2018届高三文科数学一轮复习 椭 圆

椭 圆考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B 级要求．知 识 梳 理1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长(大于F 1F 2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 用符号表示为PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．(2)第二定义：平面内到定点F 和定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e (0<e <1)的点的轨迹叫作椭圆． 2．椭圆的标准方程及简单的几何性质椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ca (0<e <1)，离心率e 等于椭圆上任意一点M 到焦点F 的距离与M 到F 对应的准线的距离的比．椭圆越扁，离心率e 越大；椭圆越圆，离心率越小.x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)|x |≤a ，|y |≤b|y |≤a ，|x |≤b诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( )解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于F 1F 2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F 1F 2时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于F 1F 2时，不存在这样的图形． (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2．(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3. 答案 33．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________． 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案 x 23＋y 22＝14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2－c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC→＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca ＝23＝63.答案 635．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用 【例1】(1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________．(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________. 解析 (1)连接QA . 由已知得QA ＝QP .所以QO ＋QA ＝QO ＋QP ＝OP ＝r .又因为点A 在圆内，所以，OA ＜OP ，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．(2)由题意得PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1PF 2cos 60°＝F 1F 22，所以(PF 1＋PF 2)2－3PF 1PF 2＝4c 2， 所以3PF 1PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1PF 2＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1PF 2sin 60°＝12×43b 2×32＝ 33b 2＝33，所以b ＝3. 答案 (1)椭圆 (2)3规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义式必须满足2a ＞F 1F 2.【训练1】 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若PF 1－PF 2＝2，则△PF 1F 2的面积是________．(2)(2017·保定一模)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且PF 1＋PF 2＝2a ＝4，又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝3，PF 2＝1.又F 1F 2＝2c ＝22，所以有PF 21＝PF 22＋F 1F 22，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角， 所以S △PF 1F 2＝12F 1F 2PF 2＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有PC 1＝r ＋1，PC 2＝9－r . 所以PC 1＋PC 2＝10＞C 1C 2，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)2 (2)x 225＋y 216＝1 考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________． 解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可． 【训练2】 (1)(2017·常州监测)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆标准方程为________． (2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一 若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二 设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3×2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 答案 (1)x 24＋y 23＝1 (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 考点三 椭圆的几何性质【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)因为PT ＝PF 22－(b －c )2(b ＞c )，而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2.依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22. 答案 (1)13 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．【训练3】(2017·盐城模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案3考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【例5】(2017·南通调研)如下图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．解 (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 24＋14b 2＝1. ∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ， 代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2＝4，∴x C ＝21＋4k 2. 则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)， 代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4， 得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵x A ＝2，∴x B ＝2(4k 2－1)1＋4k 2，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(4k 2－1)1＋4k2，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴2(4k 2－1)1＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2＝0. ∴k 2＝12，∵C 在第一象限，∴k ＞0，k ＝22.∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2， BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2(4k 2－1)1＋4k 2，0－－4k 1＋4k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC→＝λBA →，得λ＝k 2＋14.∵k ＝22，∴λ＝32.规律方法 与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题．涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单．【训练4】(2017·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．(1)解 因为c a ＝22，a 2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1，－y 1)． 因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，解得m ＝－x 1y 1－1.因为k AQ ＝－y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1， 所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1.令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1. 所以mn ＝－x 1y 1－1·x 1y 1＋1＝x 211－y 21.又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22＋y 2＝1上，所以x 212＋y 21＝1，即1－y 21＝x 212，所以x 211－y 21＝2，即mn ＝2，所以mn 为常数，且常数为2.