人教A版高中数学必修5：一元二次不等式及其解法 课时练习

课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。

3.2 一元二次不等式及其解法第1课时 一元二次不等式及其解法课后篇巩固提升基础巩固1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(2,+∞) C.(-2,3) D.(-3,2)x 2+x-6>0,即(x+3)(x-2)>0,所以x>2或x<-3,即解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).2.已知集合M={x|0≤x<2},N={x|x 2-2x-3<0},则M ∩N=( ) A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x ≤1} D.{x|0≤x ≤2}N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3},M={x|0≤x<2},所以M ∩N={x|0≤x<2}.3.若函数f (x )=x -4mx 2+4mx+3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,34)B.[0,34)C.(34,+∞) D.(-34,34)mx 2+4mx+3≠0对一切x ∈R 恒成立.当m=0时,显然成立;当m ≠0时,应有Δ=16m 2-12m<0,解得0<m<34.综上,实数m 的取值范围是[0,34).4.关于x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(12,+∞)D.(-1,12)x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,所以f (1)=2+a-a 2>0,即a 2-a-2<0,解得-1<a<2.5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x|x<1或x>2},则f (x-2)>0的解集为( ) A.{x|1<x<2} B.{x|3<x<4} C.{x|-1<x<0}D.{x|x<3或x>4}f (x )>0的解集为{x|1<x<2},则由f (x-2)>0可得1<x-2<2.即3<x<4.故f (x-2)>0的解集为{x|3<x<4}.6.二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:则不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .y=ax 2+bx+c (x ∈R )的草图如图.由图象得不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.x|x<-2或x>3}7.若关于x 的不等式组{x -1>a 2,x -4<2a解集不是空集,则实数a 的取值范围是 .{x >1+a 2,x <4+2a ,要使不等式组的解集不是空集,应有a 2+1<4+2a ,即a 2-2a-3<0,解得-1<a<3.1<a<38.若关于x 的不等式m (x-1)>x 2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数m 的值为 .1和2是关于x 的方程m (x-1)=x 2-x ,即x 2-(m+1)x+m=0的两根,所以{1+2=m +1,1×2=m ,解得m=2.9.解不等式0≤x 2-x-2≤4.{x 2-x -2≥0,x 2-x -2≤4.①②解①得x ≤-1或x ≥2; 解②得-2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x|x ≤-1或x ≥2}∩{x|-2≤x ≤3}={x|-2≤x ≤-1或2≤x ≤3}.10.已知函数y=√ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围.(2)若函数的最小值为√22,解关于x 的不等式x 2-x-a 2-a<0.因为函数y=2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax+1≥0恒成立. 当a=0时,1≥0,不等式恒成立; 当a ≠0时,则{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,0≤a ≤1.(2)因为函数的最小值为√22,所以y=ax 2+2ax+1的最小值为12,因此4a -4a 24a=12,解得a=12.于是不等式可化为x 2-x-34<0,即4x 2-4x-3<0,解得-12<x<32.故不等式x 2-x-a 2-a<0的解集为{x |-12<x <32}.能力提升1.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是 ( )A.(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12) C.(-∞,-12)∪(32,+∞)D.(-12,32)f (x )>0,即(ax-1)(x+b )>0.因为其解集是(-1,3),所以{a <0,1a =-1,-b =3,解得{a =-1,b =-3,于是f (x )=(-x-1)(x-3),所以不等式f (-2x )<0,即为(2x-1)(-2x-3)<0,解得x>12或x<-32.2.若关于x 的不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为( ) A.0B.-2C.-52D.-3ax ≥-(x 2+1),x>0,得a ≥-(x +1x ).∵x ∈(0,12],∴由y=x+1x 的单调性可知,y=x+1x 的最小值为12+2=52,∴a ≥-52.3.若关于x 的不等式3kx 2+k+8<(13)-6kx的解集为空集,则实数k 的取值范围是( )A.0<k<1B.0≤k<1C.0≤k ≤1D.0<k ≤13kx2+k+8<36kx ,即kx 2-6kx+k+8<0的解集为空集.若k=0,不等式即为8<0,解集为空集,符合题意;若k ≠0,要使不等式的解集为空集,应有{k >0,(-6k )2-4k (k +8)≤0,解得0<k ≤1.故实数k 的取值范围是0≤k ≤1.4.函数y=2的定义域为 .-x 2-3x+4>0,即x 2+3x-4<0,解得-4<x<1.故函数的定义域为(-4,1).-4,1)5.已知当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立,则m 的取值范围是 .f (x )=x 2+mx+4,要使x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立, 则有{f (1)≤0,f (2)≤0,即{1+m +4≤0,4+2m +4≤0.解得m ≤-5.-∞,-5]6.对于实数x ,当n ≤x<n+1(n ∈Z )时,规定[x ]=n ,则不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为 .t=[x ],则不等式化为4t 2-36t+45<0,解得32<t<152.而t=[x ],所以32<[x ]<152.由[x ]的定义可知x 的取值范围是2≤x<8,即不等式的解集为{x|2≤x<8}.x|2≤x<8}7.若关于x 的不等式ax 2+3x-1>0的解集是{x |12<x <1}. (1)求a 的值;(2)求不等式ax 2-3x+a 2+1>0的解集.由题意可知方程ax 2+3x-1=0的两个实数根为12和1,且a<0,则12+1=-3a ,12×1=-1a ,解得a=-2.(2)由(1)知不等式ax 2-3x+a 2+1>0即为-2x 2-3x+5>0,即2x 2+3x-5<0. 因为2x 2+3x-5=0有两根为x 1=1,x 2=-52, 所以不等式的解集为{x |-52<x <1}. 8.已知函数f (x )=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围; (2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.f (x )≥a ,即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2.故a 的取值范围为-6≤a ≤2.(2)当x ∈[-2,2]时,设g (x )=x 2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论:①当-a2≤-2,即a ≥4时,g (x )在[-2,2]上单调递增,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-2)=7-3a ,因此{a ≥4,7-3a ≥0,无解; ②当-a2≥2,即a ≤-4时,g (x )在[-2,2]上单调递减,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (2)=7+a ,因此{a ≤-4,7+a ≥0,解得-7≤a ≤-4;③当-2<-a2<2,即-4<a<4时,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-a 2)=-a 24-a+3, 因此{-4<a <4,-a 24-a +3≥0,解得-4<a ≤2.综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2.。

