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第三章 图像信号的正交变换

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数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-6讲)

数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-6讲)

1
(t) 4
e j0t
02 e 2
t2
e2
其Fourier变换为：
1
( 0 )2
02
2
() 4 e 2 e 2 e 2
(3—237) (3-238)
由上式可以看出它满足容许条件，即： 0 时 (0) 0 。如果直接求取容许条件，可作如 下运算：
(t)dt
线性函数空间 L2 (a,b)
b
x, y a x(t) y(t)dt
x, y L2 (a,b)
内积空间中的范数为：
1
x
x,
x
1
2
xn
2 2
n1
（3—249） （3—250）
e • 在Fourier变换中，基函数是 jt ，理论
上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都 是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至 是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特 性。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第六讲）
3. 6 小波变换
3. 几种典型的一维小波
小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均 可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的 小波以供参考。
（1） Haar小波
1
H (t) 1
0
0t 1 2
1 t 1 2 其他
(3—232)
该正交函数是由A.Haar于1910年提出的，对t平移时 可得到：
2. 正交小波变换
连续小波可以刻划函数f(t)的性质和变化过程， 用离散小波也可以刻划 f(t)。按调和分析方法， 把 f(t)写成级数展开形式，这就构成了n 维空间中 函数逼近问题。
在数学中，“空间”是用公理确定了元素之间的 关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离 的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范 空间等，在离散小波变换中赋范空间和内积空间的 概念是很重要的。

图像的正交变换

图像的正交变换

图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。

信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。

求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。

一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。

根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。

二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。

连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。

第三章 图像信号的正交变换.

第三章 图像信号的正交变换.
• 一、连续周期函数的傅立叶级数
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。

图像的正交变换.

图像的正交变换.


g (3)
x(2)



g(N
)
g(N 1)

g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)

g(i) *
x(i)

G

x


g (2)

g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1

数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-4讲)

数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-4讲)

3.5.1 斜矩阵的构成 3.5.2 斜 变 换
3.5.1 斜矩阵的构成
斜向量是一个在其范围内呈均匀阶梯下降的 离散锯齿波形。N =4，阶梯高度为2的斜向量 如图3—19所示。
3 2 1 0 -1 -2 -3
图3—19 N=4,阶梯为2的斜向量
如果用S(n)来表示N×N斜矩阵，设N=2n
n为正整数，则
[
Har 2
p
]1
H
a
(2)
F (N 1)
H a (N 1)
(3—180)
式中
[
Har 2
p
]1
是
[
Har 2
p
]
的逆矩阵。由于哈尔矩
阵不是对称矩阵，因此
[
Har 2
p
]1
不等于[Har 2
p
]，
所以哈尔正变换与逆变换是不相同的。
仿照沃尔什变换，利用矩阵因子分解之方法也可以得 到快速哈尔变换。一般说来，快速哈尔变换的流程图 并不是蝶形的，但是，我们可以用重新排序的方法构 成哈尔变换的蝶式运算流程图。具体作法如下：
3.4.1 哈尔函数的定义
哈尔函数是完备的、归一化的正交函数。在[0,1] 区间内，har(0,t) 为1， har(1,t) 在左半个区间内 取值为1，在右半个区间内取值为-1。它的其他函 数取0值和±1乘以 2 的幂，即取± 2 ， ±2， 2 2 ，±4等。具体定义如下。
har(0,t) 1 0 t 1
1 har(1,t) 1
0t 1 2
1 t 1 2
2
har(2, t) 2
0
0
har(3,
t)
2
2
0 t 1

数字图像处理 第三讲 正交变换

数字图像处理 第三讲 正交变换

正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N

x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)

数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换(第3-3讲)


的模2移位序列，则
Wz (n)
1 N
N 1
z(t) wal(n, t)
t 0
1
N 1
f (t l) wal(n, t)
N t0
令 r t l ，则有 t r l ，并且当 t 取值由
0到N-1时，r 也取同样的值，只不过取值的顺序不 同而已。于是可写成如下形式：
Wz (n)
1 N
另外，沃尔什函数可写成如下形式
p 1
t p1k (ik 1ik ) wal(i, t) (1) h0 式中 t (t p1t p2 tk t2t1t0 )二进
i (i p1i p2 ik t2t1t0 )二进
N 2p
因此，可得到指数形式的沃尔什变换式
p 1
1 N 1
t p1h (ik 1ik )
因此
p 1
g(i)k g( j)k
wal(i,t) wal( j,t) R(k 1,t)
k 0
p 1
g(i)k g( j)k
R(k 1,t)
wal(i j,t)
k 0
以上便是乘法定理的证明。
（４） 沃尔什函数有归一化正交性
1
0 i j
0 wal(i,t) wal( j,t)dt 1 i j
N 1
f
r 0
(r) wal(n, r
l)
1
N 1
f (r) wal(n, r) wal(n, l)
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (r) wal(n, r)]
N r0
wal(n, l)[ 1
N 1
f (t) wal(n, t)]
N t0
wal(n, l) W (n)

第三章 图像信号的正交变换



j 2f
d ]e
j 2fx
即： g ( x) Q( f )df [ g ( )e j 2f d ]e j 2f df

如果令： G( f )
上两式叫做傅立叶变换对。由g(x)得到G(f)的公式叫做 傅 立 叶 变 换 ， G(f) 称 为 原 函 数 g(x) 的 频 谱 函 数 。 记 作 F(f)=F{g(x)}。求原函数的公式叫做傅立叶逆变换，记作
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
简介
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
一、傅立叶级数 二、傅立叶变换
一、傅立叶级数 1、定义
周期为2π 周期为2π的函数g(θ)，若在一个周期内只有有限个极值
a n jbn 2 2 cos n x j sin n x 2 T T C0 a n jbn 2 2 n 1 cos n x j sin n x 2 T T
dxdyvyuxdxdyvyuxdxdyvyux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换33基本性质基本性质dxdyvyuxdxdvyuxdyvydxux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换3基本性质基本性质44举例举例vyux一傅立叶级数一傅立叶级数11定义定义22举例举例33指数形式指数形式二傅立叶变换二傅立叶变换11导出导出22广义傅氏变广义傅氏变换换3基本性质基本性质44举例举例函数的变换函数的傅立叶变换为

图像信号的正交变换


定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。

第3章 图像处理中的正交变换


f
(u,
y) e xp[j2ux
N
]
其中f
(u,
y)
N
1 N
N1F(u,v)e xp[j2vy
v0
N],
y
0,1,2,,
N
1
由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。
8．旋转性质
对 f(x 于 ,y )旋0 的 转傅F 里 (u ,v)也 叶旋 变 0 . 转
其傅里叶变换为：（DFT ）
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f ( x, y)e
MN
x0 y0
逆变换为：（IDFT ）
f ( x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v )e M N
MN u0 v 0
在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N
( t 2 j 2 st )
e
dt
( jS ) 2 S 2 F ( S ) e s 2 e ( t js ) 2 dt
进行变量替换：设 u t jS , du dt
则 F ( S ) e s 2 e u 2 du
由于高斯积分
e u 2 du 1
F (u) R(u) jI(u) 或 F (u) F (u) e j(u) ,
其 中 ，F (u)
R2(u) I 2(u),
(u)
arctg
I (u) R(u)
那 么 ，F (u) 被 称 为f (t )的 （ 傅 里 叶 ） 幅 度 谱 ；
(u)被 称 为 （ 傅 里 叶 ） 相谱 位；
二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
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2、加法定理
ℑ( f (t) + g(t)) = F(s) + G(s)
3、位移定理
ℑ f (t − a)] = e [
− j 2πas
F(s)
• 4、卷积定理
[ ℑ f (t) ∗ g(t)] = F(s)G(s) ℑ (F(s) ∗G(s) = f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。 • 5、相似性定理
• 旋转不变性： • 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 • 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到：
p(x) = ∫ f (x, y)dy, 其 氏 傅 傅 变 氏
−∞ ∞
∞
P(u) = ∫
改写为：
−∞ −∞
∫
∞
f (x, y)dye
− j 2πux
dx
P(u) = ∫
∞
−∞ −∞
• 1、定义 • 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则
M−1N−1 x=0 y=0 ux vy − j 2π ( + ) M N
1 F(u, v) = M N 1 f (x, y) = M N
∑∑ f (x, y)e
M−1N−1 u=0 v=0
∑∑F(u, v)e
ux vy j 2π ( + ) M N
• 当图像的长宽一致，且同为N时，得：
1 F(u, v) = ∑∑ f (x, y)e N x=0 y=0 1 f (x, y) = ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0
• 2、性质：
• 可分离性：
N− N− 1 1
N− N− 1 1
−j
2π (ux+vy) N
j
2π (ux+vy) N
2π x −j uy − j 2πu 1 N F(u, v) = f (x, y)e N e ∑∑ N x=0 y=0 2π 2π N− N− 1 1 j (vy) − j ux 1 N N f (x, y) = e ∑∑F(u, v)e N u=0 v=0 N− N− 1 1
f (t) = cos(2πf0t) 1 F(s) = [δ (s + f0 ) +δ (s − f0 )] 2
在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：
F(u) = ∑ f (k)e
k =0
N− 1
− j 2π uk / N
f (k) = ∑F(u)e
u=0
N− 1
j 2π uk / N
3.DCT变换的应用：
余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦 变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的 JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相 似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。
同时，DCT也有快速计算方法。
• 3.4沃尔什变换（walsh）
• 存储空间小、运算速度快。 • 主要用于实时图像处理 • 只包括+1和-1两个数值构成完备正交基。
−1
