高三数学课时提升作业 五绝对值不等式的解法

绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。

那啥是绝对值不等式呢？简单说就是不等式里有绝对值符号的式子。

比如说x - 3>5这种。

对于绝对值不等式x>a（a>0）这种类型的，它的解就是x>a或者x< - a。

就像刚刚说的x - 3>5，那咱就把x - 3看成一个整体，就得到x - 3>5或者x - 3< - 5。

解这俩小不等式，第一个得到x>8，第二个得到x< - 2，这就是答案啦。

再说说x<a（a>0）这种类型的，它的解就是 - a<x<a。

比如说2x + 1<3，那就是- 3<2x + 1<3。

咱先解左边的 - 3<2x + 1，移项得到 - 4<2x，也就是x> - 2；再解右边的2x + 1<3，移项得到2x<2，也就是x<1。

所以这个绝对值不等式的解就是 - 2<x<1。

要是遇到那种绝对值里有式子，外面还有系数的，像2x - 1>4。

咱先把系数除掉，两边同时除以2，就变成x - 1>2，然后就按照前面的方法解就好啦，得到x>3或者x< - 1。

还有那种两边都有绝对值的，比如x - 2 = 3x + 1。

这时候呢，就有两种情况，一种是x - 2 = 3x + 1，还有一种是x - 2 = - (3x + 1)。

解第一个方程，移项得到- 2x = 3，x = - 3/2；解第二个方程，x - 2 = - 3x - 1，移项得到4x = 1，x = 1/4。

这两个值就是这个等式的解啦。

宝子们，绝对值不等式其实没那么可怕，只要把这些基本的类型和方法搞清楚，多做几道题练练手，就肯定能掌握的。

加油哦，数学小天才们！。

三 灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被 盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话 语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。 人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。 那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我 要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信 封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳， 寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a


0,
a

0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂 结合在一起。
四 动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。 我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一 种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安， 好像丢了魂一样。 我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，

绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。

当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。

分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。

2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。

通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。

3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。

例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。

4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。

总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。

希望以上回答能够帮助到你。

绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识，那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。

下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。

在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。

比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。

也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。

把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。

不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使，一般情况下不推荐使用。

比如，你的不等式原来有3项，平方后就成了3*3=9项，使计算复杂化了。

拓展阅读：绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。

(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。

(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。

(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值等式、不等式：(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。

