初二数学二次根式知识点大全

一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。

例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。

② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。

③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。

④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。

⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。

⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。

判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。

⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。

以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。

•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。

•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。

2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。

下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。

•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。

•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。

•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。

3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。

以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。

•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。

•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。

•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。

4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。

以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。

•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。

5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。

以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。

八年级二次根式必考知识点在八年级数学中，二次根式作为一个重要的知识点，经常出现在考试中。

二次根式是关于代数和几何的一种基本概念和运算方法。

了解和掌握二次根式的基本性质和运算规律是十分重要的，下面我们来看看八年级二次根式必考知识点：一、二次根式基本定义二次根式就是形如“根号下a”的式子，其中a为一个正实数。

二次根式也可以写成下面的形式：根号下a = a^1/2二次根式可以用于求解各种几何题目，但是在运算中，二次根式的拆分、合并和化简则是必须掌握的核心知识。

二、二次根式的加减法二次根式的加减法的运算规律是，对于任意的正实数a和b，有：根号下a ±根号下b = 根号下(a ± b)例如，根号下2 + 根号下3 = 根号下5，根号下8 - 根号下2 = 2根号下2。

三、二次根式的乘法二次根式的乘法的运算规律是，对于任意的正实数a和b，有：根号下a ×根号下b = 根号下ab例如，根号下2 ×根号下3 = 根号下6，根号下8 ×根号下2 =4 × 2 = 8。

四、二次根式的除法二次根式的除法的运算规律比较特殊，要求分子和分母中只有二次根式。

对于任意的正实数a和b，有：根号下a ÷根号下b = 根号下(a ÷ b)例如，根号下6 ÷根号下2 = 根号下(6 ÷ 2) = 根号下3。

五、二次根式的化简在运算中，二次根式的化简是必须掌握的核心知识。

化简的原则是数字尽可能取出平方因子，变成整数或者分数的形式，同时尽量消去根号。

下面是一些常见的化简方法：1. 合并同类项根号下2 + 3根号下2 = 4根号下22. 有理化分母根号下2 ÷根号下3 = 根号下6 ÷ 3 = （根号下6 ÷根号下9） ×根号下9 = （根号下6 ÷ 3） × 3 = （1 ÷根号下3） × 3 = 3 ÷根号下33. 分离出平方因子根号下8 = 根号下4 × 2 = 2根号下24. 二次根式的除法（根号下7 + 根号下5） ÷（根号下7 - 根号下5） = （根号下7 + 根号下5）×（根号下7 + 根号下5） ÷（根号下7 - 根号下5）×（根号下7 + 根号下5） = （7 + 2根号下35 + 5）÷2 = 6 + 根号下35以上就是八年级二次根式必考的知识点，要想在考试中得高分，必须要掌握这些知识。

一、二次根式的概念与性质1.二次根式的定义：形如√a的式子称为二次根式，其中a≥0。

2.二次根式的性质：a)若a≥0，则√a≥0；b)若a≥b≥0，则√a≥√b；c)若a>b≥0，则√a>√b；d)若a≥0，则√(a²)=，a，其中，a，表示a的绝对值。

二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式的常用方法：a)提取因式法：将二次根式中的平方数作为因式提取出来；b)合并相同根号下的项：将根号内的同类项进行合并；c)利用平方公式：将二次根式作为平方差或平方和进行化简。

2.二次根式的四则运算：a)加减运算：合并同类项后，进行加减运算；b)乘法运算：利用分配律，进行乘法运算；c)除法运算：有理化分母，化为二次根式的形式，然后进行乘法运算。

三、含有二次根式的方程1.含有二次根式的方程的解法：a)平方意义法：将方程两边平方，去掉二次根式，解得方程的解；b)分离根号法：将方程中含有二次根式的项移到一边，不含二次根式的项移到另一边，然后平方消去二次根式；c)倒数意义法：将方程两边取倒数，再次运用平方意义法；d)降次法：将方程中的二次根式通过化简变为一次根式，然后解得方程的解。

