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图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
数字图像处理学第3章图像处理中的正交变换（第一讲）第3章图像处理中的正交变换数字图像处理的方法主要分为两大类：一个是空间域处理法(或称空域法)，一个是频域法(或称变换域法)。
在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。
这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因此，也将其称作酉变换。
目前，在图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码等处理中。
本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论。
3.1 傅里叶变换傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。
在一维信号处理中得到了广泛应用。
把这种处理方法推广到图像处理中是很自然的事。
这里将对傅里叶变换的基本概念及算法作一些简单的复习。
3.1.1 傅里叶变换的定义及基本概念傅里叶变换在数学中的定义是严格的。
设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：（１）具有有限个间断点；（２）具有有限个极值点；（３）绝对可积。
则有下列二式成立dx e x f u F ux j π2)()(-∞∞-⎰=(3—1)du e u F x f ux j π2)()(⎰∞∞-=(3—2)式中x 是时域变量，u 为频率变量。
如令，则有ωπ=2 udx ex f F x j ωω-∞∞-⎰=)()((3—3)ωωπωd e F x f xj )(21)(⎰∞∞-=(3—4)通常把以上公式称为傅里叶变换对。
函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由式（3—5）表示F R jI ()()()ωωω=+(3—5)或写成指数形式F R I ()()()ωωω=+22F F ej ()()()ωωφω=φωωω()()()=arctg I R (3—6)(3—7)(3—8)把叫做的傅里叶谱，而叫相位谱。
F ()ωf x ())(ωφ傅里叶变换广泛用于频谱分析。
例：求图3—1所示波形f(x)的频谱。
)(x f 2-τ2τf(x)AX3—1 函数的波形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧τ-<τ>τ≤≤τ-=202022)(x x x A x f2s in2)()()(2222ωτωωωτωτωττωωA e e j A dxAedxe xf F j j xj xj =-===---+∞∞--⎰⎰F AA ()sin sinωωωττωτωτ==2222则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=τπ+<ω<τπ+π=τπ+<ω<τπ=ωφn n nn n n2,1,0)1(4)12(22,1,0)12(240的幅度谱及相位谱如图3—2所示。
f x ()图3－2的幅度谱及相位谱f x ()例：求周期函数的傅里叶谱。
一个周期为T 的信号可用傅里叶级数来表示，即f x ()xjn en F x f 0)()(ω-∞∞-∑=因此，傅里叶变换可写成下式:Tdxex f Tn F xjn T T π=ω⎰=ω--2)(1)(0220式中][)(])([)]([)(00xjn xjn en F en F x f F ω-∞∞-ω-∞∞-∑=∑==ω FFF))(2)()(0)(00ω-ωδ∑π=⎰∑=⋅⎰∑=∞-∞=ω-ω-∞∞-∞-∞=ω-ω∞∞-∞-∞=n n F dxen F dxeen F n n j n xj jn n (图3—3 周期函数的傅里叶谱由上面的例子可以建立起下面几个概念：（１）只要满足狄里赫莱条件，连续函数就可以进行傅里叶变换，实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。
（２）连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数，连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。
傅里叶变换可推广到二维函数。
如果二维函数(,)f x y满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里哀变换对存在：dxdyey x f v u F vy ux j )(2),(),(+π-∞∞-∞∞-⎰⎰=(3—9)dudvev u F y x f vy ux j )(2),(),(+π∞∞-∞∞-⎰⎰=(3—10)与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式式中：是幅度谱；是相位谱；是能量谱。
),(v u F ),(v u φ),(v u E ),(),(),(22v u I v u R v u E +=),(),(),(v u R v u I arctgv u =φ),(),(),(22v u I v u R v u F +=(3—13)(3—11)(3—12)3.1.2 傅里叶变换的性质傅里叶变换有许多重要性质。
这些性质为实际运算处理提供了极大的便利。
这里，仅就二维傅里叶变换为例列出其主要的几个性质。
（１）具有可分性这个性质说明一个二维傅里叶变换可用二次一维傅里叶变换来实现。
（２）线性傅里叶变换是线性算子，即[][][]),(),(),(),(22112211y x fa y x f a y x f a y x f aF FF+=+（３）共轭对称性如果是的傅里叶变换，是傅里叶变换的共轭函数，那么),(*),(v u F v u F --=),(v u F )y ,x (f ),(*v u F --f x y (,)--（４）旋转性如果空间域函数旋转的角度为，那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即θ0f r F k (,)(,)θθφθ+⇔+00（５）比例变换特性如果是的傅里叶变换。
