波动方程的基本解一、引言波动方程是数学中的一类重要偏微分方程，它描述了许多自然现象中的波动现象，如声波、电磁波等。
解决波动方程问题的关键在于求出其基本解，本文将介绍波动方程的基本解。
二、一维情形下的波动方程考虑一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示波函数，$c$表示传播速度。
为了求解该方程，需要找到其基本解。
三、基本解的定义对于偏微分方程$L[u]=f(x)$，如果存在一个函数$G(x,y)$满足$L[G]=\delta(x-y)$（其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数），那么称$G(x,y)$为$L[u]=f(x)$的一个基本解。
四、一维情形下基本解的求解对于一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$可以通过变量分离法得到通解：$$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$其中$f,g$为任意两个可导函数。
接下来，我们尝试构造基本解$G(x,y)$。
假设$G(x,y)$满足：$$\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2G}{\partial x^2}$$且满足初始条件：$$G(x,0)=0,\quad \frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=\delta(x-y)$$ 其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数。
这个初始条件的物理意义是，在$t=0$时，波源位于点$y$处，产生了一个脉冲信号。
根据通解的形式，我们可以将基本解表示为：$$G(x,y)=f(x+y)+g(x-y)$$由于$\delta(x-y)$是一个奇函数，即$\delta(-x)=-\delta(x)$，因此有：$$\frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=f'(x+y)-g'(x-y)$$将上式代入初始条件中可得：$$f'(y)-g'(y)=1$$由此可得$f(y)-g(y)=y+C_1$（其中$C_1$为常数），进一步地有$f(y)+g(y)=C_2$（其中$C_2$为常数）。
