高等数学第17章第2节复合函数微分法

§2 复合函数微分法设函数),(t s x ϕ=与),(t s y ψ= )1( 定义在st 平面的区域D 上，函数),(y x f z = )2( 定义在xy 平面的区域1D 上，且(){}1),(),,(),,(|,D D t s t s y t s x y x ⊂∈==ψϕ 则函数D t s t s t s f t s F z ∈==),()),,(),,((),(ψϕ )3( 是以)2(为外函数，)1(为内函数的复合函数．其中y x ,称为函数F 的中间变量，t s ,为函数的自变量．本节将讨论复合函数F 的可微性、偏导性与全微分．一 复合函数的求导法则定理17.5 若函数),(),,(t s y t s x ψϕ==在点D t s ∈),(可微，),(y x f z =在点)),(),,((),(t s t s y x ψϕ=可微，则复合函数)),(),,((t s t s f z ψϕ=在点),(t s 可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为.,),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s t s y x t s y x t s t yy z t x x z s z s yy z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )4(证 由假设),(t s x ϕ=，),(t s y ψ=在点),(t s 可微，于是,..,..2211t s t tys s y y t s t tx s s x x ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆βαβα )6()5(其中当t s ∆∆,趋于零时，2121,,,ββαα都趋向于零．又由),(y x f z =在点),(y x 可微，所以,..y x y yzx x z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆βα )7( 其中当0,→∆∆y x 时，0,→βα（我们补充βα,之定义使当0,0=∆=∆y x 时，0==βα）将()()6,5代入)7(，得)..).(.2211t s t t ys s y y z t s t t x s sxx z z ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∆+∆+∆∂∂+∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∆βαββαα整理后,)()(t s t tyy z t x x z s s y y z s x x z z ∆+∆+∆∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆∂∂∂∂+∂∂∙∂∂=∆βα )8( 其中,,211212121ββαββαββββαααβαααα++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tyt x y z x z sys x y z x z )10()9(由于),(),,(t s t s ψϕ在点),(t s 可微，因此它们在点),(t s 都连续，即当0,→∆∆t s 时，有0,→∆∆y x .从而也有0,0→→βα，以及0,,,2121→ββαα于是在)10()9(、式中，当0,→∆∆t s ，有0,0→→βα。

故由)8(式推得复合函数)3(可微并求得z 关于s 和t 的偏导数)4(．这里公式)4(也称为链式法则．注意 如果只是求复合函数)),(),,((t s t s f ψϕ关于s .或t 的偏导数，则定理17.5中),(t s x ϕ=和),(t s y ψ=只须具有关于s .或t 的偏导数就够了。

因为以s ∆或t ∆除)7(式两边，然后让0→∆s 或0→∆t ，也能得到相应的结果。

但是对外函数f 的可微性假设是不能省略的，否则上述复合函数求导公式不一定成立．如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f由§1习题6知0)0,0()0,0(==y x f f ，但),(y x f 在)0,0(不可微，若以),(y x f 为外函数，t y t x ==,为内函数，则得以t 为自变量的复合函数,2),()(tt t f t F z ===所以.21=dt dz 。

