2016高中数学人教A版必修5课时作业23一元二次不等式及其解法

3.2 一元二次不等式及其解法(一)课时目标1．会解简单的一元二次不等式．2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ；(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示： 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 (－∞，x 1)∪(x 2，＋∞){x |x ∈R 且x ≠－b2a}Rax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，c a＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________． 答案 {x |x <－2或x >3}8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．答案 {x |x <1－52或x >1＋52}解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－b a －13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．【能力提升】13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0∴0<x <2a 1.14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．。

§3.2 一元二次不等式及其解法(一)一、选择题1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A.{x |x <－1或x >2}B.{x |x ≤－1或x ≥2}C.{x |－1<x <2}D.{x |－1≤x ≤2}2.若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t 3.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A.{x |x ≠－2}B.RC.∅D.{x |x <－2或x >2} 4.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >－lg 2}B.{x |－1<x <－lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}5.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.(－2,2)B.(－2,2]C.(－∞，－2)∪[2，＋∞)D.(－∞，2)6.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3，＋∞)B.(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1,3)二、填空题7.不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是___________________________________.8.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________.9.已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________.10.不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集为_______________________________________.三、解答题11.解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.12.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集.13.解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.参考答案1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}8.【答案】－2<m <29.【答案】k ≤2或k ≥410.【答案】{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}【解析】原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}.11.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以(1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}；(2)当a ＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }.12.解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧ －13＋2＝－b a ，－13×2＝c a .∴b ＝－53a ，c ＝－23a . ∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为 ⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3. ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3. 13.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}.(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)·(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2. ①当0<a <1时，2a>2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2；②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}； ③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a <x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2a 或x <2； a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。

