2019届高考数学二轮复习 专题检测(二十二)临界知识问题 文
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2019届高考数学二轮复习 专题检测（二十二）临界知识问题 文一、选择题1．对2×2数表定义平方运算，规则是：⎝⎛⎭⎪⎫ab c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 23 02的值是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7 －2－3 6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 7－36C.⎝⎛⎭⎪⎫1 490 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1 23 0解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 23 02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 23 0⎝ ⎛⎭⎪⎫－1 23 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋2×3 －1×2＋2×0－1×3＋3×0 3×2＋02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7 －2－3 6. 2．点P (－3,1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左准线上，过点P 且方向为a ＝(2，－5)的光线，经直线y ＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )A.33B.13C.22D.12解析：选A 作出示意图，如图所示．由题意，k PA ＝－52.∴l PA ：5x ＋2y ＋13＝0，则交点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，－2，据光的反射知识知k AF ＝－k PA＝52. ∴l AF ：5x －2y ＋5＝0.∴直线AF 与x 轴交点即左焦点F (－1,0)，即c ＝1.又左准线x ＝－a 2c＝－a 2＝－3，∴a ＝ 3.∴e ＝c a ＝33.故选A. 3．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若△ABC 为等边三角形时，即a ＝b ＝c ， 则max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ＝1＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫ab ，bc ，c a ，则l ＝1； 若△ABC 为等腰三角形，如a ＝2，b ＝2，c ＝3时，则max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝32，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝23，此时l ＝1仍成立，但△ABC 不为等边三角形，故“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要不充分条件．4．对于定义域为R 的函数f (x )，若f (x )在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f (x )为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( )A ．f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R) B ．f (x )＝2－|x －1| C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝x －sin x解析：选D 对于A ，因为f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)的零点即为方程x 2＋bx －1＝0的根，所以Δ＝b 2＋4＞0，且方程x 2＋bx －1＝0有一正根一负根，故函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R)是“含界点函数”；对于B ，令f (x )＝2－|x －1|＝0，得x ＝3或x ＝－1，故f (x )＝2－|x －1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f (x )为“含界点函数”；对于C ，作出y ＝x 2和y ＝2x 的图象(图略)，可知f (x )＝2x －x 2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f (x )＝2x －x 2是“含界点函数”；对于D ，因为f (x )＝x －sin x 在R 上是增函数，且f (0)＝0，故f (x )＝x －sin x 不是“含界点函数”．5．定义方程f (x )＝f ′(x )的实根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．β>γ>αD ．γ>α>β解析：选D 依题中定义知：①∵g ′(x )＝1，由g (x )＝g ′(x )，得x ＝1，∴α＝1. ②∵h ′(x )＝1x ＋1，令f (x )＝ln(x ＋1)－1x ＋1，则f (x )在(－1，＋∞)上递增，且f (0)＝－1，f (1)＝ln 2－12>0，∴0<β<1.③∵φ′(x )＝3x 2，令F (x )＝x 3－3x 2－1，F (x )只有一个零点， 且F (3)＝－1<0，F (4)＝43－3×16－1＝15>0， ∴3<γ<4.∴β<α<γ，故选D.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋2.由题意可知，N >100，令n n ＋2>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t－1应与－2－k 互为相反数，即2t－1＝k ＋2，∴2t＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)， ∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝＋2＋4＝95<100，不满足题意； 当t ＝5，k ＝29时，N ＝＋2＋5＝440；当t >5时，N >440，故选A. 二、填空题7．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，M 是椭圆上与F 1，F 2不共线的任意一点，I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交F 1F 2于点N ，则|MI ||NI |＝________.