法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0得m ＝－1k .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k 2，所以y P ＝k ·x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k2，－1－2k 21＋2k 2， 所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1＋2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1. 令y ＝0得n ＝－2k ， 所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.[思想方法]1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程．若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． [易错防范]1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．3．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于________．解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 答案 32．(2017·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________．解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.答案 x 24＋y 23＝13．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________．解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4. 答案 44．(2017·扬州期末)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 解析 在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以PF 1＝2，F 1F 2＝ 3.故e ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝33.答案 335．(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________．解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·12b ，即a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12. 答案 126．(2016·南京师大附中模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 答案2337．(2017·昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有PF 1＋PF 2＝2a ＝10.则m ＝PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝25，当且仅当PF 1＝PF 2＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案 (－3,0)或(3,0)8．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22二、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F 1N ，求a ，b .解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由MN ＝5F 1N ，得DF 1＝2F 1N . 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝2 7.10．(2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率．解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0， 所以右焦点F 到直线l 的距离为 |2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1. 又椭圆C 的右准线方程为x ＝4， 即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)法一 由(1)知B (0，3)，F (1,0)． 所以直线BF 的标准方程为y ＝－3(x －1)， 联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3(舍)． 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－335， 所以直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎪⎫－3352－85＝332.法二 由(1)知B (0，3)，F (1,0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题意知A (2,0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组得⎩⎨⎧y ＝－3(x －1)，y ＝k (x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3kk ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3kk ＋3<0得k >0或k <－3，所以k ＝332. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2016·苏州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________． 解析 设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·(－3)＝－1，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b 2＝1，并把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1. 答案3－112．(2017·盐城中学模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________． 解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255 13．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________． 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0，即34x 2<2，∴x 2<83.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 14．(2017·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 解 (1)由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3， 将k ＝－1代入，得M (－2,0)，N (1,1)． 因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22， 所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0. 若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1， 所以M (－1,1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1,1)． 所以直线MN 的方程为y ＝－x . 若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1. 又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件．综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－1 2.第6讲双曲线考试要求双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，A级要求．知识梳理1．双曲线的定义(1)第一定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点之间的距离2c)的动点的轨迹叫作双曲线．(2)双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在．(4)第二定义：平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线2．双曲线的标准方程及简单的几何性质x2y2y2x2曲线．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．(3)双曲线的离心率e与ba⎝⎛⎭⎪⎫ba＝e2－1都是刻画双曲线开口的大小的量．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()解析(1)因为|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n －y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.答案 (－1,3)3．(2017·南京调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 由题意得双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ＝2x ，所以ba ＝2，则双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝ 5.答案54．(2017·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点P (1,1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________． 解析 由于双曲线过点P (1,1)，则有1a 2－1b 2＝1，又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则有b a ＝2，与1a 2－1b 2＝1联立解得a 2＝12，b 2＝1，故所求的双曲线的方程为2x 2－y 2＝1. 