[A 基础达标]1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23 解析：选 A.因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12. 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能； ②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x 2－3x ＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.3．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞，则ab 等于( ) A ．－24B ．24C ．14D ．－14 解析：选 B.由已知可得－12，13是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，⎝⎛⎭⎫－12×13＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，所以ab ＝24. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)解析：选B.由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1.5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x >5a 或x <－a }B ．{x |x <5a 或x >－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选B.因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a .所以不等式的解为x >－a 或x <5a .故选B.6．不等式2x 2－x ＋1>0的解集是________．解析：由Δ＝1－4×2<0，则原不等式的解集为R .答案：R7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为________． 解析：原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}8．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为________．解析：因为ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，所以⎩⎨⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.答案：{x |x >1或x <－2}9．解下列不等式：(1)(5－x )(x ＋1)≥0；(2)9x 2－6x ＋1<0.解：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)因为Δ＝0，方程9x 2－6x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝13，所以不等式9x 2－6x ＋1<0的解集为∅.10．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )> 0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值．解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根， 因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.[B 能力提升]1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．因为a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：[2，8)3．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.解：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；(2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }；当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }；当a ＝0时，∅.4．(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－3x＋2，因为f(x)>0，所以x2－3x＋2>0，令x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)因为f(x)<0，所以f(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，令(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1，当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．。

最新人教版数学精品教学资料课时作业18 一元二次不等式的解法时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．设集合A ＝{x |x 2－1<0}，B ＝{x |x 2－3x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |0<x <3} C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}解析：由已知得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0<x <3}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．答案：C2．函数f (x )＝－x 2＋4x －3＋14x －5的定义域为( )A ．{x |1≤x ≤3}B ．{x |1≤x ≤3，且x ≠54} C ．{x |x ≥3，或x ≤1} D ．{x |x ≠54} 答案：B3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )A ．{x |x >3，或x <－2}B ．{x |x >2，或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}解析：由已知得a (x ＋2)(x －3)>0(a <0)，即(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3. 答案：C4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：集合A 中：x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，集合B 中：x ∈(－∞，a )，由B A ，则a ≤1. 答案：A5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：不等式f (x )≥x 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2， 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x ＋2≥x 2.解得－1≤x ≤1. 答案：A6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：解析：方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3且a >0. 答案：{x |x <－2，或x >3}8．若1a x 2＋bx ＋a >0的解集是{x |2<x <8}，则a ＝________，b ＝________.解析：方程1a x 2＋bx ＋a ＝0的两根为2,8，且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－10，a 2＝16，∴⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝52.答案：－4 529．已知x ＝1是不等式k 2x －6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________．解析：∵x ＝1是不等式k 2x －6kx ＋8≥0的解，∴k 2－6k ＋8≥0，∴(k －2)(k －4)≥0. ∴k ≤2或k ≥4.又∵k ≠0，∴k ∈(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0,2]∪ [4，＋∞) 三、解答题(共计40分) 10．(10分)解下列不等式： (1)－x 2＋2x －23>0；(2)－1<x 2＋2x －1≤2.