2.二次根式的绝对值方程：a)若，√a，=√a，则√a为方程的解；b)若，√a，=-√a，则方程无解。

四、二次根式的应用1.二次根式的图像：a)当a>0时，图像为右开口的抛物线；b)当a=0时，图像为直线；c)当a<0时，图像为左开口的抛物线。

2.二次根式的应用：a)二次根式可以表示边长、面积等与几何相关的量；b)二次根式可以表示物质的含量、体积等与实际问题相关的量。

五、解二次根式的几种常用方法1.合并相同根号下的项，然后联立方程求解；2.代入法：将选项代入原方程，判断是否满足等式，找出符合条件的解；3.倒置法：将选项的倒数代入原方程，再运用倒数意义法求解；4.拆解法：将二次根式进行拆解，再利用等式的性质进行求解；5.分离根号法：将方程中含有二次根式的项移到一边，不含二次根式的项移到另一边，然后平方消去二次根式。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．2. 二次根式的性质1。

非负性:)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意:（1）字母不一定是正数． (2）能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算--分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定,如：与，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -,b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根.)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

八年级二次根式知识点归纳一、概念简述二次根式是一种由一个根号和一个二次式组成的算式，其形式为√a + b或√a - b，其中a为非负实数，b为实数。

二、基本性质1. 满足乘方运算律和分配律，即(√a + b)² = a + 2b√a + b²，(√a -b)² = a - 2b√a + b²。

2. 当a>0且b≠0时，有√a + b = √a - b当且仅当b² = a。

3. 二次根式可以化简为整数根式或分式根式，如：√12 = 2√3，√(4/9) = 2/3。

三、运算方法1. 二次根式的加减法：(1) 若√a + b = √c + d，则b = d和a = c或a + c = 2b√a。

(2) 若√a + b ≠ √c + d，则可将它们通分，然后进行加减运算。

2. 二次根式的乘除法：(1) 二次根式相乘，可以利用公式(√a + b)(√c + d) = (ac + bd) + (ad + bc)√ac得到。

(2) 二次根式相除，一般先将分式根式化为分数形式，然后将分母有关的项合并，最后分别将根式合并即可。

四、练习题1. √27 + √12 = ?解：√27 + √12 = 3√3 + 2√3 = 5√32. 2√3 - √75 = ?解：2√3 - √75 = 2√3 - 5√3 = -3√33. (2√6 - 3)(√6 + 1) = ?解：(2√6 - 3)(√6 + 1) = 2√6√6 + 2√6 - 3√6 - 3 = 15 - √64. (√12 - √3)/(√2 + 1) = ?解：(√12 - √3)/(√2 + 1) = (√4√3 - √3)/(√2 + 1) = √3 - √6五、总结归纳二次根式作为数学中的一种重要概念，在八年级的数学教学中占据着重要的地位。

通过对二次根式的概念、基本性质和运算方法的学习，能够更好地理解和掌握二次根式的运用，提高数学解题能力。

初二数学二次根式知识点大全知识点1 二次根式1.二次根式的定义一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。

其中，$\sqrt{}$ 称为二次根号，$a$（$a\geq0$）是一个非负数。

2.二次根式有意义的条件二次根式的概念是形如 $\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子叫做二次根式。

二次根式中被开方数是非负数，且具有非负性，即 $a\geq0$。

3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性包括被开方数的非负性和算数平方根的非负性，即 $a\geq0$ 和 $\sqrt{a}\geq0$。

4.二次根式化简化简二次根式的方法包括把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2.题型1 二次根式定义例1】在式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$a+5$，$-3y(y\geq0)$，$m^2-1$ 和 $ab$（$a<0,b<0$）中，是二次根式的有()A。

3个B。

4个C。

5个D。

5个解答】解：式子 $\pi$，$a^2+b^2$，$-3y(y\geq0)$，$ab$（$a<0,b<0$）是二次根式，共 4 个，故选 B。

点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数。

题型2 二次根式有意义的条件例2】若 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ 是二次根式，则下列说法正确的是()A。

$x<y$B。

$x$ 且 $y>\frac{2x^2}{y^2}$C。

$x$、$y$ 同号D。

$x,y>0$ 或 $x,y<0$解答】解：依题意有 $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$，即$\sqrt{\frac{2x}{y}}$，是二次根式。

则 $\frac{2x}{y}>0$，即$x,y$ 同号且 $y\neq0$。

二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中,被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式.例1．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0)．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二,被开方数是正数或0．知识点二:取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时，有意义,是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时，没有意义.例2．当x是多少时，31x-在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，23x++11x+在实数范围内有意义？知识点三:二次根式（)的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，(）是一个非负数，即0(）.注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数,即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0，b=0；若,则a=0,b=0;若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（2)若1a++1b-=0,求a2004+b2004的值知识点四：二次根式（）的性质(）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若，则,如：，.例1 计算1．（32）22．（35）23．（56)24．（72）2例2在实数范围内分解下列因式:（1）x2—3 （2)x4—4 (3) 2x2—3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