答案 2x 2－y 2＝15．(选修1－1P41习题6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1. 答案 x 28－y 28＝1考点一 双曲线的定义及其应用 【例1】 (1)(2017·盐城中学模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析(1)如图所示，因为AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝22a，所以BF2＝22a－2a.因为F1F22＝BF21＋BF22，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－2 2.(2)设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6.答案(1)5－22、(2)12 6规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与PF1、PF2的联系．提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值．②2a＜F1F2.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】(1)如果双曲线x24－y212＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是________．(2)(2017·扬州模拟)已知点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为________．解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义PF 1－PF 2＝±2a ， ∴PF 1＝PF 2±2a ＝8±4，∴PF 1＝12或PF 1＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12(PF 1－PF 2)R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2， 所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10. 答案 (1)4或12 (2)10考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 (1)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________． 解析 (1)由题意可得(4－m )(2＋m )>0， 解得－2<m <4.(2)因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33.答案 (1)(－2,4) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________. (2)(2017·盐城模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为________． 解析 (1)设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程， 得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝MF 1F 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0， 所以e ＝ 2.(2)由题意可得右焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为a ，则b ＝a ，该双曲线的离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2. 答案 (1)2 (2) 2规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】 (1)(2017·苏北四市调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．(2)(2017·南京模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________． 解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．可得ba＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.(2)由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x－2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 (2)－2考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)(2017·扬州质检)已知F 是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的一个公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若AF →·BF →＝0，则C 2的离心率是________．(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 (1)设另一个公共焦点为F 2，AF ＝m ，AF 2＝n ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1＝4，根据对称性知AF 2∥BF ，且AF 2＝BF ，由AF →·BF →＝0可知AF ⊥BF ，所以AF ⊥AF 2，则有m 2＋n 2＝(2c 1)2＝12，与m ＋n ＝4联立，解得m ＝2－2，n ＝2＋2(或m ＝2＋2，n ＝2－2)．根据双曲线的定义可得2a 2＝|m －n |＝22，即a 2＝2，而c 2＝c 1＝3，故双曲线的离心率为e ＝c 2a 2＝62.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22. 答案 (1)62 (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】(2016·天津卷改编)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________．解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长分别为84＋b2，4b 4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 x 24－y 212＝1[思想方法]1．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程． [易错防范]1．双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．2．求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错． 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .4．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________． 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 答案 y ＝±22x3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.答案 x 216－y 29＝14．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________． 解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bcc ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355.答案3555．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为M ，右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足MA ⊥MB ，则该双曲线的离心率是________．解析 由题意可得AF ＝MF ，且AF ＝b 2a ，MF ＝a ＋c ，则b 2a ＝a ＋c ，即b 2＝a 2＋ac ＝c 2－a 2，所以e 2－e －2＝0(e >1)，解得e ＝2.答案 26．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________． 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，则2a a 2＋b2＝2a c >1,2a >c ，故该双曲线的离心率满足1<e ＝ca <2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)． 答案 (1,2)7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．解析 由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝b a x 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，4＝3×ba ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1. 答案 x 29－y 216＝18．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________．解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．。

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

