第二章 数值计算

应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。

它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。

本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。

第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。

通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。

第二章 数控车床加工工艺设计
上节回顾一、
1、遵循右手笛卡儿直角坐标系 2、永远假设工件是静止的，刀具相 对于工件运动。 3、刀具远离工件的方向为正方向。
第二章 数控车床加工工艺设计
上节回顾二、
1、先确定Z轴。 a、传递主要切削力的主轴为Z轴。 b、若没有主轴，则Z轴垂直于工件装夹面。 c、若有多个主轴，选择一个垂直于工件装夹面的主轴为Z轴。
第二章 数控车床加工工艺设计
【实例】 在CK6150型数控车床上加工一个轴类零件，零件图2-7所示， 其中ø80的外径不加工(可用于装夹)。
图2-7 轴类零件加工实例 (1)确定工件的装夹方式及加工工艺路线 由于这个工件是一个实心轴， 并且轴的长度不很长，所以采用工件的左端面和ø80外圆作为定位基准。 使用普通三爪自定心卡盘夹紧工件，取卡盘的端面中心为工件坐标系的 原点，如图2-7所示。 加工顺序为：①倒角粗车M36×4螺纹外圆、ø50外圆，R35圆弧面
３）编程原点要尽量与设计基准或工艺基准统一，以利于保 证加工精度。
第二章 数控车床加工工艺设计
2.3.1确定编程坐标系，选择编程原点 原点选择要尽量满足编程简单，尺寸换算少，引
起的加工误差小等条件。
一般情况下，以坐标式尺寸标注的零件，程序原 点应选在尺寸标注的基准点；对称零件或以同心圆 为主的零件，程序原点应选在对称中心线或圆心上。
2、再确定X轴。（X轴始终水平，且平行于工件装夹面） a、没有回转刀具和工件，X轴平行于主要切削方向。（牛头刨） b、有回转工件，X轴是径向的，且平行于横滑座。（车、磨） c、有刀具回转的机床，分以下三类： Z轴水平，由刀具主轴向工件看，X轴水平向右。 Z轴垂直，由刀具主轴向立柱看，X轴水平向右。 龙门机床，由刀具主轴向左侧立柱看，X轴水平向右。

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
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证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
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2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
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有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
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2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。

证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn