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《数字图像处理》习题参考答案第1 章概述连续图像和数字图像如何相互转换答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。
这样，数字图像可以用二维矩阵表示。
将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像（连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。
图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
#采用数字图像处理有何优点答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1．具有数字信号处理技术共有的特点。
（1）处理精度高。
（2）重现性能好。
（3）灵活性高。
2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。
3．数字图像处理技术适用面宽。
4．数字图像处理技术综合性强。
数字图像处理主要包括哪些研究内容答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。
]讨论数字图像处理系统的组成。
列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。
答：如图，数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的信息系统。
图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。
图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机）、图像存储器、图像输出设备等组成。
软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。
$图数字图像处理系统结构图1常见的数字图像处理开发工具有哪些各有什么特点答．目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++（面向对象可视化集成工具）和MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。
两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。
Microsoft 公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。
实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一．实验目的：1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。
2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二．实验内容：1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。
2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。
4．对输入图像进行频域滤波处理。
三．实验原理：1．快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得，其简单语法：F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为：S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度，也就是实部和虚部平方和的平方根，即若某个元素为F = a +bj，则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如，对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱：>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果，图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，语法为：Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换，即图4.2(a)，而Fc是已居中的变换，即图4.2(b)。
键入命令：>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像，居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。
另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。
图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。
数字图像处理及MATLAB实现4武汉理工大学信息学院第4章图像变换(ImageTranform)4.1连续傅里叶变换4.2离散傅里叶变换4.3快速傅里叶变换4.4傅里叶变换的性质4.5图像傅里叶变换实例4.6其他离散变换一、图象变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。
2.目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声),加强/提取感兴趣的部分或特征]。
二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,2D-DHT,2D-DWT三、用途1.提取图象特征(如):(1)直流分量：f(某,y)的平均值=F(0,0);(2)目标物边缘：F(u,v)高频分量。
2.图像压缩：正交变换能量集中，对集中(小)部分进行编码。
3.图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。
4.1连续傅里叶变换(ContinuouFourierTranform)1、一维傅立叶变换及其反变换::1F(u)f(某)ej2u某d某f(某)F(u)ej2u某du4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)这里f某是实函数，它的傅里叶变换Fu通F常是复函数。
u的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部Ruftco2utdt(4.3)虚部Iuftin2utdt(4.4)振幅1FuR2uI2u2(4.5)4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)能量相位EuFuR2uI2u2(4.6)(4.7)傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。
设函数f某,y是连续可积的，且fu,v可积，则存在如下的傅里叶变换对：IuuarctanRu4.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)Ff(某,y)F(u,v)f(某,y)ej2u某vyd某dy(4.8)F1F(u,v)f(某,y)F(u,v)ej2u某vydudv(4.9)式中u、v是频率变量。
数字图像处理与分析第四章 图像处理中的正交变换3刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2005年春季学期1其他变换—小波变换连续小波变换基本小波—一个具有振荡性和迅速衰减的波 小波基函数ψ a ,b ( t ) =t−b 1 ψ( ) a aa－尺度系数（伸缩系数）；b－位移系数第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2其他变换—小波变换连续小波变换连续小波变换定义（又称之为积分小波变换）：W f ( a , b ) =< f ,ψ∞a ,b( t ) >= 1 a=−∞∫f ( t )ψa ,b( t ) dt =−∞∫∞t−b ) dt f ( t )ψ ( a连续小波变换的逆变换：1 f (t ) = Cψ∞ ∞∫0da ∫∞W f ( a , b )ψ a ,b ( t ) db a 2 −第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站3其他变换—小波变换连续小波变换 W(a,b)是信号x(t)与小波基本函数在尺度因子a和位移因 子b时的互相关函数 如果信号在特定的尺度因子a和位移因子b下与基本小波函 数具有较大的相关性（相似性），则W(a,b)值将较大 对于任意给定的尺度因子a（频率~ 1/a），小波变换 W(a,b)为输入信号作用于具有响应函数 ψ ∗a,0 (−b) 的滤波 器输出； 小波变换定义了一组由尺度因子a规范的连续滤波器组第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站4其他变换—小波变换小波变换与STFT的基本区别B STFT B B B B Bf0 B CWT2f0 2B3f0 4B4f05f06f0 8Bf02f04f08f0 刘定生 中科院中国遥感卫星地面站5第四章 图像处理中的正交变换其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析尺度（Scaling）—小波的“尺度”变化意味着对小波进行“拉伸”或“压 缩”f(t) = sin(t) scale factor1f(t) = sin(2t) scale factor 2f(t) = sin(3t) scale factor 3第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站6其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度—某种程度上类似于频率：频率～1/a第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站7其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度与频率大尺度对应于“展开”的小波，小波展开越大，该小波表征的信号 特征就越粗糙（平滑）小尺度大尺度小尺度a：对应于压缩的小波；可表征更好的细节（变 化）：高频率 大尺度a：对应于展开的小波；表征粗糙部分（慢变化）： 低频率 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站8其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）位移（Shifting）—延迟或加速小波 数学上，延迟一个函数f(t)表示为f(t-k)第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站9其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）C = 0.0004C = 0.0034 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站10其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）小波变换系数分布图第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站11其他变换—小波变换小波变换的基本性质线性—小波变换是线性变换f (t ) = αf 1(t ) + βf 2 (t )W f ( a, b) = αW f1( a, b) + βW f 2( a, b)平移和伸缩的共变性1 f ( a0 t ) ⇔ W f ( a0 a , a0 b ) a冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换 的核函数存在许多可能的选择 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解 释小波变换的结果的困难第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站12其他变换—小波变换离散小波变换连续小波变换中，尺度系数和平移系数连续取值，将产生 巨大的计算量，主要用于理论分析 仅取尺度与位置的某些离散量，采用离散化的尺度及位移 因子，可大量减少计算量，形成离散小波变换令m m a = a0 ; b = nb0a0 ; a0 > 1, b0 ≠ 0; m, n为整数系列可有离散小波基函数：m m − t − nb0a0 − ψ m ,n ( t ) = m ψ ( ) = a0 2ψ ( a0 mt − nb0 ) m a0 a01及离散小波变换：< f ,ψ m ,n >=−∞∫∞f (t ) m ,n (t )dt = a0 ψ−m ∞ 2 −∞∫f (t ) ( a0 mt − nb0 )dt ψ −13第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站其他变换—小波变换二进小波变换若基于2的幂次方选择二进伸缩和二进位移（以2的因子伸 缩和平移）构成基函数，即a0 = 2; b0 = 1;则形成二进小波ψ m ,n ( t ) =1 2ψ( mt − n 2m 2m) = 2 ψ ( 2 −m t − n )−m 2第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站14其他变换—小波变换二进正交小波变换满足下列条件的二进小波（正交性条件）< ψ m,n ,ψ j ,k >= δ m, jδ n,k( Kronecher δ 函数)⎧1 m = j, n = k =⎨ 其他 ⎩0为二进正交小波。
