二次函数的图像及画法

探索二次函数的图象与性质知识点一、二次函数2x y =的图象的画法（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取4个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为 ，纵坐标 ，所以只计算y 轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x 一般取整数。

（2）描点：先将y 轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y 轴左侧的两个对称点。

（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。

二、二次函数2x y =与2x y -=的图象和性质1.二次函数2x y =的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y 轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）2.二次函数2x y -=的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y 轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）3.图象和性质三、二次函数)0(2≠=a ax y 图象的画法（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取几个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y 轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x 一般取整数。

（2）描点：先将y 轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y 轴左侧的两个对称点。

（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。

注意：①用描点法作图的图象只是整个图象的一部分，是近似的，由于x 可以取一切实数，所以图象是向两个方向无限延伸的。

②要用光滑的曲线连接各点，不要画的太尖或太平。

四、二次函数)0(2≠=a ax y 图象的性质注：a 的绝对值决定抛物线的形状和开口大小：a 相同，抛物线的形状和开口大小 ；a 越大，抛物线开口 。

五、二次函数）（02≠+=a k ax y 的图象与性质二次函数）（02≠+=a k ax y 的图象是一条抛物线，图象可由抛物线）（02≠=a ax y 向上（或向下）平移而得到.当k ＞0时，抛物线）（02≠=a ax y 向上平移__________个单位得到）（02≠+=a k ax y 的图象. 当k ＜0时，抛物线）（02≠=a ax y 向下平移__________个单位得到）（02≠+=a k ax y 的图象.拓展：（1）k 决定抛物线）（02≠+=a k ax y 顶点在y 轴上的位置：①当k ＞0时，顶点在y 轴的__________上；②当k=0时，顶点是__________，此时抛物线是____________________； ③当k ＜0时，顶点在y 轴的__________上.（2）抛物线）（02≠+=a k ax y 的对称轴是__________，对称轴是y 轴的抛物线的关系式是_____________.六、二次函数）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象和性质二次函数）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象是一条抛物线，图象可由抛物线）（02≠=a ax y 向左（或向右）平移而得到.当h ＞0时，抛物线）（02≠=a ax y 向右平移__________个单位得到）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象. 当h ＜0时，抛物线）（02≠=a ax y 向左平移__________个单位得到）（）（0,2≠-=a h x a y 的图象.拓展：抛物线）（）（0,2≠-=a h x a y 的顶点在__________上，顶点在x 轴上的抛物线的关系式是_____________.题型一 二次函数)0(2≠=a ax y 的性质比较函数值大小【例1】例1.已知1-<a ，点),1(),,(),,1(321y a y a y a +-都在2x y =的图像上，则（ ） A.321y y y << B .231y y y << C .123y y y << D .312y y y <<【例2】下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y =-2x 2的图象上的是 . 【例3】已知点),3(),,1(),,3(321y C y B y A --在抛物线232x y =上，则（ ） A .321y y y << B .321y y y >> C .231y y y <= D .312y y y =< 【过关练习】1.已知A （m ,a ）和B （n ,a ）两点都在抛物线2x y =上，则m ,n 之间的关系正确的是（ ） A.m =n B .m +n =0 C .m +n >0 D .m +n <02.已知函数25x y -=的图象上有三个点),(),,)(,(332211y x y x y x ，若0321>>>x x x 则321,,y y y 的大小关系为 。