1 s ℑ f (at)} = F( ) { a a
• 6、Rayleigh定理（能量不变定理）
∫
∞
−∞
f (t) dt = ∫ F(s) ds
2 2 −∞
∞
• 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理 表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量 不变）
• 五、二维离散傅立叶变换
X =T Y
• 来得到。
−1
• 如：
1 N−1 F = ∑ fi exp(− j2πki / N) k N i=0 可 写 ： 改 为 F= W 其 f, 中 1 wi,k = exp(− j2πki / N) N 正变换通常看作是一个分解过程：将信号分解成它的各个基元分
•
量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原 信号中各分量所占的量。 • 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。 变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的 大小。
∞ −∞ ∞ −∞
fo (t) sin 2 st)dt ( π
fe (t) cos(2 st)dt π
• 如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换 规则： • 1、实的偶部产生实的偶部 • 2、实的奇部产生虚的奇部 • 3、虚的偶部产生虚的偶部 • 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。
• 二维 二维DCT： ：
1 N−1 N−1 F(0,0) = ∑∑ f (x, y) N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2y +1)vπ F(0, v) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ F(u,0) = ∑∑ f (x, y)cos 2N N x=0 y=0 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ F(u, v) = ∑∑ f (x, y) cos cos N x=0 y=0 2N 2N
• 3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系
• 抽样、截断。
• 四、傅立叶变换的性质
1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即
f (t) = fe (t) + fo (t) 利 欧 公 ，可 用 拉 式 得 F(s) = F (s) + jF (s) e 0 其 ， F (s) = ∫ 中 o F (s) = ∫ e
• 上机内容： • 1、利用菜单编辑器，编辑一反色菜单项，并编 写代码实现图像的反色。 • 2、编辑一快速傅立叶变换的菜单项，并编写相 应的消息响应函数，调用给定傅立叶变换函数， 实现图像的傅立叶变换。
• 2.二维离散线性变换
• 对于 N× N 点的矩阵的变换：
N−1 N−1 x=0 y=0
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)g(x, y, u, v) f (x, y) = ∑∑F(u, v)h(x, y, u, v)
u=0 v=0 N−1 N−1
• 其中g 和h可看作是由 N2 × N2 点的块矩阵：每一行有N块，共有 N行，每一块又是一个 N× N 的矩阵。 • 如果变换核（g 和h）是可分离的，即
∫
∞
f (x, y)e
− j 2π (ux+0 y)
dxdy
= F(u,0)
• 六、实例
• 3.3数字图像的正交基表示
• 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？
• 1.一维离散线性变换（线性方程组）
yi = ∑ti, j xj
j=0
Hale Waihona Puke N−1Y = TX
• 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：
• 反变换： 反变换：
1 2 N−1 (2y +1)vπ f (x, y) = F(0,0) + ∑F(0, v)cos 2N N N v=1 2 N−1 (2x +1)uπ + ∑F(u,0)cos 2N N u=1 2 N−1 N−1 (2x +1)uπ (2y +1)vπ + ∑∑F(u, v) cos cos N u=1 v=1 2N 2N
u=0 v=0
N−1 N−1
N−1 F(u, v) = ∑P(u, x)∑ f (x, y)Q(v, y) x=0 y=0 N−1 N−1 f (x, y) = ∑P(u, x)∑F(u, v)Q (v, y) 1 1 u=0 v=0
N−1
• 上两式写为矩阵形式：
F = PfQ , f = PFQ 1
g(x, y, u, v) = P(u, x)Q(v, y) h(x, y, u, v) = P(u, x)Q (v, y) 1 1
• 则二维离散变换可表为：
F(u, v) = ∑∑ f (x, y)P(u, x)Q(v, y)
x=0 y=0
N−1 N−1
f (x, y) = ∑∑F(u, v)P(u, x)Q (v, y) 1 1
二、研究线性系统的两种方法
1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应 的调谐输出。 2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积 给出对应的输出。
傅立叶变换
• 1、背景 • 1768年出生于法国。 • 傅立叶的思想
• 3.2傅立叶变换
• 一、连续周期函数的傅立叶级数
∞
x(t) =
k =−∞
∑X(kΩ )e
0
jkΩ0t
1 T /2 − jkΩ0t X (kΩ0 ) = ∫ x(t)e dt T −T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) = ∫ F(s)e
−∞ ∞ −∞
∞
− j 2πst
ds dt
F(s) = ∫ f (t)e
− j 2πst
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上 述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：
• 2、采样和插值
p(t) = ∑δ (x − n)
n=−∞
∞
f (t) p(t) = ∑ f (t)δ (t − nT)
n=−∞
∞
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。 • 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
第三章 图像信号的正交变换