近世代数群的概念

近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213一、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b） |aEA, b€B}叫A 与B 的积。

（AXBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到E的映射u>①VxGA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有涉个，一一映射共有n!个。

5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。

（。

为AXB到D的代数运算oV（a, b） GAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。

6、满射：VyG A,设y=0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。

（4中的每一个元素都有原象）;单射:Va, be A,若aHb,则0 （a） H0 （b）。

（元素不同象不同）：一一映射：即单乂满。

（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B 有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。

& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。

申10来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-» b~*b则aob~*ao^ （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0。

9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。

和0来说的，A到4的同构映射。

（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律111、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U金U ...U A n =A.②如Ai4;=0 （iH j ）（不相交）。

<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

近世代数第二章群论答案§1.群的定义1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。

例如()321110--=-=--=-=()321312()()--≠--3213212.举一个有两个元的群的例。

解：令G=,e a{},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) ()(),,= ∈x y z x y z x y z G因为，由于ea ae a==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。

(参考第一章，§4，习题3。

)若是e不在(1)中出现，那么有()aa a ea a==a aa ae a==()而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。

所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的定义：IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让=ae a对于G 的任何元a 都成立；V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让1=aa e -解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。

§2. 单位元、逆元、消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。

解：令a 和b 是G 的任意两个元。

由题设()()()2==ab ab ab e另一方面()()22====ab ba ab a aea a e于是有()()()()=ab ab ab ba 。

利用消去律，得=ab ba所以G 是交换群。

2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。

解：令G 是一个有限群。

设G 有元a 而a 的阶>2n 。

考察1a -。

我们有()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数<m n 而()1=ma e -，那么同上可得=m a e ，与n 是a 的阶的假设矛盾。

近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。

在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。

一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。

一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。

群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。

二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。

一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。

环论的应用包括数论、代数几何等领域。

三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。

域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。

四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。

向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。

线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。

五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。

域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。

六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。

代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。

七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。

泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。

近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。

它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。

同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。

总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。

近世代数基础知识点总结近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。

近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。

一、群论群是近世代数中最基本的代数结构之一。

群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。

群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。

群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。

二、环论环是一种比群更一般化的代数结构。

环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。

环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。

环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。

三、域论域是一种比环更一般化的代数结构。

域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。

域论的基本概念包括子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。

域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。

四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。

线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。

线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

五、Galois理论Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。

Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。

Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。

六、表示论表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。