第08讲二次函数定义、图像与性质（7大考点）考点考向一．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．二．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．三．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x ＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x ＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．四．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．五．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．六．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．七．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝时，y ＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x ＝时，y ＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．考点精讲一．二次函数的定义（共5小题）1．（2021秋•淮阴区期末）函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m ＝．2．（2022秋•启东市校级月考）函数是关于x的二次函数，求m的值．3．（2022秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝x（﹣x+1）B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．y＝（x﹣1）2﹣x24．（2022秋•通州区校级月考）已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．5．（2022•宿豫区开学）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？二．二次函数的图象（共1小题）6．（2022秋•海安市月考）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．三．二次函数的性质（共6小题）7．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝28．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的顶点坐标是（）A．（1，4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）9．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致是（）A．B．C．D．10．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（2021秋•灌南县期末）在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+2x+1C．y＝﹣2x2+x D．y＝﹣0.5x2+x12．（2021秋•邗江区期末）已知函数y＝x2﹣2kx+k2+1．（1）求证：不论k取何值，函数y＞0；（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标．四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）13．（2022•南京一模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．b＜0，c＞0B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0D．b＜0，c＜014．（2022•天宁区校级一模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜015．（2022•仪征市二模）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，若（m+1）a+b＞0，则m的取值范围是．16．（2022秋•通州区校级月考）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．417．（2022•灌南县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是．18．（2021秋•南京期末）已知函数y1＝x+1和y2＝x2+3x+c（c为常数）．（1）若两个函数图象只有一个公共点，求c的值；（2）点A在函数y1的图象上，点B在函数y2的图象上，A，B两点的横坐标都为m，若A，B两点的距离为3，直接写出满足条件的m值的个数及其对应的c的取值范围．五．二次函数图象上点的坐标特征（共8小题）19．（2022秋•启东市校级月考）已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于．20．（2021秋•淮阴区期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣2，5）和（1，﹣4），求b、c的值．21．（2022•武进区校级一模）已知点（2，y1）与（3，y2）在函数的图象上，则y1、y2的大小关系为．22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．23．（2021秋•盐都区期末）如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D 在x轴上．（1）求点A的坐标；（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．24．（2022•溧阳市模拟）抛物线y＝x2上有三个点A、B、C，其横坐标分别为m、m+1、m+3，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．425．（2022•常熟市模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）A．m＝B．m＝C．m＝1D．m＝426．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4与y轴的交点坐标是．六．二次函数图象与几何变换（共8小题）27．（2022•天宁区模拟）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+128．（2022秋•如皋市校级月考）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 29．（2022•钟楼区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为．30．（2022秋•启东市校级月考）在同一平面直角坐标系中，将函数y＝x2+1的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2单位，得到的图象的顶点坐标是．31．（2022•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是．32．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．33．（2022•泗洪县一模）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式．34．（2021秋•仪征市期末）已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．七．二次函数的最值（共6小题）35．（2022•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x﹣（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x ﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是．36．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为．37．（2022•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为．38．（2022•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为．39．（2022•高邮市模拟）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S．（1）当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝；（2）在点P、Q的运动过程中，①若S ＝，求AP的长；②求S的最大值．40．（2022•宿豫区开学）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB 边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．（1）几秒时，PQ的长度为3cm？（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？（3）当t（0＜t＜5）为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．巩固提升一．选择题（共13小题）1．（2022•武进区一模）二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（1，3）2．（2022秋•启东市校级月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝3．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．图像经过点（﹣1，﹣4）D．x＞0时，y随x的增大而增大4．（2022秋•通州区校级月考）已知两点A（﹣5，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y0≥y2＞y l，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣2B．x0＜﹣2C．﹣5＜x0＜1D．﹣2＜x0＜15．（2022•吴中区模拟）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（）A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣16．（2022•宿豫区校级开学）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y17．（2022秋•启东市校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（）A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜08．（2022秋•启东市校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A．2B．3C．4D．59．（2022•工业园区校级二模）在平面直角坐标系，xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx （a＞0）上，已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，则y1，y2，y3的大小为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y210．（2022秋•通州区校级月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y211．（2022秋•如皋市校级月考）若A（m+1，y1）、B（m，y2），C（m﹣2，y3）为抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a ＜0）上三点，且总有y2＞y3＞y1，则m的取值范围是（）A．m＞2B．C．D．m＞312．（2022•宿豫区开学）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．413．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．B．C．D．2二．填空题（共9小题）14．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，则当x时，y随x增大而增大．15．（2022秋•通州区校级月考）抛物线y＝﹣3x2+4x﹣3开口方向是．16．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．17．（2021秋•灌南县期末）关于x的函数y＝（m+2）是二次函数，则m的值是．18．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y 的取值范围是．19．（2022秋•启东市校级月考）对于两个实数，规定min{a，b}表示a，b中的较小值，当a≥b时，min{a，b}＝b，当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．则函数y＝min{x2+2x+2，﹣x2+2}的最大值是．20．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为．21．（2022秋•通州区校级月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．22．（2022秋•通州区校级月考）二次函数y＝（x+1）2﹣5，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值是2m，最大值是2n，则m﹣n＝．三．解答题（共3小题）23．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为；②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为；③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为．（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．24．（2022•宿豫区开学）已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．25．（2022秋•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2．求出k的取值范围；（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．。

