人教版数学高二选修4-5课时作业二第2课时绝对值不等式的解法

第2课时 绝对值不等式的解法
一、选择题
1．不等式1≤|2x －1|＜2的解集为( )
A ．{x |－12＜x ＜0或1≤x ≤32
} B ．{x |－12＜x ≤0或1≤x ≤32
} C ．{x |－12＜x ≤0且1≤x ≤32
} D ．{x |－12＜x ≤0或1≤x ＜32
} 2．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2，x ＜1，4－|x －1|，x ≥1，则使f (x )≥1的自变量x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪[0,4]
B ．(－∞，－2]∪[0,1]
C ．(－∞，－2]∪[1,4]
D ．[－2,0]∪[1,4]
4．关于x 的不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．[1,2]
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )
A ．a ＞5－2
B ．0＜a ≤5－2
C ．a ≥5－2
D ．以上都不正确
二、填空题
6．不等式|a ＋b ||a |－|b |
≥1成立的充要条件是________． 7．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为{x |－53＜x ＜13
}，则a ＝________. 8．设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．
9．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．
10．已知集合A ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，B ＝{x |a ＜x ＜6}且A ∩B ＝(2，b )，则a ＋b ＝________.
11．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a ＝________.
三、解答题
12．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
(1)解不等式f (x )＞2；
(2)求函数y ＝f (x )的最小值．
13．已知a ＋b ＝1，对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b
≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．
四、探究与拓展
14．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)．
(1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；
(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围．
15．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
答案精析
1．D 2.B 3.A
4．A [∵|x ＋3|－|x －1|≤|4|＝4，
∴a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，
解得a ≤－1或a ≥4.]
5．B [由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，
由|x 2－4|＜1， 得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＋2≤5，
－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋2≤－3，
－a ＋2≥－5，
无解．] 6．|a |＞|b |
7．－3
解析 ∵|ax －2|＜3，∴－1＜ax ＜5.
当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a
，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a ，又不等式的解集为{x |－53＜x ＜13
}，故a ＝－3. 8．R
解析 函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |的值域为[|a －b |，＋∞)．
因此，当∀x ∈R 时，f (x )≥|a －b |＞2.
所以，不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集为R .
9．{x |x ≤－3或x ≥2} 10.7
11．－4或8
解析 ①当a ≤2时，
f (x )＝⎩⎨⎧
－3x －a －1，x ＜－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a 2
，3x ＋a ＋1，x ＞－a 2
. ②当a ＞2时， f (x )＝⎩⎨⎧
－3x －a －1，x ＜－a 2，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，3x ＋a ＋1，x ＞－1，
由①②可得f (x )min ＝f (－a 2) ＝|－a 2＋1|＝3，解得a ＝－4或8. 12．解 (1)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|， 得f (x )＝⎩⎨⎧
－x －5，x ≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5，x ≥4. 作出函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图象略)，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和(53
，2)． 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为
(－∞，－7)∪(53
，＋∞)． (2)由y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图略)可知，
当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92
. 13．解 因为a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，
所以1a ＋4b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4a b ≥9，故1a ＋4b
的最小值为9， 因为对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，
使1a ＋4b
≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，
所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，
当x ≤－1时，2－x ≤9，
所以－7≤x ≤－1；
当－1＜x ＜1
2时，－3x ≤9，
所以－1＜x ＜1
2；
当x ≥1
2时，x －2≤9，
所以1
2≤x ≤11.
综上所述，x 的取值范围是[－7,11]．
14．解 (1)当a ＝1时，
f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，
当x ≥2时，原不等式可转化为
x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；
当1＜x ＜2时，原不等式可转化为
2－x ＋x －1≥x ，解得x ≤1，∴x ∈∅；
当x ≤1时，原不等式可转化为
2－x ＋1－x ≥x ，解得x ≤1.
综上可得，解集为{x |x ≤1或x ≥3.}．
(2)依题意，对∀x ∈R ，都有f (x )≥3，
则f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |≥|(ax －2)－(ax －a )|＝|a －2|≥3，
∴a －2≥3或a －2≤－3，
∴a ≥5或a ≤－1(舍)，
∴a 的取值范围是[5，＋∞)．
15.解 (1)当x ≤1时，
f (x )＝－(x －1)－(x －2)＝－2x ＋3；
当1＜x ≤2时，
f (x )＝(x －1)－(x －2)＝1；
当x ＞2时，f (x )＝(x －1)＋(x －2)＝2x －3.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3(x ≤1)，1(1＜x ≤2)，
2x －3(x ＞2).
图象如图所示．
(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，
得|a ＋b |＋|a －b ||a |
≥f (x )． 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以2≥f (x )，解不等式2≥|x －1|＋|x －2|，得12≤x ≤52.。