定点：若不过一定点，试说明理由．4．( 2017黑龙江齐齐哈尔一模）如图，已知椭圆>=+a by a x C (1:2222)0>b 的左、右顶点分别为,21A A 、上、下顶点分别为,21B B 、两个焦点分别为,72||,2121=B A F F 四边形2211B A B A 的面积是四边形2211F B F B 的面积的2倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点，若∠APQ =∠BPQ，求证：直线AB 的斜率AB k 为定值，考点二圆锥曲线中最值（范围）问题1．( 2018陕西西安八校第一次联考）如图，抛物线x y W 4:2=与圆25)1(:22=+-y x C 交于A 、B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A 、B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是 ( ))12,10.(A )14,12.(B )14,10.(C )11,9.(D2．（2018海南二模）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若,1||1||1=+BF AF 则四边形ACBD 的面积的最小值为( ) 18.A 30.B 32.C 36.D3．（2016吉林长春二模．11）过双曲线11522=-y x 的右支上一点P 分别向圆4)4(:221=++y x C 和圆 1)4(:222=+-y x C 作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PN PM -的最小值为 ( )10.A 13.B y 19.D4．（2018陕西榆林二模）已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，),(),,(2211y x N y x M 是抛物线C 上的两个动点，若=++221x x MFN MN ∠则|,|2的最大值为__________5．（2018海南二模）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为121,NF F F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，22,BF AF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则1+a b的最大值为_________ 6．（2018新疆乌鲁木齐地区第二次诊断性测验）设椭圆=+22by a x ),0(1>>b a 直线)0(:=/+=m m kx y l 与椭圆交于A ，B 两点，当L 经过椭圆的一个焦点和一个顶点时，.3==m k (1)求椭圆的方程；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等差数列（0是坐标原点），求△OAB 面积的最大值，7．（2018辽宁大连一模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆+22:ax C )0(122>>=b a b y 的离心率为:)23,1(,21kM 在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程：(2)已知P( -2，O)与Q(2，0)为平面内的两个定点，过点(1，0)的直线L 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．8．（2017青海西宁二模）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点为F(l ，0)，且点)23,1(P 在椭圆C上．O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T(O ，2)的直线L 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线L 的斜率k 的取值范围，考点三圆锥曲线中存在性问题1．（2018辽宁朝阳一模）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为221,F F F 且关于直线x-y+a=0的对称点M 在直线3x+2y=0上．(1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为21的直线L 交椭圆于A ．B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．2．（2018吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联考）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为.32(1)求椭圆C 的标准方程：(2)是否存在过点P(O ，2)的直线L 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足O (2.=为坐标原点），若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由．3．（2018宁夏银川4月检测）已知动点P 到定点F(l ．O)和到直线x=2的距离之比为,22设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线L:y=mx+n 与曲线E 交于C ．D 两点，与AB 相交于一点（交点位于线段AB 上，且与A ，B 不重合）．(1)求曲线E 的方程：(2)当直线L 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线L 的方程；若没有，请说明理由．4．（2017陕西汉中4月模拟）已知直线3:+=kx y l 与y 轴的交点是椭圆)0(1:22>=+m m y x C 的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线L 与椭圆C 交于A 、B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点o?若存在,求出k 的值；若不存在，请说明理由．5．（2017重庆质量抽测（第一次）改编）已知21F F 、分别为椭圆123:22=+y x C 的左、右焦点，点 ),(00y x P 在椭圆C 上，若00>y 且,0211=⋅F F 直线L ：y=k （x+l ）与椭圆C 交于两点A ，B ，过点P 且平行于直线L 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线L 的方程；若不能，请说明理由．B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（共5分）1．（2018宁夏石嘴山三中一模）以抛物线x y 202=的焦点为圆心．且与双曲线191622=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为( )06420.22=+-+x y x A 03620.22=+-+x y x B01610.22=+-+x y x C 0910.22=+-+x y x D二、填空题（每题5分，共10分）2．