二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。

3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数得概念与图像1、二次函数得概念一般地,如果,那么y叫做x 得二次函数。

叫做二次函数得一般式。

2、二次函数得图像二次函数得图像就是一条关于对称得曲线,这条曲线叫抛物线。

抛物线得主要特征:①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。

3、二次函数图像得画法---五点法:二、二次函数得解析式二次函数得解析式有三种形式:(1)一般式:(2)顶点式:(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根与存在时,根据二次三项式得分解因式,二次函数可转化为两根式。

如果没有交点,则不能这样表示。

三、抛物线中,得作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中得完全一样、(2)与共同决定抛物线对称轴得位置、由于抛物线得对称轴就是直线,故:①时,对称轴为轴所在直线;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧、(3)得大小决定抛物线与轴交点得位置、当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴、以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立、如抛物线得对称轴在轴右侧,则、四、二次函数得性质1、二次函数得性质一元二次方程得解就是其对应得二次函数得图像与x轴得交点坐标。

因此一元二次方程中得,在二次函数中表示图像与x轴就是否有交点。

当>0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当<0时,图像与x轴没有交点。

补充:函数平移规律:左加右减、上加下减六、二次函数得最值如果自变量得取值范围就是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。

如果自变量得取值范围就是,那么,首先要瞧就是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内得增减性,如果在此范围内,y随x得增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x得增大而减小,则当时,,当时,。

典型例题1、已知函数,则使y=k成立得x值恰好有三个,则k得值为( )A.0B.1C.2D.32、如图为抛物线得图像,A、B、C为抛物线与坐标轴得交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确得就是( )A.a＋b=－1B. a－b=－1C. b<2aD. ac<03、二次函数得图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中得大致图象就是( )、4、 如图,已知二次函数得图象经过点(－1,0),(1,－2),当随得增大而增大时,得取值范围就是 .5、 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y 轴得交点旋转180°,所得抛物线得解析式就是( ).A. B.C. D.6、 已知二次函数得图像如图,其对称轴,给出下列结果①②③④⑤,则正确得结论就是( )A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤ 7.x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知,下列说法中正确得就是 .(①抛物线与轴得一个交点为(3,0); ②函数得最大值为6;③抛物线得对称轴就是; ④在对称轴左侧,随增大而增大.8、 如图,在平面直角坐标系中,O 就是坐标原点,点A 得坐标就是(－2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 得面积; (2)若抛物线经过点A . ①求c 得值;②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到得抛物线顶点落在△OAB 得内部(不包括△OA B 得边界),求m 得取值范围(直接写出答案即可).9.已知二次函数y =14 x 2+ 32x 得图像如图.(1,-2)-1(1)求它得对称轴与x 轴交点D 得坐标;(2)将该抛物线沿它得对称轴向上平移,设平移后得抛物线与x 轴、y 轴得交点分别为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线得解析式;(3)设(2)中平移后得抛物线得顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断直线CM 与⊙D 得位置关系,并说明理由.10、 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB ＝10,以AB 为直径得⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC 、CD 就是⊙O′得切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD ＝,抛物线过A ,B ,C 三点、(1)求证:∠CAD ＝∠CAB ; (2)①求抛物线得解析式;②判定抛物线得顶点E 就是否在直线CD 上,并说明理由;(3)在抛物线上就是否存在一点P ,使四边形PBCA 就是直角梯形、若存在,直接写出点P得坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由、11、 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 就是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 就是BC 得中点,A 、B 、D 三点得坐标分别就是A (-1,0),B ( -1,2),D ( 3,0),连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线得解析式(2)抛物线上就是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 得坐标;若不存在.请说明理由。

