名师测控(春季版)八年级数学下册16二次根式二次根式的乘除1学案新版沪科版

沪科版数学八年级下册全册教案设计2021-1-24第16章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质（1）【知识与技能】理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．【过程与方法】提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念的理解.【教学难点】利用“（a≥0）”解决具体问题.一、创设情境，提出问题1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（1）面积为3 的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为 .问：（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.问：（2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 .【教学说明】由数字到字母，逐步渗透二次根式的概念，使学生对二次根式的由来有一个初步的印象.2.（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？ 5h 表示的数怎样变化？ 【教学说明】让学生自主选择数字代入求值，一方面感知二次根式的计算，另一方面对二次根式有意义的条件有一个具体的认识.二、合作探究，探索新知1.上面问题中，得到的结果分别是：（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？答：（1）分别表示3，S ，65 的算术平方根．（2）这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.【教学说明】让学生观察思考后回答，使学生掌握二次根式的本质含义.2.根据你的理解，请写出二次根式的定义.把形如 ,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.【教学说明】用具体的例子来归纳二次根式的定义，便于学生理解掌握.3.二次根式：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.二次根式→被开方数a ≥0；根指数为2.【教学说明】教师及时归纳总结，形成相应的数学知识.三、示例讲解，掌握新知例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：【分析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：；不是二次根式的有：.【教学说明】教师强调要根据二次根式的定义进行判断,注意二次根式的特征.例2 当x 是多少时，13-x 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义.解：由3x-1≥0，得：x ≥31 当x ≥31时，13-x 在实数范围内有意义. 【教学说明】教师强调二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0，然后根据这一条件列出相应的不等式.3.小结：请比较a 和0 的大小分类讨论思想当a ＞0 时, 表示a 的算术平方根，因此a ＞0；当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此a =0； 这就是说，a （a ≥0）是一个非负数.具有双重非负性【教学说明】教师引导学生进行总结，掌握二次根式的双重非负性.四、练习反馈，巩固提高1.下列各式中，是二次根式的为 .2.当x 为何值时，下列各式有意义？【教学说明】第1题是对二次根式定义的理解;第2题是对二次根式有意义条件的理解,第3题是对二次根式计算的应用.教师要求学生独立完成，以便于学生及时进行反馈.五、师生互动，课堂小结（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 中的a≥0.（4）双重非负性二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式.【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.第2课时二次根式的概念及性质（2）【知识与技能】（a=a（a≥0）,2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.理解2）【过程与方法】通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】（a=a（a≥0）和2a=a（a≥0），及其运用.a（a≥0）是一个非负数；2）【教学难点】用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出2a=a（a≥0）.一、复习提问，导入新课（学生活动）口答：1.什么叫二次根式？2.当a≥0时，a叫什么？当a＜0时，a有意义吗？【教学说明】通过复习，让学生回顾二次根式的定义和有意义的条件，为本节课的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.问题1 做一做：根据算术平方根的意义填空：老师点评4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4.【教学说明】这些计算，可以让学生去尝试完成，然后教师引导学生进行总结，发现规律.【教学说明】教师及时进行总结，并用含字母的式子表示，便于学生理解和记忆.3.问题2 （学生活动）填空：老师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：4.小结：因此，一般地：2a =a（a≥0）【教学说明】让学生先进行相应的计算探究，然后让学生仿照前一个探究进行总结，教师及时予以补充和强调，最后用含有字母的式子进行总结.这里要特别强调a≥0这一条件.三、示例讲解，掌握新知例1 计算【分析】我们可以直接利用2）（a =a （a ≥0）的结论解题.【教学说明】 这是对第一个探究的应用，可以让学生自主完成，以加深学生的印象.例2 化简【分析】因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）去化简.【教学说明】 这是对第二个探究的应用，相对要难一些，可以让学生先自主完成，对于出现的问题教师有针对性的进行讲解，尤其是第（2）、（4）题学生理解起来有一定的困难，教师可以在讲解后，再出1~2题相应的训练及时巩固.四、练习反馈，巩固提高 1.23-）（= .2.已知1 x 有意义，那么这个式子是一个 数.3.计算4.把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）61 （4）x （x ≥0） 5.已知21-++-x y x =0，求x y 的值.【答案】1.3 2.非负数【教学说明】 第1题、第3题是对性质的直接应用，考察学生对性质的掌握情况，第2题和第5题是对二次根式的双重非负性的应用，学生应该掌握相应的解题方法，第4题是对性质的反向应用，培养学生的逆向思维能力.五、师生互动，课堂小结（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识.【教学说明】 通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.完成同步练习册中本课时的练习.