二元不等式课时作业

课时作业33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [基础达标]一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案：B2．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，0≤x ≤4，则该不等式组表示的平面区域的面积为( )A.94B.274C ．9 D.272解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S ＝12×(3＋32)×3＝274.故选B 项．答案：B3．[2020·洛阳统考]设x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，则z＝2x ＋y 的最小值与最大值的和为( )A．7 B．8C．13 D．14解析：作出不等式组⎩⎨⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1,2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3,4)时，z＝2x＋y 取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.答案：D4．[2020·开封测试]已知实数x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≥0，x＋2y＋2≥0，x≤1，则z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y的最大值是()A.132 B.116C．32 D．64解析：解法一作出不等式组表示的平面区域中，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1,3)时取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y取得最大值，即z max＝⎝⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y，即可求得最大值．联立得⎩⎨⎧x＝1，x－y＋2＝0，解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得⎩⎨⎧x＝1，x＋2y＋2＝0，解得B⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z＝116；联立得⎩⎨⎧x－y＋2＝0，x＋2y＋2＝0，解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2y取得最大值32，故选C.答案：C5．[2020·湖北襄阳一模]清明节，某学校准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到烈士陵园为英烈扫墓，已知A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 200元/辆和1 800元/辆，学校为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则总租金的最小值为()A．27 000元B．27 080元C．27 600元D．28 000元解析：设租用A，B两种型号的客车分别为x辆、y辆，所用的租金总数为z元，则z＝1 200x＋1 800y，其中x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7(x，y∈N)，即⎩⎪⎨⎪⎧3x＋5y≥75，x＋y≤21，y－x≤7(x，y∈N)，作出⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≥75，x ＋y ≤21，y －x ≤7表示的平面区域如图中阴影部分所示，又x ，y ∈N ，所以由图象易知，z ＝1 200x ＋1 800y 取得最小值的最优解为(5,12)，将(5,12)代入z ＝1 200x ＋1 800y ，得z ＝27 600，故总租金的最小值为27 600元．故选C 项． 答案：C6．[2020·安徽宿州一中月考]已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3，mx －y ＋3≥0，x (x －2)≤0表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m的取值范围是( )A ．(0，12) B.(12，1) C.(13，12) D ．(0,1)解析：由题意易知，直线mx －y ＋3＝0过定点(0,3)．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知边界点A (0,3)，B (2,1)，C (2,2m ＋3)，过点A 分别作AC 1⊥BC 于点C 1，作AC 2⊥AB ，交BC 于点C 2，数形结合可知，当点C 与C 1(2,3)重合或与C 2(2,5)重合时，△ABC 为直角三角形；当点C 位于B ，C 1之间或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 为钝角三角形；当点C 位于C 1，C 2之间时，△ABC 为锐角三角形；当点C 在C 1B 的延长线上时，不能构成三角形，所以3<2m ＋3<5，解得0<m <1.故选D 项．答案：D7．[2020·北京八十中学月考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，若∀(x，y)∈D，则()A．x＋2y≥－2 B．x＋2y≥2C．x－2y≥－2 D．x－2y≥2解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝x＋2y，作出直线l0：x＋2y＝0，易知z的最小值为0，无最大值．所以根据题意知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立．故选A项．答案：A8．[2020·湖北黄石模拟]若点(x，kx－2)满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x－y≤0，x＋y≤4，则k的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．[2,5]C．(－∞，－7]∪[2，＋∞) D．[－7,2]解析：作出可行域如图中阴影部分所示．联立⎩⎨⎧x＝1，x＋y＝4，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝3，所以点P的坐标为(1,3)．联立⎩⎨⎧x－y＝0，x＋y＝4，解得⎩⎨⎧x＝2，y＝2，所以点N的坐标为(2,2)．因为直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以k1＝2－(－2)2－0＝2，k2＝3－(－2)1－0＝5，观察图象可知，当直线y＝kx－2在直线y＝k1x－2和直线y＝k2x－2之间(包括与两条直线重合)时，才会满足题意，因此可得2≤k≤5.故选B项．答案：B9．[2020·河北保定摸底]已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≤0，2x＋y－10≤0，x≥1，设向量a＝(y－2x，m)，b＝(1，－1)，若a∥b，则m的最大值为() A．－6 B．6C．1 D．－1解析：因为a＝(y－2x，m)，b＝(1，－1)，a∥b，所以m＝2x－y，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，并平移，结合图象易知，m＝2x－y取得最大值的最优解为(4,2)，所以m的最大值为6.故选B项．答案：B10．