（2018辽宁辽南协作校一模）已知过抛物线x y 82=的焦点，的直线交抛物线于A ，B 两点，若｜AB ｜=16．且｜AF ｜<｜BF ｜则｜AF ｜=___________3．（2018黑龙江大庆第二次质检）已知点A(4，0)及抛物线=2y x 4的焦点F ．若抛物线上的点 P 满足| PA|=2｜PF ｜，则P 的横坐标为___________三、解答题（共60分）4．（2018吉林长春质量监测（二））已知直线L 过抛物线=2:x C )0(2>p py 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，L 与抛物线两交点间的距离为2．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P(2，2)，过点（-2，4）的直线m 与抛物线C 相交于A ．B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k 和⋅2k 求证：2k k l 为定值，并求出此定值．5．（2017重庆巴蜀中学三诊）已知点A(l ，0)、B(4，0)，动点P 满足｜PB ｜=2｜PA ｜．设动点P 的轨迹为曲线C ．将曲线C 上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线E(1)求曲线E 的方程；(2)A ，B 是曲线E 上两点，且｜AB ｜=2，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值．6．（2017宁夏石嘴山三中三模）已知椭圆)0(1:221>>=+b a by a x C 的焦距为4．左、右焦点分别为,21.F F 、 且1C 与抛物线x y C =22:的交点所在的直线经过⋅2F(1)求椭圆1C 的方程：(2)过1F 的直线L 与1C 交于A ．B 两点，与抛物线2C 无公共点，求2ABF ∆的面积的取值范围．7．（2017吉林延边仿真）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 经过点),23,25(离心率为,552点0为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过椭圆E 的左焦点，任作一条不垂直于坐标轴的直线L ．交椭圆E 于P ，p 两点，记弦PQ 的中点为M ，过F 作PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ，证明：点N 在一条定直线上．8．（2017辽宁实验中学六模）已知抛物线C 的方程为,42y x 过点Q(0，2)的一条直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若抛物线在A ，B 两点处的切线交于点P ．(1)求点P 的轨迹方程：(2)设直线PQ 的斜率存在，取为,pQ k 取直线AB 的斜率为,AB k 请验证AB PQ k k 是不是定值，若是，计算出该值：若不是，请说明理由．答 案。

专题18 圆锥曲线的综合问题-2019年高考数学重难点专题训练含答案1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值．解 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1， 又因为e ＝c a ＝1a ＝33，所以a ＝3，所以b 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)①当直线BD 的斜率k 存在且k ≠0时， 直线BD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，并化简得(3k 2＋2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.Δ＝36k 4－4(3k 2＋2)(3k 2－6)＝48(k 2＋1)>0恒成立． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋2，x 1x 2＝3k 2－63k 2＋2，|BD |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝()1＋k 2·[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43()k 2＋13k 2＋2.由题意知AC 的斜率为－1k ，所以|AC |＝43⎝⎛⎭⎫1k 2＋13×1k 2＋2＝43()k 2＋12k 2＋3.|AC |＋|BD |＝43()k 2＋1⎝⎛⎭⎫13k 2＋2＋12k 2＋3＝203()k 2＋12()3k 2＋2()2k 2＋3≥203()k 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤()3k 2＋2＋()2k 2＋322＝203()k 2＋1225(k 2＋1)24＝1635.当且仅当3k 2＋2＝2k 2＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为1635.②当直线BD 的斜率不存在或等于零时， 可得|AC |＋|BD |＝1033>1635. 综上，|AC |＋|BD |的最小值为1635.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为点D ，右焦点为F 2(1,0)，延长DF 2交椭圆C 于点E ，且满足|DF 2|＝3|F 2E |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 2作与x 轴不重合的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，设椭圆C 的左顶点为点H ，且直线HA ，HB 分别与直线x ＝3交于M ，N 两点，记直线F 2M ，F 2N 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1与k 2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)椭圆C 的上顶点为D (0，b )，右焦点F 2(1,0)，点E 的坐标为(x ，y )． ∵|DF 2|＝3|F 2E |，可得DF 2→＝3F 2E →， 又DF 2→＝(1，－b )，F 2E →＝(x －1，y )，∴⎩⎨⎧x ＝43，y ＝－b3，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得⎝⎛⎭⎫432a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 32b 2＝1，又a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1， 即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.∴y M ＝y 1()3＋2x 1＋2.