二次根式基础知识通关16.1二次根式1.二次根式：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式，当a ＞0时， 表示a 的算术平方根,=0.2.二次根式有意义的条件：.3.二次根式的双重非负性：，①0a.4.二次根式的化简：()(0)0(0)a a a a >⎧⎪= = =⎨⎪ <⎩∣∣；()20a a =；)00a b =，；00)a b =>， .16.2二次根式的乘除5.)00a b =， 6.二次根式的除法：)0a = ，7.最简二次根式①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.16.3二次根式的加减8.同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.9.二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将被开方数相同的二次根式进行合并.本章知识结构图单元检测一．选择题（共10小题）1．若在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≥1B ．x ≤1C ．x ＜1D ．x ≠12．若代数式有意义，则x 的取值是（）A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x ≥0D ．x ＞03．若代数式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x ＞﹣3且x ≠1C ．x ≥﹣3D ．x ≥﹣3且x ≠14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．5．下列各选项中，化简正确的是（）A ．B ．C ．D ．|π﹣2|＝2﹣π6．下列各式中，最简二次根式是（）A ．B ．C ．D ．7．下列运算结果正确的是（）A ．＝﹣9B ．C ．D ．8．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④9．下列各式中，运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A ．78cm 2B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 2二．填空题（共10小题）11．若a ，b 都是实数，b ＝+﹣2，则a b 的值为．12．①＝；②＝．13．已知，化简的结果是．14．在二次根式、、、中，是最简二次根式的是．15．将根号外的因式移入根号内的结果是．16．＝，＝．17．最简二次根式与是同类二次根式，则mn＝．18．如图，在长方形内有两个相邻的正方形A，B，正方形A的面积为2，正方形B的面积为4，则图中阴影部分的面积是．19．当时，代数式x2+2x+2的值是．20．关于x的不等式x﹣＜﹣1的非负整数解为．三．解答题（共5小题）21．已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．22．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2∴＝＝+请你仿照上例将下列各式化简（1）（2）．23．若x＝，y＝，求代数式x2﹣xy+y2的值．24．计算：+﹣9+（3+4）（3﹣4）25．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB 为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据：≈1.7）四、附加题（共2小题）26．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需进一步化简：＝＝①＝＝②＝＝＝﹣1③以上化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．④（Ⅰ）请用不同的方法化简（1）参照③式化简＝.（2）参照④式化简.（Ⅱ）化简：+++…+．27．阅读学习计算：+++．可以用下面的方法解决上面的问题：+++=（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=1﹣＝1﹣利用上面的方法解决问题：（1）计算++++…+．（2）当n＝时，等式++＝成立．基础知识通关答案2．被开方数大于等于零4．a0a-6．0>b8．最简二次根式，被开方数9．最简二次根式单元检测答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0,解得x≥1故选：A【知识点】22．【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，由此可得出x的取值范围【解答】解：由题意得：x≥0故选：C【知识点】23．【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x﹣1≠0，x+3≥0∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1故选：D【知识点】24．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案【解答】解：A、是最简二次根式，正确B、不是最简二次根式，错误C、不是最简二次根式，错误D、不是最简二次根式，错误故选：A【知识点】4、95．【分析】根据平方根、立方根、绝对值的意义逐个选择判断得结论．【解答】解：因为±＝±3，所以A正确＝2≠﹣2，所以B不正确＝＝5≠﹣5，所以C不正确∵π≈3.14＞2，∴|π﹣2|＝π﹣2≠2﹣π，所以D不正确故选：A【知识点】4、96．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可【解答】解：＝3，A不是最简二次根式＝|n|m2，B不是最简二次根式＝，C不是最简二次根式D，是最简二次根式故选：D【知识点】97．【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式除法运算法则计算得出答案【解答】解：A、＝9，故此选项错误B、（﹣）2＝2，正确C、÷＝，故此选项错误D、＝5，故此选项错误故选：B【知识点】48．