[2020·山西太原一中检测]已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为()A．5 B．4C．3 D．2解析：令|x|＝a，|y|＝b，则⎩⎪⎨⎪⎧a＋b≤1，a≥0，b≥0，且z＝2a－b.作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b＝2a，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1,0)时，z取得最大值，且z max＝2×1－0＝2.故选D项．答案：D二、填空题11．[2019·山东烟台期中]设实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≤4，x－y≥－1，x－2y≤2，则z ＝x＋y的最小值是________．解析：根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，联立⎩⎨⎧x－y＝－1，x－2y＝2，得A(－4，－3)，作出直线y＝－x并平移，由图可知，当平移后的直线过A(－4，－3)时，z有最小值，z min＝－7.答案：－712．[2019·贵州遵义一中期中]已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y－6≤0，x－3y－2≤0，4x－y＋3≥0，则z＝|x－y＋1|的取值范围是________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x －y ＋1＝0，因为z ＝|x －y ＋1|＝2×|x －y ＋1|2表示点(x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍，所以结合图象易知0≤z ≤3.答案：[0,3]13．[2020·重庆一中月考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，若z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ≤0时，结合图象，知当z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值时，－a ≤13，得－13≤a ≤0；当a >0时，显然满足题意．所以a ≥－13.答案：[－13，＋∞)14．[2020·山西省八校联考]若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y －4≥0，2x ＋y －5≤0，且3(x －a )＋2(y ＋1)的最大值为5，则a ＝________.解析：设z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)得y ＝－32x ＋3a －2＋z 2，作出直线y ＝－32x ，平移该直线，易知当直线过点A (1,3)时，z 取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a )＋2(3＋1)＝5，解得a ＝2.答案：2 [能力挑战]15．[2020·天津二十五中月考]设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0解析：作出可行域如图中阴影部分所示．由图可以看出，阴影部分不全在直线x ＝3的右侧，故A 项不符合题意；由图可以看出，阴影部分不全在直线y ＝4的上侧，故B 项不符合题意；x ＋2y －8≥0，即y ≥－12x ＋4，作出直线y ＝－12x ＋4，由图可以看出，阴影部分都在直线y ＝－12x ＋4的上侧，故C 项符合题意；2x －y ＋1≥0，即y ≤2x ＋1，作出直线y ＝2x ＋1，由图可以看出，阴影部分不全在直线y ＝2x ＋1的下侧，故D 项不符合题意．故选C 项．答案：C16．[2020·上海华东师大附中月考]记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，x －y ≥4表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(x ，y )，则下面四个命题，p 1：∀P ∈Ω，y ≤0，p 2：∀P ∈Ω，12x －y ≥2，p 3：∀P ∈Ω，－6≤y ≤65，p 4：∃P ∈Ω，12x －y ＝15.其中是真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4 解析：作出平面区域Ω如图中阴影部分所示，其中A (4,0)，由图可知，y ∈(－∞，0]．作出直线y ＝12x ，并平移，易知当平移后的直线经过点A 时，12x －y 取得最小值2，则12x －y ≥2，从而p 1，p 2是真命题．故选A 项．答案：A 17．[2019·辽宁大连二十四中期中]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y ≤1，z ＝2x ＋y 的最大值为m ，且正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，则1a ＋4b 的最小值为( )A ．9 B.32 C.43 D.52解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移，由图象可知当平移后的直线经过点A (3,0)时，z ＝2x ＋y 取得最大值．把(3,0)代入z ＝2x ＋y 得，z ＝2×3＝6，即m ＝6.则a ＋b ＝6，即a 6＋b 6＝1，则1a ＋4b ＝（1a ＋4b ）（a 6＋b 6）＝16＋46＋4a 6b ＋b 6a ≥56＋24a 6b ·b 6a ＝56＋2×26＝32，当且仅当4a 6b ＝b 6a ，即b ＝2a 时取等号．故选B 项．答案：B。

S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝ (OA＋DE)·OE－ OE·CE－ OA·xB
＝ ×(3＋4)×3－ ×3× － ×3× ＝6.
[
11．在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为(作出不等式组对应的平面区域，如下图，
那么A(0,1)，D(0，－1)，|AD|＝2.
解析：由题意知P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，那么5m＋4n－1≤0.
答案：5m＋4n－1≤0
7．在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示．
平面区域为一个三角形及其内部，三个顶点的坐标分别为(4,0)， ，(1,1)，所以平面区域的面积为S＝ × ×1＝ .
A. B.
C．(x＋y)(x－y)≤0 D．(x＋y)(x－y)≥0
解析：在阴影局部内取点(－1,0)代入检验，可得D正确．
答案：D
4．不等式组 表示的平面区域是()
A．矩形B．三角形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：作出平面区域如图，所以平面区域为等腰梯形．
答案：D
5．在平面直角坐标系中，假设不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a的值为()
答案：
8．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________．
解析：此题是在平面区域的前提下，用不等式(组)表示平面区域，可在三条直线外任取一点，将点坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2得2>0；代入x＋2y＋1得1>0；代入2x＋y＋1得1>0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为 .