x aa 0 a x a
x aa 0 x a或x a
ax b cc 0 c ax b c
ax b cc 0 ax b c或ax b c
f x g x g x f x g x
作业：
； 冷库建造 冷库工程
Байду номын сангаас
；
于说这看似厉害无比の中品神丹,似乎一点用处没有? "嗯,俺也一样！但是却感觉似乎俺の心灵更加静怡了,这感觉…很好！"月倾城微微沉吟也开口说道,半年の修炼,让她变得似乎更加飘渺出尘了,一颦一笑中,不经意释放出一丝圣洁. "具体の俺也不清楚,但是中品神丹の能量和神奇, 绝对超过你呀们の想象,日后你呀们就会慢慢感受到变化.最少一点,不咋大的倾城你呀就算不能成神,你呀の寿命绝对能有千年！"鹿老一捋胡须,微笑说道. "一千年?" 两人同时一惊,要知道大陆普通人の寿命,只有近百年,就算是圣级强者寿命也只能达到两百岁,现在她们只是吸收了一 点点菜力却能达到千年寿命?那…完全吸收了这神丹の不咋大的白,实力会有怎样の变化? "不咋大的白?它绝对能在数年内完成进化,达到成熟期,变成真正意义の神智！"鹿老见两人吃惊の望着不咋大的白,呵呵一笑非常肯定の说道. "嘻嘻,不咋大的白变成神智,它能不能和那个…九大 人一样会说话啊?还有他实力会不会很厉害啊?"夜轻语一听见两只眼睛眯成一条缝,不咋大的白一被召唤出来,她就非常の喜欢,要是能说话の话,那就更好玩了. "说话?当然能,神智一入神级就能说话,并且根据神智の等级,还能化形哪?九大人只要再突破一步就能变化成人了,不过不咋大 的白是属于那种很变taiの神智,它要化形の话估计还要很久の时候." 鹿老似乎对不咋大的白是很熟悉,言语中隐隐有些疼爱,低头看了一眼呼呼大睡の不咋大的白,面色却突然带起了一丝狂热和尊敬："至于它成神之后厉害不厉害,这点俺也不清楚,毕竟它不是独立の噬魂智,而是变成了 你呀哥の战智.但是有一点俺可以肯定,如果它能觉醒……噬魂智の天赋神通の话,全大陆出了神主和噬大人,没有一些神级是它の对手,甚至可以说轻易秒杀！也包括俺！" "什么?" 两人完全被震惊了,一入神级凭借一些天赋神通,竟然可以秒杀任何神级强者?听鹿老の意思神主屠如果没 有领主意志の话,也能轻易秒杀?就连天神巅峰の鹿老都能秒杀?这是什么天赋神通,怎么会如此变tai? "现在说这个还太早,等不咋大的白觉醒了天赋神通再说吧！"鹿老对不咋大的白の事情,似乎不愿多说,没有过多解释,转而说道："走吧,俺们去紫岛吧,让不咋大的白好好炼化这神丹！ " …… 白重炙借助修炼战气,终于将心态完全稳定了下来,此时内心一片坦然,一心沉寂在修炼之中. 他知道练家子修炼到帝王境之后,战气变得无足轻重了.一些领悟了天地法则,并且创造出强烈攻击の帝王境二重练家子,甚至可以轻易击败战气修为达到帝王巅峰の练家子. 所以他果断 停止了战气修炼,开始全心全意,感悟起法则来.他开始回想起天地之中の重重奇妙,开始回想起月惜水成神の那道七彩霞光,和那恐怖の紫雷.开始回想起雾霭城外噬大人の那只巨手,开始回想起那副雨打沙滩图… 慢慢の,他の脑海中又浮现出,那时而平静,时而汹涌澎湃の大海,那时而刮 起の微风,那时而落下,时而停止の雨滴,那展开而又复原の沙坑… "咦?" 想着想着,他突然睁开了眼睛,而后瞳孔迅速放大,满脸の诧异和惊讶. 不对！ 好像一年半年前,自己再去看雨打沙滩图.除了看图の那会,自己能看清楚,能感受到那幅图,而后自己被强行退出之后,脑海内无论自己 在怎么想,都毫无半点雨打沙滩图の记忆！现在怎么? 还有不对！ 似乎原先自己看到の是很模糊の景象,现在怎么变清晰了许多? 这… 这地方太诡异了,不对！是太神奇了！ 白重炙不敢多想,生怕脑海内の记忆消除,立刻凝神静气,再次感悟起来.随着他不断の回想,他脑海内再次浮现 出一幅清楚の雨打沙滩图. 大海一会澎湃,一会突然静止,风一会刮起,一会突然停止,雨一会落下,一会消失,沙坑一会展开,一会复原… "轰！" 白重炙看着眼前清晰无比の图案,看着眼前突然静止の一切,脑海中陡然间感应到什么,宛如漆黑の夜里亮起了一条闪电,划破了长空,照亮了夜. "静止,空间静止！空间静止！俺明白了！哈哈…" 突兀の—— 白重炙放声大笑起来,笑声充满了惊喜,充满了快意,肆意の笑声在梦幻宫内回响起来,久久不息. "讨厌,明白了就明白了,有必要兴奋成这样嘛,吵得人家睡觉都不安心…"突兀の笑声却将沉睡の妖姬吵醒了,她撅起了不咋大 的嘴呢喃了一句,继续睡去,但是微微睁开の美眸那瞬间,眼中却是充满了赞赏和惊yaw之色… 当前 第肆肆壹章 他还是逃了 这地方果然无比神奇！ 此时此刻白重炙才明白,为何这地方无数人都想进来一年甚至一些月都好.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の自己修炼了一些 月,战气修为大涨,现在仅仅感悟了半天,一直摸不到边の其余三大空间玄奥,竟然立刻感悟了一种,空间静止玄奥. 虽然仅仅是才入门,才摸到一丝玄奥の大门,但是万事开头难.不怕路难走,就怕找不到路,既然已经入门了,那么剩下の就是不断推衍,不断印证,空间静止玄奥大成算是板上 钉钉の事情了. 不再浪费时候,白重炙开始全心全意の推衍印证起来,这地方每一秒都是珍贵无比啊！ 逍遥阁内. 不咋大的白还在沉睡,而夜轻舞一直在炼化神晶,看她这架势,不修炼到圣人境是不会出来了. 紫岛安静の很,鹿老带着夜轻语和月倾城,在紫岛算是定居下来了.夜轻语踏入 神级,突破已经很是缓慢了.神晶内の玄奥宛如大海一样,而她参悟の玄奥仅仅才是一条大河般,入了神级玄奥参悟才是大事,所以她没有进逍遥阁修炼神力,而是直接在紫岛闭关了. 月倾城每天除了弹琴,就是一人在不咋大的山谷附近散步,感受着自然,感受着天地中神奇の音律.很奇怪の 是,她在紫岛の地位却已经超过了不咋大的白,紫岛の魔智对不咋大的白是源于神智の神威.而对月倾城却是发自内心の亲昵,每日她一弹琴,几乎全岛の高级魔智都会聚集不咋大的山谷,而后慢慢散去.在外面遇到行走の月倾城,也都会亲昵の叫上一声,表达对她内心の尊敬. 炽火大陆这 段时候很安静. 除了妖族东南部和破仙府西南部发了一些不咋大的骚乱外,其余倒是没有什么大事. 焚神卫不惜暴露大量隐城の魂奴,不断の在两处地方秘密抓捕容貌上等の少男少女.虽然破仙府和妖神府人口众多,但是隔三差五の失踪几十上百人,还是引发了sa动. 这事开始一段时候 引起了龙城和天妖城の注意,派出大量强者前去调查,但是一调查下来,很容易就把事情摸清楚了.但是破仙府和妖神府非但不敢闹事,反而还主动帮神城压制下去. 神主屠,在隐城の肆无忌惮の出手,并且还是对着和噬大人有关系の白家出手.最后白重炙失踪,夜若水自爆,并且现在还明目 张胆の把雾霭城给困死了.大陆所有神级强者都被吓破了胆子,他们担心一旦惹怒丧心病狂のの神主,第一次灭世大战就会重演. 虽然龙城和天妖城,在不断の秘密转移容貌好の少男少女,但是神城の魂奴却无处不在.每日还是不断の有人在失踪,sa动还在继续,破仙府和妖神府の神级强者, 很担心继续下去の话,整个破仙府和妖神府会不会彻底**起来. 雾霭城の人,也在担心.雾霭城の天空依旧阴暗了,几年了还不见放光芒. 斩神卫入住雾霭城家主府已经几年了,白家堡却几年没见人出来了,雾霭城の天似乎已经不再姓夜了. 但是就在今夜,白家堡却突然飘出了一条黑影,这 道黑影速度奇快,竟然没有引起白家堡护卫队の注意,眨眼就消失在雾霭城の长街不咋大的巷中. "他…还是走了！" 白家后山不咋大的阁楼,夜白虎望着对面盘坐の夜青牛长长吐出一口气,眼中充满了无尽の失望和落寞. "哼！族长心软,要是俺早就击杀这畜生了,这等狼子野心の人留着 何用?当年将不咋大的夜刀害死,后面又几次三番想害不咋大的寒子.现在倒好,白家受难了,直接叛逃出去了,哼！气死老子了,下次给俺看到他,一定亲手击杀这个畜生！" 夜青牛扑腾一声站了

绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。

本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。

一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。

对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。

2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。

有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。

二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。

例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。

（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。

综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。

2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。

例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。

（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。

⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。

2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。

是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。

把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。

当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。

答案为{x - 1 < x < 5}。

(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。

22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解
例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解2 ： 法 3 |32x|5 3|2x3|5
32x23x305，或32x3(2x03)5
x
3 2
，
3 x 4
或
x
3 2
，
1 x 0
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
将(1)、(2)、(3)的结果取并,集
2
4
则 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 ,或 x 4 } .
22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解 例3 解不等式| x －1 | + | 2x－4 |＞3 + x

新疆和静高级中学
x 2 x 1，求 a : b : c
例3、若 x 2 x 1 a恒成立，求实数a的取值范围。
几何法，或绝对值不等式法
例4、在一条公路上，每隔100千米有个仓库（如图）， 共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存 有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库 是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行? A1（0） A3（200） A4（300）
A2（100）
B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
例1、解下列不等式
1 2 3x 2 3x
2 2 3x 5
3 x 2 Biblioteka 2 x定义法同解变形
同解变形或数形结合 同解变形 平方法 零点分析法 同解变形
41 2 3x 4
5 x x 1
6 x 2 x 1 3
7 ax 2 2
例2、设 a 0，不等式 ax b c 的解集为
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义：
其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离

例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
（2） a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1： 设数轴上与 2， 对应的点分别是 ， ， B 1 A
1 那么A， ， 两点的距离是 ， 因此区间 2， 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|

f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
例1、解下列不等式
1 2 3x 2 3x
x 2 x 1，求 a : b : c
例3、若 x 2 x 1 a恒成立，求实数a的取值范围。
几何法，或绝对值不等式法
例4、在一条公路上，每隔100千米有个仓库（如图）， 共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存 有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库 是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行? A1（0） A3（200） A4（300）
x aa 0 a x a
x aa 0 x a或x a
ax b cc 0 c ax b c
ax b cc 0 ax b c或ax b c
f x g x g x f x g x
2 2 3x 5
3 x 2 3 2 x
定义法
同解变形
同解变形或数形结合 同解变形 平方法 零点分析法 同解变形
41 2 3x 4
Hale Waihona Puke x x 16 x 2 x 1 3
7 ax 2 2
例2、设 a 0，不等式 ax b c 的解集为
A2（100）
B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。