解：(1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0，因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1>－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x >0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x (x ＋2)>0，所以x <－2或x >0； 由②得(x ＋3)(x －1)≤0，所以－3≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－3≤x <－2，或0<x ≤1}． 11．(15分)解关于x 的不等式12x 2－ax －a 2<0.解：∵Δ＝a 2＋4×12a 2＝49a 2≥0，∴可求得方程12x 2－ax －a 2＝0的两根分别为x 1＝a 3，x 2＝－a 4.当a >0时，－a 4<a 3，原不等式的解集为{x |－a 4<x <a3}；当a ＝0时，原不等式变形为12x 2<0，原不等式的解集为∅；当a <0时，a 3<－a 4，原不等式的解集为{x |a 3<x <－a 4}．12．(15分)若方程x 2＋2ax ＋3a ＋10＝0，x 2－ax ＋4＝0和x 2＋(a －1)x ＋16＝0中，至少有一个方程有实根，求a 的取值范围．解：三个方程均没有实根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2－4(3a ＋10)<0，Δ2＝a 2－16<0，Δ3＝(a －1)2－64<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <5，－4<a <4，－7<a <9，⇒－2<a <4，即当－2<a <4时，三个方程均无实根．故当a ≥4或a ≤－2时，至少有一个方程有实根．。

第1课时 一元二次不等式的解法1.不等式6x 2＋x －2≤0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12)B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12)C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12)D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23)解析 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12).答案 A2.设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵a ＜－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，∴1a＞a ，∴x ＞1a或x ＜a .答案 A3.不等式2x 2－x －1＞0的解集是________.解析 由2x 2－x －1＞0，得(x －1)(2x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，从而得原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)4.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________.解析 由表格可知，函数的图象开口向上，且零点为x ＝－2，x ＝3，因此图象关于x＝12对称，从而不等式ax 2＋bx ＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)5.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－2或x ＞－12)，则ax 2－bx ＋c＞0的解集为________.解析 由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a（－2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a， 解得a ＝c ，b ＝52c .所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0即为2x 2－5x ＋2＜0， 解得12＜x ＜2，即不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝ A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析 由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32)，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案 D2.设－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )(ax －1)＞0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵－1＜a ＜0，∴(x －a )(ax －1)＞0可化为(x －a )·a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∴(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.又－1＜a ＜0，∴a ＞1a，∴原不等式解集为1a＜x ＜a .答案 C3.在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为 A.(0，2)B.(－2，1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1，2)解析 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0， 所以－2＜x ＜1. 答案 B4.关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 ∵关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＝b . ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0⇔a (x ＋1)(x －3)>0⇔(x ＋1)(x －3)>0⇔x <－1或x >3. 答案 A5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}解析 由题意可知f (x )＝－(x ＋1)(2x －1)，则f (10x)＝－(10x＋1)(2·10x－1)>0， 即(10x＋1)(2·10x－1)<0，∵10x＋1>0，∴2·10x－1<0，解得x <－lg 2. 答案 D6.(能力提升)已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是A.a <α<β<bB.a <α<b <βC.α<a <b <βD.α<a <β<b解析 ∵α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2的图象与x 轴交点的横坐标. ∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根， 令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.由于f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________.解析 ∵0＜t ＜1，∴1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t ).答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t )8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 f (x )>x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧0>x ，x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0⇔x >5或－5<x <0.∴不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)9.(能力提升)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________.解析 ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0， 解得x ＞1或x ＜－2. 答案 {x |x ＞1或x ＜－2}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)解下列关于x 的不等式： (1)(7－x )(x ＋2)≥0；(2)－9x 2＋3x －14≥0；(3)－12x 2＋2x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.解析 (1)原不等式化为(x －7)(x ＋2)≤0， 所以－2≤x ≤7.故所求不等式的解集为{x |－2≤x ≤7}.(2)原不等式化为9x 2－3x ＋14≤0，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －122≤0，所以x ＝16. 