人教版数学高二-课时作业 3-2第1课时 一元二次不等式及其解法

技能演练基 础 强 化1．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( )A ．a <0，Δ>0B ．a <0，Δ≤0C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0答案 C2．不等式4x 2＋4x ＋1≤0的解集为( )A ．{x |x ≠－12}B ．{－12} C ．∅ D ．R解析 4x 2＋4x ＋1≤0⇒(2x ＋1)2≤0，∴x ＝－12. 答案 B3．不等式3x 2－7x ＋2<0的解集为( )A ．{x |13<x <2}B ．{x |x <13或x >2} C ．{x |－12<x <－13} D ．{x |x >2} 解析 3x 2－7x ＋2<0⇒(3x －1)(x －2)<0⇒13<x <2. 答案 A4．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13＜x ＜1 C ．∅ D ．R解析 ∵Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8＜0，∴抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x＋1＞0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R.答案 D5．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( )A ．{x |x <－4或x >3}B ．{x |－4<x <3}C ．{x |x ≤－4或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}解析 由x 2＋x －12≥0，即(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≥3，或x ≤－4.答案 C6．已知{x |ax 2＋bx ＋c >0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，则关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由题意，知a <0，且－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －13＋2＝－b a ，－13×2＝c a ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ，c ＝－23a .∴cx 2＋bx ＋a <0，即－23ax 2－53ax ＋a <0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12. 答案 B7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：解析 观察对应值表，可知解集为{x |－2<x <3}．答案 {x |－2<x <3}8．不等式－4<x 2－5x ＋2<26的整数解为________．解析 ⎩⎨⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－5x －24<0，⇒⎩⎨⎧ (x －2)(x －3)>0，(x －8)(x ＋3)<0，⇒⎩⎨⎧ x >3，或x <2，－3<x <8.∴－3<x <2，或3<x <8.答案 －2，－1,0,1,4,5,6,7能 力 提 升9．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}．求：M ∩N . 解 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0.即(3x －1)2>0.解得x ≠13.∴M＝{x|x∈R，且x≠13}．由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0.解得－1<x<4.∴N＝{x|－1<x<4}．∴M∩N＝{x|－1<x<4，且x≠13}．10．假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解(1)设中低价房面积形成数列{a n}，由题意，知{a n}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则S n＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10，所以到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意，可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意，可知a n>0.85b n，即250＋(n －1)·50>400×(1.08)n －1×0.85.满足上述不等式的最小正整数为n ＝6，所以到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.品 味 高 考11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U A 等于( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x <2}C ．{x |x <0或x >2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析 x 2－2x >0，解得x <0，或x >2.即A ＝{x |x <0，或x >2}，∴∁U A ＝{x |0≤x ≤2}．答案 A12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析 依题意，知|2x －1|<13. 即－13<2x －1<13. ∴23<2x <43.∴13<x <23. 答案 A。