【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答【解答】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和④故选：C【知识点】4、89．【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、3﹣＝2≠3，故本选项错误B、＝2，故本选项正确C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误D、＝2≠﹣2，故本选项错误故选：B【知识点】4、910．【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形大正方形的边长是+＝+4留下部分（阴影部分）面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）故选：D【知识点】9二．填空题（共10小题）11．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案【解答】解：∵b＝+﹣2，∴1﹣2a＝0解得：a＝，则b＝﹣2，故a b＝（）﹣2＝4故答案为：4【知识点】312．【分析】①先对根式下的数进行变形，（﹣0.3）2＝（0.3）2，直接开方即得②已知25 ，所以开方后||＝【解答】解：①原式＝0.3②原式＝||＝【知识点】413．【分析】由于，则＝x﹣2，|x﹣4|＝4﹣x，先化简，再代值计算【解答】解：已知，则＝x﹣2+4﹣x＝2【知识点】414．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：根据最简二次根式的定义可知：（含有分母）、（被开方数含能开得尽方的因数）和（含有分母），故不是最简二次根式符合最简二次根式的定义故答案为：【知识点】915．【分析】根据二次根式有意义的条件先确定a的正负，然后化简根式，约分得出结果【解答】解：∵要使有意义必须﹣＞0即a＜0所以＝﹣＝【知识点】416．【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可【解答】解：•＝＝4y•＝＝＝18【知识点】4、517．【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，n﹣1＝2解得：m＝7，n＝3∴mn＝21故答案为：21【知识点】818．【分析】设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝2，y 2＝4，求出x ＝，y ＝2，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可【解答】解：设两个正方形A ，B 的边长是x 、y （x ＜y ）则x 2＝2，y 2＝4x ＝，y ＝2则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（2﹣）×＝2﹣2故答案为：2﹣2【知识点】919．【分析】根据x 的值求出（x +1）2的值，再把（x +1）2展开，即可得出要求的式子【解答】解：∵，∴x +1＝∴（x +1）2＝5∴x 2+2x +1＝5∴x 2+2x ＝4∴x 2+2x +2＝4+2＝6故答案为：6【知识点】5、920．【分析】首先解不等式确定不等式的解集，然后确定其整数解即可【解答】解：解不等式x ﹣＜﹣1得：x ＜﹣1∵3＜＜4∴2＜﹣1＜3∴x ＜﹣1的非负整数解为0，1，2故答案为：0，1，2【知识点】7三．解答题（共5小题）21．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案【解答】解：∵m ﹣2019≥0，∴m ≥2019∴2018﹣m ≤0∴原方程可化为：m ﹣2018+＝m∴＝2018∴m ﹣2019＝20182∴m ﹣20182＝2019【知识点】322．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2∴＝＝1+（2）＝＝＝﹣【知识点】423．【分析】首先利用完全平方公式将原式变形进而代入已知求出答案【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy∴把x＝，y＝代入得原式＝（﹣）2+×＝7+1＝8【知识点】5、6、924．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而结合乘法公式计算得出答案【解答】解：原式＝﹣2+2﹣9×+18﹣16＝﹣2+2﹣3+18﹣16＝﹣【知识点】4、5、6、925．【分析】首先在AB之间找一点F，且BF＝2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可【解答】解：如图在AB之间找一点F，使BF＝2.5m过点F作GF⊥AB交CD于点G∵AB＝3.2m，CA＝0.7m，BF＝2.5m∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.4m∵∠ECA＝60°，∴GFCF∴GF ＝CF＝1.4≈2.38m∵2.38＜3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过【知识点】5四．附加题（共2小题）26．【分析】（1）分母有理化的两种方法：1.同乘分母的有理化因式；2.因式分解达到约分的目的（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况【解答】解：（1）参照③式化简＝＝﹣故答案是：﹣（2）参照④式化简＝＝＝＝﹣故答案是：﹣（Ⅱ）原式＝（+++…+）＝[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（﹣1）\11/【知识点】4、727．【分析】（1）根据题意首先化简二次根式，进而得出答案（2）首先化简二次根式进而得出关于n的等式求出答案【解答】解：（1）原式＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣+﹣++…+﹣＝1﹣＝（2）∵++＝∴﹣+﹣+﹣＝，则＝解得：n＝1故答案为：1【知识点】4、7\12/。