故所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝16. (3)原不等式化为x 2－4x ＋10<0，即(x －2)2＋6<0，故所求不等式的解集为∅.(4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0.所以x ∈R.故所求不等式的解集为R.11.(12分)解关于x 的不等式：ax 2＋(1－a )x －1＞0(a ∈R). 解析 原不等式可化为(x －1)(ax ＋1)＞0. (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0， 所以解集为{x |x ＞1}. (2)当a ＞0时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜－1a .(3)当a ＜0时，①当－1＜a ＜0时，－1a＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜－1a .②当a ＝－1时，原不等式变为－(x －1)2＞0， 所以解集为∅.③当a ＜－1时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a＜x ＜1.12.(12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中β>α>0，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集.解析 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}， ∴α，β是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0.∴αβ＝c a ，α＋β＝－b a，∴c ＝aαβ，b ＝－a (α＋β). ∵cx 2＋bx ＋a <0，∴a αβx 2－a (α＋β)x ＋a <0. 整理，得αβx 2－(α＋β)x ＋1>0. ∵β>α>0，∴αβ>0，1α>1β，∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0.∵方程x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ＝0的两根为1α，1β.∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α或x <1β，即不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α，或x <1β.。

第2课时 一元二次不等式及其解法一、选择题1.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x <1或1<x ≤3 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 D解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x <1或1<x ≤3. 2.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A.1B.－1C.－3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3， ∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3.设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 4.若a ＞0，b ＞0，则不等式－b <1x<a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x ＞1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 A解析 原不等式⎩⎨⎧1x＞－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋1x ＞0，ax －1x ＞0，可得⎩⎨⎧x <－1b 或x ＞0，x <0或x ＞1a，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x ＞1a . 5.不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B.RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D.∅考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法 答案 A解析 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点， 又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A.1<x <3 B.x <1或x >3 C.1<x <2D.x <1或x >2考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在区间上恒成立 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 7.若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a 的取值范围是( ) A.(－1,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)考点 一元二次不等式的解法 题点 根的分布 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.8.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2,2)D.(－2,2]考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 D解析 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立， 综上所述，－2<a ≤2. 二、填空题9.若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是__________. 考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法 答案 (－1,0]解析 当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]. 10.不等式5－xx ＋4≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法 答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析 因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.11.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________. 考点 一元二次不等式恒成立问题 题点 一元二次不等式在R 上恒成立问题 答案 ⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1. 若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意. 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不合题意，舍去.②当a 2－1≠0，即a ≠±1时， 原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1.12.若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________. 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 (0,1]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.三、解答题13.已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集.考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)＜0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a ＜0,0＜α＜β， ∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β＜0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根. 又∵0＜α＜β， ∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜1β或x ＞1α， 即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜1β或x ＞1α.方法二 由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β， ∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1β或x ＞1α. 