第十三板块选修1-1 第二章圆锥曲线与方程【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:本节主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，在新课标高考中，客观题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用, 以圆锥曲线与二次方程的关系及其几何性质的探究作为命题源，展示圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，从而考查考生对解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问题的思想的掌握程度，增强数学应用的意识，提高数学建模的能力. 解答题常作为把关题或压轴题综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,考查考生独立钻研的习惯，克服困难的意志和毅力，以及对数学问题锲而不舍的钻研精神和科学态度，培养考生的运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点.命题趋向:圆锥曲线问题的几大热点如下：1互化问题.曲线的参数方程与普通方程的互化解题,关键是抓住互化的等价性，预测新高考中不会出大题及难题.2圆维曲线基础题.主要是指考查下述问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其a、b、c、e、p五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性；二是曲线间的对称性.3.轨迹问题.曲线轨迹问题的探求在高考中出现频率极高，主要有三种类型：①曲线形状未定其方程如何求？②曲线形状已知，其方程如何求?③由曲线方程如何讨论形状,此类问题解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代人化简整理即得曲线的轨迹方程．基本方法有：直译法、定义法、代人法、交轨法、几何法、参数法、极坐标法.4.范围问题.解析几何问题中参数范围是近年高考又一个命题热点．其解法通常依据题设条件建立含有参变量的函数关系式或不等式．然后确定参数的取值范围基本方法：定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法等.5.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是研究解析几何的重点内容常涉及直线与曲线交点的判定、弦长、对称、共线等问题其解法为充分利用解析几何知识以及韦达定理、方程思想等.6.最值问题.解析几何中的最值问题，是从动态角度去研究数学问题的主要内容，因而倍受高考命题组的青睐.其解法通常是依题设条件，建立目标函数，然后再用最值方法来处理.状元心得:学好本节的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题，在复习过程中要做到：(1)搞清概念（新概念定义应“咬文嚼字”）；(2)熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；(3)熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；(4)处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.学科知识体系结构图:第一节 椭圆【考点点知】知己知彼，百战不殆椭圆是圆锥曲线中最重要、最基本的曲线．文科要求：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．从以上要求可以看出：新课标淡化了双曲线与抛物线部分的要求，实际上是间接加强了对椭圆部分的要求，所以复习时应加强对椭圆的定义、性质等基础知识的复习，并在此基础上作适当的深化训练．考点一: 椭圆的的概念 1.平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于｜F 1F 2｜）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点；两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.2.方程12222=+b y a x (a ＞b ＞0)和12222=+bx a y (a ＞b ＞0)叫做椭圆的标准方程.3.椭圆的标准方程中a 、b 、c 之间的关系是a 2=b 2+c 2.4.动点M 与定点F （c ,0）的距离和它到定直线l ：x =c a 2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则动点M 的轨迹是椭圆，定直线l 叫做椭圆的准线.准线与长轴所在的直线所夹的角为90°.考点二: 椭圆的几何性质1.椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上的点中，横坐标x 的取值范围是－a ≤x ≤a ,纵坐标y 的取值范围是－b ≤y ≤b .2.椭圆关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.椭圆2222b y a x +=1的四个顶点坐标是(±a ,0),(0,±b ).4.在椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)中，A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)、B 1(0,－b )、B 2(0,b )，线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴、短轴，在Rt △OB 2F 2中，｜OF 2｜2=｜B 2F 2｜2－｜OB 2｜2,这就是c 2=a 2－b 2的几何意义.△OB 2F 2叫做椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2是椭圆的离心率.5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E , r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex7.椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （a >b >0,θ为参数）中，椭圆的长轴长是2a ,椭圆的短轴长是2b .8.在方程2222b y a x +=1中，令ax=cos θ,即x =a cos θ,则y =±b sin θ.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础²2007西城区抽样)椭圆θθθ(sin 4cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的标准方程是 ，它的一个焦点到其相应准线的距离是 .xy思路透析:由椭圆参数方程可得椭圆的标准方程为2212516x y +=. 取其右焦点(3,0) ,则其对应的右准线为253x =,右焦点到右准线的距离为2516333-=. 点评:本题考查了椭圆的参数方程与椭圆的标准方程间的互化,椭圆基本量的公式应用.参数思想方法是新大纲加强的一个方向,椭圆的参数方程及其深入的研究是圆锥曲线问题考查的一个方向.例2.(基础²2006连云港二模)我国发射的“神州六号”的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，关于此椭圆轨道，有以下三种说法：①长轴长为R m n 2-+千米；②焦距为m n -千米；③ 短轴长为))((2R n R m ++千米．其中正确的说法有 ( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．② 思路透析:由已知可得m R a c +=-, n R a c +=+,则长轴长为2n m R ++千米;焦距为m n -千米, 短轴长为))((2R n R m ++千米．故应选C.点评:作出“神州六号”的运行轨道是以地球的模拟图,根据椭圆的定义一一判断其正确性.近地点与远地点的概念需要找准确,根据其关系式求出椭圆的基本量,再由基本量去加以求解椭圆的各个几何参量的值,这是椭圆基本概念题的通法.例3.(综合²2007上海春季)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为21F F 、．过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C相交，其中一个交点为()1M．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积．思路透析:（Ⅰ） 解法一：x l ⊥ 轴，∴2F的坐标为)0．由题意可知 2222211,2,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 得224,2.a b ⎧=⎨=⎩∴所求椭圆方程为22142x y +=．解法二：由椭圆定义可知122MF MF a +=． 由题意21MF =，∴121MF a =-． 又由Rt △21F MF可知(22(21)1a -=+，0a >，∴2a =，又222a b -=，得22b =．∴椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ） 直线2BF的方程为y x =由221,42y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得点N的纵坐标为3.又12F F =11823F BNS ∆=⨯⨯=⎭. 点评:通过基本量的关系可以直接求椭圆的方程,也可以通过椭圆的定义及其几何特征求解椭圆的方程.三角形的面积可以利用底乘以高(点的纵坐标)求解.本题以椭圆标准方程基本量的求解为起点,以直线与椭圆位置关系为命题方向,考查了考生对圆锥曲线问题解析法的思想掌握情况及分析问题与解决问题的能力.例4.(综合²2007山东卷理科21文科22)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．思路透析:（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，． 联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x =--- ．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点评:考生多求得了两个定点坐标(20)，、207⎛⎫ ⎪⎝⎭，,忽视了直线与椭圆相交的位置关系为前提,失去了检验最佳机会.要直线与圆锥曲线的位置关系的判断中,要注意直线方程与椭圆方程联立,通过判别式来确定参数的取值范围,对解题中间过程中所得的结论要能够及时的反思与检验.例5.(创新探究²2007广东卷理科18文科19)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．思路透析:(Ⅰ) 设圆C 的圆心为 (m, n)则,m n n =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为22(2)(2)8x y ++-= (Ⅱ) 由已知可得 210a =,解之得5a =椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点()2,2θθ-++使QF OF =,4=整理得 sin 3cos θθ=+ 代入 22sin cos 1θθ+=得: 210cos70θθ++=,cos 1θ==<-因此不存在符合题意的Q 点.