（a=a（a≥0）, 2a=a（a≥0）并利用它进本节课重点是学习如何理解2）行计算和化简，难点是通过对具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．在教学中重点要引导学生对2a的结果进行分类讨论，并总结规律得出2a=|a|，然后分三种情况进行讨论，指出2a不能直接等于a.16.2 二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法【知识与技能】理解b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 【过程与方法】由具体数据发现规律，导出b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）及它们的运用.【教学难点】发现规律，导出b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0）.一、复习提问，导入新课1.对于二次根式a 中的被开方数a ，我们有什么规定？2.当a ≥0 时，2）（a 等于多少？3.当 a ≥0 时，2a 等于多少？【教学说明】 通过对二次根式的性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础.二、合作探究，探索新知1.请同学们完成下列各题.参考上面的结果，用“＞、＜或＝”填空.【教学说明】这些计算比较简单，可以让学生自主完成，然后引导学生进行总结.2.利用计算器计算填空【教学说明】使用计算器进行计算，对上面探究的规律进行验证，使它更具有说服力.3.老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为ba·＝ab（a≥0，b≥0），a·（a≥0，b≥0）反过来：ab=b【教学说明】教师在学生总结的基础上进行归纳，形成相应的知识点，并用含有字母的式子表示出来.三、示例讲解，掌握新知例1 计算：a·＝ab（a≥0，b≥0）计算即可.【分析】直接利用ba·（a≥0，b≥0）直接化简即可.【分析】利用ab=b【教学说明】在讲解例题时，可以只讲解其中一个，然后让学生尝试仿照完成剩下的计算，教师及时发现学生存在的问题，予以纠正.这里要重点强调解题的格式和对法则的应用.四、练习反馈，巩固提高4.自由落体的公式为S=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是 .5.一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？6.探究过程：观察下列各式及其验证过程.【教学说明】 学生独立完成，及时进行反馈，便于教师掌握学生的掌握情况.第1题要注意a 为负数，第6题要注意寻找规律. 五、师生互动，课堂小结本节课应掌握：（1）b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）及其运用.【教学说明】 教师引导学生对本节课所学知识进行总结，再用简洁的式子进行归纳，使学生掌握的更牢固.完成同步练习册中本课时的练习.1.在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.2.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养.3.要反复强调利用二次根式乘法法则进行计算时，要注意二次根式中被开方数的取值范围.4.适当加强练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础.第2课时 二次根式的除法【知识与技能】1.理解b a b a =（a ≥0，b ＞0）和bab a =（a ≥0，b ＞0）及利用它们进行运算.2.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】理解b a b a =（a ≥0，b ＞0），ba b a =（a ≥0，b ＞0）及利用它们进行计算和化简. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法法则和对最简二次根式的理解.一、复习提问，导入新课请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空3.通过以上计算，你能得出什么规律？【教学说明】 通过具体的计算，让学生感知二次根式除法法则的具体来源，然后让学生总结发现的规律. 二、合作探究，探索新知1.教师引导学生总结：一般地，对二次根式的除法规定：b ab a =（a ≥0，b ＞0）， 反过来，bab a =（a ≥0，b ＞0） 【教学说明】 教师及时总结二次根式除法的法则，并引导学生对法则进行逆向应用，加深对法则的理解.2.请同学们完成下列各题3.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.小结：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 【教学说明】 先让学生进行化简计算，然后再让学生观察计算的结果.这里，学生可能说的不是很完整，教师及时予以补充，最后教师再将探究的结果进行归纳总结，学生做好笔记，形成概念. 三、示例讲解，掌握新知【教学说明】 例1是对具体的数进行计算，可以让学生先自主完成，然后教师再针对发现的问题进行讲解.例2 化简：【分析】直接利用bab a（a ≥0，b ＞0）就可以达到化简的目的.【教学说明】 例2涉及到含有字母的式子进行化简，对于学生来说有一定的难度，教师可以先示范讲解（1）和（2），适当总结应该注意的问题，然后让学生自主完成（3）（4），最后再进行强调，加深学生的印象，提高学生对法则应用的熟练性.四、练习反馈，巩固提高1.如果yx（y ＞0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）.2.把111---a a ）（中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）.【教学说明】 让学生独立完成，对于第2、5、6题，学生理解有一定的困难，教师可以适当引导学生考虑a 的取值范围，再进行化简. 五、师生互动，课堂小结1.b a b a =（a ≥0，b ＞0）和bab a =（a ≥0，b ＞0）及其运用. 2.最简二次根式有何特征？被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.完成同步练习册中本课时的练习.本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.要注意二次根式乘除法的计算公式的逆用.乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式.2.二次根式的加减第1课时二次根式的加减【知识与技能】理解和掌握二次根式加减的方法.【过程与方法】先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】二次根式加减运算.【教学难点】会熟练进行二次根式的加减运算.一、复习问题，导入新课学生活动：计算下列各式.（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3.【教师点评】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．【教学说明】通过对同类项的复习，为本节课同类二次根式的学习提供思路.二、合作探究，探索新知1.问题1 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？问：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？