3.2 一元二次不等式及其解法第1课时 一元二次不等式及其解法课后篇巩固提升基础巩固1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(2,+∞) C.(-2,3) D.(-3,2)x 2+x-6>0,即(x+3)(x-2)>0,所以x>2或x<-3,即解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).2.已知集合M={x|0≤x<2},N={x|x 2-2x-3<0},则M ∩N=( ) A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x ≤1} D.{x|0≤x ≤2}N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3},M={x|0≤x<2},所以M ∩N={x|0≤x<2}.3.若函数f (x )=x -4mx 2+4mx+3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,34)B.[0,34)C.(34,+∞) D.(-34,34)mx 2+4mx+3≠0对一切x ∈R 恒成立.当m=0时,显然成立;当m ≠0时,应有Δ=16m 2-12m<0,解得0<m<34.综上,实数m 的取值范围是[0,34).4.关于x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(12,+∞)D.(-1,12)x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,所以f (1)=2+a-a 2>0,即a 2-a-2<0,解得-1<a<2.5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x|x<1或x>2},则f (x-2)>0的解集为( ) A.{x|1<x<2} B.{x|3<x<4} C.{x|-1<x<0}D.{x|x<3或x>4}f (x )>0的解集为{x|1<x<2},则由f (x-2)>0可得1<x-2<2.即3<x<4.故f (x-2)>0的解集为{x|3<x<4}.6.二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:则不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .y=ax 2+bx+c (x ∈R )的草图如图.由图象得不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.x|x<-2或x>3}7.若关于x 的不等式组{x -1>a 2,x -4<2a解集不是空集,则实数a 的取值范围是 .{x >1+a 2,x <4+2a ,要使不等式组的解集不是空集,应有a 2+1<4+2a ,即a 2-2a-3<0,解得-1<a<3.1<a<38.若关于x 的不等式m (x-1)>x 2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数m 的值为 .1和2是关于x 的方程m (x-1)=x 2-x ,即x 2-(m+1)x+m=0的两根,所以{1+2=m +1,1×2=m ,解得m=2.9.解不等式0≤x 2-x-2≤4.{x 2-x -2≥0,x 2-x -2≤4.①②解①得x ≤-1或x ≥2; 解②得-2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x|x ≤-1或x ≥2}∩{x|-2≤x ≤3}={x|-2≤x ≤-1或2≤x ≤3}.10.已知函数y=√ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围.(2)若函数的最小值为√22,解关于x 的不等式x 2-x-a 2-a<0.因为函数y=2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax+1≥0恒成立. 当a=0时,1≥0,不等式恒成立; 当a ≠0时,则{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,0≤a ≤1.(2)因为函数的最小值为√22,所以y=ax 2+2ax+1的最小值为12,因此4a -4a 24a=12,解得a=12.于是不等式可化为x 2-x-34<0,即4x 2-4x-3<0,解得-12<x<32.故不等式x 2-x-a 2-a<0的解集为{x |-12<x <32}.能力提升1.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是 ( )A.(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12) C.(-∞,-12)∪(32,+∞)D.(-12,32)f (x )>0,即(ax-1)(x+b )>0.因为其解集是(-1,3),所以{a <0,1a =-1,-b =3,解得{a =-1,b =-3,于是f (x )=(-x-1)(x-3),所以不等式f (-2x )<0,即为(2x-1)(-2x-3)<0,解得x>12或x<-32.2.若关于x 的不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为( ) A.0B.-2C.-52D.-3ax ≥-(x 2+1),x>0,得a ≥-(x +1x ).∵x ∈(0,12],∴由y=x+1x 的单调性可知,y=x+1x 的最小值为12+2=52,∴a ≥-52.3.若关于x 的不等式3kx 2+k+8<(13)-6kx的解集为空集,则实数k 的取值范围是( )A.0<k<1B.0≤k<1C.0≤k ≤1D.0<k ≤13kx2+k+8<36kx ,即kx 2-6kx+k+8<0的解集为空集.若k=0,不等式即为8<0,解集为空集,符合题意;若k ≠0,要使不等式的解集为空集,应有{k >0,(-6k )2-4k (k +8)≤0,解得0<k ≤1.故实数k 的取值范围是0≤k ≤1.4.函数y=2的定义域为 .-x 2-3x+4>0,即x 2+3x-4<0,解得-4<x<1.故函数的定义域为(-4,1).-4,1)5.已知当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立,则m 的取值范围是 .f (x )=x 2+mx+4,要使x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立, 则有{f (1)≤0,f (2)≤0,即{1+m +4≤0,4+2m +4≤0.解得m ≤-5.-∞,-5]6.对于实数x ,当n ≤x<n+1(n ∈Z )时,规定[x ]=n ,则不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为 .t=[x ],则不等式化为4t 2-36t+45<0,解得32<t<152.而t=[x ],所以32<[x ]<152.由[x ]的定义可知x 的取值范围是2≤x<8,即不等式的解集为{x|2≤x<8}.x|2≤x<8}7.若关于x 的不等式ax 2+3x-1>0的解集是{x |12<x <1}. (1)求a 的值;(2)求不等式ax 2-3x+a 2+1>0的解集.由题意可知方程ax 2+3x-1=0的两个实数根为12和1,且a<0,则12+1=-3a ,12×1=-1a ,解得a=-2.(2)由(1)知不等式ax 2-3x+a 2+1>0即为-2x 2-3x+5>0,即2x 2+3x-5<0. 因为2x 2+3x-5=0有两根为x 1=1,x 2=-52, 所以不等式的解集为{x |-52<x <1}. 8.已知函数f (x )=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围; (2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.f (x )≥a ,即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2.故a 的取值范围为-6≤a ≤2.(2)当x ∈[-2,2]时,设g (x )=x 2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论:①当-a2≤-2,即a ≥4时,g (x )在[-2,2]上单调递增,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-2)=7-3a ,因此{a ≥4,7-3a ≥0,无解; ②当-a2≥2,即a ≤-4时,g (x )在[-2,2]上单调递减,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (2)=7+a ,因此{a ≤-4,7+a ≥0,解得-7≤a ≤-4;③当-2<-a2<2,即-4<a<4时,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-a 2)=-a 24-a+3, 因此{-4<a <4,-a 24-a +3≥0,解得-4<a ≤2.综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2.。