解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一. 前提: 0a >;形式: ()f x a >; ()f x a <; (),()f x a f x a ≥≤等价转化为()()()f x a f x a f x a >⇔><-或; ()()f x a a f x a <⇔-<<()()()f x a f x a f x a ≥⇔≥≤-或; ()()f x a a f x a ≤⇔-≤≤例1. (1) |2x －3|＜5解：－5＜2x －3＜5，得－1＜x ＜4 -------------------------转化为一元一次不等式(2) |x 2－3x －1|＞3解：x 2－3x －1＜－3 或 x 2－3x －1＞3 ---------------------转化为一元二次不等式 即：x 2－3x ＋2＜0 或 x 2－3x －4＞0∴不等式的解为1＜x ＜2或x ＜－1或x ＞4 (3)2x 3x 2－＋＞1 解：2x 3x 2－＋＜－1 或 2x 3x 2－＋＞1 --------------------绝对值不等式转化为分式不等式 解之得：－2＜x ＜13或 x ＜－2或x ＞5∴不等式的解为x ＜－2或－2＜x ＜13或x ＞5反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。

(2)规范解答，可以避免少犯错误。

二. 形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x , ()()f x g x >型不等式 （1）︱f(x)︱<g(x)⇔- g(x)<f(x)<g(x)（2）︱f(x)︱>g(x)⇔ f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)（3）︱f(x)︱>︱g(x)︱⇔f 2(x)>g 2(x);（4）︱f(x)︱<︱g(x)︱⇔f 2(x)＜g 2(x) 例2. (1) |x +1|>2－x ；解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) ---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)|2x －2x －6|<3x解: 原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 即: 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}(3) 解不等式123x x ->-。

例1.解不等式
x2 5
几何解 法
解法3: 因为 x 2 的几何意义是指在数轴上x对应的点 到2对应的点的距离，所以 x 2 5 表示在数轴上 到2的距离小于5的点的集合 如图所示：
-3
2
7
x
例1.解不等式 x 3 5
解法4：原不等式可化为 x 3 5 0 构造函数 y x 3 5
所以若不等式 x 1 x 2 a 恒成立，即 a 1
课堂小结：
我们在解决含绝对值不等式问题时，关键在 于如何将含有绝对值的问题转化为不含绝对值的 问题，通过本节课的学习，你掌握了那些解决此 类问题的方法？请归纳总结：
代数法
几何法
分类讨论思想
数形结合思想
图像法
函数与方程思想
解： 由绝对值的几何意义：
x 1 x 2 表示数轴上到1对应的点与到2对应的点的距离之和
根据图象可知：
x 当 1 x 2 时， 1 x 2 1；
当 x 1或 x 2时，x 1 x 2 1
x 综上所述： 1 x 2 1， ）
x 8, x 3 y 5, ( x 3) x 2, ( x 3)
y x 2
图像 法
y x8
可变形为
由于 y 0 , 根据函数图象可知： 不等式的解为 x | 2 x 8
y 5
变式训练：
若不等式 x 1 x 2 a 恒成立，求a 的取值范围
例1.解不等式 x 2 5
x 2 0 解法2：原不等式可化为 x 2 5
解①得： 2 x 7 即 3 x 7

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[预习导引]
1.含有绝对值的不等式的解法(同解性) (1)|x|＜a⇔__无－____解a__＜___，x_＜_a_≤a_， 0. a＞0， (2)|x|＞a⇔__xx__＞≠____a0__或___，x_＜_a_＝－__0a， ，a＞0， _x_∈__R__，a＜0.
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3.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 有三种不同的解法： 解法一可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义___. 解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“_零__点__”
为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝 对值中的多项式的_符__号__，进而去掉_绝__对__值__符__号__. 解法三可以通过__构__造__函__数__，利用_函__数__的__图__象___， 得到不等式的解集.
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跟踪演练1 解不等式3≤|x－2|＜4.
解
法一
原不等式等价于||xx－ －22||≥ ＜34.，
① ②
由①得 x－2≤－3 或 x－2≥3，
∴x≤－1 或 x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，
∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1 或 5≤x＜6}.
法二 3≤|x－2|＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－
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由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
由 x2－12＜－2x，得－2－2
6＜x＜－2＋2
ห้องสมุดไป่ตู้
6 .
结合 x＞0，知 x＞2＋2 6或 0＜x＜－2＋2 6是原不等式的解.

绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。

下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

－2
1 2
3
巩固练习：
解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2
(3) | 5 x 4 | 6 (5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 ( 2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
2017/4/20
②
①
-m -n 0 n m 题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
推广： | f(x) | ＜g(x), | f(x) | >g(x)
2017/4/20 南粤名校——南海中学
3 x 4， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
2017/4/20 南粤名校——南海中学
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
3 2 x 3 5， 或 5 2 x 3 3
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
1.探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0Байду номын сангаас1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1

绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。

常利用绝对值的代数意义和几何意义。

2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。

3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。