能否进一步计算？这是一种什么运算？能进一步计算，这种计算是两个二次根式的加法运算.【教学说明】 通过对具体问题的探究，引起学生的探究兴趣，同时引导学生思考如何进行计算.2.问题2 怎样计算188+ 如果看不出能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式223-能否化简. 223-＝（3－1）2＝22.这里的两个二次根式有什么特征？被开方数相同，即为同类二次根式. 你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？将同类二次根式用分配律合并【教学说明】 类比于合并同类项，逐步引导学生探究二次根式加减的运算方法和步骤.3.算式188+与算式223-有什么相同点与不同点？ 请化简算式188+，并说出每一步化简的理由.能否把这种计算方法推广到一般？【教学说明】通过对比，引导学生进行探究，逐步掌握相关步骤.4.请计算3212-，并说出计算依据.【教学说明】 让学生自主完成，并进行思考和总结.5.请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想.步骤：“一化简、二判断、三合并”；依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则；基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．【教学说明】 教师根据学生的回答进行总结和强调，学生做好笔记.三、示例讲解，掌握新知例1 计算【分析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．【教学说明】 例1比较简单，可以让学生自主对照步骤进行计算，教师再根据学生出现的问题进行强调.例2 计算【教学说明】 例2（1）稍微复杂些，教师可以引导学生完成，然后让学生自主完成（2），重点强调化简的步骤.四、练习反馈，巩固提高1.以下二次根式：①12；②22；③32；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④【教学说明】1、2两题主要要掌握最简二次根式的特征和化简方法，3、4、5主要是计算，要注意计算的步骤.五、师生互动，课堂小结（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤的依据是什么？（2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？（3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？【教学说明】教师引导学生对本节课的重点知识进行回顾，重点强调二次根式加减的步骤以及每一步要注意什么，加深学生的印象，形成计算方法.完成同步练习册中本课时的练习.本节课先复习合并同类项、整式的加减，为学习二次根式的加减做好准备.通过具体的实际问题，引出二次根式的加减问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望.在解决实际问题时，根据所得到的式子，需要先对二次根式进行化简，化简为最简二次根式后仿照合并同类项的方式，合并同类二次根式.然后借助详细的探究再与学生共同总结出“二次根式的加减”的具体步骤和注意问题：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.通过本节课的教学，应该注意以下问题：1.将二次根式化简为最简二次根式是这节课的关键一步，不化简为最简二次根式，合并同类二次根式、二次根式的加减就无从谈起，因此这一环节应多下一些功夫，多用些时间. 2.在讲授例题时应仿照合并同类项的方法进行，学生更容易接受一些，以免显得太突然. 3.对易出错的地方应重点强调，再三强调，如：“二次根式的系数是带分数的要写成假分数的形式”，真正做到让每一名学生都清楚这一要求.第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】会进行二次根式的混合运算.【过程与方法】通过对二次根式的加减乘除的混合运算，提高学生综合解题的能力.【情感态度】通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】会进行二次根式的混合运算.【教学难点】二次根式混合运算的顺序的确定和运算的准确性.一、复习问题，导入新课【教学说明】让学生自主完成，检验计算的掌握情况.2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来.答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加.用式子表示为(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn,其中a,b,m,n都是单项式.完全平方式是(a+b)2=a2+b2+2ab;(a-b)2=a2+b2-2ab.【教学说明】通过对相关的运算律的回顾，为后面的运用奠定基础.3.在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.【教学说明】教师引导学生回答整式的运算律在二次根式的运算中同样适用.二、示例讲解，掌握新知例1 计算:【分析】刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.【教学说明】学生初次在二次根式的计算中使用运算律，还不太习惯，教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定可以使用什么运算律进行计算，然后再尝试运用.还要注意比较使用运算律后是否便于计算.例2 计算【分析】刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.【教学说明】 让学生先观察，再进行计算，注意计算的结果要进行化简，能合并的一定要合并.（2）可以使用平方差公式进行计算，这里可以将使用公式和不使用公式相比较，体会使用公式计算的简便性.同时对使用公式要注意的问题进行强调.三、练习反馈，巩固提高1.（-21+23）2的计算结果（用最简根式表示）是 . 2.（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是 .3.若x=2-1，则x 2+2x+1= .4.已知a=3+22，b=3-22，则a 2b-ab 2= .5.化简2115141075++++.【答案】1.1-23 2.43-24 3.2 4.42【教学说明】第1、2、3题要注意完全平方公式的使用，第4、5两题可以先分解因式，再进行化简比较简单.第6题比较复杂，教师可适当进行引导.四、师生互动，课堂小结1.进行二次根式的混合运算应该注意哪些问题？（1）注意理清运算的顺序，（2）结果化为最简二次根式，（3）正确进行每一步的运算2.可以利用运算律进行运算完成同步练习册中本课时的练习.二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以下几点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． (2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3)整式和分式的运算法则对于二次根式同样适用. (4)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. (5)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果最终结果是二次根式要化为最简二次根式.。