点评:不少考生忽视了余弦值的最后判断,解得了余弦值即下结论“点Q 存在”.部分考选择了直接设圆上的点坐标,运算时较大,过程较复杂,平时解题训练中,对解题策略选择上要能够在解题前进行优化,使解题过程少走弯路.例6.(创新探究²2007黄冈3月模)设椭圆的方程为2222ny m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜2π＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，（Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； （Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，4π］上变化时，求S 的最大值u ；（Ⅲ）如果μ>mn ，求nm的取值范围.思路透析:（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 2222n ym x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜2π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝θθ22222tan tan 4m n n m +． （Ⅱ）S ＝θθtan tan 42222m nn m +．（1）当m >n ，即mn ＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22m n 时等号成立，所以mn mnn m m n n m S224tan tan 4222222=≤+=θθ．由于0＜θ≤4π，0＜tan θ≤1，故tan θ＝mn得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即mn >1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4π，由于)tan tan ()tan tan (12122222θθθθn m n m +-+21221212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．因为0＜tan θ1＜tan θ2≤1，m 2tan θ1tan θ2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2tan θ2＋22tan θn ）－（m 2tan θ1＋12tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθtan tan 42222m n n m +是θ的增函数，故取θ＝4π，即tan θ＝1得u ＝22224nm n m +．所以u ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<+<<)0( 4)0( 22222n m n m n m m n mn（Ⅲ）（1）当nm>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当n m <1时，224n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m）+1<0，所以3232+<<-n m ，又由n m <1，得132<<-nm. 综上，当u >mn 时，nm的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 点评:本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.椭圆学习是圆锥曲线的第一道门槛,椭圆学习的成功对后续学习双曲线、抛物线均有莫大的益处. 学习椭圆要具备以下四个观点,①常规审题思维观;②科学的估算观;③灵活的转化观;④不懈的探索观.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.(2)要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.(3)椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如右图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ， 则cos θ=ac =e . (4)椭圆参数的几何意义，如右图所示： ①|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；②|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； ③|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；④|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=c a 22.2.学以致用:(1)椭圆1422=-y x 的离心率为A.23 B.43 C.22 D.32(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．13B C．12D (3)设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+ ，则||OM= ．(4)设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|,|FP 2|, |FP 3|,…组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 .答案:(1)A 解析:由已知可得2241x y +=, 即得22114y x +=,该椭圆的离心率2c e a===, 故应选A. (2)D 解析:由已知条件可得2a b =, 又22222243c a b bb b =-=-=,可得c =.∴c e a ===,故应选D. (3)2解析: 如右图所示, 由于椭圆的第二定义可得 设P 到左准线的距离为d ,则35PF e d ==, 又由10d =可得6PF =, ∴221064PF a PF =-=-=,∵1()2OM OP OF =+, ∴点M 是线段PF ∴2//OM PF ,且2114222OM PF ==⨯=.(4)11[,0)(0,1010-解析:a =,c =1,1,最大距1,当d>0时,|FP 1|＝1,|FP n |＝＋1,∴d=1||||1n FP FP n --＝21n -,∵n ≥21,∴1010d <≤,同理,当d ＜0时,1010d -≤<．故d ∈11[,0)(0,]1010- ． 3.易错分析:(1)解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.(2)椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.(4)使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是A. B. 6 C. D.122.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．323.已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．944.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 5.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）A B ．12C D ．26.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．0⎛ ⎝⎦Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．1⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题:7.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．9.若焦点在x 轴上的椭圆145222=+b y x 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则b 的取值范围是_______________.10.若椭圆11:22=++y m x C 的一条准线方程为2-=x ，则=m ；此时，定点)0,21(与椭圆C 上动点距离的最小值为 . 三、解答题:11.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.12.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.13.设1F ，2F 分别是椭圆C ：2222162x y m m +=(0)m >的左，右焦点． （Ⅰ）当P C ∈，且210PF PF =，12||||8PF PF ⋅=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．（Ⅱ）1F 、2F 是（Ⅰ）中的椭圆的左，右焦点，已知2F 的半径是1，过动点Q 的作2F 切线QM，使得1QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．14.已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. B3. D4. A5. D6. D 二、填空题:7. 452x ＋202y ＝1 8. 221164x y += 9. 0b b ≤≤≠ 10. 23,1 三、解答题:11.解析:设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ② ①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43²2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0. 12.解析:按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1.当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2. 当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .13.解析:（Ⅰ）∵222c a b =-，∴224c m =．又∵021=⋅PF PF ∴12PF PF ⊥， ∴()222212216PF PF c m +==．由椭圆定义可知122PF PF a +==，()2221216824PF PF m m +=+=，从而得21m =，2244c m ==，2c =． ∴()120F -，、()220F ，．（Ⅱ）∵F 1（-2，0），F 2（2，0），由已知：1QF ，即2212QF QM =， 所以有：()221221QF QF =-，设P （x ，y ），则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦， 即()22632x y -+=（或221240x y x +-+=）, 综上所述，所求轨迹方程为：()22632x y -+=．