解析：因为I 是△MF 1F 2的内心， 所以MN 是∠F 1MF 2的角平分线， 所以|MF 1||MF 2|＝|NF 1||NF 2|.所以|MF 1|＋|MF 2||MF 2|＝|NF 1|＋|NF 2||NF 2|，所以2a |MF 2|＝2c |NF 2|，所以|MF 2||NF 2|＝ac .又因为IF 2为∠NF 2M 的角平分线， 所以|MI ||NI |＝|MF 2||NF 2|＝a c .答案：ac8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12 017＜8x＜2 017和B ＝{x |log 2(x 2－[x ])＝2}，其中符号[x ]表示不大于x 的最大整数，则A ∩B ＝________.解析：因为12 017＜8x＜2 017，[x ]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3.当[x ]＝－3，则x 2＝1，无解；当[x ]＝－2，则x 2＝2，解得x ＝－2； 当[x ]＝－1，则x 2＝3，无解； 当[x ]＝0，则x 2＝4，无解． 当[x ]＝1，则x 2＝5，无解； 当[x ]＝2，则x 2＝6，解得x ＝6； 当[x ]＝3，则x 2＝7，无解． 综上A ∩B ＝{－2，6}． 答案：{－2，6}9．对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；②f (x )＝2x 2－1；③f (x )＝|1－2x|；④f (x )＝log 2(2x －2)．其中的“可等域函数”为________(填序号)．解析：根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f (x )的“可等域区间”，满足；②中，f (x )＝2x 2－1在[－1，1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f (x )＝|1－2x|与y ＝x 的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f (x )＝log 2(2x －2)与y ＝x 无交点，不满足．故“可等域函数”为①②③.答案：①②③ 三、解答题10．若函数y ＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC 中，求sin A ＋sin B ＋sinC 的最大值．解：因为y ＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，则13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝sin 60°＝32，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤332， 当且仅当sin A ＝sin B ＝sin C 时，即A ＝B ＝C ＝π3时，取等号．11.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中，AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°，点B 在线段ED 上．(1)当点B 在何处时，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1；(2)点B 在线段ED 上运动的过程中，求三棱柱ABC A 1B 1C 1表面积的最小值．解：(1)由于三棱柱ABC A 1B 1C 1为直三棱柱， 则AA 1⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥BC .而AA 1∩AB ＝A ，只需BC ⊥平面A 1ABB 1，即AB ⊥BC ，就有“平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1”． 在平行四边形ACDE 中，因为AE ＝2，AC ＝AA 1＝4， ∠E ＝60°.过B 作BH ⊥AC 于H ， 则BH ＝ 3.若AB ⊥BC ，有BH 2＝AH ·CH . 由AC ＝4，得AH ＝1或3.两种情况下，B 为ED 的中点或与点D 重合．(2)三棱柱ABC A 1B 1C 1表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC A 1B 1C 1其底面积和平面A 1ACC 1的面积为定值，只需保证侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和最小即可．过点B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ＝ 3.令AH ＝x ，则侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和等于4(AB ＋BC )＝4[x 2＋3＋3＋－x2]．其中x 2＋3＋3＋－x2可以表示动点(x,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x ＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×4×32＋42＋4×27＝43＋87＋16.12．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，为什么？解：(1)当m ＝0时，直线l 的斜率为0； 当m ≠0时，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1＝1m ＋1m. 当m >0时，m ＋1m ≥2，所以0<k ≤12；当m <0时，m ＋1m ≤－2，所以－12≤k <0.所以直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)法一：因为圆心C (4，－2)到直线l 的距离 d ＝|4m ＋m 2＋－4m |m 2＋m 2＋2＝m 2＋m 4＋3m 2＋1.若直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.所以d ＝r2＝1，即2(m 2＋1)＝m 4＋3m 2＋1，化简得3m 4＋5m 2＋3＝0.而此方程无实数解，所以直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．法二：因为直线l 的方程可化为：(m －4)x －(m 2＋1)y ＝0，所以直线l 恒过点(4,0)． 此点正好是圆C 与x 轴的切点，由几何知识可得要使直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则直线l 的倾斜角为60°或120°，所以直线l 的斜率为±3，这与k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12矛盾， 所以，直线l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．。