二次根式【学习目标】1．理解二次根式概念，并利用a (a≥0)意义解答具体题目． 2．理解(a)2＝a(a≥0)，a 2＝a(a≥0)，并利用它进展计算和化简．【学习重点】a (a≥0)是一个非负数；(a)2＝a(a≥0)和a 2＝a(a≥0)及其运用．【学习难点】用分类思想方法导出a (a≥0)是一个非负数；用探究方法导出a 2＝a(a≥0)．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研〞中题目，并在练习中发现规律，从猜想到探索到理解知识．解题思路：仿例3中分式分母不为0，∴x ≠0，二次根式中被开方数为非负数，∴2－x≥0.∴x≤2且x≠0.解题思路：范例2中两个二次根式被开方数为非负数，且互为相反数，所以x －4＝0，x ＝4.归纳：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式定义：(1)根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数为非负数，要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数．情景导入 生成问题旧知回忆：用带有根号式子填空，观察写出结果有什么特点？(1)面积为3正方形边长为3S 正方形边长为S ．(2)一个长方形围栏，长是宽2倍，面积为130 m 2，那么它宽为65．以上所填结果分别表示3，S ，65(包括字母或式子表示非负数)算术平方根．自学互研 生成能力知识模块一 二次根式定义【自主探究】阅读教材P 2～3，完成以下问题：什么是二次根式？二次根式有意义条件是什么？为什么？ 答：我们把形式如a (a≥0)式子叫做二次根式．二次根式有意义条件是a≥0，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或0，即a ≥0.范例1：以下式子中，是二次根式是( A )A ．－ 3B .33 C . a D ．a仿例1：假设1－3x 在实数范围内有意义，那么x 取值范围是x ≤13． 仿例2：使式子4－x 无意义，那么x 取值范围是x ＞4．仿例3：(丹东中考)假设式子2－x x有意义，那么实数x 取值范围为x ≤2且x≠0． 范例2：(德州中考)假设y ＝x －4＋4－x 2＋2，求(x ＋y)y 值．解：依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x≥0，∴x ＝4，∴y ＝2，故(x ＋y)y ＝(4＋2)2＝36. 仿例：y ＝9－x ＋x －9＋1，那么y x ＝1．学习笔记：归纳：运用性质(a)2＝a 时，一定要有a≥0条件，假设遇二次根式a 2化简时先写成|a|形式，再根据a 正负性去掉绝对值符号．行为提示：教师结合各组反应疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，教师引导其他组进展补充、纠错，最后进展总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 二次根式性质1、2二次根式性质1和性质2分别是什么？答：性质1：(a)2＝a(a≥0)，性质2：a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 〔a≥0〕，－a 〔a ＜0〕. 范例3：计算：(1)( 1.4)2；(2)－(35)2；(3)(－32)2；(4)(5x 2＋1)2. 解：(1)原式＝1.4；(2)原式＝－35；(3)原式＝18；(4)原式＝5x 2＋1. 仿例：以下计算正确是( C )A ．(5)2＝25B ．(－－3)2＝－3C ．(0)2＝0D ．(52)2＝10范例4：化简：(1)9；(2)〔－4〕2；(3)25；(4)〔－3〕2.解：(1)原式＝32＝3；(2)原式＝42＝4；(3)原式＝52＝5；(4)原式＝32＝3.仿例1：以下各式中，正确是( B) A.〔－3〕2＝－3 B．－32＝－3 C.〔±3〕2＝±3 D.32＝±3仿例2：〔2a－1〕2＝1－2a，那么a≤12．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成新问题〞和通过“自主探究〞得出结论展示在各小组小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论〞展示在黑板上，通过交流“生成新知〞．知识模块一二次根式定义知识模块二二次根式性质1、2检测反应达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