3.2 一元二次不等式及其解法（一）1.下面所给关于x的几个不等式：①3x+4＜0；②x2+mx ﹣1＞0；③ax2+4x﹣7＞0；④x2＜0．其中一定为一元二次不等式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2. 设函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x2﹣5，则不等式g（f（x））＞22的解集为．3. 已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}．②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0．③“若M={﹣1，0，1}，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题．④若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．4. 函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）5. 集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}6. 已知集合M={x|x＞x2}，N={y|y=，x∈M}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜} B．{x|＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}7. 二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是全体实数的条件是（）A．B．C．D．8. 不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣4，2）D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）9. “已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式c x2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（）2+b（）+c＞0的解集为（，1），即关于x的不等式c x2+bx+a＞0的解集为（，1）．参考上述解法：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式﹣＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣）∪（，1）C．（﹣∞，﹣）∪（，1）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10. （1）求函数f（x）=的定义域．（2）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求函数f（x2）的定义域（3）已知函数f[lg（x+1）]的定义域是[0，9]，求函数f（2x）的定义域．参考答案1. 【解析】不等式①3x+4＜0是一元一次不等式；②x2+mx﹣1＞0是一元二次不等式；③ax2+4x﹣7＞0，当a=0时，是一元一次不等式，当a≠0时，是一元二次不等式；④x2＜0是一元二次不等式；∴一定为一元二次不等式的有②④2个；故选：B．2. 【解析】∵函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x2﹣5，∴g（f（x））=3[f（x）]2﹣5=3（2x+3）2﹣5=12x2+36x+22．则不等式g（f（x））＞22化为12x2+36x+22＞22．即12x2+36x＞0．解得x＜﹣3或x＞0．∴不等式g（f（x））＞22的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．3. 【解析】①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，当a＜0时，不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}．a＞0时不正确．②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0．正确．③“若M={﹣1，0，1}，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题，原命题不成立，那么它的逆否命题也不正确．④若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，且a+b≥0，则a≥﹣b，所以f（a）≥f（﹣a），b≥﹣a 所以f（b）≥f（﹣b），所以f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．正确．故答案为：②④4.【解析】：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选D．5. 【解析】集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．6. 【解析】对于集合：M：由x＞x2，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}．∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4∴.．∴N={y|}．∴M∩N={x|}．故选B．7. 【解析】∵二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是全体实数，∴，故选B．8. 【解析】对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8 即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）故选C9. 【解析】根据题意，由+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），得+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），即﹣＞0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．故选：B．10. 【解析】（1）∵函数f（x）=，∴解得，即﹣3＜x＜0，或2＜x＜3，∴f（x）的定义域是（﹣3，0）∪（2，3）；（2）∵函数f（x）的定义域为[0，1]，令x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，0]，或x∈[0，1]，∴函数f（x2）的定义域是[﹣1，0]∪[0，1]；（3）∵函数f[lg（x+1）]的定义域是[0，9]，∴x∈[0，9]，∴x+1∈[1，10]，∴lg（x+1）∈[0，1]，令2x∈[0，1]，解得x∈（﹣∞，0]，∴函数f（2x）的定义域是（﹣∞，0]．。