二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。

在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。

二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。

2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。

3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。

4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。

5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。

6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。

三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。

2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。

3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。

4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。

四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。

2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。

3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。

4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。

五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。

2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。

3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。

六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。

八年级二次根式知识点梳理在初中数学学习中，二次根式是一个重要的知识点，掌握好二次根式的运算和化简方法，对于后续的数学学习和应用都有着非常重要的作用。

本文将从基础概念、运算法则、化简方法和解题思路四个方面来进行二次根式知识点的梳理。

一、基础概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如“a√b”的式子，其中a和b都是实数，a为系数，b为被开方数，√为根号符号。

2. 根式的运算符号根式的运算符号有加号、减号、乘号、除号，分别表示根式的加减、乘和除。

二、运算法则1. 二次根式的加减对于同类项，即被开方数相同的二次根式，其系数相加减即可，例如：3√2 + 5√2 = 8√24√3 - 2√3 = 2√3对于不同类项，则需要先化简为同类项后再进行加减运算，例如：2√3 + 5√2 - 3√3 = -√3 + 5√22. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以使用分配律进行运算，例如：(3√2)(2√3) = 6√(2×3) = 6√63. 二次根式的除法二次根式的除法可以将被除数和除数同时乘以并分别化简为整数或同类项的二次根式，然后将化简后的结果进行相除，例如：(6√5) ÷ (2√5) = (6÷2)√(5÷5) = 34. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以按照运算法则的顺序进行，先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算，例如：(5√2 - 2√3) × 2√6 = 10√12 - 4√18 = 10√4√3 - 4√9√2 = 20√3 - 12√2三、化简方法1. 化简平方数根如√4、√9、√16等都是平方数根，可以直接化为整数，例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 42. 分解因数将被开方数分解成若干个因子的积，然后再进行化简，例如：√32 = √16×2 = 4√2√75 = √25×3 = 5√33. 有理化分母二次根式的有理化分母可以将分母乘以分母的共轭形式，即将分母的加减号改为相反数的加减号，例如：(2+√3)÷(1-√3) = (2+√3)(1+√3)÷(1-√3)(1+√3) = 2√3 + 5四、解题思路1. 直观感受对于不确定的二次根式，可以通过估算其大小来判断其范围，例如：1 < √2 < 22 < √5 < 33 < √10 < 42. 转化为同类项将不同类项的二次根式转化为同类项后再进行加减运算，例如：√48 + √75 - √27 = 4√3 + 5√3 - 3√3 = 6√33. 有理化分母和化简将二次根式中的分母有理化并将其化简为整数或同类项的二次根式，然后再进行计算，例如：(1+√7)÷(1-√7) + √28 = (1+√7)(1+√7) ÷ (1-√7)(1+√7) +2√7 =8+2√7以上就是本文对八年级二次根式知识点的梳理，希望能够对大家的数学学习有所帮助。

初二数学下册笔记总结大全初二数学下册笔记（人教版）一、二次根式。

1. 二次根式的定义。

- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

- 注意：被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

例如，√(x -1)有意义的条件是x-1≥0，即x≥1。

2. 二次根式的性质。

- (√(a))^2 = a(a≥0)。

例如(√(3))^2 = 3。

- √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)。

例如√((-2)^2)=| - 2| = 2。

3. 二次根式的运算。

- 乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

例如√(2)·√(3)=√(2×3)=√(6)。

- 除法法则：(√(a))/(√(b))=√((a/b))(a≥0,b > 0)。

例如(√(8))/(√(2))=√((8/2))=√(4) = 2。

- 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。

例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。

二、勾股定理。

1. 勾股定理。

- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2。

- 例如，在直角三角形中，a = 3，b = 4，则c=√(3^2)+4^{2}=√(9 +16)=√(25)=5。

2. 勾股定理的逆定理。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如，三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 = 169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。

三、平行四边形。

1. 平行四边形的定义与性质。

- 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

- 性质。

- 边：平行四边形的对边平行且相等。

例如在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，AD∥ BC，AD = BC。

初二数学下册：二次根式知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。

①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3二次根式的性质（1）非负性√a（a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy xx y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. －； C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。

二次根式知识点一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。

其中，＼（a\）叫做被开方数。

需要注意的是，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）都是二次根式。

而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数，不符合定义。

二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a<0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。

2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq0\））这一性质表明，先开方再平方，结果就是被开方数本身，但前提是被开方数必须是非负的。

比如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq0\））这意味着，两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。

例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4 ＼times 3} ＝＼sqrt{4} ＼times ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）4、＼（＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＝＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq0\），＼（b>0\））这表示，非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。

比如，＼（＼sqrt{＼frac{8}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼frac{2\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 2\）三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数，将能开得尽方的因数移到根号外。