第16章 二次根式16.2二次根式的运算16.2.1 二次根式的乘除（1）【教学内容】二次根式的乘法运算。

【教学目标】知识与技能 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简过程与方法 由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；•情感、态度与价值观 利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．【教学重难点】 重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）．【导学过程】【知识回顾】（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．（3）100×36=________，10036⨯=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3）5×6______30，（4）4×5______20，（5）7×10______70．老师点评（纠正学生练习中的错误）【情景导入】（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．【新知探究】探究一、两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）探究二、例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可．例2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯ （4）229x y （5）54【知识梳理】本节课应掌握：（1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用【随堂练习】计算（学生练习，老师点评）① 16×8 ②36×210 ③5a ·15ay (2) 化简: 20; 18; 24; 54; 2212a b。

2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(1)一. 教材分析二次根式的乘除是八年级数学下册的重要内容，沪科版教材在这一部分主要让学生掌握二次根式相乘、相除的法则，并能够熟练地进行计算。

通过这部分的学习，学生能够加深对二次根式的理解，提高运算能力。

二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次根式的基本概念和性质，具备了一定的数学思维能力。

但部分学生在进行运算时，可能会对乘除法则理解不深，导致计算错误。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式相乘、相除的法则。

2.培养学生进行二次根式运算的能力。

3.提高学生对数学知识的运用和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式相乘、相除的法则。

2.如何在实际问题中运用二次根式的乘除。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的乘除法则。

2.运用实例分析法，让学生通过具体例子理解并掌握乘除法则。

3.采用分组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用巩固练习法，提高学生的运算能力和问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关教学PPT，展示二次根式的乘除实例。

2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

3.准备一些实际问题，让学生运用二次根式的乘除进行解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生运用二次根式的乘除进行解决。

例如，计算一个长方形的对角线长度。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式相乘、相除的法则，并通过PPT展示相关实例，让学生直观地理解乘除法则。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用二次根式的乘除法则进行计算。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）挑选一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师及时批改，并进行讲解和辅导。

5.拓展（10分钟）讲解一些关于二次根式乘除的综合问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》教学设计6一. 教材分析沪科版数学八年级下册16.2《二次根式的运算》是学生在学习了实数、分数、代数等知识的基础上，进一步研究二次根式的性质和运算法则。

这一节内容主要让学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，以及熟练运用这些方法解决实际问题。

教材通过具体的例题和练习，使学生逐步掌握二次根式的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、分数、代数等知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于二次根式的运算，部分学生可能会感到抽象难懂，对于如何将实际问题转化为二次根式运算问题，以及如何在复杂的运算中保持思路清晰，可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过具体例题和练习，帮助他们理解和掌握二次根式的运算方法。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规律，掌握二次根式的运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式运算问题，并熟练运用二次根式的运算方法解决问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的加减乘除运算规律的理解和运用。

2.将实际问题转化为二次根式运算问题的方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题，引导学生思考和探索二次根式的运算规律。

2.运用实例讲解，让学生在实际问题中体验二次根式的运算方法。

3.通过练习和讨论，巩固学生对二次根式运算的理解和运用。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括教材中的例题和练习。

2.准备一些实际的例子，用于讲解如何将实际问题转化为二次根式运算问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何将问题转化为二次根式运算问题。

例如，计算一个长方形的对角线长度。

2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，讲解二次根式的加减乘除运算规律。

通过具体的例题，让学生理解和掌握二次根式的运算方法。

16.2 二次根式的运算第1课时二次根式的乘法第2课时 二次根式的除法学习目标1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.(重点、难点)2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算.(重点、难点)3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)教学过程一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916 . 二、合作探究探究点一：二次根式的除法计算：(1)4872； (2)612518； (3)27a 2b 312ab 2； (4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6)(a ＞0，b >0)． 解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．解：(1)4872＝4872＝23＝63； (2)612518＝651218＝6523＝256； (3)27a 2b 312ab 2＝27a 2b312ab 2＝9ab 4＝32ab ；(4)12a 3b 5÷(－23a 2b 6) ＝12×(－32)a 3b 5a 2b 6＝－34a b ＝－34bab . 方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；④最后结果要化为最简二次根式．探究点二：最简二次根式下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3 D.a 2＋a 2b 解析：A 选项8a 中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B 选项是最简二次根式；C 选项a 3中含有分母，不是最简二次根式；D 选项a 2＋a 2b 中被开方数用提公因式法因式分解后得a 2＋a 2b ＝a 2(1＋b )含能开得尽方的因数a 2，不是最简二次根式．故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．探究点三：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值若a2－a ＝a2－a ，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2 C．0≤a ＜2 D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179；(2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点四：二次根式除法的应用已知某长方体的体积为3010 cm 3，长为20 cm ，宽为15 cm ，求长方体的高．解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．解：长方体的高为3010÷(20×15)＝301020×15＝30130＝30(cm)． 方法总结：本题也可以设高为x ，根据长方体的体积公式建立方程求解．教学反思二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。

16.1二次根式教学设计教学目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质。

教学重难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质。

难点：综合运用性质。

教学过程一、复习引入1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。

a的平方根是±√a .2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数正的平方根叫做它的算术平方根.0的算术平方根是0.用√a (a≥0)表示。

3.平方根的性质（1）正数有两个平方根且互为相反数；（2）0有一个平方根就是0；（3）负数没有平方根。

二、新课引入1. 如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是。

2.提问：你认为所得的代数式有什么特点?(鼓励学生用自己的语言总结出特征，鼓励学生大胆表述意见，然后适当点评，板书本课课题)三、概念学习1.二次根式定义：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。

2.概念深化（1）提问：√a+1是不是二次根式？√（a+1）呢？（2）讨论：√（a+1）表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中a 需要满足什么条件？为什么?（3）强调：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式大于或等于零。

四、性质研究1.性质1：（1）观察：22 = 4 , 即（√4）2 = 4；32 = 9，即（√9）2 = 9；……（2）提问：观察上述等式两边，你得到什么启示？（3）板书：（性质1）当a≥0时，（√a）2 = a。