一、选择题1．(2013·岳阳高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )图3－3－1A ．x ＋y －1<0B ．x ＋y －1>0C ．x －y －1<0D ．x －y －1>0【解析】 边界所在的直线为x ＋y －1＝0，取点O (0,0)，代入得－1<0，则不等式x ＋y －1>0表示图中阴影部分．【答案】 B2．(2013·新余高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x 2－y 2≤0的点(x ，y )的集合(用阴影部分来表示)的是( )【解析】 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0x －y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0x －y ≥0，故D 选项正确．【答案】 D3．(2013·福建师大附中高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t )在直线x －2y ＋4＝0的右下方区域包括边界，则t 的取值范围是( )A ．t <3B ．t >3C ．t ≥3D ．t ≤3【解析】 原点(0,0)也在直线x －2y ＋4＝0的右下方，代入x －2y ＋4得4>0，故点(2，t )使x －2y ＋4≥0成立，即2－2t ＋4≥0，∴t ≤3.【答案】 D4．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≤4，3x ＋y ≥4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34【解析】 如图所示为不等式组表示的平面区域，平面区域为一三角形，三个顶点坐标分别为(4,0)，(43，0)，(1,1)，所以三角形的面积为S ＝12×(4－43)×1＝43.【答案】 C5．若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示．当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为△ABC . 当5<a <7时表示的平面区域为三角形．综上，当5≤a <7时表示三角形． 【答案】 C 二、填空题6．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m ，n 满足的条件是________．【解析】 由题意知点P 在不等式5x ＋4y －1≤0表示的平面区域内，则5m ＋4n －1≤0.【答案】 5m ＋4n －1≤07．(2013·苏州高二检测)不等式|2x ＋y ＋m |<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m 的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎨⎧|m |<3|－2＋1＋m |<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3<m <3－2<m <4. ∴－2<m <3. 【答案】 (－2,3)8．定义符合条件⎩⎨⎧x ≤y ≤3x ，0≤y ≤a ，x ，y ∈N的有序数对(x ，y )为“和谐格点”，则当a＝3时，和谐格点的个数是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，和谐格点有(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)共7个． 【答案】 7三、解答题9．(1)画出不等式x ＋2y －4>0表示的平面区域；(2)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≤0，y ≥－3表示的平面区域．【解】 (1)先画出直线x ＋2y －4＝0，因为这条直线上的点都不满足x ＋2y －4>0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋2y －4得0＋2×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)不在x ＋2y －4>0所表示的平面区域内，所以不等式x ＋2y －4>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．(2)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≤0表示直线x ＋y ＝0上及左下方的点的集合，y ≥－3表示直线y ＝－3上及上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域：10．某校食堂基本以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要求给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，请在直角坐标系中画出每份盒饭中面食、米食的含量所满足的范围．【解】 设每份盒饭中面食为x 百克，米食为y 百克，则由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥8，4x ＋7y ≥10，x ≥0，y ≥0.作出不等式组所表示的平面区域如图． 11．画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)(x －y )(x －y －1)≤0； (2)|3x ＋4y －1|<5； (3)x ≤|y |≤2x .【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，得0≤x －y ≤1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y ≥1，无解． 故不等式表示的区域如图(1)所示． (2)由|3x ＋4y －1|<5，得－5<3x ＋4y －1<5， 得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －6<0，3x ＋4y ＋4>0，故不等式表示的区域如图(2)所示．(1) (2) (3)(3)当y ≥0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x ≤y ，y ≤2x ，x ≥0，点(x ，y )在第一象限内两条过原点的射线y ＝x (x ≥0)与y ＝2x (x ≥0)所表示的区域内．当y ≤0时，由对称性作出另一半区域，如图(3)所示．。

第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.基础自测指点迷津◆区域的确定方法确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.◆两个注意(1)注意边界的虚实.◆线性规划应用的四步利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.考点透析【方法总结】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式训练考向二简单的线性规划问题(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率值.变式训练考向三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克,B原料2千克.生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司可获得的最大利润是().A..800元B..400元C..800元D..100元【审题视点】设甲产品x桶,乙产品y桶,根据题意列约束条件和目标函数,利用线性规划求解.【方法总结】 1.线性规划的实际应用问题的解法.线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题.2.求解步骤.(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所在的平行直线系中过原点的那一条直线l;(2)平移——将l平行移动,以确定最优解的对应点A的位置;(3)求值——解方程组求出点A的坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.变式训练3.某农户计划年产量/亩年种植成本/亩每吨售价种植黄瓜和韭为使一年的种值总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为().A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50真题体验参考答案与解析知识梳理1.(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2.一次最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值[基础自测]1.B2.A3.B4.-5<m<105.5【感悟考点透析】【例1】不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,S△ABC=S△ABD+S△BCD=×2×(2+2)=4.变式训练经典考题真题体验。