同理可得y N ＝y 2()3＋2x 2＋2，∴M ，N 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1()3＋2x 1＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2()3＋2x 2＋2，∴k 1k 2＝y M －03－1·y N －03－1＝14y M y N＝14·y 1()3＋2x 1＋2·y 2()3＋2x 2＋2 ＝y 1y 2(3＋2)24()my 1＋1＋2()my 2＋1＋2＝y 1y 2(3＋2)24[]m 2y 1y 2＋()1＋2m ()y 1＋y 2＋()1＋22＝－11－62m 2＋24⎣⎢⎡⎦⎥⎤－m 2m 2＋2＋－2()1＋2m 2m 2＋2＋3＋22＝－11－62m 2＋24×6＋42m 2＋2＝42－98.∴k 1与k 2之积为定值，且该定值是42－98.6．已知平面上动点P 到点F ()3，0的距离与到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设M (m ，n )是曲线E 上的动点，直线l 的方程为mx ＋ny ＝1. ①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ，D ，求|CD |的取值范围；②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程，并探究：若M (m ，n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点，是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得()x －32＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32. 整理，得x 24＋y 2＝1，∴曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①圆心到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2， ∵直线与圆有两个不同交点C ，D ， ∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2.又∵m 24＋n 2＝1(m ≠0)，∴|CD |2＝4⎝⎛⎭⎫1－43m 2＋4.∵|m |≤2，∴0<m 2≤4， ∴0<1－43m 2＋4≤34.∴|CD |2∈(0，3]，|CD |∈(]0，3， 即|CD |的取值范围为(]0，3.②当m ＝0，n ＝1时，直线l 的方程为y ＝1； 当m ＝2，n ＝0时，直线l 的方程为x ＝12.根据椭圆对称性，猜想E ′的方程为4x 2＋y 2＝1. 下面证明：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切， 其中m 24＋n 2＝1，即m 2＋4n 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝1－mx n ，消去y 得(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0， 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0，∴Δ＝4m 2－16()1－n 2＝4()m 2＋4n 2－4＝0恒成立，从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．若点M ()m ，n 是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1()A ·B ≠0上的动点，则直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B＝1()A ·B ≠0恒相切．7. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)与椭圆C 由左至右依次交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F 2(1,0)，知c ＝1，由题意得⎩⎨⎧a 2＝1＋b 2，1a 2＋94b 2＝1，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为y ＝k (x －4)，所以直线l 过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G 在直线x ＝x 0上． 当直线l 过椭圆C 的上顶点时，M (0，3)， 所以直线l 的斜率k ＝－34，由⎩⎨⎧y ＝－34x －，x 24＋y23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝335，所以N ⎝⎛⎭⎫85，335，由(1)知A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 所以直线lA 1M 的方程为y ＝32(x ＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝－332(x －2)，所以G ⎝⎛⎭⎫1，332，所以G 在直线x ＝1上．当直线l 不过椭圆C 的上顶点时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 所以Δ＝(－32k 2)2－4×(3＋4k 2)·(64k 2－12)＞0，得－12＜k ＜12，x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1·x 2＝64k 2－123＋4k 2，易得直线lA 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，当x ＝1时，3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2得2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0， 所以k 2－3＋4k 2－5×32k 23＋4k 2＋＋4k 23＋4k 2＝0显然成立，所以G 在直线x ＝1上．8．已知平面直角坐标系内两定点A (－22，0)，B (22，0)及动点C (x ，y )，△ABC 的两边AC ，BC 所在直线的斜率之积为－34.学-科网(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若(1)中轨迹E 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以AP 为直径的圆的面积的取值范围．解析：(1)由已知，k AC ·k BC ＝－34，即y x ＋22·y x －22＝－34，所以3x 2＋4y 2＝24，又三点构成三角形，所以y ≠0， 所以点C 的轨迹E 的方程为x 28＋y 26＝1(y ≠0)．(2)设点P 的坐标为(0，t )当直线MN 的斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2. ①联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，当Δ＞0得64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)＞0，整理得t 2＜8k 2＋6. 所以x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－243＋4k 2， ②。