2.性质2：（1）提问：√a2 等于什么呢？（2）举例：√22 = √4 = 2；√（—2）2 = √4 = 2；√（3）2 = √9 = 3；√（—3）2 = √9 = 3；……（3）发现：当a≥0时，√a2 = a ; 当a<0时，√（—a）2 = -a .a （a≥0）;（4）归纳：√a 2= |a| =-a （a<0）.4.比较（√a）2 与√a2 区别。

二次根式的乘除(1) 【学习目标】 1．理解a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，并利用它们进行计算和化简．2．由具体数据发现规律，导出a ·b(a ≥0，b ≥0)，利用逆向思维得出ab ＝a ·b ，并利用它们进行计算或化简．【学习重点】a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)及它们的运用．【学习难点】发现规律，导出a ·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．解题思路：非负数的积的算术平方根等于积中多因式算术平方根的积．归纳：二次根式相乘，根号不变，把被开方数相乘．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？答：形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0.2．二次根式的性质1、性质2是什么？答：(a)2＝a(a ≥0)，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）. 自学互研 生成能力知识模块一 二次根式的乘法【自主探究】阅读教材P 6～7，完成下列问题：二次根式的乘法公式是怎样的？如何证明？答：二次根式的乘法公式：如果a ≥0，b ≥0，那么有a ·b ＝ab.∵当a ≥0，b ≥0时，(a ·b)2＝(a)2·(b)2＝ab ，又(ab)2＝ab ，ab 的算术平方根只有一个，所以a ·b＝ab.范例1：计算：(1)18×24(2)15×6 仿例1：下列计算正确的是( D )A ．25×35＝6 5B ．32×33＝3 6C ．42×23＝8 5D ．22×63＝12 6仿例2：等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A )A ．x ≥1B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤－1学习笔记：几个二次根式相乘，被开方数相乘时，可将被开方数分解质因数，然后根据ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)，将能开得尽方的因数移到根号外．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式积的算术平方根的性质是什么？如何得到？答：二次根式性质3(即二次根式乘法公式)，a·b＝ab，由等式对称性，性质3也可以写成ab＝a·b(a≥0，b≥0)．范例2：化简：(1)225；(2)49×121；(3)252－242；(4)（－2）2×8×3.解：(1)原式＝152＝15；(2)原式＝72×112＝77；(3)原式＝49×1＝7；(4)原式＝22×22×2×3＝4 6.仿例1：计算：(1)16×25＝20；(2)（－15）×（－27）＝95．仿例2：已知b＞0，化简－a3b的结果是(A)A．－a－ab B．－a abC．a ab D．a－ab变例1：设2＝a，3＝b，用含有a、b的式子表示54，下列表示正确的是(B) A．6ab B．3ab C．9ab D．10ab变例2：(怀化中考)计算32×12＋2×5的结果估计在(B)A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次根式的乘法知识模块二利用积的算术平方根的性质化简二次根式检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计2一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章第1节的内容。

本节课主要让学生掌握二次根式的概念、性质和运算。

教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的规律，进而掌握二次根式的运算方法。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对于数的运算有一定的基础。

但是，二次根式的引入较为突然，学生可能对于二次根式的概念和性质理解起来较为困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过实例和练习来引导学生理解和掌握二次根式。

三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。

2.掌握二次根式的运算方法。

3.能够应用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的规律；通过案例分析和练习，让学生理解和掌握二次根式的运算方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.教学PPT或黑板。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入实际问题，如“一个正方形的对角线长度为8cm，求该正方形的边长”，引导学生思考二次根式的实际应用。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念和性质，如“二次根式是指形如√a的式子，其中a是非负实数”。

通过PPT或黑板，展示二次根式的图像，帮助学生直观理解二次根式的性质。

3.操练（20分钟）进行二次根式的运算练习，如“计算√36 + √25”。

引导学生运用二次根式的性质和运算法则进行计算。

4.巩固（10分钟）讲解一些关于二次根式的应用题，如“一个正方形的对角线长度为10cm，求该正方形的边长”。

让学生独立解答，巩固对二次根式的理解和运用。