3.2 一元二次不等式及其解法（二）1.设集合M={a，a+1}，N={x∈R|x2≤4}，若M∪N=N，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）2. 已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A．{x|x＞5a或x＜﹣a} B．{x|﹣a＜x＜5a} C．{x|x＜5a或x＞﹣a} D．{x|5a＜x＜﹣a}3.若max{s1，s2，…，s n}表示实数s1，s2，…，s n中的最大者．设A=（a1，a2，a3），，记A⊗B=max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A=（x﹣1，x+1，1），，若A⊗B=x﹣1，则x的取值范围为（）A．B．C．D．4. 若不等式x2+2x﹣3≥0的解集是（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|x≤﹣3或x≥1}C．{x|x≥1}D．{x|x≤﹣3}5. 不等式的（x﹣2）（2x﹣3）＜0解集是（）A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．R C．（，2）D．φ6. 设关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜1}，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17. 设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜68. 若关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，对于任意的t∈[1，2]，函数f（x）=ax3+（m+）x2﹣c x在区间（t，3）上总不是单调函数，m的取什值范围是（）A．﹣＜m＜﹣3 B．﹣3＜m＜﹣1 C．﹣＜m＜﹣1 D．﹣3＜m＜09. 不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，则m，n的值分别是（）A．2，12 B．2，﹣2 C．2，﹣12 D．﹣2，﹣1210. 不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}参考答案1.【解析】：由N={x∈R|x2≤4}={x∈R|﹣2≤x≤2}，又M∪N=N，则，解得：﹣2≤a≤1．∴实数a的取值范围为﹣2≤a≤1．故选：B．2. 【解析】不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．3. 【解析】由A=（x﹣1，x+1，1），，得到A⊗B=max{x﹣1，（x+1）（x﹣2），|x﹣1|}=x﹣1，则，化简得，由①解得：1﹣≤x≤1+；由②解得x≥1，所以不等式组的解集为1≤x≤1+，则x的取值范围为[1，1+]故选B4.【解析】不等式x2+2x﹣3≥0可化为（x+3）（x﹣1）≥0，解得x≤﹣3，或x≥1；∴不等式的解集是{x|x≤﹣3或x≥1}．故选：B．5.【解析】∵不等式（x﹣2）（2x﹣3）＜0，解得＜x＜2；∴不等式的解集是（，2）故选：C．6.【解析】∵关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）的解集为{x|﹣1＜x＜1}，∴对应一元二次方程（ax﹣1）（x+1）=0的两个实数根为﹣1和1，∴x==1，或x=﹣1；∴a=1；即a的值是1．故选：D．7. 【解析】关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2b x﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．8. 【解析】∵关于x的不等式x2+ax﹣c＜0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴，解得a=1，c=2；∴f（x）=ax3+（m+）x2﹣c x=x3+（m+）x2﹣2x，求导得f′（x）=3x2+（2m+1）x﹣2；又∵对于任意的t∈[1，2]，f（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，∴f′（x）在（2，3）上有零点，∴f′（2）f′（3）＜0，即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，解得﹣＜m＜﹣3，∴m的取什值范围是﹣＜m＜﹣3．故选：A．9. 【解析】∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}，∴一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根为3，﹣2．由根与系数关系得：，解得：m=﹣2，n=﹣12．故选：D．10. 【解析】不等式﹣x2+3x+4＜0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，可化为：或，解得：x＞4或x＜﹣1，则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．故选B．。

【高考调研】2021年高中数学 课时作业23 一元二次不等式及其解法（第1课时）新人教版必修51．不等式2x ＋3－x 2＞0的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－3＜x ＜1} C ．{x |x ＜－1或x ＞3} D ．{x |x ＜3}答案 A解析 不等式为x 2－2x －3<0，而(x －3)(x ＋1)<0， ∴－1<x <3.2．假设0＜m ＜1，那么不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为( )A ．{x |1m＜x ＜m }B ．{x |x ＞1m或x ＜m }C ．{x |x ＞m 或x ＜1m}D ．{x |m ＜x ＜1m}答案 D解析 当0<m <1时，m <1m.3．设集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，那么有M ∩N ＝( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0≤x ＜2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}答案 B解析 N ＝{x |－1<x <3}，结合数轴．4．不等式63x 2－2mx ＜m 2(m ≠0)的解集为( ) A ．{x |－m 9＜x ＜m 7}B ．{x |m7＜x ＜－m9} C ．{x |x ＜－m 9或x ＞m7}D ．m ＞0时为{x |－m 9＜x ＜m 7}，m ＜0时为{x |m 7＜x ＜－m9}答案 D解析 注意m 的符号不定这一情形．5．集合A ＝{x |x 2－1＞0，x ∈R }，集合B ＝{x |x 2＋x －2＞0，x ∈R }，那么A 、B 的关系是( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ⃘B 或B ≠A答案 B6．已知A ＝{x |x 2－3x －4≤0，x ∈Z }，B ＝{x |2x 2－x －6＞0，x ∈Z }，那么A ∩B 的真子集个数为( )A ．2B ．3C ．7D ．8答案 B解析 A ＝{x |(x －4)(x ＋1)≤0，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |(2x ＋3)(x －2)>0，x ∈Z }＝{x |x <－32或x >2，x ∈Z }，∴A ∩B ＝{3,4}，其真子集个数为22－1＝3.7．