14.解析:（Ⅰ）由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（Ⅱ）由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2³59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++-＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9³25， ④9x 22＋25y 22＝9³25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以.解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0）， 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25³9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭圆<一）椭圆的定义以及标准方程※相关链接※1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程<1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0>；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0>；<2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,m≠n>，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B>这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：<1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。

<2）设方程：根据上述判断设方程。

<3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。

<4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。

注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。

※例题解读※〖例1〗已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____；方法诠释：注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；解读：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,又已知|F2A|+|F2B|=12，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.答案：8〖例2〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2 2.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14. 4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4. 答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12 (2)(2012山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.(2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D―――――――――――――――――――用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)或x 2b 2＋y 2a2＝1(a b 0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m 0，n 0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆有????? |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1||PF 2|＝18，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3.答案：3[例2] (2012安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ????85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1||AB |sin ∠F 1AB ＝12a 165c 32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a 85a 32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆―――――――――――――――――――椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A.3－12 B.5－12 C.1＋54D.3＋14 解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12. 4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a 5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23. 答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得????? (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得????? c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由????? y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，????? x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ????－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，????? x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝39612－m 2.设点P 到直线AB 距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |d ＝36(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆――――――――――――――――――― 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B . (1)若|AB |＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1. 由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 由??? y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×???－169＝16k 2＋6490恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MAMB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律――椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m n 0；椭圆的焦点在y 轴上?0m n .1种思想――数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法――求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧――与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0e 1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板――直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y ＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆*****DD→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围D→需建立关于m 的不等式．3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程D→DDDDDD→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2*****→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G *****DDDD→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线*****→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元DDDDDD→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件*****DD→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标*****DDD→写出k AN ，k AG 的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当????? 5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，?(3分) 解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是????72，5.?(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．?(5分)高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆由?????y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.?(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.?