a 和b 分别为两个标量，那么),(v u F f x y (,)),(),(v u aF y x af ⇔⎪⎭⎫⎝⎛⇔b v a u F ab by ax f ,1),(（６）帕斯维尔（Parseval ）定理这个性质也可称为能量保持定理。
如果是的傅里叶变换，那么有下式成立),(v u F f x y (,)dudvv u F dxdy y x f 22),(),(⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-=这个性质说明变换前后并不损失能量（７）相关定理如果，f(x),g(x)为两个一维时域函数；f(x,y)和g(x,y)为两个二维空域函数，那么，定义下二式为相关函数αααd )x (g )(f )x (og )x (f +=∫∞∞βαβαβαd d )y ,x (g ),(f )y ,x (og )y ,x (f ++=∫∫∞∞∞∞由以上定义可引出傅里叶变换的一个重要性质。
这就是相关定理，即),(),(),(),(*v u G v u F y x og y x f ⋅⇔),(),(),(),(*v u oG v u F y x g y x f ⇔⋅式中是的傅里叶变换，是的傅里叶变换，是的共轭，是的共轭。
),(v u F f x y (,)),(v u G g x y (,)),(*v u G ),(v u G g x y *(,)g x y (,)（８）卷积定理如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f(x,y)和g(x,y)是二维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，即αααd x g f x g x f )()()()(-=*⎰∞∞-βαβαβαd d y x g f y x g y x f ),(),(),(),(--=*⎰⎰∞∞-∞∞-式中F (u,v ) 和G (u,v ) 分别是f (x )和g (x )的傅里叶变换。
),(),(),(),(v u G v u F y x g y x f *⇔⋅),(),(),(),(v u G v u F y x g y x f ⋅⇔*由此，可得到傅里叶变换的卷积定理如下3.1.3 离散傅里叶变换连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，这在理论分析中无疑具有很大价值。
离散傅里叶变换使得数学方法与计算机技术建立了联系，这就为傅里叶变换这样一个数学工具在实用中开辟了一条宽阔的道路。
因此，它不仅仅有理论价值，而且在某种意义上说它也有了更重要的实用价值。
1.离散傅里叶变换的定义如果x(n)为一数字序列，则其离散傅里叶正变换定义由下式来表示X m x n e n N j mn N ()()==--∑012π(3—29)傅里叶反变换定义由下式来表示N mn j N m e m X N n x π-=∑=210)(1)((3—30)由(3—29)和(3—30)式可见，离散傅里叶变换是直接处理离散时间信号的傅里叶变换。
如果要对一个连续信号进行计算机数字处理，那么就必须经过离散化处理。
这样，对连续信号进行的傅里叶变换的积分过程就会自然地蜕变为求和过程。
2.离散傅里叶变换的性质（１）线性如果时间序列x(n)与y(n)各有傅里叶变换X(m)和Y(m)，则+⇔+()()()()ax n by n aX m bY m（２）对称性如果()()m X n x ⇔则1N X n x m ()()⇔-（３）时间移位如果序列向右（或向左）移动k位，则: ()()kmWmXknx⋅⇔-则()()kmWmXknx⋅⇔-（４）频率移位如果()()m X n x ⇔则()()k m X W n x kn -⇔⋅-(3—40)（５）周期性如果()()m X n x ⇔则x n rN x n ()()±=（６）偶函数如果()() e ex n x n=-则X m x nmnN enNe()()cos() ==-∑12π（７）奇函数如果()()n x n x --=00则X m j x n Nmn n N 00102()()sin()=-⋅=-∑π（８）卷积定理如果x n X m y n Y m ()(),()()⇔⇔则x n y n X m Y m ()()()()*⇔⋅反之x n y n X m Y m ()()()()⋅⇔*也成立。
（９）相关定理如果x n X m y n Y m ()()()()⇔⇔则x n oy n X m Y m ()()()()⇔⋅*（10）帕斯维尔定理如果x n X m ()()⇔则n N m N x n N X m =-=-∑∑=0120121()()3.1.4 快速傅里叶变换(FFT)随着计算机技术和数字电路的迅速发展，在信号处理中使用计算机和数字电路的趋势愈加明显。
离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具。
然而，它的计算量较大，运算时间长，在某种程度上却限制了它的使用范围。
快速算法大大提高了运算速度，在某些应用场合已可能作到实时处理，并且开始应用于控制系统。
快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种算法。
这种方法是在分析离散傅里叶变换中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速运算的目的。
下面我们从基本定义入手，讨论其原理。
对于一个有限长序列，它的傅里叶变换由下式表示{()}()x n n N 01≤≤-X m x n e m N n N j mn N ()(),,==-=--∑012011π (3—47)令221,,j j N N W e W e ππ--==x n N X m W n N mn ()()==--∑101将正变换式（3—48）展开可得到如下算式X m x n W n N mn ()()==-∑01因此，傅里叶变换对可写成下式(3—49）(3—48)X x W x W x N W X x W x W x N WX x W x W x N WX N x W x W x N W N N N N N N N ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0011101120111011000101101111202121101111=+++-=+++-=+++--=+++--------(3—50)。