四、探究与拓展14.关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法 解 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解， ∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0. ∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ， 又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2). 15.解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式的解法解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}.(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．(2014·江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(綂R B )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] 本题主要考查集合的运算，∵A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}，而綂R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩綂R B ＝{x |－3<x ≤－1}，选C ． 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13}[答案] D[解析] 变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.3．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16}[答案] A[解析] ∵△＝－23＜0，开口向上， ∴3x 2－x ＋2＜0的解集为∅.4．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3} [答案] C[解析] 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0. ∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4，或x ≥3.5．(2012·陕西文，1)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] C[解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M ＝{x |x >1}，N ＝{x |－2≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1<x ≤2}＝(1,2]．6．(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x 2＋2x －3≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1}[答案] C[解析] 由x 2＋2x －3≥0，得(x ＋3)(x －1)≥0， ∴x ≤－3或x ≥1，故选C ． 二、填空题7．(2013·广东理，9)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． [答案] {x |－2<x <1}[解析] 由x 2＋x －2<0，得(x ＋2)(x －1)<0， ∴－2<x <1，故原不等式的解集为{x |－2<x <1}． 8．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________． [答案] {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜5}[解析] 由x 2－2x －3≥0得：x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或3≤x <4}． 三、解答题9．解不等式：1＜x 2－3x ＋1＜9－x . [解析] 由x 2－3x ＋1＞1得，x 2－3x ＞0， ∴x ＜0或x ＞3；由x 2－3x ＋1＜9－x 得，x 2－2x －8＜0，∴－2＜x ＜4. 借助数轴可得：{x |x ＜0或x ＞3}∩{x |－2＜x ＜4} ＝{x |－2＜x ＜0或3＜x ＜4}．10．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，求－cx 2＋2x －a >0的解集．[解析] 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，知a <0，且－13和12是ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－13×12＝c a，－13＋12＝－2a解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.所以－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0.解得－2<x <3.所以－cx 2＋2x －a >0的解集为{x |－2<x <3}.一、选择题1．不等式x 2－4x －5>0的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x >5或x <－1} C ．{x |－1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}[答案] B[解析] 由x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1，故选B ．2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x >3或x <－2}，则m 、n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－12 [答案] D[解析] 由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m 2，－2×3＝n 2，∴m ＝－2，n ＝－12. 3．函数y ＝log 12(x 2－1)的定义域是( ) A ．[－2，－1)∪(1，2] B ．[－2，－1)∪(1，2) C ．[－2，－1)∪(1,2] D ．(－2，－1)∪(1,2) [答案] A[解析] ∵log 12(x 2－1)≥0，∴0＜x 2－1≤1，∴1＜x 2≤2，∴1＜x ≤2或－2≤x ＜－1.4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}且B A ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1B ．1＜a ≤2C ．a ＞2D ．a ≤2[答案] A[解析] A ＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }， ∵B A ，∴a ≤1. 二、填空题5．不等式x 2－4x ＋5＜0的解集为________． [答案] ∅[解析] ∵Δ＝16－20＝－4<0， ∴方程x 2－4x ＋5＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式[答案] {x |x ＜－2或x ＞3}[解析] 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}． 三、解答题7．已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(1,2)，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．[解析] 依题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集为1,2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2， ∴不等式bx 2＋ax ＋1>0为2x 2－3x ＋1>0.∵方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝12，x 2＝1，∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为{x |x <12或x >1}．8．(2013·河南禹州高二期中测试)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ．(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． [解析] (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3，∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。