二次函数是九年级上学期第三章的内容，包括二次函数的概念及其图像．基本要求是理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数的图像，会用二次函数的解析式来表达相应的抛物线，并掌握二次函数2y ax=的图像平移得到二次函数2y ax c=+、()2y a x m=+和()2y a x m k=++的图像的规律．重点是二次函数的图像的特征及画法．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念及图像内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲2 / 18【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =-B ．2y ax bx c =++C ．221s t =+D ．21y x x=+【例2】 二次函数23y x =--中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．【例3】 二次函数2321y x x =--，当1x =-时，y = ______；当x = ______时，y = 0．【例4】 当m ______时，函数()()22423y m x m x =-+-+是二次函数．【例5】 用一根80 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，求它的最大面积．请设变量，并列出函数解析式：______________________________________________________．【例6】 已知二次函数2y x bx c =++，当x = 0时，y = 1；当x = 2时，1y =-．求当3x =-时y 的值．例题解析ABCDE【例7】 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点（1，1），则1a b ++的值是（ ） A ．3- B ．1-C ．2D ．3【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC = 2，D 是BC 上异于B 、C 的一个动点，过点D 作45ADE ∠=︒，DE 交AC 于点E ．设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4 / 181、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x… -2 112- -1 12- 0 121 1122 … 2y x =…4124 114 014 11244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：特殊二次函数的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图23、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 4、 二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 5、 二次函数()2y a x m k =++的图像二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．6 / 18【例9】 二次函数213y x =-的图像是______，开口方向______，顶点坐标为______．【例10】 抛物线2y ax c =+的顶点坐标为______，对称轴为______．【例11】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点【例12】 抛物线()21y a x =-有最高点，则a 的取值范围为______，最高点的坐标为______．【例13】 抛物线()2213y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（1，3-） C ．（1-，3） D ．（1-，3-）【例14】 抛物线()21y x =-+上有三点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），且110x -<<，230x x <<，则比较1y ，2y ，3y 的大小为____________．例题解析【例15】 将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点（1，3），则a 的值为______．【例16】 将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2523y x =++ B ．()2523y x =+- C ．()2523y x =-+D ．()2523y x =--【例17】 若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线()21y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例18】 抛物线上有两点（3，8-）和（5-，8-）则它的对称轴是（ ） A ．直线1x =- B ．直线1x = C ．直线2x = D ．直线3x =【例19】 把抛物线()22y x m =+向上平移n 个单位，使新得到的抛物线2y ax bx c =++通过点（2，5）与（1，1），求a ，b ，c ，m ，n 的值．【例20】 如图，抛物线2y ax =上的点B 、C 与x 轴上的两点A （6-，0）、D （2，0）构成A B CDO xyE平行四边形，BC与y轴相交于点E（0，6），求系数a的值．8/ 181、 二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a -）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 2、 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点的个数判断二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数，即为判断一元二次方程20ax bx c ++=的解的个数，这样就可以利用一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-来进行解题．模块三：二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像知识精讲10 / 18xyO1【例21】 说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？是多少？【例22】 二次函数2y ax bx c =++的图像如上右图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+这五个式子中，值为正数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例23】 将抛物线213662y x x =-++先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是__________________________．【例24】 已知二次函数25y x bx =-++，它的图像经过点（2，3-）． （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标；（2）当x 为何值是，函数y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而减小？【例25】 若直线y = x + 2与抛物线22y x x =+有交点，则它的坐标是______．【例26】 已知二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值是______，最小值是______．