(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4，x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝24 1＋2k 2.?(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为????3x 1y 1＋2，1.?(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，?(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .?(13分)故A ，G ，N 三点共线．?(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：?高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn 0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m 0，n 0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m 0，n 0，mn 0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由?????10－m 0，m －20，得2m 10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r . 6．(2012新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆所以22≤c a .又c a 1，所以22≤e 1. 答案：????22，1 8．(2012江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a b 0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55 . 答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为32 .过右焦点F 且斜率为k (k 0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k 0，故k ＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝5.由|PF 1||PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12. 可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|cos π6＝253，高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆从而b 2＝a 2－c 2＝103. 所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1. 11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由????? y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4. 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |d ＝92. 12．(2012重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a b 0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12|B 1B 2||OA |＝|OB 2||OA |＝c 2b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)，所以2B P 2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P 2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴???a 1c 2＋????a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0b 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1||PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1||PF 2|≤????|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1||PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1||PF 2|＝2563.① 又?????|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以3|PF 1||PF 2|＝400－4c 2.②由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8. 3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；。

作业8.6椭圆（二）一、单项选择题1．(2021·辽宁省实验中学期中)已知F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝()A ．6B ．7C ．5D ．82．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为()A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝03．(2021·广州市高三调研)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A(2，0)，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥PA ，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为()A ．(23，±223)B ．(253，±23)C ．(－23，±223)D ．(－253，±23)4．(2021·河北冀州中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.F 2也是抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为()A.5－12B.2－1C ．3－5D.2＋15．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是()A ．3B.11C ．22D.106.(2021·成都七中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)．过F 1(－2，0)作倾斜角为60°的直线l 交上半椭圆于点A ，以F 1A ，F 1O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形OF 1AB ，点B 恰好也在椭圆上，如图，则b 2＝()A.3B ．23C ．43D ．12二、多项选择题7．设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0<m<3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF|＋|BF|为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为68．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，且短轴长为2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ|＝233D ．△PF 2Q 的周长为43三、填空题与解答题9．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．10．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．11．(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m(m>1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．12．已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C于A ，B 两点，求直线AB 的斜率．13．(2021·云南曲靖模拟)已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若与直线OP(O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积．14．(2020·贵州毕节市三诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AF 1与椭圆C 的另一个交点为E ，若∠F 1AF 2＝60°，则直线BE 的斜率为________．15．(2021·西安八校高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为223，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的右焦点，且与x 轴垂直时，|AB|＝23.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．作业8.6椭圆（二）参考答案1．答案D解析本题考查椭圆焦点三角形的周长．由椭圆方程可知a ＝5，由题意可得|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△ABF 2的周长为4a ＝20.若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝20－12＝8.故选D.2．答案B 解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1x 12＝1，x 22＝1，两式相减得y 12－y 229＋x 12－x 22＝0，得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9x ＋y －5＝0.3．答案A解析设P(x ，y)，由OP ⊥PA ，得OP →⊥PA →，所以OP →·PA →＝(x ，y)·(2－x ，－y)＝x(2－x)－y 2＝0，与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，解得x ＝23y ＝±223，即点P 的坐标为(23，±223)，故选A.4．