3.2 一元二次不等式及其解法（一）1. 若f（x）=x2﹣a x+1有负值，则实数a的取值范围是（）A．a＞2或a＜﹣2B．﹣2＜a＜2C．a≠±2D．1＜a＜32. 如果不等式（m+1）x2+2mx+m+1＞0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．C．D．m＜﹣1或3. 若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣34. 关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，那么另一个关于x的不等式rx2﹣qx+p＞0的解集应该是（）A．B．C．D．5. 二次函数y=ax2+b x+c（x∈R）的部分对应值如表：x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则不等式ax2+b x+c＞0的解集是．6. 若已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为．7. 已知不等式x2﹣2x+a＞0对任意实数x∈[2，3]恒成立．则实数a的取值范围为.8. 已知二次函数f（x）=x2﹣2（m﹣1）x﹣2m+m2，（1）如果它的图象经过原点，求m的值；（2）如果它的图象关于y轴对称，写出该函数的解析式；（3）是否存在实数m，对x∈[1，3]上的每一个x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求出m 的范围，若不存在，说明理由．9. 已知关于x不等式x2﹣2ax+a+2≤0（a∈R）的解集为M．（1）当M为空集时，求实数a的取值范围；（2）如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．参考答案1. 【解析】：f（x）有负值，则必须满足f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，其充要条件是：△=（﹣a）2﹣4＞0，a2＞4即a＞2或a＜﹣2．故选A．2. 【解析】当m+1=0时，不等式即﹣2x＞0，显然不满足对任意实数x都成立．当m≠0时，由不等式（m+1）x2+2mx+m+1＞0对任意实数x都成立，可得m+1＞0，且判别式△＜0．即，解得m＞﹣，故选C．3. 【解析】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C4. 【解析】因为关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，所以α和β可看作方程px2+qx+r=0的两个根，所以p＜0，，，因为0＜α＜x＜β，p＜0，所以r＜0．所以rx2﹣qx+p＞0即为，即α•βx2+（α+β）x+1＜0，解得故选D．5. 【解析】由表可设y=a（x+2）（x﹣3），又∵x=0，y=﹣6，代入知a=1．∴y=（x+2）（x﹣3）∴ax2+b x+c=（x+2）（x﹣3）＞0得x＞3或x＜﹣2．故答案为：{x|x＞3或x＜﹣2}6. 【解析】构造变量m的函数求解：2x﹣1＞m（x2﹣1）即：（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）＜0构造关于m的函数f（m）=（x2﹣1）m﹣（2x﹣1），|m|≤2即﹣2≤m≤2．1）当x2﹣1＞0时，则f（2）＜0 从而2x2﹣2x﹣1＜0 解得：又x2﹣1＞0，即x＜﹣1 或x＞1，所以1＜x＜；2）当x2﹣1＜0时，则f（﹣2）＜0 可得﹣2x2﹣2x+3＜0 从而2x2+2x﹣3＞0解得x＜或x＞又﹣1＜x＜1，从而＜x＜13）当x2﹣1=0时，则f（m）=1﹣2x＜0 从而x＞，故x=1；综上有：＜x＜故答案为：7. 【解析】令f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，又不等式x2﹣2x+a＞0对任意实数x∈[2，3]恒成立，∴f（2）＞0恒成立，即4﹣4+a＞0，解得a＞0．故实数a的取值范围是a＞0．故答案为a＞0．8. 【解析】（1）过原点（0，0）0=﹣2m+m2∴m=0或2；（2）由题意知，二次函数的对称轴为y轴，∴m﹣1=0∴m=1函数解析式为：f（x）=x2﹣1．（3）f（x）=[x﹣（m﹣1）]2﹣1对称轴x=m﹣11°当m﹣1＜1即m＜2时，f（x）在[1，3]上递增，x=1时f（x）最小，f（1）=（2﹣m）2﹣1≥3∴m≥4或m≤0∴m≤02°：当1≤m﹣1≤3，即2≤m≤4，f（x）=[x﹣（m﹣1）]2﹣1，最小值为﹣1，﹣1≥3不成立3°：m﹣1＞3即m＞4时f（x）在[1，3]上递减，x=3时最小f（3）=（4﹣m）2﹣1≥3∴m≤2或m≥6由以上可知：m≤0或m≥6．9. 解：（1）∵M为空集，∴△=4a2﹣4（a+2）＜0，即a2﹣a﹣2＜0∴实数a的取值范围为（﹣1，2）（2）f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，①当M为空集，由（1）可得：a∈（﹣1，2）时，M⊆[1，4]．②当M不为空集时，∵M⊆[1，4]∴，即，，解得．∴实数a的取值范围为．综上得实数a的取值范（﹣1，]．。

3.2 一元二次不等式及其解法(一)课时目标1．会解简单的一元二次不等式．2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ；(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示： 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 (－∞，x 1)∪(x 2，＋∞){x |x ∈R 且x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，c a＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________． 答案 {x |x <－2或x >3}8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．答案 {x |x <1－52或x >1＋52}解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－b a －13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．【能力提升】13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0∴0<x <2a 1.14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．。

C．{x|x≥1 或 x＝－2}
D．{x|x≤－2 或 x＝1}
答案 C
解析 当 x＝－2 时，0≥0 成立．当 x>－2 时，原不等式变为 x－1≥0，即 x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1 或 x＝－2}． x2－2x－2
3．不等式 x2＋x＋1 <2 的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
11．某省每年损失耕地 20 万亩，每亩耕地价值 24 000 元，为了减小耕地损失，决定 5
按耕地价格的 t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少 2t 万亩，为了既减少耕地 的损失又保证此项税收一年不少于 9 000 万元，t%应在什么范围内变动？
解 由题意可列ห้องสมุดไป่ตู้等式如下：
( )5
20－ t 2 ·24 000·t%≥9 000⇔3≤t≤5.
得－1<x<6，∴集合 A 为{x|－1<x<6}，
∴A∩Z 的元素有 0,1,2,3,4,5，共 6 个元素．
6．对任意 a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值恒大于零，则 x 的取值范围
是( )
A．1<x<3
B．x<1 或 x>3
C．1<x<2
D．x<1 或 x>2
所以 g(x)<0 的解集为∁IQ， 因此Error!的解集为 P∩∁IQ. 10．如果 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的取值范围为________． 答案 0≤a≤4 解析 a＝0 时，A＝∅；当 a≠0 时，A＝∅⇔ax2－ax＋1≥0 恒成立⇔Error!⇔0<a≤4， 综上所述，实数 a 的取值范围为 0≤a≤4. 三、解答题