例题解析A BOxyy【例27】 已知抛物线22y x x a =-+的顶点A 在直线3y x =-+上，直线3y x =-+与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点．（1）求点B 的坐标与a 的值； （2）求AOB ∆的面积．【例28】 已知抛物线()229y x a x =-++的顶点在坐标轴上，求a 的值．【例29】 若对于任何实数x ，二次函数()2123y m x mx m =-+++的图像全在x 轴上方，求m的取值范围为．【例30】 如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹的锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：○1PD + DQ 的最大值；○2PD DQ 的最大值．12/ 18【习题1】 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．212y x =- B ．()2214y x =+- C ．()()1142y x x =-+D ．()2221y x x =--+【习题2】 抛物线()223y x =-的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．x 轴上 D ．y 轴上【习题3】 已知抛物线243y x x =++，请回答以下问题：（1）它的开口方向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______； （2）图像与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．【习题4】 有下列4个函数关系式：○1正方形的面积S 与边长x 的关系；○2圆的面积S 与圆周长l 的关系；○3已知周长为l 的矩形中，面积S 与一边长x 的关系；○4已知面积为S 的矩形中，周长l 与一边长x 的关系．其中二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题5】 抛物线22y ax bx =++经过点（2-，3），则36b a -=______．【习题6】 已知函数()()221mmy m x m x -=+++，（m 为常数）．随堂检测14 / 18xy（A ） B CDO （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【习题7】 把抛物线()222y x =-+向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后抛物线的函数解析式，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴．【习题8】 已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线x = 1． （1）求证：2a + b =0；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根．【习题9】 如图，已知矩形ABCD 的宽CD = 1，点C 在y 轴右侧沿抛物线2610y x x =-+滑动，滑动过程中保持CD // x 轴．当点D 在y 轴上时，AB 正好在x 轴上．（1）求矩形的长BC ；（2）当矩形在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积之比为1 : 4时，求点C 的坐标．【习题10】 如图，二次函数1L ：223y ax ax a =-++（a > 0）和二次函数2L ：()211y a x =-++xyAE F N MO （a > 0）的图像的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F ．（1）函数223y ax ax a =-++（a > 0）的最小值为______；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是_________________；（2）当EF = MN ，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数2L 的图像与x 轴的右交点为A （m ，0），当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解．16 / 18【作业1】 对于任意实数x ，二次函数2y ax =的值总是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤【作业2】 抛物线2243y x x =--，当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ______时，函数取最______值为______．【作业3】 抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业4】 给任意实数n ，得到不同的抛物线2y x n =+，当n = 0，1或1-时，关于这些抛物线有以下结论：○1开口方向不同；○2对称轴不同；○3都有最低点；○4可以通过一个抛物线平移得到另一个，其中判断正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业5】 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m ______时，它是二次函数．【作业6】 抛物线()2612y x =+-可由抛物线262y x =-向______平移______个单位得到．课后作业xyxyOOA BA BCD Em n【作业7】 二次函数()22y x m =-+的图像顶点在______轴上，对称轴直线x = 1，则函数解析式为______．【作业8】 已知抛物线()()2y x m x m =---，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线52x =．○1求该抛物线的函数解析式； ○2该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【作业9】 如图1，一次函数y kx b =+的图像与二次函数2y x =的图像相交于A 、B 两点，点A 、B 的横坐标分别为m 、n （m < 0，n > 0）．（1）当1m =-，n = 4时，k =______，b =______；当2m =-，n = 3时，k =______，b =______．（2）用含m 、n 的代数式分别表示k 与b ． （3）利用（2）的结论，解答下面问题：如图2，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点A 关于y 的对称点为E ，连接AO 、OE 、ED ．○1当3m =-，n > 3时，求AOD AOEDS S ∆∆四边形的值（用含n 的代数式表示）○2当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系为_________________；当四边形AOED 为正方形时，m =______，n =______．18 / 18ABCDO xy【作业10】 如图，两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =---（其中a为常数）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M 、N 两点（M 在N 的左边），221y ax ax =---与x 轴分别交于E 、F 两点（E 在F 的左边），观察M 、N 、E 、F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确的结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A 、B 两点，直线l 、1l 、2l 都垂直于x 轴，1l 、2l 分别经过A 、B 两点，l 在1l 、2l 之间，且l 与两条抛物线分别交于C 、D 两点，求线段CD 的最大值．。