答案B解析由题意可知，p2＝c ，则p ＝2c.所以E ：y 2＝4cx.因为F 1(－c ，0)，直线AF 1的倾斜角为45°，所以直线AF 1的方程为：y ＝x ＋c.＝x ＋c，2＝4cx ，＝c ，＝2c ，所以A(c ，2c)．因为F 2(c ，0)，所以AF 2⊥F 1F 2.在Rt△AF 2F 1中，|AF 2|＝2c ，|AF 1|＝22c.由椭圆的定义得：|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，即22c ＋2c ＝2a ，解得ca ＝2－1.故选B.5．答案D解析设椭圆x 216＋y 24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝d max ＝|－42－2|5＝10.6.答案B 解析依题意可知，c ＝2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为四边形OF 1AB 为平行四边形，所以y 1＝y 2，又x 12a 2＋y 22b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以x 2＝－x 1，又F 1A ∥OB ，且直线F 1A 的倾斜角为60°，所以y 1x 1＋2＝y2x 2＝3，因为y 1＝y 2，x 2＝－x 1，所以x 1＝－1，x 2＝1，y 1＝y 2＝3，所以A(－1，3)，将其代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1a 2＋3b 2＝1①，又c ＝2，所以a 2－b 2＝c 2＝4②，联立①②解得a 2＝4＋23，b 2＝2 3.故选B.7．答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF ′|＝6为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，∴|AB|的取值范围是(0，6)，∴△ABF 的周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可得A ，B 的坐标为(－332，32)，(332，32)，又∵F(6，0)，∴AF →·BF →＝(6＋332)(6－332)＋(32)2＝0，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，得A ，B 的坐标为(－6，1)，(6，1)，∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确，故选ACD.8．答案ACD解析由已知得，2b ＝2，即b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，∴椭圆方程为y 23＋x 2＝1，如右图，∴|PQ|＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.9．答案－12解析设P 1(x 1，y 2)，P 2(x 2，y 2)，P(x 中，y 中)，由点差法可求出y 2－y 1x 2－x 1＝－12·x 2＋x 1y 2＋y 1＝k 1，即k 1＝－12·x 中y 中，而k 2＝y 中x 中，∴k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12.10．答案3－1解析由直线y ＝3(x ＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴(3＋1)c ＝2a.即e ＝23＋1＝3－1.11．答案5解析方法一：由题意知A ，B ，P 三点共线．①当AB 所在直线斜率不存在时，点B 的横坐标为0，显然此时点B 的横坐标的绝对值不是最大值．②当AB 所在直线斜率存在时，设斜率为k(k ≠0)，则直线AB 的方程y ＝kx ＋1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 2＝m ，kx ＋1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，则Δ＝(8k)2－4(1＋4k 2)(4－4m)＝64mk 2＋16(m －1)>0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8k1＋4k 2，x 1x 2＝4－4m 1＋4k 2.①又AP →＝2PB →，故x 1＝－2x 2.②将②代入①得，x 2＝8k 1＋4k 2，x 22＝2m －21＋4k 2，两式相除，整理得kx 2＝m －14.由x 22＝2m －21＋4k2得2m －2＝x 22＋4(kx 2)2＝x 22＋（m －1）24，故x 22＝2m －2－（m －1）24＝－14(m 2－10m ＋9)＝－14(m －5)2＋4.故当m ＝5时，x 22有最大值4，此时点B 横坐标的绝对值最大．方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由AP →＝2PB →x 1＝2x 2，－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B3－2y 2）2＝m ，y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.12．答案2解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k(x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x 2－2k(k－2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2，由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，即直线AB 的斜率为 2.13．答案(1)x 24＋y 2＝1(2)9110解析(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)b 2＝3，＋34b 2＝1，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<41＋x 2＝－3m ，1x 2＝m 2－1.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即OA →·OB →＝x 1x 2＋y1y 2＝x 1x 21＋2＋＝74x 1x 2＋32m(x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m)＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75<4.又|AB|＝1＋34·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝72·4－m 2，O 到直线AB 的距离d ＝|m|1＋34＝|m|72，所以S △AOB ＝12|AB|·d ＝12×72×4－m 2×|m|72＝9110.14．答案－34解析由∠F 1AF 2＝60°，可得a ＝2c ，则b ＝a 2－c 2＝3c ，设E(m ，n)，即有m 2a 2＋n 2b 2＝1，则n 2－b 2m 2＝－b 2a 2，∵A(0，b)，B(0，－b)，∴k EA ·k EB ＝n －b m ·n ＋b m ＝n 2－b 2m 2＝－b 2a 2＝－34，又k EA ＝kAF 1＝3，∴k EB ＝－34.15．答案(1)x 29＋y 2＝1(2)不存在，理由略解析(1)＝223，＋19b 2＝1，a 2－b 2，∴a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)(点差法)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为P(x 0，y 0)，椭圆C 的右焦点为F(22，0)，直线l的斜率为k ，直线FP 的斜率为k 12＋9y 12＝9，22＋9y 22＝9，∴(x 1－x 2)·(x 1＋x 2)＋9(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 29（y 1＋y 2）＝－x 09y 0，k ′＝y 0x 0－22，∴kk ′＝－x 09（x 0－22）＝－1，即x 0＝924∉(－3，3)，故不存在．。

1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝｛M ｜|MF 1|＋｜MF 2｜＝2a ｝，｜F 1F 2|＝2c ，其中a 〉0，c 〉0，且a ，c 为常数:(1）若a 〉c ，则集合P 为椭圆; (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； （3）若a 〈c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a >b 〉0）错误!＋错误!＝1（a 〉b >0)图形【知识拓展】点P(x0，y0）和椭圆的关系（1)点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!〈1。

(2)点P(x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1。

(3）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!〉1。

【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ×)（2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c（其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．( √）（3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（×）（4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n〉0，m≠n）表示的曲线是椭圆．( √)（5）错误!＋错误!＝1（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．( ×)（6）错误!＋错误!＝1(a〉b>0)与错误!＋错误!＝1(a>b>0）的焦距相等．( √）1．（教材改编）椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为4,则m等于( ) A．4 B．8 C．4或8 D．12答案C解析由题意知错误!或错误!解得m ＝4或m ＝8.2．（2015·广东）已知椭圆错误!＋错误!＝1（m >0）的左焦点为F 1（－4,0），则m 等于( ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 答案 B解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9,又m >0，所以m ＝3。