一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
课堂练习基础练习一、选择题:1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.三、解答题1.(2003·安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004·济南)已知抛物线y=- 12x2+(6- 2m)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.四、课后作业1.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）（0，3），对称轴x= -1。
二次函数抛物线的画法二次函数也叫做抛物线，是一种非常常见的函数形式。
在图像上，抛物线看起来像是一个U形的弧线，如果我们了解了如何画二次函数抛物线，便能够更好地理解二次函数的性质和应用。
下面我将为大家介绍如何画二次函数抛物线。
二次函数可以写成$f(x)=ax^2+bx+c$的形式，其中a,b,c是常数，x 是自变量。
这个函数的图像就是抛物线，形状和方向由a确定：1. 当a>0时，抛物线开口向上，最低点在y轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，最高点在y轴下方。
画二次函数抛物线的步骤：步骤1：求出抛物线的顶点坐标二次函数求导得到一次函数，一次函数的零点就是抛物线的顶点。
设$f(x)=ax^2+bx+c$，求导得到$f'(x)=2ax+b$，令$f'(x)=0$，得到$x=-\frac{b}{2a}$，这就是抛物线的对称轴上的顶点坐标。
步骤2：求出抛物线与x轴的交点当抛物线与x轴相交时，$f(x)=0$，解出x的值即可。
方程形如$ax^2+bx+c=0$，使用求根公式即可得到x的解。
如果没有实数解，说明抛物线与x轴没有交点。
步骤3：根据顶点坐标和x轴交点画出抛物线如果a>0，则抛物线开口向上，最低点在顶点坐标处。
我们可以在顶点坐标处画一个小圆圈，然后向左右两边分别画一条曲线，曲线过x轴的两个交点与顶点的连线的交点即是抛物线的对称轴上的两个点。
最后填充抛物线之间的区域。
如果a<0，则抛物线开口向下，最高点在顶点坐标处。
画图的方法与上述类似，只是箭头朝下即可。
通过以上步骤，我们就可以画出标准的二次函数抛物线。
当然，如果有一些特殊问题，如抛物线与x轴交点个数等，需要适当地调整上述步骤。
总之，掌握二次函数抛物线的画法，能够帮助我们更好地理解二次函数的性质和应用，同时也是数学学习的必备技能。