这时若用链式法则，将得出错误结果： 0)0,0(0)0,0(0===∂∂+∂∂=t t t dt dyy z dt dx x z dt dz .01010=∙+∙=这个例子说明在使用复合函数求导公式时，必须注意外函数f 可微这一重要条件． 一般地，若),,(1m u u f 在点),,(1m u u 可微，),,2,1)(,,(1m k x x g u n k k ==在点),,(1n x x 具有关于),2,1(n i x i =的偏导数，则复合函数 ()),,(),,(),,(11211n m n n x x g x x g x x g f ，，，关于自变量i x 的偏导数是).,,2,1(1n i x u u f x f mk ikk i =∂∂∂∂=∂∂∑=多元函数的复合函数求导一般比较复杂，我们必须特别注意复合函数中哪些是自变量，哪些是中间量．只有这样才能正确使用链式法则（4）求出结果． 例1 设)ln(2v u z +=，而,,22y x v e u y x +==+求.,yz x z ∂∂∂∂ 解 所讨论的复合函数以y x ,为自变量，v u ,为中间变量，由于,1,222v u v z v u u u z +=∂∂+=∂∂ 1,2,2,22=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂++yv x x v ye y u e x u y x y x 根据公式（4）得到xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ),(221222222x ue v u x v u e v u u y x y x ++=+++=++ yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ).uye (vu v u ye v u u y x y x 14112222222++=+++=++ □ 例2 设),(y x u u =可微，在极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==下，证明.122222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ 证 u 可以看作θ,r 的复合函数)sin ,cos (θθr r u u =，因此,sin cos θθy u x u r y y u r x x u r u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.cos )sin (θθθθθ∙∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂r yu r x u y y u x x u u 于是.cos sin 1sin cos 122222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂y u x u r y u r x u r y ux uu r r u θθθθθ例3 设,sin t uv z +=，其中t v e u t cos ,==，求.dtdz解 这里把t v u ,,看作中间变量，复合后仅是自变量t 的一元函数。

于是dtdt t z dt dv v z dt du u z dt dz ∙∂∂+∂∂+∂∂=.cos )sin (cos cos )sin (t t t e tt u ve tt +-=+-+=注意 上面第一个等式中，左边的.dtdz是作为一元函数的复合函数对t 求导数，右边最后一项里的.tz∂∂是外函数（作为t v u ,,的三元函数）对t 求偏导数，二者所用符号各自有别．例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数：;)1(xx y = .cos sin ln )1()2(2xx xx y ++=解 ()1令,,,x v x u u y v===则有).ln 1(ln ln 11x x x x x x vu vu dxdv y dx du y dx dy x x x v v v u +=+∙=+=∙+∙=--)2(令,ln ,1,cos sin ,2x w x v x x u uvwy =+=+==则有 x u v x u w x x uvw dxdw w y dx dv v y dx du u y dx dy 1)2()sin (cos 2++--=∂∂+∂∂+∂∂==].ln )1)(sin (cos )1ln 2)(cos [(sin )cos (sin 1222x x x x x x x x x x x x +--++++ □由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数的导数问题，如今也可用多元函数链式法则来计算.二 复合函数的全微分若以x 和y 为自变量的函数),(y x f z =可微，则其全微分为 .dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=()11 如果y x ,作为中间变量又是自变量t s ,的可微函数 ),,(),,(t s y t s x ψϕ==则由定理17.5知道，复合函数)),(),,((t s t s f z ψϕ=是可微的，其全微分为 .dt tz ds s z dz ∂∂+∂∂=).()()(dt tyds s y y z dt t x ds t x x z dt t yy z t x x z ds s y y z s x x z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂= （12）由于y x ,又是),(t s 的可微函数，因此同时有 .,dt tyds s y dy dt t x ds s x dx ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)13( 将（13）式代入（12）式，得到与（11）式完全相同的结果.这就是关于多元函数的一阶（全）微分形式不变性.必须指出，在（11）式中当作y x ,为自变量时，dx 和dy 各自独立取值；当y x ,作为中间变量时，dx 和dy 如（13）式所示，它们的值由dt ds t s ,,,所确定． 利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分.例5 设)(sin y x e z xyxy+=，利用微分形式不变性求dz ，并由此导出x z ∂∂与.yz∂∂． 解 令.,,sin y x v xy u v e z u +===.由于,cos sin vdv e vdu e dv z du z dz uuv u +=+=,,dy dx dv xdy ydx du +=+=因此)(cos )(sin dy dx v e xdy ydx v e dz uu+++=,)]cos()sin([)]cos()sin([dy y x y x x e dx y x y x y e xyxy +++++++=并由此得到)].cos()sin([)],cos()sin([y x y x x e z y x y x y e z xyy xy x +++=+++= □作业布置：Ｐ１２３ １（３），（５）；３．。