假设不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，那么b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10答案 B8．假设A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，那么实数a 的集合为( ) A ．{a |0<a <4} B ．{x |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 (1)假设a ＝0，显然符合题意，排除A 、C.(2)假设a ＝4，A ＝{x |4x 2－4x ＋1<0}＝{x |(2x －1)2<0}＝∅，符合题意，应选D. 9．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A ．{x |－12<x ≤0或1≤x <32}B ．{x |x ≤0或x ≥1}C ．{x |－12<x <32}D ．{x |x ≤－12或x ≥32}答案 A解析 化归成解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3<4x －4x24x －4x 2≤0.10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为取得最大利润，售价应定为( )A ．每一个95元B ．每一个100元C ．每一个105元D ．每一个110元答案 A11．已知a >0，那么不等式x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋1>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <－(a ＋1)} B ．{x |x >－1，或x <－(a ＋1)} C ．{x |x <－1，或x >－(a ＋1)} D ．{x |－(a ＋1)<x <－1} 答案 B解析 不等式可化为(x ＋1)·[x ＋(a ＋1)]>0，∵a >0，∴－1>－(a ＋1)，∴x >－1或x <－(a ＋1)．选B. 12．不等式－4<x 2－5x ＋2<26的整数解为________． 答案 {－2，－1,0,1,4,5,6,7} 解析 解不等式组{ x 2－5x ＋2>－4，x 2－5x ＋2<26.求出解集为{x |－3<x <2且3<x <8}， 即得x ∈{－2，－1,0,1,4,5,6,7}． 13．解不等式： (1)(x ＋3)(2－x )≤4； (2)(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0； (3)x 4＋3x 2－10<0.解析 (1)(x ＋3)(2－x )≤4⇔(x ＋3)(x －2)≥－4 ⇔x 2＋x －6≥－4⇔x 2＋x －2≥0⇔(x ＋2)(x －1)≥0.∴原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥1}． (2)∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0. 即解不等式x 2－x －1>0.由求根公式知x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是{x |x <1－52或x >1＋52}． ∴原不等式的解集为{x |x <1－52或x >1＋52}．(3)原不等式的解集为{x |－2<x <2}．14．解不等式32(－x 2＋53)≥12(x 2－9)－3x .解析 原不等式可化为－32x 2＋52≥12x 2－92－3x ，即2x 2－3x －7≤0.解方程2x 2－3x －7＝0，得x 1,2＝3±654.因此原不等式的解集为{x |34－654≤x ≤34＋654}．15．已知函数y ＝(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k )x ＋3的图像都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．思路分析 由于参数k 处于系数的位置上，因此第一要对二次项系数、一次项系数是不是为零进行讨论．解析 (1)当k 2＋4k －5＝0时，k ＝－5或k ＝1.若k ＝－5，那么y ＝24x ＋3的图像不可能都在x 轴的上方． 若k ＝1，那么y ＝3的图像都在x 轴的上方． (2)当k2＋4k －5≠0时，那么所给二次函数应知足⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋4k －5＞0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋5k －1＞0k －1k －19＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜－5，或k ＞11＜k ＜19，解得1＜k ＜19.综上所述，1≤k ＜19.16．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，咱们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 之内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对．同时刹车，但仍是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝＋，s 乙＝＋.问：超速行驶应负要紧责任的是谁？ 解析 由题意列出不等式组错误!别离求解，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－40或x >30x <－50或x >40，由于x >0，从而可得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h. 答：经比较知乙车超过限速，应负要紧责任．。

3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0) {x |x< x 1或x>x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a }R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0) {x |x 1<x <x 2}∅∅2．节分是不等式的同解变形法则：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≤0g x ≠0；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －12≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D 解析x ＋5x －12≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，gx <0的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，g x <0的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解 由题意可列不等式如下：⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2， ∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －1·－2＋x 2－2x ＋1>0，x －1·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。